高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)介紹

第一講高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)介紹、函數(shù)

教學(xué)目的卜了解新數(shù)學(xué)認識觀，掌握基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)；熟練復(fù)合函

數(shù)的分解。

重難點|:數(shù)學(xué)新認識，基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)

教學(xué)程序|:數(shù)學(xué)的新認識一＞函數(shù)概念、性質(zhì)（分段函數(shù)）一＞基本初等函數(shù)一＞

復(fù)合函數(shù)一,初等函數(shù)一〉例子（定義域、函數(shù)的分解與復(fù)合、分段函數(shù)的圖像）

授課提要：

前言：本講首先是《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)介紹，其次是對中學(xué)學(xué)過的函數(shù)進行

復(fù)習(xí)總結(jié)（函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型,是事物普遍聯(lián)系的定量

反映。高等數(shù)學(xué)主要以函數(shù)作為研究對象,因此必須對函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)

有深刻的理解）。

一、新教程序言

1、為什么要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

（1）文化基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)是一種文化，它的準(zhǔn)確性、嚴(yán)格性、應(yīng)用廣泛性，是

現(xiàn)代社會文明的重要思維特征，是促進社會物質(zhì)文明和精神文明的重要力量；

（2）開發(fā)大腦——數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操，對于訓(xùn)練和開發(fā)我們的大腦（左

腦）有全面的作用；

（3）知識技術(shù)——數(shù)學(xué)知識是學(xué)習(xí)自然科學(xué)和社會科學(xué)的基礎(chǔ)，是我們生活

和工作的一種能力和技術(shù)；

（4）智慧開發(fā)——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是培養(yǎng)人的思維能力，這種能力為人的一

生提供持續(xù)發(fā)展的動力。

2、對數(shù)學(xué)的新認識

（1）新數(shù)學(xué)觀——數(shù)學(xué)是一門特殊的科學(xué)，它為自然科學(xué)和社會科學(xué)提供思

想和方法，是推動人類進步的重要力量；

（2）新數(shù)學(xué)教育觀——數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的目的：數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方

法，培養(yǎng)人的科學(xué)文化素質(zhì)，包括發(fā)展人的思維能力和創(chuàng)新能力。

（3）新數(shù)學(xué)素質(zhì)教育觀——數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的意義：通過“數(shù)學(xué)素質(zhì)”而

培養(yǎng)人的“一般素質(zhì)”。[見教材“序言”]

二、函數(shù)概念

1、函數(shù)定義:變量間的一種對應(yīng)關(guān)系（單值對應(yīng)）。

（用變化的觀點定義函數(shù)），記：），=/*）（說明表達式的含義）

(1)定義域：自變量的取值集合(D)。

(2)值域：函數(shù)值的集合，即｛y|y=/(x),x€。

例1、求函數(shù)y=InQ-，)的定義域？

2、函數(shù)的圖像:設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為D,則點集｛(x,y)|y=/(x),xe。｝

就構(gòu)成函數(shù)的圖像。

例如：熟悉基本初等函數(shù)的圖像。

3、分段函數(shù):對自變量的不同取值范圍，函數(shù)用不同的友達式。

例如：符號函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。

分段函數(shù)的定義域:不同自變量取值范圍的并集。

X2r<0c

例2、作函數(shù)/(x)='的圖像？

2x,x>0

例3、求函數(shù)/(x)=的定義域及函數(shù)值/X-1)J(O)J⑴？

1,x<0

三、基本初等函數(shù)

麗:五種基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。

四、復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u),u=g(x),且與x對應(yīng)的u使y=f(u)有意義，則y=f［g(x)］

是x的復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量。

說明卜(1)并非任意兒個函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

如：y=ln”,“=-/就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。

(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：各個復(fù)合體定義域的交集。

(3)復(fù)合函數(shù)的分解從外到內(nèi)進行；復(fù)合時，則直接代入消去中間變量即可。

例5、設(shè)/(x)=，,g(x)=2,,求〃g(x)),g(/(x))?

例6、指出下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)(或簡單函數(shù))構(gòu)成？

(1)y-ln(sinx2)(2)y-e~2x(3)y--\/l+arctan2x

五、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合、四則運算而成的函數(shù)，且用一

個表達式所表示。

謔畫：(1)一般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但y=|x|是初等函數(shù)；

(2)初等函數(shù)的一般形成方式：復(fù)合運算、四則運算。

思考題:

1、確定一個函數(shù)需要有哪兒個基本要素？［定義域、對應(yīng)法則］

2、思考函數(shù)的幾種特性的兒何意義？［奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性］

3、任意兩個函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)？你是否可以用例子說明？［不能］

探究題卜

一位旅客住在旅館里，圖1-5描述了他的?次行動，請你根據(jù)圖形給縱坐標(biāo)賦予某一

個物理量后，再敘述他的這次行動.你能給圖1一5標(biāo)上個

具體的數(shù)值，精確描述這位旅客的這次行動并用一個

函數(shù)解析式表達出來嗎？/\/

石國：函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)V\/

學(xué)模型,是事物普遍聯(lián)系的定量反映；復(fù)合函|圖1-5Fl

數(shù)反映了事物聯(lián)系的復(fù)雜性；分段函數(shù)反映事

物聯(lián)系的多樣性。

作業(yè)|：P4(A：2-3)；P7(A：2-3)

課堂練習(xí)(初等函數(shù))

【A組】

1、求下列函數(shù)的定義域？

2

(l)y=7771(2)y="(3)y=log2(x-l)(4)y--^-+ln(4-x)

2、判定下列函數(shù)的奇偶性？

xx

(l)y=〃x)+〃—x)(2)y^e+e-⑶y=”+上〃為自然數(shù))

3、作下列函數(shù)的圖像？

丫2_]

(1)y=:~-(2))，=e-x⑶y=|sinx|

x-1

4、分解下列復(fù)合函數(shù)？

(1)y=(2)y=eSin，-(4)y=ln2(cosx)

Vl-sin3x

【B組】

1、證明函數(shù)〉=皿》+4r71)為奇函數(shù)。

2、將函數(shù)y=|x-1|+悟x-1|改寫為分段函數(shù)，并作出函數(shù)的圖像？

3、設(shè)/(犬+工)=3+—,求/1(X)?

xx

4、設(shè)八功=一一，求/"(x)]，/{/[/?]}?

1-X

數(shù)學(xué)認識實驗：初等函數(shù)圖像認識

1>幕函數(shù)：(如y=x,y=》2,)，=/)

2、指數(shù)與對數(shù)函數(shù):(如y==Inx)

3、三角函數(shù)與反三角函數(shù)：(y=cosx,y=arccosx)

4、多項式函數(shù)：(y=$3-3x+3)

5、分段函數(shù)：(y=M)>=sgnx)

第二講導(dǎo)數(shù)的概念（一）、極限與導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目的：復(fù)習(xí)極限的概念及求法；理解導(dǎo)數(shù)的概念，掌握用定義求導(dǎo)數(shù)方法。

重難闔：求極限，導(dǎo)數(shù)定義及由定義求導(dǎo)法

教學(xué)程序|:極限的定義及求法（例）一＞導(dǎo)數(shù)的引入（速度問題）一＞導(dǎo)數(shù)的概念

一〉導(dǎo)數(shù)與極限一＞基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義法）一＞例子（簡單）

授課提要：

前言：在前面的教學(xué)中，我們已討論了變量間的關(guān)系（函數(shù)），本節(jié)將復(fù)習(xí)函數(shù)

的變化趨勢（極限），在此基礎(chǔ)上討論函數(shù)的變化率問題（即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）。導(dǎo)數(shù)

是高數(shù)的重點,它的本質(zhì)是極限（比值的極限），在現(xiàn)實中有極豐富的應(yīng)用。

一、理論基礎(chǔ)——極限（復(fù)習(xí)）

1、極限的概念（略講函數(shù)在某點的極限定義）

2、極限的四則運算法則（略）

3、求函數(shù)的極限（幾類函數(shù)的極限）

(1)若/(x)為多項式，則lim/(x)=/(x°)

例1:求下列極限

(1)lim(x2+2x-l)(2)lim(x2+2x-l)(3)lim(x2+2x-l)

（2）若熟為有理分式且g（x0）HO,則期恐=擊彳（代入法）

例2：求下列極限

x+1..x?-2x+2x2-1

lim⑵但下丁(3)lim

⑴XT12x—1XT1X+1

/（X）

（3）若分式g（x）,當(dāng)x~*Xo時，/（4）=g（Xo）=O,則用約去零因子法求極限

例3：求下列極限

..%'-1..Jx+8-3+2x—3

⑴噌E⑵哂丁廠lim—

⑶X->1x-1

（4）若分式同，當(dāng)時，分子分母都是無窮大，則適用無窮小分出法

求極限。

例4：求下列極限

22

1.x-1「x+2x—1-x—1

⑴hm--——hm---------(Q\hm--——

“，x->82x2—1⑵x-85x-12x—]

3、兩個重要極限

「sin尤1

(i、hm----=10)lim(l+—=e或lim(l+x"=e

K17XTOx'乙'Xf8XA->0

說明：其中尤可以是“(X)的形式，且當(dāng)Xf0時，"(x)fO。

例5：求下列極限

sin3x「sin3x-[.八3、x

⑴!山⑵盛贏7⑶盟(l+3x)'⑷&(1+?

x

二、導(dǎo)數(shù)定義(復(fù)習(xí)增量的概念)

引例1、速度問題(自由落體運動S=；g/)

引例2、切線問題(曲線y=%2)

以上兩個事例具體含義各不相同，但從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，都是要求函數(shù)

)關(guān)于自變量》在某一點4處的變化率，即計算函數(shù)增量與自變量增量比值的極

限，這種特殊的極限就是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

解決問題的思路：

1、自變量比作微小變化〃，求出函數(shù)在自變量這個小段內(nèi)的平均變化率

f=包，作為點與處變化率的近似值；

Ax

2、對歹求及-0的極限lim包，若它存在，這個極限即為點X。處變化率的

-Ax

精確值。

定義:設(shè)函數(shù)y=/(x)在/點及附近有定義，當(dāng)x在與點取得增量Ax時，相

應(yīng)函數(shù)取得增量Ay=/(/+-)-/(%),若當(dāng)時，比值包的極限存在，

Ax

則稱此極限值為“X)在X。處的導(dǎo)數(shù)或微商。記/'(X。)或蟲|x=x0,即

dx

/,(x0)=lim/G+Ar)7K)=iim電

Ar—oAx21V—°AY

邈：(1)比值包是函數(shù)/(x)在bo，x°+Ax］上的平均變化率；而/'(%)是

/(X)在X。處的變化率，它反映函數(shù)在點X。隨自變量變化的快慢程度；

..Ay

（2）若4%屋不存在（包括8），則稱/（x）在X。點不可導(dǎo)；

（3）若/（x）在（a,b）內(nèi)每點可導(dǎo)，則稱函數(shù)在（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，記尸（x）,稱

為導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)。

（4）/*（%）是%的函數(shù)，而/'（xo）是一個數(shù)值，/1（%）在點X。處的導(dǎo)數(shù)/（%（））就是導(dǎo)函

數(shù)「（無）在點尤o處的函數(shù)值。

三、導(dǎo)數(shù)與極限的關(guān)系

導(dǎo)數(shù)是一種特殊（比值）的極限，即有導(dǎo)數(shù)-9有極限，反之不成立。

四、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義）

由定義知求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟：（三步驟）

（1）求增量；（2）求比值；（3）求極限。

例6、由定義求函數(shù)y=C的導(dǎo)數(shù)？

例7、由定義求函數(shù)y=sinx的導(dǎo)數(shù)？（推導(dǎo)）

思考題|：

1、lim.是否存在，為什么？[0]

X->4<0X

2、若曲線y=d在。0，孔）處切線斜率等于3,求點（乙,%）的坐標(biāo)。

sin（/—兀+xX）—1

3、已知（sinx）'=cosx,利用導(dǎo)數(shù)定義求極限lim-----------。[0]

探究題|：從求變速直線運動物體的瞬間速度問題解決方法中，你對“極限法”

有什么體會？[近似轉(zhuǎn)化為精確的數(shù)學(xué)方法]

注國：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)從微觀（局部）上研究非均勻量（如：速度、密度、電

流、電壓等）的變化率問題，是處理非均勻量的“除法”；其思度方法：（1）在小

范圍內(nèi)以“勻”代“不勻”或“不變”代“變”,獲得近似值；（2）利用極限思想

使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。從函數(shù)的觀點看，導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)的局部線性

形態(tài)，即可導(dǎo)函數(shù)表示的曲線在局部都可以近似為一條直線（切線），憑著切線

的斜率，可以研究函數(shù)的整體性質(zhì)（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的單調(diào)性、極值等）。

作業(yè)|：P22（A：1-3；B：3-4）

課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)的概念一)

【A組】

1、求下列極限

(x+l)3(2x-l)2

(1)lim(3)lim

A->0(2X+3)2⑵/—2x-x+3

arcsinx/八..arccosx

(4)lim(5)lim(l+2x)x(6)lim-------

102XXTOx—82x

求極限lim@+D"2X；D]?3、求極限：nm(l+巴嚴(yán)”？[e，

2、

XT8(2x+3)~X

4、已知lim(1+“x+2—x)=],求a的值？[2]

Xf8X+1

5、用導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)/(》)=/_1在x=l處的導(dǎo)數(shù)？

6、設(shè)物體的運動方程為s=產(chǎn)+3,求(1)物體在t=2秒和t=3秒間的平均速度？

(2)求物體在t=2秒時的瞬時速度？

【B組】

1、設(shè)/(X)=，,求極限理+'—?[八x)=e」

2、設(shè)函數(shù)/(x)=lim(l+土y(xwO),<f(ln2)?[2]

r—>ccf

3、證明導(dǎo)數(shù)公式：(xay^oxa-'

4、一藥品進入人體t小時的效力E='(9f+3/—J'owf=4.5,求t=2,3,4時

的效力E的變化率？

2尤3X<1

5、設(shè)/(x)=「x'.則Ax)祗=1處A。

x2,x>1

A、左右導(dǎo)數(shù)都存在B、左導(dǎo)數(shù)存在，右導(dǎo)數(shù)不存在

C、右導(dǎo)數(shù)存在，左導(dǎo)數(shù)不存在D、都不存在

6.若lim、⑶二/⑷=4(A為常數(shù))，試判斷下列命題是否正確。[全部]

?ix-a

(1)/(幻在點X=Q處可導(dǎo)；(2)“X)在點/=〃處連續(xù)；

(3)f(x)-f(a)=A(x-a)+o(x-a)；

數(shù)學(xué)認識實驗：兩個重要極限的圖像認識

1、極限：物辛=1

2、極限：lim(l+—)'=e

xfgx

2004006008001000

3、等價無窮小的直觀認識：(x->0,x?sinx?tanx)

第三講導(dǎo)數(shù)的概念(二)

教學(xué)目的：熟悉導(dǎo)數(shù)基本公式；理解導(dǎo)數(shù)的兒何意義，會求切線方程。

重難點：基本導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義(求切線方程)

教學(xué)程序|:復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)定義一＞基本導(dǎo)數(shù)公式一＞例子(求導(dǎo)數(shù))一＞導(dǎo)數(shù)的幾何意

義一＞例子(切線方程)一＞導(dǎo)數(shù)的物理意義(例子)

授課提要：

一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

例1、求y=/的導(dǎo)數(shù)？(由導(dǎo)數(shù)的定義推導(dǎo))

于是我們有公式：(C)'=0；(x")'=axa-';(smxy^cosx

同樣，由定義可得基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

(cosx)'=-sinx;(lnx)'=一;(ex)'=ex

x

二、導(dǎo)數(shù)的運算法則(u,v為可導(dǎo)函數(shù))

1、代數(shù)和：("±y)'=M'±M

2、數(shù)乘：(ku)'=ku'

例2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)y=2x2+3x-1(2)y=x2+—(3)y=3sinx-l(4)y-x24x

x

例3、求函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)值？

(1)y=tanx,x=兀(2)y=2ex+3x+2,x=1

三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義(作圖說明)

結(jié)論:/'(X。)表示曲線y=f(x)在點(x°,f(x。))的切線斜率。

例4、求曲線y=在點(1,0)處的切線方程？

X-

例5、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且lim當(dāng)二止義=1,求曲線kf(x)在點

XT。2x

(l,f(l))處的切線斜率？［導(dǎo)數(shù)定義及兒何意義］

四、導(dǎo)數(shù)的物理意義

結(jié)論:設(shè)物體運動方程為S=s(f),則s'⑺表示物體在時刻t的瞬間速度。

例6、設(shè)物體的運動方程為s=〃+2/+3,求物體在時刻t=l時的速度？

例7、求曲線y=x—3上一點，使過該點的切線平行于直線

2x-y+2=0o［x=3或x=-1］

例8、設(shè)某產(chǎn)品的成本滿足函數(shù)關(guān)系：C(x)=/+x—3(x為產(chǎn)量)，求x=2時

的邊際成本，并說明其經(jīng)濟意義。

思考題I：f'(x。)與"(x。)］，有無區(qū)別？"缶)=/'(到『，"(X。)］=。］

探究題|：導(dǎo)數(shù)/(x0)的值可不可以為負值？舉例說明。［可以］

|小結(jié)卜導(dǎo)數(shù)的美學(xué)意義：局部線性之美(>=/(/)(%-4)+/(/))。它將

可導(dǎo)曲線在局部線性化，它是由函數(shù)局部性質(zhì)研究函數(shù)整體性質(zhì)的工具和方法。

作業(yè)卜P25(A：1)；P28(A：1,3)

課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)概念二)

【A組】

1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

22

(1)y=x(2)y=(3)y=2sinx(4)y=x^(5)y=3x-^-

2、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1_*

(1)y=1+x2-3x3(2)y=——:--:—(3)y=x+\nx(4)y=ex-2

x

3、求函數(shù)y="+2x在x=l處的導(dǎo)數(shù)值？

jr

4、設(shè)/(x)=r+2sinx+3，W(0)C

5、設(shè)物體的運動方程為s=2/+3r-1,求時刻t=3時的速度？

6、拋物線y=/在何處切線與Ox軸正向夾角為三，并且求該處切線的方程.

4

【B組】

1、一球體受力在斜面上向上滾動，在t秒末離開初始位置的距離為

5=%-產(chǎn)，問其初速度為多少？何時開始向下滾動？

2

2、已知曲線y=±r尸4-1與y=l+lnx相交于點(1,1),證明兩曲線在該點處

相切，并求出切線方程？

數(shù)學(xué)認識實驗：導(dǎo)數(shù)的幾何意義和美學(xué)價值

1、導(dǎo)數(shù)的定義(切線問題)

(1)在x=0處比較：曲線y=sinx與切線y=x；

(2)在x=l處比較：曲線y=/+i與切線y=2x。

第四講求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則(一)

教學(xué)目的：掌握基本導(dǎo)數(shù)公式與導(dǎo)數(shù)運算法則，會求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

重難闔：基本導(dǎo)數(shù)公式與法則

教學(xué)程序|:基本公式一＞運算法則一＞例子一＞二階導(dǎo)數(shù)的定義及求法

授課提要：

一、基本導(dǎo)數(shù)公式

由導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以得到如下基本導(dǎo)數(shù)公式：

(C)'=0;(x)'=l;(xay=ctxa-\(e')'=e'；(\nx\=-

X

(sinx)"=cosx;(cosx)r=-sinx;(tanx)"=sec2x;(cotx)'=-esc2x

二、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

設(shè)U、V為可導(dǎo)函數(shù)，則

1、(w±v)=〃±/2、(如)=ku'(kH0)

f

n/4/八UV-UVr,八、

3、\uv)=uv+uv4、一=--------("0)

例1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2_V-2

(1)y-3x2-x+1(2)y---------(3)y=\nx-ex(4)y=excosx

x

例2、求函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)值？

(1)y-tanx,x=n(2)y=2ex+3x+2,x=1

例3、設(shè)y=/lnx,求證：xyf-2y=x2

例4、已知曲線y=xln6的切線與直線2x+2y+3=0垂直，求此切線方程?

三、二階導(dǎo)數(shù)

1、定義：若導(dǎo)函數(shù)/(x)再求導(dǎo)數(shù)，稱為“X)的二階導(dǎo)數(shù)。記：/〃&)

2、求法：由定義知，求二階導(dǎo)數(shù)的方法與求一階導(dǎo)數(shù)的方法一致。

例5、求下列二階導(dǎo)數(shù)

1^2

(1)y=3x2-x+l(2)y=-------(3)y=lnx+e，(4)y=xex

x

3、二階導(dǎo)數(shù)的物理意義

設(shè)物體的運動規(guī)律為：S=s(f),則?、吮硎疚矬w在時刻t的加速度。

例6、設(shè)物體的運動方程為：s=3/-2f+2,求t=2時的速度和加速度?

思考題卜

L思考下列命題是否成立？

(1)若/(尤)，g(x)在點X。處都不可導(dǎo),則〃x)+g(x)點X。處也T定不可導(dǎo).

答：命題不成立.

0,x<0,x,x<0,

如：/(x)=<g(x)=?

x,x>0,0,x>0,

f(x),g(x)在x=0處均不可導(dǎo)，但其和函數(shù)/(x)+g(x)=x在％=0處可導(dǎo).

(2)若/(x)在點與處可導(dǎo),g(x)在點X。處不可導(dǎo)，則/(x)+g(x)在點/處一定

不可導(dǎo).

答：命題成立.

原因：若/(x)+g(x)在X。處可導(dǎo)，由/(X)在X。處點可導(dǎo)知

g(x)="(x)+g(x)］-/(X)在x0點處也可導(dǎo),矛盾.

探究題卜

某產(chǎn)品的需求方程和總成本函數(shù)分別為P+0.1X=80,C(x)=5000+20%,其

中x為銷售量，P為價格。求邊際利潤，并計算x=150和x=400時的邊際利

潤，解釋所得結(jié)果的經(jīng)濟意義。［導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟意義］

小結(jié)|：導(dǎo)數(shù)的物理意義更深層次反映了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)：研究非勻速物體運動的

變化率。s'(f)指路程對時間的變化率，s"Q)指速度對時間的變化率。二階導(dǎo)數(shù)的

兒何意義：反映曲線的凹向。

作業(yè)|：P30(A：1-2)

小知識卜數(shù)學(xué)的三次危機

第一次數(shù)學(xué)危機：無理數(shù)的產(chǎn)生。(單位正方形的對角線長)

第二次數(shù)學(xué)危機：微積分的產(chǎn)生和完善。(極限和無窮小的定義)

第三次數(shù)學(xué)危機：集合論的產(chǎn)生。(羅素悖論)

課堂練習(xí)(導(dǎo)數(shù)公式與法則一)

【A組】

1、求下列導(dǎo)數(shù)

2

(1)y=3x2-lnx+3(2)y=—(3)y=xInx(4)y=(sinx)2

x

2

2、曲線y=”/在何處有水平切線？[x=-2/3]

3、已知曲線y=xln?的切線與直線2x+2y+3=0垂直，求此切線方程？同

4、求下列二階導(dǎo)數(shù)

(1)y=3x2-Inx(2)y=—(3)y-x\nx

X

【B組】

1、設(shè)曲線y=x"在點(1,1)處的切線與x軸的交點為(Xn,O),求極限如R/(x“)？

2、若/(0)=0,lim^^=3,剎"(0)?[1]

X

3、設(shè)/(x0)=2,求卜2]

力TOh

4、已知f(x)=x2夕(x),o(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，求1r(0)?[2^(0)]

5、設(shè)某種汽車剎車后運動規(guī)律為S=192-043,假設(shè)汽車作直線運動，求

汽車在/=4秒時的速度和加速度。

數(shù)學(xué)認識實驗:函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的圖像比較(y=x3,y,=3/,y”=6x)

第五講求導(dǎo)法則（二）、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目的：了解函數(shù)的連續(xù)性的概念，理解連續(xù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

重難點：基本導(dǎo)數(shù)公式，連續(xù)的幾何直觀、連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系

教學(xué)程序|:復(fù)習(xí)基本導(dǎo)數(shù)公式、法則一＞連續(xù)概念（極限定義）一＞連續(xù)的條件

—＞初等函數(shù)的連續(xù)性一＞可導(dǎo)與連續(xù)（例）一＞連續(xù)函數(shù)的極限（例子）

授課提要：

一、復(fù)習(xí)基本導(dǎo)數(shù)公式和法則

舉例：（略）

二、連續(xù)的概念（作圖直觀理解）

1、定義:設(shè)函數(shù)y=/（x）在X。點及附近有定義，當(dāng)時，有

/（x）ff（x0）,則稱f（x）在X。點連續(xù)。

畫：連續(xù)是一種特殊的極限。連續(xù)分有極限，反之不成立。

例1、試證y=|x|在x=O處連續(xù)？

三、函數(shù)連續(xù)的條件

（1）￡G）在加點及附近有定義

（2）￡&）在設(shè)點的極限存在

（3）極限值等于函數(shù)值。

例2、討論函數(shù)＞=卜2，"2°在x=（）處的連續(xù)性？

l,x＜0

四、初等函數(shù)的連續(xù)性

初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。其圖像是一條連綿不斷的曲線。

五、可導(dǎo)與連續(xù)

1、可導(dǎo)與連續(xù)的圖象特征

（1）連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線。（作圖示例）

（2）可導(dǎo)函數(shù)的圖像不僅連綿不斷，并且曲線具有平滑性（無尖點、折點）

2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理：若函數(shù)f（X）在X。點可導(dǎo)，則f（x）在點X。連續(xù)；反之，結(jié)論不成立。

例3、試證函數(shù)y=|sinx|在x=O點連續(xù)但不可導(dǎo)。

例4、試證函數(shù)〉=行在x=O點連續(xù)但不可導(dǎo),但切線存在。

3、極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系

x2x>0

可導(dǎo)玲連續(xù)分有極限；反之不一定成立。如/(x)='在x=0處。

六、連續(xù)函數(shù)的極限

若f(x)在X。點連續(xù)，則lim/(x)=f(x0)

XTX0

例5、求下列極限

..ln(l+x)

(1)limx2⑵limcosx(3)崛：一⑷理

X->1x->;r人'/人?Tr4

1-COSX

例6、討論"X)=|F-'*<°在x=0處的連續(xù)性？

x2+l,x>0

思考題|：

1.如果/(X)在X。處連續(xù)，問|/(x)|在X。處是否連續(xù)？［連續(xù)］

2.如果/(x)在/處可導(dǎo)，問|/(x)|在與處是否可導(dǎo)？［不一定］

V2-1

3.求函數(shù)/(幻=工^的間斷點，并判斷其類型。

(x-l)x

探究題|：作圖說明函數(shù)不可導(dǎo)點的類型。［不連續(xù)點、尖點、折點］

小結(jié)|：連續(xù)函數(shù)的美學(xué)意義：和諧與奇異之美。連續(xù)體現(xiàn)的是自然和諧、社

會發(fā)展的生生不息；間斷則表現(xiàn)為不規(guī)則和與眾不同，體現(xiàn)了自然界的豐富多彩

和社會發(fā)展中的跳躍性。

作業(yè)：P34(A：1-2)；復(fù)習(xí)題(2-5)

課堂練習(xí)(求導(dǎo)公式與法則二)

【A組】

1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1r_1

(1)=2x2+3x-l(2)y=-v2+—+Injf(3)y=xlnx(4)y=-----

7vxx+1

2、求函數(shù)y=x"nx在x=l處的導(dǎo)數(shù)值？

3、求曲線y=3x；2x+l在點(/,0)處的切線方程？[左=2]

x+23

Ji4-r2-11

4、試定義f(0)的值，使函數(shù)〃x)=^—5——在x=0處連續(xù)？"(0)=—]

x2

2.1

5、設(shè)/(x)20,問a為何值時，函數(shù)在x=0處連續(xù)？[2]

a-e\x<0

【B組】

1、作函數(shù)y=V'X>l的圖像？

'1,X<1

2、設(shè)函數(shù)f(x)在x=2處連續(xù)，且lim&=2,求八2)?［2］

32X-2

3、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/(2)=2,/(2)=1,求lim"(刈々？［12］

12x-2

■X2X<1

4、設(shè)/(%)='~，問a,b為何值時，函數(shù)f(x)處處連續(xù)、可導(dǎo)？

ax+b.x>1

5、x=l是函數(shù)y=的(B)

(A)連續(xù)點(B)可去間斷點(C)跳躍間斷點(D)無窮間斷點

*6、若f(x)在［0,a］上連續(xù)，且f(0尸f(a),試證：方程/(x)=在

(0,a)內(nèi)至少有一個實根。

［提示：作新函數(shù)，在［0e］上使用零點存在定理］

數(shù)學(xué)認識實驗：不可導(dǎo)點的類型

2^不連續(xù)點為不可導(dǎo)點:

-1.5

第六講定積分的概念

教學(xué)目的：了解定積分的概念，理解定積分的兒何意義。

重難點：作為面積的定積分概念

教學(xué)程序|:提出問題一＞解決問題（思想）一＞定積分定義一＞定積分的幾何意義

（例子）一＞定積分的性質(zhì)（簡單）

授課提要：

前言：在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟學(xué)的許多問題中，經(jīng)常會遇到各種平面

圖形的面積計算。對于三角形、四邊形及直多邊形和圓的面積，可以用初等數(shù)學(xué)

的方法計算，但由任一連續(xù)圍成的圖形的面積就不會計算。下面討論由連續(xù)曲線

所圍成的平面圖形的面積的計算方法。

一、問題引入

1、曲邊梯形的定義

所謂曲邊梯形是指有三條直線段,其中兩條相互平行，第三條與這兩條相互

垂直，第四條邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形。（如圖所示）

2、引例：如何求曲線y=x2,x=o,x=l,y=O所圍成的面積？（特殊曲邊梯形）

（1）分析問題

若將曲邊梯形與矩形比較，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯形有一

條邊是曲的。

gg：用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成許多小曲

邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當(dāng)分割越細，所得的近

似值越接近準(zhǔn)確值，通過求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。

（2）解決問題（思路）4

第一步：分割yT2/

第二步：近似代替y-X/

第三步：求和/

第四步：取極限（）J一一＞X

二、定積分的定義?1

現(xiàn)實中許多實例，盡管實際意義不同，但解決問題的方法是一樣的：按“分

割取近似,求和取極限”的方法，將所求的量歸結(jié)為一個和式極限。我們稱這種

“和式極限”為函數(shù)的定積分。

/(x)dx=1而￡/(。)必

定義:（說明定積分中各符號的稱謂）

If-kg

由定積分的定義知，以上實例可以表示成定積分：面積A=fx2dx

說明卜定積分是一個特殊的和式極限，因此，它是一個常量，它只與被積函

數(shù)f(x)、積分區(qū)間［a,b］有關(guān)，而與積分變量用何字母表示無關(guān)。

三、定積分的幾何意義(作圖)

當(dāng)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)時，定積分可分成三種形式：

1、若在［a,b］上，/(x)>0,則定積分表示由曲線f(x),直線x=a,x=b,y=O所圍

成的曲邊梯形的面積A,即f/(x)dx=A

2、若在［a,b］上，/(x)<0,則定積分表示由曲線f(x),直線x=a,x=b,y=O所圍

成的曲邊梯形的面積A的相反數(shù)，即［f(x-)dx=-A

3、若在［a,b］上，f(x)可正可負，則定積分表示x軸上方圖形的面積Ai與下方

圖形的面積A2之差，即f/(x)dx=4-4

給淪定積分的兒何意義：“有號面積"，即A=j/(x)|dx。

例1、用定積分兒何意義判定下列積分的正負：

(1)fe'dx(2)f"sinxdx

~2

例2、用定積分表示由曲線y=x2+l,直線x=l,x=3和y=0所圍成的圖形面積？

四、定積分的性質(zhì)(簡略)

(1)Jf(x)dx=0(2)1f(x)dx=-Jf(x)dx(3)dx=b-a

(4)積分中值定理：

設(shè)函數(shù)/'(功在以a,b為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，則在a,b之間至少存在

一個自(中值)，使￡f(x)dx=f(^)(b—a)

積分中值定理有以下的幾何解釋：若人勸在［a，b］上連

續(xù)且非負，定理表明在［a,b］上至少存在一點多使得以y=f(x)

［a,b］為底邊、曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，與同

底、高為人？的矩形的面積相等，如圖所示.因此從兒何角

度看，汽號可以看作曲邊梯形的曲頂?shù)钠骄叨龋粡暮瘮?shù)值

x

角度上看，人③理所當(dāng)然地應(yīng)該是人工)在［a,切上的平均值.oagb

因此積分中值定理這里解決了如何求一個連續(xù)變化量的平均值問題.

思考題卜

1、用定積分的定義計算定積分fcdx,其中C為一定常數(shù)。［矩形的面積］

2、如何表述定積分的兒何意義？根據(jù)定積分的兒何意義求下列積分的值:

(1)xdx,(2)J：J*_%2近,(3)j2^cosxdx,(4)

探究題：用定積分的符號、定義、結(jié)果、方法等說明“什么是定積分”？

小結(jié)|：定積分的本質(zhì)：從宏觀(整體)研究非均勻量的“改變量”問題。是

處理非均勻量的“乘法”；其感想方法⑴在小范圍內(nèi)以“不變”代“變”，獲

得近似值；(2)利用極限思想使“近似值”轉(zhuǎn)化為“精確值”。其中，“分”是為

了“勻”的需要，而“求和”是整體量的要求。

作業(yè)|：P40(A：1-3)

課堂練習(xí)(定積分的概念)

【A組】

一、判定正誤：

1、定積分表示曲邊梯形的面積。(F)

2、定積分的值與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]及積分變量x有關(guān)。F

3、flnxJx>0(T)4、[[fMdx]'=f(x)(F)

二、用定積分表示面積：

(1)曲線y=直線%=-1,%=1及y=0所圍成的平面？

(2)由方程/+y2=4所確定的圓的面積？

三、用定積分的定義計算定積分fcdx,其中。為一定常數(shù)。

【B組】

一、由定積分的幾何意義計算：pl-x2Jx?[^]

二、由定積分的幾何意義求直線y=2x+l,x=l,x=2,y=0所圍成的平面圖

形的面積？

三、用定積分的定義求曲線丁=1+1,_￥=1/=24=0所圍成的平面圖形的

面積？

數(shù)學(xué)認識實驗定積分思想的幾何直觀

1、函數(shù)y=/在［0,1］上所圍成的面積分析:

(1)步長為0.1的分割。(n=10)

(2)步長為0.05的分割。(n=20)

(3)步長為0.01的分割。(n=100)

0.20.40.60.81

第七講定積分與導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目的：掌握原函數(shù)的概念及N-L公式。

重難點：作為路程的定積分、微積分基本定理

教學(xué)程序卜復(fù)習(xí)定積分概念(和式極限)一＞原函數(shù)一＞N-L公式(求路程)

推導(dǎo)—＞N—L公式(計算方法)一＞定積分的計算(簡單)

授課提要：

前言：定積分是一個重要的概念，如果用定義來計算，計算復(fù)雜且不易，所

以必須尋找新的計算方法。下面將研究定窗分與導(dǎo)教的關(guān)系。

一、原函數(shù)的概念

定義：若在某一區(qū)間上有F(x)=f(x),則稱F(x)是f(x)的一個原函數(shù)。

如：已知(/y=2x,所以一是2x的一個原函數(shù)，同理，/+1也是它的原函

數(shù)。(說明：原函數(shù)不唯一)

*二、變上限函數(shù)

設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，且則稱函數(shù)力為交上股函熬記

P(x)=ff(t)dto它有如下性質(zhì):

(Dp(a)=O,p3)=『/⑴力；

(2)若f(x)在［a,b］上連續(xù),則p(x)在［a,b］上可導(dǎo)，且有p'(x)=/(x)。

由性質(zhì)(2)及原函數(shù)的定義知，p(x)是f(x)的一?個原函數(shù)。

定理(原函數(shù)存在定理)若f(x)在［a,b］上連續(xù)，則其原函數(shù)一定存在，且原

函數(shù)可表示為F(x)=f/(。力

,ifsintdt

例1、求上-(［cos?tdt)?例2、求—?

dx小xf。x

三、N—L公式(直觀推導(dǎo))

設(shè)一輛汽車作變速直線運動(如圖)，從時刻a到b,求其經(jīng)過的路程？

(1)若已知路程函數(shù)s=s(f),則s=s(b)-s(a)；

(2)若已知速度函數(shù)v=v(f),則由定積分有s=「(f)力=s(b)-s(a)；

(3)s(t)與v(t)有如下關(guān)系：s\t)=v(t),即s(t)是v(t)的一個原函數(shù)。

一般地，有如下定理：

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則

f(x)dx^F(h)-F(a)

畫:(1)N—L公式揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分)間的聯(lián)系，給

定積分的計算提供了有效而簡便的方法。

(2)由定義知求定積分的步聚①求原函數(shù)②求原函數(shù)的增量

例3、求下列定積分：

(1)卜2dx(2)￡sinxdx(3)j(3x2+—

例4、求由曲線)，=5mX，直線x=0,x=n,y=0所圍成的圖形面積？

例5、求曲線y=/+l,x=l,x=2,y=0所圍成的平面圖形的面積？

例6、設(shè)物體的速度v=2sinf,求時段［0,幻的距離?

1、—(f'sinrdr)^?

dtA

答：因為「sinMf是以x為自變量的函數(shù)，故色「sind=0.

Ji山J1

2、(J：/(x)dx)'=?

答：因為J：/(x)dx是常數(shù)，故(J：/(x)dx)'=0.

dr0八

3、—I/(x)dx=?

dxJ”

rbdP。

答：因為I/(x)dr的結(jié)果中不含x,故一If(x)dx=0.

Jadr)"

4、—fcos/2dr=?

dx

答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知—f'cosr2dx=cosx2.

dx九

石國：N—L公式的意義：將矛盾的“微分”與“積分”統(tǒng)一起來，是哲學(xué)中

的“對立統(tǒng)一”規(guī)律的具體表現(xiàn)，是微觀與宏觀的辨證統(tǒng)一。其美學(xué)價值：宏觀

上的統(tǒng)一之美。

作業(yè)|：P46(A：1)；(B：1)

課堂練習(xí)(定積分與導(dǎo)數(shù))

【A組】

1、計算下列定積分：

(1)『(3x2+-+2)dx

JX

(4)匚公

JxvJ)

2^求曲線y=-,x=l,x=2,y=0所圍成的圖形的面積？

x

3、設(shè)，(2x+k)dx=3,求k的值？［2］

4、設(shè)￡=ln(x2+1),求/1(x)?［兩邊求導(dǎo)數(shù)］

【B組】

1、設(shè)6+f力=2x,求a的值？[3]

2、求導(dǎo)數(shù)：—[r'e'dt]?[esinxcosx]

dx

3、用定積分求極限：+、星+...+}+匕1)(

"fsn\n]lnVn內(nèi)

.x2n

*4、利用定積分的性質(zhì)求極限：！則jwp?(估值定理、夾值定理)

*5、證明方程3x-1-，5T=0在(0,1)內(nèi)有唯一實根。

22

*6、設(shè)f(x)在［0,4］上連續(xù)，且⑴力=x-g,則f(2)=1/4。

數(shù)學(xué)認識實驗|：定積分：「sinMx=0的幾何直觀

------------------------------------J-4

第八講習(xí)題課(導(dǎo)數(shù)與定積分)

教學(xué)目的：系統(tǒng)化本單元內(nèi)容，掌握基本概念與方法。

一、基本概念及方法：

1、極限的概念，求極限的方法；

2、導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)公式及運算法則

3、導(dǎo)數(shù)的兒何、物理及經(jīng)濟意義

4、定積分的概念，定積分的幾何、物理意義(經(jīng)濟意義)

5、用N-L公式求定積分

二、基本題型:

1、求下列極限

/,、..x~+x—1/c、1-x~+2x—3/0、..x2+x—1//、sin3x

(1)lim--------(2)lim---------(3)lim--------(4)lim-----

?si2xIx-1is2x2x

2、求下列導(dǎo)數(shù)

(1)y-2x2-x+2(2)y-2ex-cosx(3)y=—+Inx+sinx

x

3、求下列導(dǎo)數(shù)

r2—4、、1,

(1)y-------(2)y=sin2x-lnx⑶y=(x--)2

x-2x

4、求下列積分

(1)，(2x-l)dx(2)￡(2sinx-l)rfx

5、求曲線y=/+i在點(i,2)處的切線方程？

6、求S=2"—.+3在t=2時的速度？

7、設(shè)某產(chǎn)品的成本函數(shù)C(x)=；/+x-l,求其邊際成本?

8^求曲線y=x2+1,x=0,x=2,y=0所圍成的圖形的面積？

9、已知物體的速度為v(f)=2cosf,求時段［0,9經(jīng)過的路程?

X2,x<1

10、設(shè)/(x)=<，求［可加性］

2x,x>1

11＞設(shè)f(x)在［a,b］上連續(xù)，則曲線y=f(x