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文檔簡介

5.1.2

瞬時變化率——導(dǎo)數(shù)（1）情境問題

一、情景設(shè)置如何精確地刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？如果將點P附近的曲線放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點

P

附近看上去有點像是直線．PP如果將點

P

附近的曲線再放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點

P

附近看上去幾乎成了直線．事實上，如果繼續(xù)放大，那么曲線在點

P

附近將逼近一條確定的直線是經(jīng)過點P的所有直線中最逼近曲線的一條直線．因此，在點

P

附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，點

P

附近，曲線可以看做直線（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲）．

學(xué)生活動

如圖所示，直線為l1，l2為經(jīng)過曲線上一點

P

的兩條直線．1．探究1：試判斷哪一條直線在點

P

附近更加逼近曲線；2．探究2：在點

P

附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線l3的直線嗎？3．探究3：在點

P

附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線的直線嗎？數(shù)學(xué)建構(gòu)切線定義：如圖，設(shè)

Q

為曲線

C

上不同于

P

的一點，直線

PQ

稱為曲線的割線．隨著點

Q

沿曲線

C

向點

P

運(yùn)動，割線

PQ

在點

P

附近逼近曲線

C，當(dāng)點

Q

無限逼近點

P

時，直線

PQ

最終就成為經(jīng)過點

P

處最逼近曲線的直線

l，這條直線

l也稱為曲線在點

P

處的切線．這種方法叫割線逼近切線．?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用

例1

已知，求曲線

在

處的切線斜率．解設(shè)

P(2，4)，Q(2＋?x，(2＋?x)2，則割線

PQ

的斜率為：

當(dāng)

?x無限趨近于0時，無限趨近于常數(shù)4，從而曲線在點(2，4)處的切線斜率為4．小結(jié)1．曲線上一點

P

處的切線是過點

P

的所有直線中最接近

P

點附近曲線的直線，則

P

點處的變化趨勢可以由該點處的切線

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