八年級上冊壓軸題模擬數(shù)學綜合試題附答案

八年級上冊壓軸題模擬數(shù)學綜合試題附答案1．如圖1，在平面直角坐標系中，點A（a，0）、點B（b，0）為x軸上兩點，點C在y軸的正半軸上，且a，b滿足等式．(1)________；(2)如圖2，若M，N是OC上的點，且，延長BN交AC于P，判斷△APN的形狀并說明理由；(3)如圖3，若，點D為線段BC上的動點（不與B，C重合），過點D作于E，BG平分∠ABC交線段DE于點G，連AD，F(xiàn)為AD的中點，連接CG，CF，F(xiàn)G．試說明，CG與FG的數(shù)量關(guān)系．2．在平面直角坐標系中，直線AB分別交x軸、y軸于點A（–a，0）、點B（0，b），且a、b滿足a2+b2–4a–8b+20=0，點P在直線AB的右側(cè)，且∠APB＝45°．（1）a＝；b＝．（2）若點P在x軸上，請在圖中畫出圖形（BP為虛線），并寫出點P的坐標；（3）若點P不在x軸上，是否存在點P，使△ABP為直角三角形？若存在，請求出此時P的坐標；若不存在，請說明理由．3．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點A、點B分別是y軸、x軸上兩個動點，直角邊AC交x軸于點D，斜邊BC交y軸于點E．(1)如圖（1），已知C點的橫坐標為-1，直接寫出點A的坐標；(2)如圖（2），當?shù)妊黂t△ABC運動到使點D恰為AC中點時，連接DE．求證：∠ADB=∠CDE；(3)如圖（3），若點A在x軸上，且A（-4，0），點B在y軸的正半軸上運動時，分別以O(shè)B、AB為直角邊在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，連結(jié)CD交，軸于點P，問當點B在y軸的正半軸上運動時，BP的長度是否變化？若變化請說明理由，若不變化，請求出BP的長度．4．若整式A只含有字母x，且A的次數(shù)不超過3次，令，其中a，b，c，d為整數(shù)，在平面直角坐標系中，我們定義：M為整式A的關(guān)聯(lián)點，我們規(guī)定次數(shù)超過3次的整式?jīng)]有關(guān)聯(lián)點．例如，若整式，則a＝0，b＝2，c＝-5，d＝4，故A的關(guān)聯(lián)點為（-5，-11）．(1)若，試求出A的關(guān)聯(lián)點坐標；(2)若整式B是只含有字母x的整式，整式C是B與的乘積，若整式C的關(guān)聯(lián)點為（6，15），求整式B的表達式．(3)若整式D＝x-2，整式E是只含有字母x的一次多項式，整式F是整式D與整式E的平方的乘積，若整式F的關(guān)聯(lián)點為（-32，0），請直接寫出整式E的表達式．5．如圖，和中，，，，邊與邊交于點（不與點，重合），點，在異側(cè)，為與的角平分線的交點．(1)求證：；(2)設(shè)，請用含的式子表示，并求的最大值；(3)當時，的取值范圍為，求出，的值．6．我們不妨約定：把“有一組鄰邊相等”的凸四邊形叫做“菠菜四邊形”．(1)如下：①平行四邊形，②矩形，③菱形，④正方形，一定是“菠菜四邊形”的是________（填序號）；(2)如圖1，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點E，若AE＝4，求四邊形ABCD的面積；(3)①如圖2，四邊形ABCD為“菠菜四邊形”，且AB＝AD，記四邊形ABCD，△BOC，△AOD的面積依次為S，，，若．求證：ADBC；②在①的條件下，延長BA、CD交于點E，記BC＝m，DC＝n，求證：．7．方法探究：已知二次多項式，我們把代入多項式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項式中有因式（x＋3）．設(shè)另一個因式為（x＋k），多項式可以表示成，則有，因為對應(yīng)項的系數(shù)是對應(yīng)相等的，即，解得，因此多項式分解因式得：．我們把以上分解因式的方法叫“試根法”．問題解決：(1)對于二次多項式，我們把x＝代入該式，會發(fā)現(xiàn)成立；(2)對于三次多項式，我們把x＝1代入多項式，發(fā)現(xiàn)，由此可以推斷多項式中有因式（），設(shè)另一個因式為（），多項式可以表示成，試求出題目中a，b的值；(3)對于多項式，用“試根法”分解因式．8．如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線．動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結(jié)BE．（1）求∠CAM的度數(shù)；（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；（3）當動D在直線AM上時，設(shè)直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．【參考答案】2．(1)0(2)等腰三角形，見解析(3)CG=2FG【分析】（1）由可得，得出a、b的值即可求解；（2）由OC垂直平分AB可得，再由外角可得，結(jié)合已知條件，等量代換即可得到結(jié)論；解析：(1)0(2)等腰三角形，見解析(3)CG=2FG【分析】（1）由可得，得出a、b的值即可求解；（2）由OC垂直平分AB可得，再由外角可得，結(jié)合已知條件，等量代換即可得到結(jié)論；（3）先延長GF至點M，使FM=FG，連接CG、CM、AM，可證，得到，再結(jié)合已知條件得到，可得是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)得出，最后證明為等邊三角形，即可得到結(jié)論．(1)解得(2)是等腰三角形，理由如下：由點A（a，0）、點B（b，0）為x軸上兩點，且可得，OA=OBOC垂直平分AB，是等腰三角形(3)，理由如下：如圖，延長GF至點M，使FM=FG，連接CG、CM、AMF為AD的中點在和中垂直平分，BG平分為等邊三角形，在和中

即是等腰三角形為等邊三角形

在中，．【點睛】本題是三角形的綜合題目，考查了非負性求和、線段垂直平分線的性質(zhì)、外角的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，涉及知識點多，能夠合理添加輔助線并綜合運用知識點是解題的關(guān)鍵．3．（1）2，4；（2）見解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）將已知等式變形，利用乘方的非負性即可求出a值；（2）根據(jù)題意畫出圖形，由（1）得出OB的長，結(jié)合∠AP解析：（1）2，4；（2）見解析，（4，0）；（3）P（4，2）或（2，﹣2）．【分析】（1）將已知等式變形，利用乘方的非負性即可求出a值；（2）根據(jù)題意畫出圖形，由（1）得出OB的長，結(jié)合∠APB＝45°，得出OP＝OB，可得點B的坐標；（3）分當∠ABP＝90°時和當∠BAP＝90°時兩種情況進行討論，結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)即可求出點P坐標.【詳解】解：（1）∵a2+b2–4a–8b+20=0，∴（a2–4a+4）+（b2–8b+16）＝0，∴（a–2）2+（b–4）2＝0∴a＝2，b＝4，故答案為：2，4；（2）如圖1，由（1）知，b＝4，∴B（0，4），∴OB＝4，點P在直線AB的右側(cè)，且在x軸上，∵∠APB＝45°，∴OP＝OB＝4，∴P（4，0），故答案為：（4，0）；（3）存在．理由如下：由（1）知a＝﹣2，b＝4，∴A（﹣2，0），B（0，4），∴OA＝2，OB＝4，∵△ABP是直角三角形，且∠APB＝45°，∴只有∠ABP＝90°或∠BAP＝90°，Ⅰ、如圖2，當∠ABP＝90°時，∵∠APB＝∠BAP＝45°，∴AB＝PB，過點P作PC⊥OB于C，∴∠BPC+∠CBP＝90°，∵∠CBP+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BPC，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△BCP（AAS），∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，∴OC＝OB﹣BC＝2，∴P（4，2），Ⅱ、如圖3，當∠BAP＝90°時，過點P'作P'D⊥OA于D，同Ⅰ的方法得，△ADP'≌△BOA，∴DP'＝OA＝2，AD＝OB＝4，∴OD＝AD﹣OA＝2，∴P'（2，﹣2）；即：滿足條件的點P（4，2）或（2，﹣2）；【點睛】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，難度不大，解題的關(guān)鍵是要根據(jù)直角三角形的性質(zhì)進行分類討論.4．(1)A（0，1）；(2)見解析；(3)不變，BP=2．【分析】（1）如圖（1），過點C作CF⊥y軸于點F，構(gòu)建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），結(jié)合該全等三角形的對應(yīng)邊相等易解析：(1)A（0，1）；(2)見解析；(3)不變，BP=2．【分析】（1）如圖（1），過點C作CF⊥y軸于點F，構(gòu)建全等三角形：△ACF≌△ABO（AAS），結(jié)合該全等三角形的對應(yīng)邊相等易得OA的長度，由點A是y軸上一點可以推知點A的坐標；（2）過點C作CG⊥AC交y軸于點G，則△ACG≌△ABD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可證△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，從而得到結(jié)論；（3）BP的長度不變，理由如下：如圖（3），過點C作CE⊥y軸于點E，構(gòu)建全等三角形：△CBE≌△BAO（AAS），結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等推知：CE=BO，BE=AO=4．再結(jié)合已知條件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPE≌△DPB，故BP=EP=2．（1）如圖（1），過點C作CF⊥y軸于點F，∵CF⊥y軸于點F，∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∵∠CAB=90°，∴∠CAF+∠BAO=90°，∴∠ACF=∠BAO，在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS），∴CF=OA=1，∴A（0，1）；（2）如圖2，過點C作CG⊥AC交y軸于點G，∵CG⊥AC，∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠AGC=∠ADO，在△ACG和△ABD中，，∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD，∠ADB=∠G，∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；（3）BP的長度不變，理由如下：如圖（3），過點C作CE⊥y軸于點E．∵∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABO=90°．∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CBE=∠BAO．∵∠CEB=∠AOB=90°，AB=AC，∴△CBE≌△BAO（AAS），∴CE=BO，BE=AO=4．∵BD=BO，∴CE=BD．∵∠CEP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB，∴△CPE≌△DPB（AAS），∴BP=EP=2．【點睛】本題考查了三角形綜合題．主要利用了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．5．(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)整式得出，，，，根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義得出，，即可得出的關(guān)聯(lián)點坐標；（2）根據(jù)題意得出中的次數(shù)為次，設(shè)

，計算出，進而表達出，，，的值，再根據(jù)的關(guān)解析：(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)整式得出，，，，根據(jù)關(guān)聯(lián)點的定義得出，，即可得出的關(guān)聯(lián)點坐標；（2）根據(jù)題意得出中的次數(shù)為次，設(shè)

，計算出，進而表達出，，，的值，再根據(jù)的關(guān)聯(lián)點為，列出關(guān)于，的等式，解出、的值即可；（3）設(shè)，根據(jù)題意求出，進而表達出，，，的值，再根據(jù)的關(guān)聯(lián)點為，列出關(guān)于，的等式，解出、的值即可．(1)解：（1），，，，，，，的關(guān)聯(lián)點坐標為：，故笞案為：；(2)整式是只含有字母的整式，整式是與的乘積，是二次多項式，且的次數(shù)不能超過次，中的次數(shù)為次，設(shè)，，，，，，整式的關(guān)聯(lián)點為，，，解得：，，；(3)根據(jù)題意：設(shè)，，，，，，整式的關(guān)聯(lián)點為，，，，，，把代入得：，解得：，或，或．【點睛】本題主要考查整式的乘法，掌握整式的乘法是解決問題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)，3(3)m＝105，n＝150【分析】（1）由條件易證，得，即可得證．（2）PD＝AD-AP＝6-x，點P在線段BC上且不與B、C重合時，AP有最小值，即AD⊥解析：(1)見解析(2)，3(3)m＝105，n＝150【分析】（1）由條件易證，得，即可得證．（2）PD＝AD-AP＝6-x，點P在線段BC上且不與B、C重合時，AP有最小值，即AD⊥BC時AP的長度，此時PD可得最大值．（3）為與的角平分線的交點，應(yīng)用“三角形內(nèi)角和等于180°”及角平分線定義，即可表示出，從而得到m，n的值．(1)解：在和中，如圖1即(2)解：當AD⊥BC時，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3為PD的最大值(3)解：如圖2，設(shè)則為與的角平分線的交點即【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了點到直線的距離垂線段最短，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義等，解題關(guān)鍵是將PD最大值轉(zhuǎn)化為PA的最小值．7．(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，解析：(1)③④(2)16(3)①見解析；②見解析【分析】（1）根據(jù)菠菜四邊形的定義結(jié)合各個特殊四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）過A作，交CB的延長線于F，求出四邊形AFCE是矩形，則，求出，得出，有全等的出AE=AF=3，，求出，求出，代入求解即可；（3）記面積為，則，，根據(jù)已知條件可得，進而可得，得出由平分線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得BD平分，過點D作于點H，作于點N，則DH=DN,則，由此即可得出結(jié)論．（1）根據(jù)菱形于正方形的定義值，一定是菠菜四邊形的是菱形與正方形，故答案為：③④（2）如圖，過A作，交CB的延長線于F，∴四邊形AFCE是矩形則四邊形AFCE是正方形，即四邊形ABCD的面積為16（3）①記，∴∵∴∴∵∴∴∴∴如圖：作，∴∴AMAD∴四邊形AMND為平行四邊形∴ADMN∴ADBC②∵ADBC∴又∵AD＝AB∴∴∴BD平分如圖：∵∴∴又∵∴∴【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積，角平分線的性質(zhì)，對于同第登高的三角形的面積相等的推到是關(guān)鍵．8．(1)±2(2)a=0，b=-3；(3)【分析】（1）將x=±2代入即可；（2）由題意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可；（解析：(1)±2(2)a=0，b=-3；(3)【分析】（1）將x=±2代入即可；（2）由題意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可；（3）多項式有因式（x-2），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），則x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系數(shù)關(guān)系求a、b即可．(1)解：當x=±2時，x2-4=0，故答案為：±2；(2)解：由題意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，∴1-a=1，b=-3，∴a=0，b=-3；(3)解：當x=2時，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，∴多項式有因式（x-2），設(shè)另一個因式為（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b