2024年廣東省汕頭市金平區(qū)汕樟中學中考數(shù)學一模試卷

2024年廣東省汕頭市金平區(qū)汕樟中學中考數(shù)學一模試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．下列食品標識中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．綠色飲品 B．綠色食品 C．有機食品 D．速凍食品2．在下列方程中，是一元二次方程的是（）A． B．x2﹣2xy+y2＝0 C．（x+3）（2x﹣5）＝0 D．x3+x+1＝03．直線y＝bx+c（bc≠0）關于原點對稱的直線為（）A．y＝cx+b B．y＝﹣bx+c C．y＝﹣bx﹣c D．y＝bx﹣c4．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．5．下列關于二次根式的計算，正確的是（）A． B． C． D．6．若方程x2+3x+c＝0沒有實數(shù)根，則c的取值范圍是（）A．c＜ B．c＜ C．c＞ D．c＞7．下列各式計算正確的是（）A．a(chǎn)2+a2＝a4 B．2a2×2a2＝2a4 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（4ab+1）（4ab﹣1）＝16a2b2﹣18．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交CB于點D，過點D作DE⊥AB，垂足恰好是邊AB的中點E．若AD＝3cm，則BE的長為（）A．cm B．4cm C．3cm D．6cm9．如圖，菱形OABC的邊OA在平面直角坐標系中的x軸上，∠AOC＝60°，OA＝4，則點C的坐標為（）A． B． C． D．（2，2）10．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，﹣1）．已知點A在（﹣4，0）與（﹣3，0）之間（不包含這兩點），拋物線的頂點為D，對稱軸是直線x＝﹣2．下列結論中正確的個數(shù)是（）①abc＜0；②；③；④若三點（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）均在函數(shù)圖象上，則y3＞y2＞y1；⑤若a＝﹣1，則△ABD是等邊三角形．A．2 B．3 C．4 D．5二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．計算：×＝．12．如圖，把一個長方形紙條ABCD沿AF折疊，已知∠ADB＝26°，AE∥BD，則∠BAF＝．13．不等式組的解是．14．小聰從甲地勻速步行前往乙地，同時小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行時間x（min）之間的函數(shù)關系式如圖中折線段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小聰與小明出發(fā)min相遇；（2）在步行過程中，若小明先到達甲地，小明的速度是m/min．15．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．（8分）解下列一元二次方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4）．17．（8分）已知＝2，求（+）÷的值．18．（8分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上，已知A（1，1），B（3，2），C（2，4）．（1）作出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1（2）作出△ABC繞點O逆時針旋轉90°后的△A2B2C2；（3）將△ABC先向左平移4個單位，再向下平移5個單位，作出平移后的△A3B3C3．19．如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB與點P，且PC＝BC，求證：BC是⊙O的切線．20．如圖，直角三角形ACB，直角頂點C在直線l上，分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點D和點E．AC＝BC．（1）求證：CD＝BE；（2）若設△ADC的三邊分別為a、b、c，試用此圖證明勾股定理．21．如圖，正比例函數(shù)y＝﹣x的圖象與反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象都經(jīng)過點A（a，2）．（1）求點A的坐標和反比例函數(shù)表達式．（2）若點P（m，n）在該反比例函數(shù)圖象上，且它到y(tǒng)軸距離小于3，請根據(jù)圖象直接寫出n的取值范圍．22．（12分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC邊于點D、F．過點D作DE⊥CF于點E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）求證：DE2＝AE?FE；（3）若⊙O半徑為5，且AF﹣DE＝2，求EF的長．23．（12分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+4交x軸于點A（﹣1，0）和B（4，0）交y軸于點C．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖，在第一象限有一點M，到O點距離為2，線段BN與BM的夾角為45°，且BN＝BM，連接CN，求CN的長度；（3）對稱軸交拋物線于點D，交BC交于點E，在對稱軸的右側有一動直線l垂直于x軸，交線段BC于點F，交拋物線手點P，動直線在沿x軸正方向移動到點B的過程中，是否存在點P，使得以點P，C，F(xiàn)為頂點的三角形與△DCE相似？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

2024年廣東省汕頭市金平區(qū)汕樟中學中考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．解：A、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形及中心對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形沿對稱軸疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180°后與原圖形重合．2．【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個特點：①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程．解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，故A不符合題意；B、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故B不符合題意；C、方程整理得2x2+x﹣15＝0是一元二次方程，故C符合題意；D、未知數(shù)的最高次數(shù)是3，不是一元二次方程，故D不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是關鍵．3．【分析】若兩條直線關于原點對稱，則這兩條直線平行，即k值不變；與y軸的交點關于原點對稱，即b值互為相反數(shù)．解：直線y＝bx+c（bc≠0）關于原點對稱的直線為y＝bx﹣c．故選：D．【點評】本題考查了關于原點的點的坐標，掌握關于原點對稱的點的特征是解答本題的關鍵．4．【分析】直接利用最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式，進而得出答案．解：A、＝，不是最簡二次根式，故此選項錯誤；B、，是最簡二次根式，故此選項正確；C、＝2，不是最簡二次根式，故此選項錯誤；D、＝，不是最簡二次根式，故此選項錯誤．故選：B．【點評】此題主要考查了最簡二次根式的定義，正確把握定義是解題關鍵．5．【分析】根據(jù)二次根式的運算法則，逐一進行計算，判斷即可．解：A、無法合并，選項錯誤，故A不符合題意；B、，選項錯誤，故B不符合題意；C、，選項正確，故C符合題意；D、，選項錯誤，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查二次根式的運算．熟練掌握二次根式的運算法則，是解題的關鍵．6．【分析】根據(jù)根的判別式即可求出答案．解：由題意可知：Δ＝9﹣4c＜0，∴c＞，故選：D．【點評】本題考查根的判別式，解題的關鍵是熟練運用根的判別式，本題屬于基礎題型．7．【分析】根據(jù)合并同類項可以判斷A；根據(jù)單項式乘單項式可以判斷B；根據(jù)完全平方公式可以判斷C；根據(jù)平方差公式可以判斷D．解：a2+a2＝2a2，故選項A錯誤，不符合題意；2a2×2a2＝4a4，故選項B錯誤，不符合題意；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故選項C錯誤，不符合題意；（4ab+1）（4ab﹣1）＝16a2b2﹣1，故選項D正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查整式的混合運算，解答本題的關鍵是明確整式混合運算的運算法則．8．【分析】根據(jù)題意，易證∠CAB＝60°，從而可求得DE，繼而求得BE．解：如圖，連接CE．∵△ABC為直角三角形，點E點AB的中點，∴CE＝AE＝EB∵AD為∠CAE的角平分線，DE⊥AB，∴CD＝DE∵AD＝AD∴△ADE≌△ADC（HL）∴AE＝AC∴△AEC為等邊三角形，∴∠CAE＝60°，∠DAE＝30°∵DE垂直平分AB∴∠DBE＝∠DAE＝30°，AD＝DB＝3cm，∴在Rt△DEB中，法一：BE＝cos30°?DB＝3×＝（cm），法二：∴DE＝DB＝（cm）（30°角所對的直角邊等于斜邊的一半）．∴由勾股定理得，BE＝＝＝（cm）．故選：A．【點評】本題主要考查學生對角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．9．【分析】過C作CD⊥OA于D，由菱形的性質(zhì)得OC＝OA＝4，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得OD＝OC＝2，然后由勾股定理得CD＝2，即可得出點C的坐標．解：過C作CD⊥OA于D，如圖：則∠ODC＝90°，∵四邊形OABC是菱形，∴OC＝OA＝4，∵∠AOC＝60°，∴∠OCD＝90°﹣∠AOC＝30°，∴OD＝OC＝2，∴CD＝＝＝2，∴點C的坐標為（2，2），故選：A．【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．10．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系判斷①；根據(jù)圖象與x軸的解得即可判斷②；與對稱軸得出b＝4a，進而得出y＝ax2+bx+c＝ax2+4ax﹣1＝a（x+2）2﹣4a﹣1，令y＝0，解方程求得較小的一個根為﹣﹣2＜﹣3，解不等式即可判斷③；由各點到對稱軸的距離即可判斷④；當a＝﹣1時，拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）2+3，求得D（﹣2，3），再求得與x軸的交點，即可判斷⑤．解：∵圖象的開口向下，∴a＜0，∵圖象與y軸的交點為（0，﹣1），∴c＝﹣1，∵拋物線的對稱軸為﹣2，∴﹣＝﹣2，∴b＝4a＜0，∴abc＜0，∴①符合題意，∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，∵a＜0，∴4c＞，∴②不符合題意，由題意得：y＝ax2+bx+c＝ax2+4ax﹣1＝a（x+2）2﹣4a﹣1，∵當y＝0時，較小的一個根為﹣﹣2，∴﹣﹣2＜﹣3，解得a＜﹣，∴③不合題意，∵點（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）中，到對稱軸直線x＝﹣2距離最大的是（1，y3），到（﹣2，y2）在對稱軸上，∴y2＞y1＞y3；∴④不合題意，當a＝﹣1時，拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）2+3，∴D（﹣2，3），取y＝0，得﹣（x+2）2+3＝0，解得x1＝﹣﹣2，x2＝﹣2，∴A（﹣﹣2，0），B（﹣2，0），∴AD＝BD＝AB＝2，∴△ABD是等邊三角形，∴⑤符合題意，∴符合題意的有①⑤，故選：A．【點評】本題主要二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，關鍵是要牢記二次函數(shù)解析中的系數(shù)對圖象的影響，二次項系數(shù)影響圖象的開口方向，a、b影響圖象的對稱軸，c影響圖象與y軸的交點．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11．【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則：＝（a≥0，b≥0）計算．解：原式＝＝3；故答案為：3．【點評】本題考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘法法則，最后的化簡是解題關鍵．12．【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)求出∠BAE的度數(shù)，根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)即可得出結論．解：∵四邊形ABCD是矩形，∵∠BAD＝90°．∵∠ADB＝26°，∴∠ABD＝90°﹣26°＝64°．∵AE∥BD，∴∠BAE＝180°﹣64°＝116°，∴∠BAF＝∠BAE＝58°．故答案為：58°．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．13．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．解：解不等式x﹣1≥2，得：x≥3，解不等式2x﹣2＜10得：x＜6，則不等式組的解集為3≤x＜6，故答案為：3≤x＜6．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．14．【分析】（1）根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以直接寫出小聰與小明出發(fā)多長時間相遇；（2）根據(jù)題意可知，小聰晚到達乙地，則小聰用的時間為56.25min，根據(jù)速度＝路程÷時間，可以計算出小聰?shù)乃俣龋俑鶕?jù)25min時兩人相遇，即可計算出小明的速度．解：（1）由圖象可得，小聰與小明出發(fā)25min相遇，故答案為：25；（2）由圖象可得，小聰?shù)乃俣葹椋?500÷56.25＝80（m/min），則小明的速度為：4500÷25﹣80＝180﹣80＝100（m/min），故答案為：100．【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，從函數(shù)圖象中獲取解答問題的信息是解答本題的關鍵．15．【分析】根據(jù)中位線定理可得出點P的運動軌跡是線段P1P2，再根據(jù)垂線段最短可得當BP⊥P1P2時，PB取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值為BP1的長，由勾股定理求解即可．解：如圖：當點F與點C重合時，點P在P1處，CP1＝DP1，當點F與點E重合時，點P在P2處，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE．當點F在EC上除點C、E的位置處時，有DP＝FP．由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF．∴點P的運動軌跡是線段P1P2，∴當BP⊥P1P2時，PB取得最小值．∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1＝2．∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．∴∠DP2P1＝90°．∴∠DP1P2＝45°．∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值為BP1的長．在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2∴PB的最小值是2．故答案為：2．【點評】本題考查軌跡問題、矩形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用特殊位置解決問題，有難度．三．解答題（共8小題，滿分75分）16．【分析】（1）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．解：（1）x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，x1＝5，x2＝﹣1；（2）（x﹣4）2＝10（x﹣4），（x﹣4）2﹣10（x﹣4）＝0，（x﹣4）（x﹣4﹣10）＝0，x﹣4＝0或x﹣4﹣10＝0，x1＝4，x2＝14．【點評】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵．17．【分析】先把條件變式，再代入求解．解：∵已知＝2，∴x＝3y，∴（+）÷＝＝＝＝1．【點評】本題考查了分式的化簡求值，掌握分式的混合運算是解題的關鍵．18．【分析】（1）作出A，B，C關于x軸的對稱點A1，B1，C1，連接即可；（2）作出A，B，C繞點O逆時針旋轉90°后對稱點A2，B2，C2，連接即可；（3）作出A，B，C平移后對稱點A3，B3，C3，連接即可．解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求作的三角形；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求作的三角形；（3）如圖所示，△A3B3C3即為所求作的三角形．【點評】本題主要考查圖形的平移、翻折，旋轉，準確作圖是解題的關鍵．19．【分析】由PC＝BC得到∠CPB＝∠CBP，利用對頂角相等得∠APO＝∠CPB，則∠CBP＝∠APO，再利用OC⊥OA得到∠A+∠APO＝90°，加上∠A＝∠ABO，所以∠CBP+∠ABO＝90°，于是根據(jù)切線的判定定理可得BC是⊙O的切線．【解答】證明：∵PC＝BC，∴∠CPB＝∠CBP，而∠APO＝∠CPB，∴∠CBP＝∠APO，∵OC⊥OA，∴∠A+∠APO＝90°，而OA＝OB，∴∠A＝∠ABO，∴∠CBP+∠ABO＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切線．【點評】本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．20．【分析】（1）根據(jù)AAS可以證明結論成立；（2）根據(jù)S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，代入字母計算即可證明結論成立．【解答】證明：（1）∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，又∵∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴CD＝BE，（2）∵△ADC≌△CEB，∴DC＝BE＝a，AD＝CE＝b，∴DE＝DC+CE＝a+b，∴S梯形ADEB＝（AD+BE）?DE＝（a+b）（a+b），∵S梯形ADEB＝S△ADC+S△ACB+S△CEB，∴，化簡得：a2+b2＝c2．【點評】本題考查勾股定理的證明，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．21．【分析】（1）把點A的坐標代入一次函數(shù)關系式可求出a的值，再代入反比例函數(shù)關系式確定k的值，進而得出答案；（2）確定m的取值范圍，再根據(jù)反比例函數(shù)關系式得出n的取值范圍即可．解：（1）把A（a，2）的坐標代入y＝﹣x，即2＝﹣a，解得a＝﹣3，∴A（﹣3，2），又∵點A（﹣3，2）是反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴k＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函數(shù)的關系式為y＝﹣；（2）∵點P（m，n）在該反比例函數(shù)圖象上，且它到y(tǒng)軸距離小于3，∴﹣3＜m＜0或0＜m＜3，當m＝﹣3時，n＝＝2，當m＝3時，n＝＝﹣2，由圖象可知，若點P（m，n）在該反比例函數(shù)圖象上，且它到y(tǒng)軸距離小于3，n的取值范圍為n＞2或n＜﹣2．【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交點坐標，把點的坐標代入相應的函數(shù)關系式求出待定系數(shù)是求函數(shù)關系式的常用方法．22．【分析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)證得∠C＝∠ODB．得出OD∥AC，由平行線的性質(zhì)得出OD⊥DE，則可得出答案；（2）連接BF，AD，證得△ADE∽△DCE，然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，進而推導出DE2＝AE?FE；（3）過點O作OG⊥AF于點G，證明四邊形OGED為矩形，由矩形的性質(zhì)得出OG＝DE，OD＝GE，設EF＝x，AG＝GF＝5﹣x，則OG＝DE＝8﹣2x．由勾股定理得出（5﹣x）2+（8﹣2x）2＝52，解方程可得出答案．【解答】（1）證明：連接OD，如圖1，∵DE⊥CF，∴∠DEC＝∠DEF＝90°．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠C＝∠ODB．∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，又OD為⊙O的半徑．∴DE是⊙O的切線；（2）證明：連接BF，AD，OD，如圖2，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∠AFB＝90°，∵AB＝AC，∴D為BC的中點，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，∴點E是CF的中點，∴EF＝CE∠ADC＝90°，∴△ADE∽△DCE，∴，∴DE2＝AE?CE，∴DE2＝AE?FE；（3）解：過點O作OG⊥AF于點G，如圖3，∴∠OGE＝∠OGA＝90°，AG＝GF＝AF，又∵∠DEG＝∠ODE＝90°，∴四邊形OGED為矩形，∴OG＝DE，OD＝GE，∵OD＝OA＝5，設EF＝x，AG＝GF＝5﹣x，則OG＝DE＝AF﹣2＝10﹣2x