專題03 19題新結構定義題（平面向量與解三角形部分）解析版-2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練

專題0319題新結構定義題（平面向量與解三角形部分）(典型題型歸類訓練)1．（2024上·福建寧德·高一統(tǒng)考期末）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質.(1)類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請寫出雙曲正弦函數(shù)的一個正確的結論:_____________.（只寫出即可，不要求證明）；(2)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若，試比較與的大小關系，并證明你的結論.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用雙曲正、余弦函數(shù)的定義，結合指數(shù)運算即可得解.（2）根據(jù)給定條件，列出不等式，分離參數(shù)構造函數(shù)并求出最值即得.（3）作差，結合指數(shù)函數(shù)單調性及正余弦函數(shù)的性質推理判斷即可.【詳解】（1）.（2）依題意，，不等式，函數(shù)在上單調遞增，，令，顯然函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，，又，于是，，因此，，顯然函數(shù)在上單調遞減，當時，，從而，所以實數(shù)的取值范圍是.（3），.依題意，，，當時，，，即，于是，而，因此，當時，，則，，即，而，因此，于是，，所以.【點睛】結論點睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，①若，總有成立，則；②若，總有成立，則；③若，使得成立，則；④若，使得成立，則.2．（2023下·貴州貴陽·高一統(tǒng)考期末）閱讀材料：材料一：我國南宋的數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，記小斜為，中斜為，大斜為，則三角形的面積為.這個公式稱之為秦九韶公式；材料二：古希臘數(shù)學家海倫在其所著的《度量論》或稱《測地術》；中給出了用三角形的三條邊長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為，則它的面積為，其中，這個公式稱之為海倫公式；材料三：秦九韶公式和海倫公式都解決了由三角形的三邊直接求三角形面積的問題.海倫公式形式優(yōu)美，容易記憶，體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，秦九韶公式雖然與海倫公式形式不一樣，但與海倫公式完全等價，且由秦九韶在不借助余弦定理的情況下獨立推出，充分說明了我國古代學者具有很高的數(shù)學水平；材料四：印度數(shù)學家婆羅摩笈多將海倫公式推廣到凸四邊形（凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在直線，其余各邊均在此直線的同側）中，即設凸四邊形的四條邊長分別為，，凸四邊形的一對對角和的半為，則凸四邊形的面積為.這個公式稱之為婆羅摩笈多公式.請你結合閱讀材料解答下面的問題：(1)在下面兩個問題中選擇一個作答：（如果多做，按所做的第一個問題給分）①證明秦九韶公式與海倫公式的等價性；②已知圓內(nèi)接四邊形中，，，，，求的面積；(2)中，的對邊分別為，已知的面積為6，其內(nèi)切圓半徑為1，，求，.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）若選擇①：由秦九韶公式證明海倫公式化簡得到，即可求解；若選擇②：根據(jù)題意得到，得到四邊形的面積為，結合四邊形是圓內(nèi)接四邊形對角和為，代入即可求解；（2）設內(nèi)切圓半徑為，根據(jù)，求得，再由海倫公式化簡得到，聯(lián)立方程組，即可求解.【詳解】（1）解：若選擇①：由秦九韶公式證明海倫公式：設，所以上述每一步均為等價變形，所以秦九韶公式與海倫公式是等價的.若選擇②：因為，且，，，，代入可得，所以，因為四邊形是圓內(nèi)接四邊形，對角和為，所以，可得.（2）解：設內(nèi)切圓半徑為，因為，代入，，，可得，①又由，由海倫公式，可得，化簡得，即，代入①，可得，②聯(lián)立方程組，且，解得.3．（2023下·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）古希臘的數(shù)學家海倫在其著作《測地術》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計算三角形面積的公式：，這個公式常稱為海倫公式.其中，.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計算三角形面積的公式：，這個公式常稱為“三斜求積”公式.(1)利用以上信息，證明三角形的面積公式；(2)在中，，，求面積的最大值.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)題意結合余弦定理分析證明；（2）利用三角恒等變換結合正弦定理分析可得，再運用題中公式結合基本不等式運算求解.【詳解】（1）因為，即，可得，且，則，所以.（2）因為，由題意可得，即，整理得，由正弦定理可得，即，的面積，因為，當且僅當時，等號成立，則，所以面積的最大值為.4．（2023下·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期中）設n次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式．例如：由可得切比雪夫多項式，由可得切比雪夫多項式．(1)若切比雪夫多項式，求實數(shù)a，b，c，d的值；(2)已知函數(shù)在上有3個不同的零點，分別記為，證明：．【答案】(1)a，b，c，d的值分別為；(2)證明見解析.【分析】（1）利用給定的定義，結合和角的余弦化簡并求出作答.（2）利用（1）的結論，求出，再利用和差角的余弦計算作答.【詳解】（1）依題意，，因此，即，則，所以實數(shù)a，b，c，d的值分別為.（2）函數(shù)在上有3個不同的零點，即方程在上有3個不同的實根，令，由（1）知，而，則或或，于是，則，而，所以.【點睛】思路點睛：由方程的特點，聯(lián)系切比雪夫多項式，把函數(shù)零點問題轉化為三角函數(shù)求角的問題求解.5．（2022上·河北邢臺·高三統(tǒng)考期中）閱讀下面的兩個材料：材料一：我國南宋的數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術”：若把三角形的三條邊分別稱為小斜?中斜和大斜，記小斜為，中斜為，大斜為，則三角形的面積為．這個公式稱之為秦九韶公式；材料二：希臘數(shù)學家海倫在其所著的《度量論》中給出了用三角形的三條邊長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為，則它的面積為，其中，這個公式稱之為海倫公式．請你解答下面的兩個問題：(1)已知的三條邊為，求這個三角形的面積；(2)已知的三條邊為，求這個三角形的面積；(3)請從秦九韶公式和海倫公式中任選一個公式進行證明．（如果多做，則按所做的第一個證明記分）．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用海倫公式求解即可；（2）利用秦九韶公式求解即可（3）在中，過點作，設，，，算出，然后利用面積公式即可證明【詳解】（1）由題意得：，由海倫公式得：（2）由題意得：，由秦九韶公式得：．（3）證明秦九韶公式如下：在中，，，，過點作，設，，，由得：，，，．證明海倫公式如下：設，．6．（2024上·河南·高三校聯(lián)考期末）三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O為坐標原點、分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，已知A，B是空間直角坐標系中異于O的不同兩點．(1)①若，，求；②證明：．(2)記的面積為，證明：．(3)證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．【答案】(1)①；②證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用向量的叉乘的定義逐項分析即得.（2）利用數(shù)量積公式求得，則有可知，借助叉乘公式，利用分析法即可證得結果．（3）由（2），化簡可得，即可得出結果.【詳解】（1）①因為，，則．②證明：設，，則，將與互換，與互換，與互換，可得，故．（2）證明：因為，故，故要證，只需證，即證．由（1），，，故，又，，，故則成立，故．（3）證明：由（2），得，故，故的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．7．（2023下·北京·高一北京八十中?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，對于任意相鄰三點都不共線的有序整點列（整點即橫縱坐標都是整數(shù)的點），，，，與，，，，，其中，若同時滿足：①兩點列的起點和終點分別相同；②線段，其中，則稱與互為正交點列.(1)求：，，的正交點列；(2)判斷：，，，是否存在正交點列？并說明理由；(3)，，是否都存在無正交點列的有序整點列？并證明你的結論.【答案】(1)，，(2)不存在，理由見解析(3)不存在，證明見解析【分析】（1）由正交點列的定義可知，，設，由正交點列的定義可知，即可得出結論；（2）設點列，，，是點列，，，的正交點列，則可設，，，，因為與，與相同，即可得到結論；（3），，都存在整點列無正交點列.設，其中，是一對互質整數(shù)，，則有，分類討論，即可得出結論.【詳解】（1）設點列，，的正交點列是，，，由正交點列的定義可知，，設，，由正交點列的定義可知，即，解得所以點列，，的正交點列是，，.（2）由題可得，設點列，，，是點列，，，的正交點列，則可設，，，因為與，與相同，所以有因為，，，方程②顯然不成立，所以有序整點列，，，不存在正交點列；（3），，都存在整點列無正交點列.，，設，其中，是一對互質整數(shù)，若有序整點列，，，是點列，，，正交點列，則，則有當為偶數(shù)時，取，.由于，，，是整點列，所以有，.等式（2*）中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，所以該點列，，，無正交點列；當為奇數(shù)時，取，，，，由于，，，是整點列，所以有，.等式（2*）中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1，等式不成立，所以該點列，，，無正交點列.綜上所述，，，都不存在無正交點列的有序整數(shù)點列.【點睛】關鍵點睛：本題以平面直角坐標系為載體，平面向量為工具，給出新定義“互為正交點列”，解本類題的關鍵在于結合課本知識，認真理解新定義，在新定義的基礎上用學過的知識來解決問題.8．（2023下·北京東城·高一統(tǒng)考期末）對于三維向量，定義“變換”：，其中，．記，．(1)若，求及；(2)證明：對于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使；(3)已知，將再經(jīng)過次變換后，最小，求的最小值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)505【分析】（1）根據(jù)定義找出，，從而得到，；（2）利用反證法，假設對，然后導出矛盾，命題得證；（3）先求出，再通過變換，找到最小的時的情況.【詳解】（1）因為，，，所以.（2）設，假設對，則均不為0．所以．即．因為，所以．所以．與矛盾，故假設不正確．綜上，對于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使．（3）設，因為，所以有或．當時，可得三式相加得．又，可得．當時，也可得，于是．設的三個分量為這三個