2022-2023學年北京市海淀區(qū)十一學校九年級上學期線上“一起練習”（一）數學試卷含詳解

初三線上“一起練習”（一）數學

一、選擇題（共16分，每題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列關于防范“新冠肺炎”標志中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

A.有癥狀早就醫(yī)少出門少聚集

C.戴口罩講衛(wèi)生D.勤洗手勤通風

2.如圖，已知“SC，點。,E分別在邊A3,AC的反向延長線上，且Z）E〃BC.若AE=4,

AC=8,AD^5,則43為()

C.10D.15

再向右平移3個單位長度，則平移后拋物線的解

析式是（）

A.y=2(x+2y+5B.y=2(x+2)2+lC.J=2(X-4)2+1D.y=2(x—4了+5

4.如圖，“SC內接于。0,8。是。。的直徑.若NABD=47°,則NC等于（）

A.40°B.43°C.45°D.53°

5.已知圓內接正六邊形半徑為2,則該內接正六邊形的邊心距為（)

A.1B.2C.V3D.75

6.近年來，盲盒受到越來越多人關注.某公司生產一種盲盒，在自動售賣機銷售，物價局規(guī)定，這種盲盒

的市場銷售單價不得高于50元，不得低于35元.經市場調查發(fā)現，當盲盒的銷售單價不高于40元和高于

40元時，每月銷售量與銷售單價分別滿足某種函數關系.下表是部分市場調查數據：

銷售單價/元353739404850

月銷售量/盒850810770750625600

設該種盲盒的月銷售量為y盒，銷售單價為x元，則y與尤之間滿足的函數關系式可以為（）

-20x+1550(3540)-20x+1550(35<%<40)

A.y=<29750“c-B.y=<30000,“c,6、

--------(40<^<50)--------(40<x<50)

X2-20X+1550(35<X<40)X2-20X+150(35<^<40)

C.y=<29750D.y=<30000,“c

--------(40<%<50)--------(40<%<50)

7.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結論中正確的是（）

A.點8在。A內B.點C在。A上

C.直線8c與。A相切D.直線BC與。A相離

8.四位同學在研究二次函數丁=依2+8—6（。。0）時，甲同學發(fā)現函數圖象的對稱軸是直線x=l；乙

同學發(fā)現當％=3時，y=-6；丙同學發(fā)現函數的最小值為-8；丁同學發(fā)現x=3是一元二次方程

狽2+法—6=0（。/0）的一個根，已知這四位同學中只有一位同學發(fā)現的結論是錯誤的，則該同學是

（）

A.甲B.乙C.丙D.T

二、填空題（共16分，每題2分）

9.如圖，尸是反比例函數圖象上第二象限內的一點，且矩形PEOF的面積為2,則反比例函數的解析式是

x10,如圖，AD//BE//CF,如果AB=6,BC=4,DF=12,則ER的長為

關于x的一元二次方程ax1+bx+c=O滿足a-/?+c=0,則方程一定有一個根是x

12.在平面直角坐標系中，若4（—3,%）,B（l,y2）,C（2,%）是二次函數y=（尤—1丫—根圖像上的

三點,則%,內，%的大小關系是.（用“〈”號連接）.

13.如圖，"RC的周長為16,。。是的內切圓，若NA=60°,BC=6,則的長為

14.如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形.若制作一個圓心角

為140°的圓弧形窗簾軌道（如圖2）需用此材料700;rmm,則此圓弧所在圓的半徑為mm.

140。B

15.將含有30°角的直角三角板。45如圖放置在平面

直角坐標系中，。8在x軸上，若OA=2上,將三角板繞原點旋轉120。得到△QAB',則點A的對應點

A的坐標為.

16.某校舉辦校慶晚會，其主舞臺為一圓形舞臺，圓心為。A,B是舞臺邊緣

上兩個固定位置，由線段A8及優(yōu)弧AB圍成的區(qū)域是表演區(qū).若在A處安裝一臺某種型號的燈光裝置，其

照亮區(qū)域如圖1中陰影所示.此時若在B處安裝一臺同種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區(qū)，如

圖2中陰影所示.

若將燈光裝置改放在如圖3所示的點N或尸處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是.（填寫方

案序號即可）

①在M處放置2臺該型號燈光裝置②在尸處放置2臺該型號燈光裝置

③在N處各放置1臺該型號燈光裝置

三、解答題(共68分，第17題6分，第18—23題，每題5分，第24—26題，每題6分,

第27—28題，每題7分)

17.解方程：

⑴x2-2x-8=0;

(2)(x+1)2=4%2.

18.如圖，點、B、C在線段AD上，且AB=9,CD=4,APBC是邊長為6的等邊三角形.

求證：八ABPs△pCD.

19.關于x的一元二次方程/+儂;+〃=0.

(1)當機=〃+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；

(2)若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的叩〃的值，并求此時方程的根.

20.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧AB,點。是弧AB的圓心，C為弧AB上一點，OCLAB,垂

足為D已知AB=60m,CD=10m,求這段彎路的半徑.

+Zzx+c(awO)的部分圖象如圖所示，點。，A,B在二

次函數圖象上.

(1)寫出此二次函數的對稱軸,并求這個二次函數的解析式;

(2)關于龍的一元二次方程or?=—法―。的根為

(3)當—l<x<3時，y的取值范圍是.

22.己知：A,B是直線/上的兩點.

求作：AABC,使得點C在直線/上方，且NAC3=150°.

1作法:

AB

①分別以A,B為圓心，A3長為半徑畫弧，在直線/下方交于點。；

②以點。為圓心，Q4長為半徑畫圓；

③在劣弧A3上任取一點C（不與A,8重合），連接AC,BC.AABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：在優(yōu)弧A8上任取一點〃（不與A，8重合），連接A",BM,OA,OB.

OA=OB=AB,

...AQAB是等邊三角形.

ZA（9B=60°.

VA,B,M在O。上，

：.ZAMB=-ZAOB（）（填推理的依據）.

2

ZAMB30°.

?.?四邊形內接于。。，

AZAMB+ZACB^180°（）（填推理的依據）.

k

：.ZACB=150°.23.在平面直角坐標系xOy中，直線V與反比例函數y二一圖象有兩個交點A、

x

B.

（1）若點A的坐標為（1,2）,

①點B坐標為：

②不等式mx<-的解集為；

X

⑵若AB>2小，直接寫出左取值范圍為

24.如圖，灌溉車為綠化帶澆水，噴水口H離地豎直高度O"為1.5m.灌溉車噴出水的上、下邊緣可以分

別看作是拋物線的一部分，而綠化帶可以看作為矩形A3CD,其水平寬度A3=3〃，豎直高度

BC=0.5m.記噴出的水與噴水口的水平距離為上邊緣距地面的高度為Xm,下邊緣距地面的高

度為%m.測量得到如下數據：

X00.511.523456

%1.51.721.881.9721.881.50.880

為1.51.220.880.470

（1）在平面直角坐標系xQy中，描出表中各組數值所對應的點（羽乂），并畫出上邊緣函數的圖像;

（2）結合表中數據或所畫圖象，直接寫出噴出水最大射程OM

為m,并求上邊緣拋物線的函數解析式；

（3）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，結合函數圖像，估計灌溉車到綠化帶的距離。4的

取值范圍為.

25.如圖1,AB是。。的直徑，點。、。在上，連接8C,OD,OD//BC.

（1）求證：。為弧AC的中點;

圖1圖2

（2）如圖2,過點。作A3的垂線與。。交于點E,作直徑所交5C于點G.若G為6c中點，。。的

半徑為5,求弦的長.

26.已知，在平面直角坐標系xQy中，二次函數＞=%2一（2。一1）%.

6

4

3

2

1

-I___I______I____I____I__L.I![I1]A(1)若函數圖象的對稱軸為y軸，直接寫出。的值

-6-5-4-3-2-10123456

-1

-2

-3

-4

-5

-6

為______

(2)點尸(租,“)是拋物線上一點，當-24〃在1時，〃的最小值記為N.

①若a=3,直接寫出N的值為

②若TWNW0,結合函數圖象，求a的取值范圍.

27.在中，/B4c=90°,AB^AC,D在線段6c上，點E為直線A5上一動點，連接

DE.射線Z5E繞點。順時針旋轉90°,交直線AC于點尸，連接

圖1圖2圖3

(I)如圖1,若股=L當點E在線段AB上且滿足。石〃AC時，BE=2a,CF=2b,請直接寫出

BC3

所的長為(用含a,b的式子表示)；

(2)如圖2,若。為中點，當點E在A3延長線上時，設BE=m,CF=n,請直接寫出所的長

為(用含m，n的式子表示)；

(3)如圖3,若。為中點，當點E在B4延長線上時，請補全圖形，用等式表示線段BE,CF,EF

之間的數量關系，并證明.

28.在平面直角坐標系xOy中，對于線段尸。，給出如下定義：若存在APQR使得SK°R=；PQ2,則稱

△PQR為線段PQ的“幸福三角形”，點R稱為線段PQ的“幸福點

6

5

4

3

2

1

(1)已知

4(2,0).

①在點片(—3,1),￡(L—2),6(4,—1),巴(—2,2)中，是線段Q4的“幸福點”的是；

②若存在等腰直角三角形AQAB是線段OA的“幸福三角形”，直接寫出點B的坐標為；

③過線段。4上一動點M,作直線y=f+"記此直線上線段Q4的“幸福點”為點C,直接寫出點C的橫

坐標m的取值范圍為；

(2)已知點。的坐標為(26,2),eT的圓心為&0),半徑為3,若eT上存在線段0。的“幸福點”，

直接寫出f的取值范圍為.

初三線上“一起練習”（一）數學

一、選擇題（共16分，每題2分）第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.下列關于防范“新冠肺炎”的標志中既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）

A.?有癥狀早就醫(yī)B.

戴口罩講衛(wèi)生D.

【答案】A

【解析】

【分析】根據中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：A選項中的圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，符合題意；

B選項中的圖形不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，不符合題意；

C選項中的圖形不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，不符合題意；

D選項中的圖形不是中心對稱圖形，也不是軸對稱圖形，不符合題意；

故選A.

【點睛】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的識別，掌握定義是解題的關鍵.如果一個圖形沿著一條直

線對折，兩側能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形；把一個圖形繞著某個點旋轉180度，如果旋轉后

的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.

2.如圖，已知“WC,點。，E分別在邊A3,AC的反向延長線上，且。若AE=4，

AC=8,AD=5,則48為（）

C.10D.15

【答案】C

【解析】

【分析】根據平行線分線段成比例定理求解即可.

詳解】解：

.AEAD

；AE=4，AC=8,AT>=5,

"AC~AB

.4_

??=,

8AB

解得：AB=10,

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理列出比例式是解本題的關

鍵.

3.把拋物線y=2(x-1)z+3先向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，則平移后拋物線的解

析式是()

A.y=2(x+2y+5B.y=2(x+2)2+lC.J=2(X-4)2+1D.y=2(x-4)2+5

【答案】D

【解析】

【分析】根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.

【詳解】解：把拋物線y=2(尤+3向上平移2個單位長度后所得圖象的解析式為

,=2(1)2+3+2=2(1)2+5,

再向右平移3個單位長度后所得圖象的解析式為y=2(x—1—3)2+5=2(x—4)2+5,

故選：D.

【點睛】本題主要考查二次函數圖象的平移，解題的關鍵是熟練掌握平移規(guī)律：左加右減，上加下減.

4.如圖，AABC內接于OO,8。是。。的直徑.若NABD=47°,則/C等于()

A.40°B.43°C.45°D.53°

【答案】B

【解析】

【分析】如圖所示，連接CD,根據直徑所對的圓周角是直角得到4CD=90。，再根據同弧所對的圓周

角相等得到ZACD=NABD=47°,由此即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，連接CD,???8。是直徑，

ZBCE>=90°,

?/ZACD=NABD=47°,

NACB=/BCD—NACD=43°,

故選B.

【點睛】本題主要考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，正確

作出輔助線是解題的關鍵.

5.己知圓內接正六邊形的半徑為2,則該內接正六邊形的邊心距為（）

A.1B.2C.抬D.75

【答案】C

【解析】

【分析】構建直角三角形，利用直角三角形的邊角關系即可求出.

【詳解】解：連接。4,作貝UNAOM=30°,AB=2,

根據勾股定理可得OM=SA2-AM。=V22-l2=百，

正六邊形的邊心距是

故選：C.

【點睛】此題主要考查了正多邊形和圓、勾股定理，正確掌握正六邊形的性質是解題關鍵.

6.近年來，盲盒受到越來越多人關注.某公司生產一種盲盒，在自動售賣機銷售，物價局規(guī)定，這種盲盒

的市場銷售單價不得高于50元，不得低于35元.經市場調查發(fā)現，當盲盒的銷售單價不高于40元和高于

40元時，每月銷售量與銷售單價分別滿足某種函數關系.下表是部分市場調查數據：

銷售單價/元353739404850

月銷售量/盒850810770750625600

設該種盲盒的月銷售量為y盒，銷售單價為x元，則y與尤之間滿足的函數關系式可以為（）

-20%+1550(35<x<40)-20x+1550(35<%<40)

A.y=<29750B.y=<遜(40K50)

--------(40<x<50)

V-20x+1550(35<%<40)X2-20X+150(35<%<40)

C.y=<29750D.y=迪(40K50)

--------(40<x<50)

L%

【答案】B

【解析】

【分析】根據表格數據可知銷售單價不高于40元時，y與尤之間滿足一次函數關系；當銷售單價高于40元

時，y與x之間滿足反比例函數關系，分別根據待定系數法求解即可.

【詳解】解：根據表格數據可知：銷售單價不高于40元時，y與尤之間滿足一次函數關系，

設一次函數解析式為：y=kx+b,

850=35x+b

則《，

[810=37x+b

左=—20

解得：〈

b=155Q

一次函數解析式為y=-20%+1550(35<x<40),

k

設反比例函數解析式y=,，

x

貝ij尢=40x750=48x625=50x600=30000,

/.反比例函數解析式為y=迎曳(40<%<50),

-20x+1550(35<x<40)

綜上：y與尤之間滿足的函數關系式可以為y=30000，

--------(40<%<50)

故選：B.

【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，待定系數法求反比例函數解析式，熟練掌握一次函數

與反比例函數的性質以及點的坐標特征是解本題的關鍵.

7.在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,以A為圓心作一個半徑為3的圓，下列結論中正確的是()A.

點8在。A內B.點C在。A上

C.直線8c與。A相切D.直線BC與。A相離

【答案】C

【解析】

【分析】過A點作AHLBC于反，如圖，利用等腰三角形的性質得到即/="/=5&7=4,則利用勾股定

理可計算出AH=3,然后根據點與圓的位置關系的判定方法對A選項和2選項進行判斷；根據直線與圓的

位置關系對C選項和。選項進行判斷.

【詳解】解：過A點作于"，如圖，

"：AB=AC,

；.BH=CH=』BC=4,

在RtAABH中，AH=dAB，-BH?=^52-42=3,

\"AB=5>3,

...8點在0A外，所以A選項不符合題意；

VAC=5>3,

；.C點在。A外，所以B選項不符合題意；

；.AH=3,AH±BC,

...直線BC與。A相切，所以C選項符合題意，D選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系：設。。的半徑為廣，圓心。到直線/的距離為4,若直線/和

。。相交=40;直線/和。。相切Qd=r；直線/和。。相離也考查了點與圓的位置關系和等腰

三角形的性質.

8.四位同學在研究二次函數丁=依2+次—6（。工0）時，甲同學發(fā)現函數圖象的對稱軸是直線x=l；乙

同學發(fā)現當％=3時，y=-6；丙同學發(fā)現函數的最小值為-8；丁同學發(fā)現％=3是一元二次方程

依2+旅一6=0（aw0）的一個根，已知這四位同學中只有一位同學發(fā)現的結論是錯誤的，則該同學是

（）

A.甲B.乙C.丙D.T【答案】B

【解析】

【分析】分別根據四個人的信息得到相應的關系式，假設其中一個不對時，判斷其它三個條件是否同時成

立.

b

【詳解】解：當甲同學的結論正確，即當函數的對稱軸是直線%=1時，—一=1,即人=—2Q.

2a

當乙同學的結論正確，即當％=3時，y=—6時，9a+3b-6=-6,可得Z?=—3a.

一—24〃一

當丙同學的結論正確，即當函數的最小值為-8時，—==-8,可得從=8Q.

4a4a

當丁同學的結論正確，即當％=3是一元二次方程依2+法—6=0（。wO）的一個根時，9。+3匕—6=0,

可得人=2—3a.

根據/?=-3。和〃=2—3。不能同時成立，可知乙同學和丁同學中有一位的結論是錯誤的，

假設丁同學的結論錯誤，聯立〃=—2。和/?=—3a,得。=0,b=0,不滿足awO,故假設不成立；

假設乙同學的結論錯誤，聯立〃=—2。和〃=2—3a,得。=2,b=4此時滿足從=8a，故假設成

立；

故選：B.

【點睛】本題主要考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數拋物線的對稱軸、頂點坐標與系數的關

系是解題的關鍵.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.如圖，尸是反比例函數圖象上第二象限內的一點，且矩形PEOE的面積為2,則反比例函數的解析式是

【解析】

【分析】因為過雙曲線上任意一點引尤軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值，即S=|川，再根據反比例

函數的圖象所在的象限確定上的值，即可求出反比例函數的解析式.【詳解】解：由圖象上的點所構成的矩

形PEOB的面積為2可知，

矩形PEOF的面積=|川=2,k=±2.

又由于反比例函數的圖象在第二、四象限，左＜0,

則k=-3,所以反比例函數的解析式為y=--,

x

故答案為：y=-2.

x

【點睛】本題考查反待定系數法求反比例函數的解析式，比例函數系數上的幾何意義，過雙曲線上的任意

一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于因.

10.如圖，AD//BE//CF,如果A3=6,BC=4,DF=12,則ER的長為.

【答案】4.8

【解析】

【分析】由AO〃8石〃CF可得成比例線段，代入數據可求得所.

【詳解】解：：AD〃5石〃CF,

.BCEF

“就一而‘

：AB=6,BC=4,DF=12,

?4EF

??一,

1012

解得：EF=4.8,

故答案為：4.8.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線得出成比例線段是解本題的關鍵.

11.關于尤的一元二次方程or2+6x+c=0滿足。-6+c=0,則方程一定有一個根是工=.

【答案】-1

【解析】

【分析】將X=-1代入方程ax2+bx+c=。中的左邊，得至ua-b+c,由a-b+c=0得到方程左右兩邊相

等，即x=T是方程的解.

【詳解】解：將x=T代入ax2+bx+c=0的左邊得：ax(-1)2+bx(-1)+c=a-b+c,

Va-b+c=0,；.x=-l是方程ax2+bx+c=0的根.

故答案為：-1.

【點睛】此題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次

方程的解.掌握定義是解題的關鍵.

12.在平面直角坐標系中，若4(—3,%),5(1,必)，。(2,%)是二次函數丁=(尤—I)?—根圖像上的

三點,則%,內，%的大小關系是.(用“〈”號連接).

【答案】%<%<%

【解析】

【分析】根據函數解析式得出其對稱軸與開口方向，然后根據點AB,C與對稱軸的距離進行判斷即可.

【詳解】解：：二次函數解析式為y=(x—加，

...對稱軸為l=1,

'/a=1>0,

，拋物線開口方向向上，

則離對稱軸越遠點函數值越大，

—(―3)=4,1—1=0,2—1=1?

乃<為<%，

故答案為：%<%<%.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像與性質，比較函數值的大小，熟練掌握二次函數的性質得出對稱軸與

開口方向是解本題的關鍵.

13.如圖，AABC的周長為16,。。是AABC的內切圓，若NA=60°,BC=6,則的長為

【解析】

【分析】利用切線長定理可知CF=CE,AF=AD,BD=BE，結合已知條件求出4產=A￡>=2,再

證△">/是等邊三角形即可得出?！?"=AD=2.

【詳解】解：；。。是的內切圓，

AC,BC,AB均是。。的切線，切點分別為RE,D,

由切線長定理可知CF=CE,AF=AD,BD=BE，

CF+BD=CE+BE=BC=6,

■■■443C的周長為16,

AF+AD=16-(CF+BD)-BC=16-6-6=4,

AF=AD=2,

又；ZA=60°,

△">/是等邊三角形，

DF=AF=AD=2,

故答案為：2.

【點睛】本題考查切線長定理的應用、等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握切線長定理，即從圓

外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等.

14.如圖1所示的鋁合金窗簾軌道可以直接彎曲制作成弧形.若制作一個圓心角為140。的圓弧形窗簾軌道

（如圖2）需用此材料700%mni,則此圓弧所在圓的半徑為_____mm.

【答案】900

圖1圖2

【解析】

【分析】由弧長公式/="建得到R的方程，解方程即可.

180

140萬R

【詳解】解：根據題意得，700萬=-------,

180

解得：R=900,

答：這段圓弧所在圓的半徑R是900mm.

故答案是：900.

【點睛】本題考查了弧長的計算公式，解題的關鍵是熟記弧長公式/="￡,其中/表示弧長，w表示弧

180

所對的圓心角的度數.15.將含有30°角的直角三角板Q4B如圖放置在平面直角坐標系中，在x軸

上，若OA=26，將三角板繞原點旋轉120°得到△043',則點4的對應點A'的坐標為.

【答案】"，⑹或（0,-2—卜#（0,一2⑹或卜3,⑹

【解析】

【分析】根據含有30°角的直角三角形的性質、勾股定理求出點A的坐標，分三角板繞原點順時針旋轉和逆

時針旋轉兩種情況，得到點A的位置，即可求解.

【詳解】解：由題意2408=30。，

點A的縱坐標為工OA=工x24=括，

22

■■■點A的橫坐標為=3，

...點A坐標為卜,6）?

當三角板繞原點逆時針旋轉120。時，如圖所示:

可知點A與點A關于y軸對稱,

,點A'的坐標為（一3,卜

當三角板繞原點順時針旋轉120。時，如圖所示:

?.@=2行

,點A'的坐標為（0,-2百）.

故點A，的坐標為",⑹或（0,-2百）.

故答案為：卜3,后）或（0,-2百）.

【點睛】本題考查坐標與圖形的變化一旋轉，含30°角的直角三角形的性質和勾股定理.熟練運用分類討

論和數形結合的思想是解題的關鍵.

16.某校舉辦校慶晚會，其主舞臺為一圓形舞臺，圓心為。.A,B是舞臺邊緣上兩個固定位置，由線段

48及優(yōu)弧AB圍成的區(qū)域是表演區(qū).若在A處安裝一臺某種型號的燈光裝置，其照亮區(qū)域如圖1中陰影所

示.此時若在8處安裝一臺同種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區(qū)，如圖2中陰影所示.

若將燈光裝置改放在如圖3所示的點M,N

或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是.（填寫方案序號即可）

①在M處放置2臺該型號燈光裝置②在尸處放置2臺該型號燈光裝置

③在N處各放置1臺該型號燈光裝置

【答案】①③##③①

【解析】

【分析】根據圓周角和三角形內角和的性質，對各個選項逐個分析，即可得到答案.

【詳解】在M處放置2臺該型號的燈光裝置，如下圖

???在A、8兩處安裝各一臺某種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區(qū)，

AZCAB+NCBA=優(yōu)弧A8所對圓周角，

如要照亮整個表演區(qū)，則兩臺燈光照亮角度為4MF,且/FMF=/AMR

ZAMB為優(yōu)弧A8所對圓周角

/.ZAMB=ZCAB+ZCBA,即①方案成立；

在P處放置2臺該型號的燈光裝置，如下圖，MN和。。相切于點尸

如要照亮整個表演區(qū)，則兩臺燈光照亮角度為總ZEPF=180°

根據題意，ZCAB+ZCBA<180°,即兩臺燈光照亮角度總和<180°

???②方案不成立；

在M,N處各放置1臺該型號的燈光裝置，分別連接AM、BM、AN、BN、CM、AN,如下圖,

VZANC=ZABC,/BMC=/BAC

，③方案成立；

故答案為：①③.【點睛】本題考查了圓、三角形內角和的知識；解題的關鍵是熟練掌握圓周角的性質,

從而完成求解.

三、解答題(共68分，第17題6分，第18—23題，每題5分，第24—26題，每題6分,

第27—28題，每題7分)

17.解方程：

⑴x2-2r-8=0;

22

(2)(%+1)=4%.

【答案】(1)為=-2,x2—4

【解析】

【分析】(1)利用因式分解法求解；

(2)先移項，再利用因式分解法求解.

【小問1詳解】

解：x2-2x-8=0-

因式分解，得(x+2/x—4)=0,

當x+2=0時，x=-2,

當x-4=0時，x=4,

故該方程的解為玉=-2,々=4；

【小問2詳解】

解:(X+1)2=4九2,

移項，得(x+以-4/=0,

因式分解，得(x+l+2x)(x+l—2x)=0,

即(3%+1)(1-%)=0,

當3x+l=0時，x=--,

3

當1一元=0時，x=l,

故該方程的解為玉=—g，%2=1?

【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步驟是解題的關

鍵.18.如圖，點2、C在線段A。上，且A6=9,CD=4,APBC是邊長為6的等邊三角形.

求證：△ABPs△pCD.

【答案】見解析

【解析】

【分析】根據兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可證明△A3Ps/ipcD.

【詳解】證明：：APBC是邊長為6的等邊三角形，

..PB=PC=6,ZPBC=ZPCB^60°,

ZABP=ZPCD=180°-60°=120°,

又.45=9,CD=4,

,AB93_PB_6_3

拓-H'CD-4-2;

,ABPB

,,一,

PCCD

AABPs/\PCD.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似是解題的關鍵.

19.關于尤的一元二次方程％2+〃打+〃=0.

(1)當機=〃+2時，利用根的判別式判斷方程根的情況；

(2)若方程有兩個相等的實數根，寫出一組滿足條件的優(yōu)，〃的值，并求此時方程的根.

【答案】(1)方程有兩個不相等的實數根

(2)wi=4,"=4時，％1=%=-2

【解析】

【分析】(1)計算根的判別式得到A="+小則可判斷A>0,進而得出結論；

(2)利用方程有兩個相等的實數根得到A=>—4〃=0,設m=4,〃=4時原方程為好+4%+4=0,解

方程即可.

【小問1詳解】

解：由題意得：A-b2-4-ac-m2-4n-(n+2)~-4n-n2+4,n2>0>

A>0,

.?.方程有兩個不相等的實數根；

【小問2詳解】

?.?方程有兩個相等的實數根，

A=m2—4n=0>

若根=4,"=4,

則原方程為/+?+4=0，

因式分解得：0+2)2=0,

%—%2=-2.

【點睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程分2+法+C=0(4片0)的根與A=〃_4ac有如下關系：

當A>0時，方程有兩個不相等的實數根；當A=0時，方程有兩個相等的實數根；當△<()時，方程無實

數根.

20.如圖，一條公路的轉彎處是一段圓弧AB,點。是弧AB的圓心，C為弧AB上一點，OC±AB,垂

足為D已知A3=60m,CD=10m,求這段彎路的半徑.

【答案】這段彎路的半徑為50m

【解析】

【分析】連接。3,根據垂徑定理可得40=8。=30m,然后根據勾股定理求解即可.

【詳解】解：連接02,

2

設半徑為小則0D=廠—10,

在RtZXOB。中，OD~+BD~=OB^

即(r—10)2+3()2=/，

解得r-50m,

答：這段彎路的半徑為50m.

【點睛】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，關鍵是在于設出半徑「后，用廠表示出05,。。的長度.

21.已知二次函數丁=依2+法+。(。00)的部分圖象如圖所示，點。，A,B在二次函數圖象上.

,并求這個二次函數的解析式;

(3)當—l<x<3時，y的取值范圍是

【答案】(1)直線x=2,y=-x2+4x

(2)石=0,x2=4

(3)-5<y<4

【解析】

【分析】(1)根據A、B兩點關于對稱軸對稱進行求解對稱軸，然后利用待定系數法求出解析式即可;

(2)根據對稱性求出二次函數與x軸的另一個交點即可得到答案；

(3)分別求出當x=—1時，當x=2時的函數值即可得到答案.

【小問1詳解】

〃+b+c=3

1+3

解：由題意得二次函數對稱軸為直線九二—二2,代入A、B、C坐標得《9〃+3b+c=3,J

2

c=0

a=-l

<6=4,

c=0

二次函數解析式為y=-x2+4x；

【小問2詳解】

解：：二次函數與x軸的一個交點為（0,0）,對稱軸為直線龍=2,

二次函數與x軸的另一個交點坐標為（4,0）,

...關于尤的一元二次方程以2=一所―c即ad+法+c=。的根為%=0,%=4；

【小問3詳解】

解：當x=—1時，y=-（-1）2+4x（-1）=-5,當x=2時，>=—22+2x4=4,

...當-L<x<3時，y的取值范圍是—5<y<4,

故答案為：-5<y<4.

【點睛】本題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，熟知二次函數的相關知識是解

題的關鍵.

22.已知：A,8是直線/上的兩點.

求作：AABC,使得點C在直線/上方，且NACB=150°.

-------3/作法：

①分別以A,8為圓心，A3長為半徑畫弧，在直線/下方交于點O；

②以點。為圓心，Q4長為半徑畫圓；

③在劣弧A8上任取一點C（不與48重合），連接AC,BC.AABC就是所求作的三角形.

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

（2）完成下面的證明.

證明：在優(yōu)弧A3上任取一點加（不與4B重合），連接BM,OA,OB.

OA=OB—AB,

，鉆是等邊三角形.

ZA（9B=60°.

VA,B,M在o。上，，NAM5=LNAO3（）（填推理的依據）.

2

ZAAffi=30°.

?.?四邊形ACBM內接于。。，

AZAMB+ZACB=180°（）（填推理的依據）.

，ZACB=150°.

【答案】（1）見解析；

（2）同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半；圓的內接四邊形對角互補.

【解析】

【分析】（1）按照題目所給作法作出相應圖形即可；

（2）根據等邊三角形的判定與性質可得NAO3=60°,再根據圓周角定理可得/4MB=30。，最后再根據

圓的內接四邊形的性質即可證得ZACB=150°.

【小問1詳解】

解：如下圖即為所求.

證明：如圖，在優(yōu)弧上任取一點加（不與A,B重合），連接40,BM，OA,OB.

c

I

OA=OB=AB,???△OAB是等邊三角形.

M

???ZAOB=6Q°.

,:A,B,M在。0上,

/.ZAMB=^-ZAOB(同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半).

2

ZAMB=30°.

:四邊形ACW內接于。。，

AZAMB+ZACB=180°(圓的內接四邊形對角互補).

ZACB=150°.

故答案為：同弧所對圓周角等于該弧所對圓心角的一半；圓的內接四邊形對角互補.

【點睛】本題考查作圖-復雜作圖，圓周角定理，圓的內接四邊形的性質以及等邊三角形的判定和性質等知

識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型.

23.在平面直角坐標系尤Oy中，直線丁=如與反比例函數丁=七