湖南省衡陽市勝橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

湖南省衡陽市勝橋中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知i是虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=

A．-1

B．0

C．1

D．1或-l參考答案：D2.已知函數(shù)的反函數(shù)為，則= （

） A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C略3.若函數(shù)，則滿足的x的取值范圍為A． B． C． D．參考答案：B4.已知，給出下列命題：

①若，則；②若ab≠0，則；③若，則；

其中真命題的個數(shù)為(A)3

(B)2

(C)1

(D)0參考答案：C.當(dāng)時，，所以①為假命題；當(dāng)與異號時，，，所以②為假命題；因?yàn)?，所以，③為真命題.5.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，是以F2P為底邊的等腰三角形，且，則該橢圓的離心率的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.當(dāng)時，則下列大小關(guān)系正確的是

A．

B． C．

D．參考答案：7.用0，1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為(

)A．243

B．252

C．261

D．279參考答案：B8.已知函數(shù)，集合 ，，記分別為集合中的元素個數(shù)，那么下列結(jié)論不正確的是A．

B．C．

D．參考答案：D9.（5分）某班有50名學(xué)生，一次數(shù)學(xué)考試的成績ξ服從正態(tài)分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估計該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)為（）A．10B．9C．8D．7參考答案：B【考點(diǎn)】：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【專題】：計算題；概率與統(tǒng)計．【分析】：根據(jù)考試的成績ξ服從正態(tài)分布N（105，102）．得到考試的成績ξ關(guān)于ξ=105對稱，根據(jù)P（95≤ξ≤105）=0.32，得到P（ξ≥105）=（1﹣0.64）=0.18，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)．解：∵考試的成績ξ服從正態(tài)分布N（105，102）．∴考試的成績ξ關(guān)于ξ=105對稱，∵P（95≤ξ≤105）=0.32，∴P（ξ≥105）=（1﹣0.64）=0.18，∴該班數(shù)學(xué)成績在115分以上的人數(shù)為0.18×50=9故選：B．【點(diǎn)評】：本題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績ξ關(guān)于ξ=105對稱，利用對稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解．10.若“”是“”的充分不必要條件，則a的取值范圍是A. B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)的極大值為正數(shù)，極小值為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是____________．參考答案：略12.直線l的參數(shù)方程是（其中t為參數(shù)），圓c的極坐標(biāo)方程為，過直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長的最小值是

.參考答案：2【知識點(diǎn)】選修4-4

參數(shù)與參數(shù)方程N(yùn)3∵圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cos（θ+），∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ，

∴x2+y2=x-y，即（x-）2+（y+）2=1，

∴圓C是以M（，-）為圓心，1為半徑的圓

化直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）為普通方程：x-y+4=0，

∵圓心M（，-）到直線l的距離為d==5，

要使切線長最小，必須直線l上的點(diǎn)到圓心的距離最小，此最小值即為圓心M（，-）到直線的距離d，由勾股定理求得切線長的最小值為==2．【思路點(diǎn)撥】將圓的極坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離，要使切線長最小，必須直線l上的點(diǎn)到圓心的距離最小，此最小值即為圓心到直線的距離d，求出d，由勾股定理可求切線長的最小值．13.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是_______.參考答案：【分析】記事件為“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,事件為“第二天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”,根據(jù)條件概率公式可求出答案.【詳解】記事件為“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,事件為“第二天的空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”,則,,根據(jù)條件概率公式可得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了條件概率的計算,考查了條件概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14.

數(shù)列的連續(xù)項(xiàng)，則等比數(shù)列=

。參考答案：答案：215.若(a＋1)＜(3－2a)，則a的取值范圍是__________．參考答案：16.函數(shù)y=2sin（2x﹣）與y軸最近的對稱軸方程是．參考答案：x=﹣【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．【解答】解：對于函數(shù)y=2sin（2x﹣），令（k∈Z）時，，因此，當(dāng)k=﹣1時，得到，故直線x=﹣是與y軸最近的對稱軸，故答案為：x=﹣．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．17.已知各頂點(diǎn)都在同一個球面上的正四棱錐高為3，體積為6，則這個球的表面積是_____．參考答案：16三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，且，．（Ⅰ）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；參考答案：（Ⅰ）∵數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，∴當(dāng)時，．當(dāng)時，亦滿足上式，故，．

又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為，∵，，

∴．∴．

（Ⅱ）．．所以．19.已知函數(shù)。（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．參考答案：(1)因?yàn)閒(x)＝4cosxsin－1＝4cosx－1＝sin2x＋2cos2x－1＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以f(x)的最小正周期為π.(2)因?yàn)椋躼≤，所以－≤2x＋≤.于是，當(dāng)2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最大值2；當(dāng)2x＋＝－，即x＝－時，f(x)取得最小值－1.略20.已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）當(dāng)x∈[0，]時，求f（x）的值域；（2）若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；HP：正弦定理．【分析】（1）由二倍角公式以及變形、兩角和的正弦公式化簡解析式，由x的范圍求出2x+的范圍，由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的值域；（2）由兩角和與差的正弦公式、正弦定理化簡已知的式子，由條件和余弦定理求出cosA的值，由A的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出A，由三角形的內(nèi)角和定理求出B，代入可得f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3?﹣+3=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，則2sin（2x+）+1∈[0，3]，即函數(shù)f（x）=2sin（2x+）+1的值域是[0，3]；（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，又0°＜A＜180°，∴A=30°，則sinC=2sinA=1，即C=90°，∴B=180°﹣A﹣C=60°，∴f（B）=f（）=2sin（+）+1=2．21.（14分）已知函數(shù)（）（1）求的單調(diào)區(qū)間;（2）時，判斷方程:根的個數(shù)并說明理由;（3）有兩個極值點(diǎn)且證明:.參考答案：【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；推理與證明.

B12

M2【答案解析】（1）當(dāng)時，有單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）有且只有一個根.理由略；（3）略解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

---1分令當(dāng)，即時，函數(shù)在單調(diào)遞增-----2分當(dāng)，即時方程由兩解

---3分當(dāng)時，有，此時：；時，時，

---4分當(dāng)時有

---5分綜上所述：當(dāng)時，有單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為

----6分

（2）由已知方程：，得令，則

-------7分當(dāng)x變化時，變化如下表：xa2+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由a的取值范圍是，所以

------8分由上表知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以時，有所以在上無零點(diǎn)

-----9分，又在單調(diào)遞增，在區(qū)間有唯一零點(diǎn)所以原方程有且只有一個根.

--------10分（3）由題意知有兩個不同的根，有兩解可知，由于，由（1）知

--11分得：

-----12分其中

---13分函數(shù)在上遞增；

----14分【思路點(diǎn)撥】（1）先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，通過討論的取值條件，得導(dǎo)函數(shù)為零的根的大小關(guān)系，從而得導(dǎo)函數(shù)大于零或小于零的范圍，亦是的單調(diào)區(qū)間;；（2）由，得，令，則判斷方程的根個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)，通過確定極值點(diǎn)在軸的上方還是下方，以及單調(diào)性、函數(shù)值符號等，來確定方程:根的個數(shù).（2）由（1）知時有兩個極值點(diǎn),且是即的兩個根，可知，由于，所以，由得，其中，函數(shù)在上遞增；

.22.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓D：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2作傾斜角為的直線交橢圓D于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1到直線AB的距離為2，連接橢圓D的四個頂點(diǎn)得到的菱形面積為2．（1）求橢圓D的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓D和圓C：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4所截得的弦長分別為m，n，當(dāng)m?n最大時，求直線l的方程．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）求得直線AB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得c的值，根據(jù)三角形的面積公式ab=，由a2=b2+c2，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2