網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與效應(yīng)原理：第21章 傳染病的網(wǎng)絡(luò)傳播模型

傳染病的網(wǎng)絡(luò)傳播模型（第21章）要點與目標病毒傳染的原因病毒特征病人特征網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)2傳染的網(wǎng)絡(luò)模型SIRSISSIRS疾病傳播模型：基本要素多大范圍（規(guī)模）？要不要采取措施？許多傳染病會自生自滅，例如季節(jié)性的多長時間？會不會反復(fù)（“死灰復(fù)燃”）對患者影響的嚴重性（生命、損傷、不適）接觸網(wǎng)絡(luò)疾病特征傳染概率關(guān)心的問題:3流行病傳播與社會行為傳播的差別已經(jīng)討論過的傳播模型總體模型——總體（占比）效應(yīng)網(wǎng)絡(luò)模型——社會關(guān)系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

基于門檻值的模型流行病傳播特點傳播原因：傳染傳播途徑：接觸關(guān)系網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)傳播方式：具有隨機特性決策模型隨機模型被感染患病者未感染4分支過程：一個最簡單的疾病傳播模型分支過程形成樹結(jié)構(gòu)接觸網(wǎng)絡(luò)，最初一個人攜帶病菌進入人群，以一個獨立的概率

p傳染給遇到的每個人。假設(shè)疾病感染期間每個人遇到

k個其他人這個模型雖然簡單，但便于引出刻畫疾病傳播過程的一個關(guān)鍵概念p反映了疾病的傳染性5傳染過程停止的條件？為什么隨著層數(shù)往下，被傳染的人越來越多？為什么隨著層數(shù)往下，被傳染的人越來越少？6基本再生數(shù)（reproductivenumber）基本再生數(shù)(=影響力)：由單一個體引起的新發(fā)病例數(shù)期望值，記為R0，R0=p*k如果R0<1，則疾病將以概率1在有限的過程后消失。如果

R0>1，則疾病持續(xù)在每一波以一定的概率至少感染一個人

7基本再生數(shù)的特點因為R0=p*k，當R0接近于1時，稍微改變接觸人數(shù)k或傳染概率會對結(jié)果產(chǎn)生很大影響。R0接近于1時有一個“刀刃”（knife-edge）特性如果R0略低于1，稍微增加傳染概率p；結(jié)果可能會使R0高于1，造成一個突然的疾病爆發(fā)略微減少疾病的傳染性，可以將R0減小到1以下，消除疾病大范圍流行的風險結(jié)論：當門檻值R0=1附近，社會應(yīng)該付出努力減小基本再生數(shù)（隔離，戴口罩等就是措施）實際的疾病傳播要復(fù)雜得多，分支結(jié)構(gòu)沒有考慮三角關(guān)系，弱連接……8SIR疾病傳播模型SIR模型可以描述更一般網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的傳播情況，接觸網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點在流行病傳播過程中經(jīng)歷三個狀態(tài)(susceptible,infectious,removed)：易感狀態(tài)(S)：易感者，有可能被一個患病的網(wǎng)絡(luò)鄰居節(jié)點感染傳染狀態(tài)(I)：患病者，以一定的概率將疾病傳染給處于易感狀態(tài)的鄰居移出狀態(tài)(R)：痊愈并免疫者，當一個節(jié)點經(jīng)歷了完整的病期康復(fù)后，就不再會被傳染，也不會再對其他節(jié)點造成威脅，相當與從接觸網(wǎng)絡(luò)中移出了9SIR模型描述SIR模型流行病的傳播過程取決于接觸網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，以及兩個量值：p（傳染的概率）和

tI（傳染期的長度）最初，一些節(jié)點處于狀態(tài)

I，所有其他節(jié)點處在狀態(tài)

S。每個進入狀態(tài)

I的節(jié)點v在固定的步驟

tI期間具有傳染性。在

tI的每一步，v以概率

p將疾病傳染給它的處于易感狀態(tài)的鄰居經(jīng)過

tI步后，節(jié)點

v進入移出狀態(tài)（R），成為網(wǎng)絡(luò)中的惰性節(jié)點，不會再被傳染，也不會向其他人傳播易感S傳染I移出R10接觸網(wǎng)是一個有向圖圖中有三種不同的節(jié)點白色（易感）粗邊界的灰色（傳染）細邊界的灰色（移出）一個

tI=1的SIR模型示例接觸不一定傳染11非樹型網(wǎng)絡(luò)的R0不再有“刀刃”特性網(wǎng)絡(luò)由每層兩個節(jié)點組成向右無限伸延，tI=1，傳染概率p為2/3，最左邊的兩個節(jié)點是最初傳染者

R0是由一個節(jié)點造成的新病例數(shù)，預(yù)期為4/3>1每條邊不傳播疾病的概率為1/3，所有四條邊都沒導致疾病傳播的概率為(1/3)4,于是每一層成為最后一層（疾病傳染終止層）的概率至少是1/81這種結(jié)構(gòu)相當于形成了一個路障，疾病無法超越它向遠方傳播12SIR模型（運行）的靜態(tài)圖示接觸網(wǎng)絡(luò)每條邊預(yù)先投擲硬幣（按照給定傳染概率p），投擲硬幣成功的邊定義為開放邊；其余的邊定義為阻塞邊利用開放邊和阻塞邊描述流行病傳播過程：最終受感染的節(jié)點正是那些能夠從最初感染節(jié)點沿著在網(wǎng)絡(luò)中隨機選定的

開放邊能夠達到的節(jié)點注意：每次運行結(jié)果可能不同圖中，粗黑線為開放邊。注意到不是所有開放邊都起作用的（例如wr）13SIS流行病傳播模型SIR模型只適用于一次患病終身免疫的疾病。SIS模型描述了更一般的疾病傳播。節(jié)點結(jié)束傳染狀態(tài)后再回到易感狀態(tài)，節(jié)點在

S和

I兩種狀態(tài)中交替，因此得名SIS模型

最初，一些節(jié)點處于狀態(tài)I，其余節(jié)點處于狀態(tài)S每個進入狀態(tài)I的節(jié)點v在

tI期間內(nèi)具有傳染性，在

tI的每一步，節(jié)點以概率

p將疾病傳染給其處在易感狀態(tài)的鄰居經(jīng)過

tI步后，I節(jié)點不再具有傳染性，返回狀態(tài)

S易感S傳染I14SIS模型的特點SIS模型下的傳染病的流行周期會比SIR模型的要長基本再生數(shù)具有刀刃特點：可以證明，對于某些類型的接觸網(wǎng)絡(luò)，存在特定傳染概率p，在其附近，網(wǎng)絡(luò)中的SIS傳染病在一邊表現(xiàn)為“快速消失”，在另一邊則會“持續(xù)一個很長的時間”。該傳染概率臨界值以微妙的方式依賴于網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。15SIR與SIS的關(guān)系SIS模型可以看成是SIR模型的特例設(shè)

tI=1，將患病節(jié)點v在每一個時間步視為“不同的個體”，可以將SIS模型表示為SIR模型在每個時間周期t=0、1、2、3……，為每個節(jié)點分別創(chuàng)建一個節(jié)點副本，對于原網(wǎng)絡(luò)中v連接到w的邊，復(fù)制t時刻擴展網(wǎng)絡(luò)中v到t+1時刻w的邊同時被w傳染16用SIR模型描述SIS問題17SIRS流行病傳播模型結(jié)合SIR和SIS，疾病有暫時免疫特性：受傳染節(jié)點治愈后會暫短地經(jīng)過R狀態(tài)，然后再次進入S狀態(tài)——SIRS模型開始某些節(jié)點在

I狀態(tài)，其他在S狀態(tài)進入

I狀態(tài)的節(jié)點v在固定時間

tI內(nèi)具有傳染性，在

tI

的每一步以概率p將疾病傳播給易感狀態(tài)的鄰居

I狀態(tài)節(jié)點經(jīng)過

tI步后，進入狀態(tài)R，經(jīng)過

tR后再次回到S狀態(tài)傳染I易感S移出R疾病傳播過程受量值

p、tI

以及

tR

的影響，同時受到網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的影響tItR18SIRS模型下可能看見傳染病流行的震蕩效應(yīng)STUVWXSISSSS..RI........SRI........SRI........SRII..........RI........SRI........SRI........SRI........SRITSUWXVp=0.5,形象過程19Watts-Strogatz小世界模型上運行SIRS模型

τI=4，τR=9Ninf(0)=0.1模擬c=0.01,0.2,0.9三種情況結(jié)論：當弱連接（遠程）邊占比較高時，所有節(jié)點被傳染的周期趨于同步。經(jīng)歷被傳染，持續(xù)相同的時間，進入隔離，之后又同時被傳染受感染人數(shù)占比模擬時間c:弱連接邊占比20為什么會有同步震蕩？當c較小時：0~0.5，網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)較高的有序的聚集特點，疾病周期會在一個局部區(qū)域內(nèi)完成，之后進入免疫期（不活躍期）當c值較大時：>0.5，弱連接打破了有序的聚集區(qū)域，剛剛?cè)膫€體可能又通過一個弱連接被再次感染。因此整個網(wǎng)絡(luò)成同步狀態(tài)21模型中可以考慮的一些其他因素傳染期不同時段傳染性可以不同不同個體傳染性的不同患病者可能在傳染期間不同的階段恢復(fù)接觸網(wǎng)絡(luò)的邊具有時間特性其他非網(wǎng)絡(luò)因素（例如蚊子）……22一個生物學基因遺傳的研究線粒體夏娃理論：1987年，RebeccaCann、MarkStoneking和AllanWilson在Nature雜志上發(fā)表一篇論文引起轟動線粒體DNA嚴格按照母系遺傳現(xiàn)代全人類的線粒體DNA基本相同于是，每個人都有一條母系祖先的線索，稱為母親的血統(tǒng)。所有這些血統(tǒng)源自10萬至

20萬年前（14萬年）的一個單一女子，很可能是在非洲，她是我們當代所有人的母系祖先。23簡單的概率分析，可以發(fā)現(xiàn)當前給定數(shù)量的個體在向上追溯單親祖先的過程中會不斷發(fā)生匯聚（發(fā)現(xiàn)同一個母親），于是獨立的線索越來越少，最終匯聚到一點這個距當代最近的匯聚點就是線粒體夏娃24基因遺傳學的解釋當時肯定同時生活著許多女人（以及男人），只不過她們的線粒體基因沒有遺傳到現(xiàn)在。不僅是線粒體基因存在這種情形，人的任何一種基因，只要把它們的突變過程追溯得足夠遠，總能找到一個共同祖先，這些祖先生活的時間可能各不相同，甚至未必是人，有的可能要追溯到人進化出來之前的某個生物25Wright-Fisher單親祖先模型的意義可以分析單親物種的遺傳特點可以分析雙親物種中那些只由單親遺傳的現(xiàn)象，如線粒體DNA分析社會繼承行為（包括學術(shù)繼承等）……26Kleinberg的最新研究：

結(jié)構(gòu)多元性與社會傳染的關(guān)系影響社會傳染(非用戶加入Facebook)的因素:

與其朋友圈中已經(jīng)加入的人數(shù)成反比(即同質(zhì)性無效)

與其已加入的朋友的知名度無關(guān)(擇優(yōu)選擇無效)

與其已加入的朋友之間的多元性(即后者中的小團體分支量)成正比Ugandera,J.,Backstromb,L.,Marlowb,C.,&Kleinberg,J.(2012).Structuraldiversityinsocialcontagion.ProceedingsofNationalAcademyofScience,109(16),59