2023學年江西師大附中高一數(shù)學第二期期中考試卷附答案解析

學年江西師大附中高一數(shù)學第二期期中考試卷（試卷滿分150分.考試用時120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．下列各個角中與2020°終邊相同的是A． B．680° C．220° D．320°2．下列說法正確的是（

）A．若，則與共線 B．若與是平行向量，則C．若，則 D．共線向量方向必相同3．函數(shù)的奇偶性是A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)4．已知平面向量，且，則A． B． C． D．5．已知cos（x–）=，則cosx+cos（x–）=A．–1 B．1 C． D．6．化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的最小值為（）A． B． C．0 D．18．將塑料瓶底部扎一個小孔做成漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺．在漏斗下方紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸，把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖像．它表示了漏斗對平衡位置的位移s（縱坐標）隨時間t（橫坐標）變化的情況．如圖所示，已知一根長為lcm的線一端固定，另一端懸一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計線的長度應當是（精確到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．若扇形的弧長變?yōu)樵瓉淼?倍，半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則(

)A．扇形的面積不變 B．扇形的圓心角不變C．扇形的面積變?yōu)樵瓉淼?倍 D．扇形的圓心角變?yōu)樵瓉淼?倍10．已知為非零向量,則下列命題中正確的是A．若,則與方向相同B．若,則與方向相反C．若,則與有相等的模D．若,則與方向相同11．已知函數(shù)的圖象為，以下說法中正確的是（

）A．函數(shù)的最大值為B．圖象相鄰兩條對稱軸的距離為C．圖象關(guān)于中心對稱D．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，再向右平移個單位三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．函數(shù)的定義域為．13．將函數(shù)（）的圖象向左平移（）個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于原點對稱，則的最小值是.14．給出下列命題：①函數(shù)：（）為奇函數(shù)；②函數(shù)的最小正周期是；③函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到；④函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)；⑤函數(shù)的最小值是.其中真命題是（寫出所有真命題的序號）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．設(shè)函數(shù)．(1)求的最小正周期及其圖象的對稱中心；(2)若且，求的值．16．已知函數(shù)（其中，）.(1)求它的定義域；(2)求它的單調(diào)區(qū)間；(3)判斷它的奇偶性；(4)判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的最小正周期.17．4月11日至13日，我校組織高一高二全體師生一千六百余人前往九江、景德鎮(zhèn)、上饒、撫州等地開展為期三天的融研學實踐活動，湯顯祖文化館是此次研學的路線點之一，該文化館每年都會接待大批游客.在該文化館區(qū)的一家專門為游客提供住宿的客棧中，工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準備的食物有些月份剩余較多，浪費很嚴重.為了控制經(jīng)營成本，減少浪費，計劃適時調(diào)整投入.為此他們統(tǒng)計每個月入住的游客人數(shù)，發(fā)現(xiàn)每年各個月份來客棧入住的游客人數(shù)呈周期性變化，并且有以下規(guī)律：①每年相同的月份，入住客棧的游客人數(shù)基本相同；②入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少，在8月份最多，相差約400；③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增，在8月份達到最多.(1)試用一個正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系；(2)請問客棧在哪幾個月份要準備400份以上的食物？18．人臉識別技術(shù)在各行各業(yè)的應用改變著人類的生活，所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別對象的身份，在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為(1)若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；(2)已知，，，若，，求的值19．已知函數(shù)．請在下面的三個條件中任選兩個解答問題．①函數(shù)的圖象過點；②函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若是函數(shù)的零點，求的值組成的集合；（3）當時，是否存在滿不等式？若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由.1．C【解析】將寫為的形式,即可得到結(jié)果【詳解】由題,,故選:C【點睛】本題考查終邊相同的角,屬于基礎(chǔ)題2．A【分析】利用共線向量、相等向量的概念逐項判斷即得.【詳解】對于A，相等向量必是共線向量，A正確；對于B，與是平行向量，如為非零向量，而，顯然，B錯誤；對于C，模相等的兩個向量，它們的方向不一定相同，即不一定成立，C錯誤；對于D，共線向量的方向可以相反，D錯誤.故選：A3．A【詳解】試題分析：由，且函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱，可得，故，可知函數(shù)為奇函數(shù).考點：三角函數(shù)奇偶性.4．B【詳解】試題分析：因為，，且，所以，，故選B.考點：1、平面向量坐標運算；2、平行向量的性質(zhì).5．B【詳解】∵cos（x–）=，∴cosx+cos（x–）=cosx+cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x–）==1．故選B．6．C【分析】根據(jù)給定條件，逆用和角的余弦公式化簡即得.【詳解】依題意，原式.故選：C7．B【分析】根據(jù)兩角和與差的正弦公式，化簡函數(shù)，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以函數(shù)的最小值為.故選：B.8．C【分析】利用題中的函數(shù)圖象，分析出函數(shù)的周期，由周期公式得到的關(guān)系式即可求解.【詳解】由，得.由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的周期為，所以，即.故選：C.9．BC【分析】利用扇形面積公式和弧長公式的變形即可求解.【詳解】設(shè)原扇形的半徑為r，弧長為l，圓心角為，則原扇形的面積為，扇形的弧長變?yōu)樵瓉淼?倍，半徑變?yōu)樵瓉淼?倍后，其面積為，故，故A錯誤，C正確；由，可知扇形的圓心角不變，故B正確，D錯誤.故選：BC．10．ABD【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則與三角不等式分析即可.【詳解】如圖,根據(jù)平面向量的平行四邊形或三角形法則,當不共線時,根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊有.當同向時有,.當反向時有,故選：ABD【點睛】本題主要考查了平面向量的線性運算與三角不等式,屬于基礎(chǔ)題型.11．BCD【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因為，所以函數(shù)的最大值為，故A錯誤；函數(shù)的最小正周期，所以圖象相鄰兩條對稱軸的距離為，故B正確；因為，所以圖象關(guān)于中心對稱，故C正確；將的橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變得到，再將向右平移個單位得到，故D正確；故選：BCD12．【詳解】由，得，解得，又，∴∴函數(shù)的定義域為．答案：13．【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)式，結(jié)合函數(shù)圖象的平移及奇函數(shù)的性質(zhì)列式求解即得.【詳解】依題意，函數(shù)，則平移后的函數(shù)解析式為，顯然函數(shù)為奇函數(shù)，又，則，因此，所以的最小值是.故答案為：14．①②⑤【分析】利用正余弦函數(shù)的奇偶性、周期性，結(jié)合誘導公式、二倍角的余弦公式判斷①②④；求出平移后的函數(shù)解析式判斷③；利用同角公式，結(jié)合含余弦的二次型函數(shù)求出最小值判斷⑤.【詳解】對于①，當為奇數(shù)時，是奇函數(shù)；當為偶數(shù)時，是奇函數(shù)，①正確；對于②，的最小正周期是，②正確；對于③，函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得，③錯誤；對于④，函數(shù)是最小正周期為的周期函數(shù)，④錯誤；對于⑤，函數(shù)，當時，，⑤正確，所以真命題的序號為①②⑤.故答案為：①②⑤15．(1)最小正周期為，對稱中心為(2)【分析】（1）展開化簡最小正周期為，令對稱中心為；（2）根據(jù)，求得，配湊從而帶入求值.【詳解】（1）因為所以的最小正周期為．令，解得，所以的對稱中心為（2）因為，即，所以，因為，所以，所以，所以．16．(1)，；(2)見解析(3)非奇非偶函數(shù)(4)周期函數(shù)，周期為【分析】（1）可結(jié)合余弦函數(shù)的圖象，解便可得出的定義域;

（2）可以看出原函數(shù)是由和復合而成的復合函數(shù)，這樣根據(jù)余弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，以及復合函數(shù)的單調(diào)性便可求出單調(diào)區(qū)間；（3）可以看出的定義域不關(guān)于原點對稱，從而得出為非奇非偶函數(shù)；（4）由為周期函數(shù)，且周期為可判斷的周期性，并可得出它的周期.【詳解】（1）解得：，∴，∴的定義域為，；（2）設(shè)，，解，得：，解，得：，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；①若，則為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為;②若，則為減函數(shù)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）的定義域不關(guān)于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)；（4）因為為周期函數(shù)，且最小正周期為，所以所以為周期函數(shù)，最小正周期為.17．(1)(2)6，7，8，9，10月份【分析】（1）設(shè)該函數(shù)為，根據(jù)題意求得，再結(jié)合當時，最小，當時，最大，求得，即可求解；（2）由，求得，即可求解.【詳解】（1）設(shè)該函數(shù)為（，，），其中．根據(jù)①，可知這個函數(shù)的周期是12；由②，可知最小，最大，且，故該函數(shù)的振幅為200；由③，可知在上是增函數(shù)，且，所以．根據(jù)上述分析可得，故，由，解得，當時，最小，當時，最大，故，且，可得，由，得．所以入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的函數(shù)關(guān)系式為.（2）由條件，可知，化簡得，即，解得，,因為，且，所以，即客棧在月份要準備400份以上的食物．18．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)公式直接計算即可.（2）根據(jù)公式得到，，計算得到答案.【詳解】（1），，故余弦距離等于；（2）；故，，則.19．（1）選擇①②、①③、②③都有；（2）；（3）存在，的范圍，利用見解析.【解析】（1）選擇①②，將點代入，結(jié)合可求，由點是的對稱中心可得，結(jié)合，可得，即可得解析式；選擇①③：將點代入，結(jié)合可求，由，所即，可得，即可得解析式；選擇②③由，所即，可得，若函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，結(jié)合，可得，即可得解析式；（2）若是函數(shù)的零點，則，解得或，可得或，進而可得可能的取值，即可求解；（3）由得，當時，函數(shù)可轉(zhuǎn)化為，，，利用偶函數(shù)的性質(zhì)原不等式可化為，即可求解.【詳解】選擇①②：因為函數(shù)的圖象過點，所以，解得，因為，所以，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，可得，因為，所以，，所以，選擇①③：若函數(shù)的圖象過點，所以，解得，因為，所以，因為函數(shù)相鄰兩個對稱軸之間距離為，所以，所以，，解得：，所以，選擇②③：因