新高考2021屆高三考前保溫?zé)嵘砟M卷數(shù)學(xué)試題（一）

絕密★啟用前AQ1大小分為六級：［0,50）為優(yōu)，［50,100）為良，［100,150）為輕度污染，［150,200）

新高考2021屆高三考前保溫?zé)嵘砟M卷為中度污染，［200,250）為重度污染，［250,300）為嚴(yán)重污染.下面記錄了北京市22天

數(shù)學(xué)試題（一）的空氣質(zhì)量指數(shù)，根據(jù)圖表，卜.列結(jié)論錯誤的是（）

注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、

請將答案正確填寫在答題卡上

一、單選題

_4

1.設(shè)復(fù)數(shù)z的共規(guī)復(fù)數(shù)為若z=l+i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)一一三的虛部為

ZA.在北京這22天的空氣質(zhì)量中，按平均數(shù)來考查，最后4天的空氣質(zhì)量優(yōu)于最前面4

A.iB.-iC.1D.-1天的空氣質(zhì)量

2.若集合4=卜|9-3工＜0},8={工*21},則圖中陰影部分表示的集合為（）B.在北京這22天的空氣質(zhì)量中，有3天達到污染程度

C.在北京這22天的空氣質(zhì)量中，12月29日空氣質(zhì)量最差

D.在北京這22天的空氣質(zhì)量中，達到空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)有7天

5.“Ovxvl”是的.

x

B.{x|O<x<l}A.必要不充分條件B.充分不必要條件

D.{工10Vxe1或x23}C.既不充分也不必要條件D.充要條件

6.我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三

3.如圖，函數(shù)），=/（x）的圖象在點P的切線方程是y=-x+8,則/（5）+/'（5）=

邊長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已

具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜暴并大斜轅減中斜思，余半之，自乘于上.以

小斜寡乘大斜籍減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積.”若把以上這段文

字寫成公式，即S=（）2,其中a、/＞、c分別為內(nèi)角

5/3sinB

AB、C的對邊.若b=2,tanC=則5c面積S的最大值為

1-6cosB

A.3B.75C.60.V2

A.2B.3C.4D.5

4.空氣質(zhì)量指數(shù)（簡稱：AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的無量綱指數(shù)，空氣質(zhì)量按照7.在平行四邊形/WCO中，NA8D=90°，且==若將其沿3。折

起使平面A3。_L平面8cO,則三棱錐A-3DC的外接球的表面積為D.函數(shù)g（x）=4/（x）+3x不存在零點

A.27tB.肪C.167rD.4%三、解答題

8.已知加、〃是直線，。、尸是平面，下列命題中正確的選項是12.我國計劃發(fā)射火星探測器，該探測器的運行軌道是以火星（其半徑R=3400km）

的中心尸為一個焦點的橢圓.如圖，已知探測器的近火星點（軌道上離火星表面最近

A.若〃?_La,〃ua,則zn_L〃

的點）A到火星表面的距離為800km,遠(yuǎn)火星點（軌道上離火星表面最遠(yuǎn)的點）3到

B.若加平行于。，則用平行a內(nèi)所有直線

火星表面的距離為80000km.假定探測器由近火星點A第一次逆時針運行到與軌道

C.若mua,〃ua,mlI。,〃///7,則a///

中心。的距離為J拓km時進行變軌，其中。，。分別為橢圓的長半軸、短半軸的長，

D.a1口,m_L/7,則m//a

求此時探測器與火星表面的距離（精確到100km）.

二、多選題

9.已知函數(shù)/（x）=gsin2x-cos2x,xwR,則（）

A.-2</（x）<2B./J）在區(qū)間（0,1）上有1個零點

9

C./（X）的最小正周期為4D.x=§4為/（X）圖象的一條對稱軸

10.已知4，〃，9成遞增等比數(shù)列，則在（4%-白）”的展開式中，下列說法正確的

,S.n+]

13.在①25〃=2〃~+a“，②/+4=16且$3+S5=42,③=-^且S7=56

是（）>2〃4"+2

A.二項式系數(shù)之和為64這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答.

B.各項系數(shù)之和為1問題:設(shè)數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，其前〃項和為S”，.數(shù)列抄〃｝為等比數(shù)列，

C.展開式中二項式系數(shù)最大的項是第4項

4=4，4=%.求數(shù)列]（+4）的前〃項和

D.展開式中第5項為常數(shù)項

11.把方程專+乎=7表示的曲線作為函數(shù)y=/（x）的圖象，則下列結(jié)論正確

14.在△ABC中，角A,氏C的對邊分別為a,b,c?，且滿足（2Z?-c）cosA-。cosC=0.

（1）求角力的大??；

的有（）

A.>=〃切的圖象不經(jīng)過第一象限⑵若a=5AABC面積為邁，試判斷AABC的形狀，并說明理由

4

B.“X）在R上單調(diào)遞增

15.如圖，在矩形A8CD中，AB=2AD=2,E為邊C￡>的中點，以EB為折痕把

C.丁=/（戈）的圖象上的點到坐標(biāo)原點的距離的最小值為3△CEB折起，使點C到達點P的位置，且使平面?￡B_L平面A8瓦）.

(1)證明：P3_L平面PEA；

(2)求二面角。一以一七的余弦值.

22

16.已知橢圓C：0+與=1(。>匕>0)的四個頂點圍成的四邊形的面積為46，

a~b

高二

其離心率為!

2(I)寫出頻率分布直方圖(高一)中。的值；記高一、高二學(xué)生100人鍛煉時間的

(1)求橢圓。的方程；

樣本的方差分別為S；,S；,試比較s；,s；的大小(只要求寫出結(jié)論)；

(2)過橢圓C的右焦點尸作直線/(工軸除外)與橢圓。交于不同的兩點A,B,

(II)估計在高一、高二學(xué)生中各隨機抽取1人，恰有一人的鍛煉時間大于20分鐘的

在x軸上是否存在定點使序.而為定值？若存在，求出定點坐標(biāo)及定值，若不

概率；

存在，說明理由.

(III)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，高二學(xué)生鍛煉時間Z服從正態(tài)分布其

17.某中學(xué)調(diào)查防疫期間學(xué)生居家每天鍛煉時間情況，從高一、高二年級學(xué)生中分別

隨機抽取100人，由調(diào)杳結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖：中"近似為樣本平均數(shù)天，近似為樣本方差，且每名學(xué)生鍛煉時間相互獨立，設(shè)X

表示從高二學(xué)生中隨機抽取10人，其鍛煉時間位于(14.55,38.45)的人數(shù)，求X的數(shù)

學(xué)期望.

注：①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表,計算得Q=x/142.75?11.95

②若Z?,則P(//-<T<Z</Z+CT)=0.6826,

P(〃-2(rvZv〃+2b)=0.9544

nj—14-2P

18.已知函數(shù)/'(工)="比---------lnx(e為自然對數(shù)的底數(shù))，，nsR.

x

(I)當(dāng)〃7=0時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;

(II)已知函數(shù)g(x)=―'—+lnx在上為增函數(shù)，且。€(0,乃)，若在

x-sin0

[Le]上至少存在一個實數(shù)%,使得/(xo)>g(x。)成立，求，”的取值范圍.

四、填空題

19.若曲線y=V+lnx在點(1,1)處的切線與直線x-a)，+2=0平行，則實數(shù)a的值

為.

4

20.已知數(shù)列｛4｝滿足4”=彳二一且a,=4,S”為數(shù)列｛?！埃那绊椇?，則52020=

z-a”

21.某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)

目甲必須排在前三位，且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的

編排方案共有種.

22.用一個不平行于底面的平面截一個底面直徑為6cm的圓柱，得到如圖幾何體，若

截圖橢圓的長軸長為l()cm,這個幾何體最短的母線長為6cm,則此幾何體的體積為

_______cm3

參考答案

1.D

444(1—

復(fù)數(shù)——彳=_=+i=其虛部為—1,

z1+z(l+z)(l-z)

故選D.

2.C

分別化簡集合可得A={x[0<x<3},B={x|x2l或xW-1},陰影部分為APIS,由交集

定義解出即可

由題,可得A={x|0<x<3},3={%|%21或%4一1},

由圖可得陰影部分為Ac5={x[l<x<3}

故選C

點評：

本題考查圖示法表示集合的關(guān)系,考查交集的定義,考查解不等式,考查運算能力

3.A

在點P處的斜率就是在該點處的導(dǎo)數(shù)，/'(5)就是切線y=-x+8斜率，問題得解.

在點P處的斜率就是在該點處的導(dǎo)數(shù)，/'(5)就是切線y=-x+8斜率，即/'(5)=-1,

又/⑸=-5+8=3,,-./(5)+r(5)=3-l=2

故選:A.

4.D

由頻率分布折線圖逐一對四個選項分析即可得出.

因為97>59,51>48,36>29,68>45,所以在北京這22天的空氣質(zhì)量中，按平均

數(shù)來考察，最后4天的空氣質(zhì)量優(yōu)于最前面4天的空氣質(zhì)量，即選項A正確；

AQI不低于100的數(shù)據(jù)有3個：143,225,145,所以在北京這22天的空氣質(zhì)量中，有3

天達到污染程度，即選項B正確；

因為12月29日的AQI為225,為重度污染，該天的空氣質(zhì)量最差，即選項C正確；

AQI在[0,50)的數(shù)據(jù)有6個：36，47,49，48，29,45,即達到空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)有

6天，所以選項D錯.

故選：D.

點評：

本題考查頻率分布折線圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可

11x2-1

—>%<=>%——<0<=>=----<00x<-1或0<Kl,

XXX

?.?0<Kl=x<-1或

x<-1或0<*<1時，不一定推出0<Kl,

“0<京1”是“4>x”成立的充分不必要條件.

x

故選B.

點評：

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了分式不等式的解法，根據(jù)充分條件和必要

條件的定義是解決本題的關(guān)鍵.

6.C

將已知等式進行化簡并利用正弦定理可得片6a,代入“三斜求積”公式即可計算得解.

tanC=_P^nB._=sinC,貝屋門仁⑺(sin^osCt-cosjfeinO=Gsin(B+C)=

1—J3cos8cosC

75sinJ,由正弦定理得c=J5a,..”二？，

=^-(-?4+8a2-4)，，當(dāng)片=4即a=2時，△/回的面積S有最大值為百.

故選C.

點評：

本題考查正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查二次函數(shù)求最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題.

7.D

在平行四邊形ABC。中，乙480=90°，若將其沿BO折起使平面平面BCD,可

得如圖所示的三棱錐A-8DC：

其中，三棱錐A-BOC鑲嵌在長方體中，即三棱錐A—8DC的外接球與長方體的外接球相

同.

AB=l,BD=g

外接球的半徑為gJF+(揚2+『=1

...三棱錐A-超心的外接球的表面積為47rxi2=4萬

故選D.

點睛：本題主要考查三棱錐外接球的表面積的求法.要求外接球的表面積和體積，關(guān)鍵是求

出球的半徑，求外接球半徑的常用方法有：①若三棱棱兩兩垂直，則用4A2=/+/+。2

(a,"c為三條棱的長)；②若SAJ?平面ABC(&\=a),則4夫2=4/+/(r為MBC

外接圓的半徑)；③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球；④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.

8.A

利用空間中線線，線面，面面的關(guān)系逐一判斷.

解：A.若加_La,〃ua,則加和a內(nèi)的所有直線垂直，有正確；

B.若加平行于a,則，"和a內(nèi)直線可能平行，也可能異面，錯誤；

C.若加ua,〃ua,ml1(3,〃//月，沒有強調(diào)加和〃相交，故不能得出a///7,錯誤；

D.aLp,mLp,則m//a，也有可能mua,錯誤，

故選：A.

點評：

本題考查空間中線線，線面，面面的關(guān)系的簡單判斷，是基礎(chǔ)題.

9.AC

首先利用輔助角公式化簡/(x),再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)分別判斷四個選項的正誤，即可得

正確選項.

因為/（尤）=Gsin2x-cos2x=2sin2x-^\9

對于選項A：因為xwR,所以一2</(x)<2,故選項A正確;

對于選項B：當(dāng)無￡（0,TT）時，2x——€I一~——I,當(dāng)2x—乙=0或2x—色=7時即

6166J66

TTI7T

X=土或x=——時/(幻=0,所以/(X)在區(qū)間(0,萬)上有2個零點，故選項B不正確；

1212

對于選項C：/(幻的最小正周期7=&=乃，故選項C正確；

2

27ryrjr22

對于選項口：2*號一言=萬+0仕€2)此時左=],所以》=丁不滿足對稱軸的方程,

不是對稱軸，故選項D不正確，

故選：AC.

10.ACD

2

先根據(jù)等比數(shù)列求出〃的值，再令4x—-尸=2可求二項式系數(shù)和，令％=1可求系數(shù)和,

yjx

根據(jù)展開式的總項數(shù)可得二項式系數(shù)最大項，根據(jù)展開式的通項公式求第5項.

由4，”,9成遞增等比數(shù)列可得*=36，則〃=6，

則(4x一主成的二項式系數(shù)之和為26=64,A正確；

7x

令x=l,(4X-4)6=26=64,則(4x--^)6的各項系數(shù)之和為64,B錯誤；

7xyJX

(4x-京)6的展開式共有7項，則二項式系數(shù)最大的項是第4項，C正確；

(4x-4)6的展開式中展開式中第5項C：(4x)2(—/)4=15x16x16為常數(shù)項，D正確,

yjxyjx

故選:ACD.

點評：

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式,二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.ACD

首先討論去掉絕對值，并畫出函數(shù)的圖象，直接判斷AB,然后數(shù)形結(jié)合，并結(jié)合橢圓和雙

曲線的性質(zhì)判斷CD選項.

當(dāng)x〉0,y>0,方程是工+匯=_1不表示任何曲線，故A正確;

169

2222

當(dāng),方程是L一匕=—1,即21一±_=1,

169916

fy2v-2y2

當(dāng),方程是一二+匕=-1,即上一2_=i,

169169

2222

當(dāng),方程是—工―2L=—1,即乙+乙=1,

169169

如圖畫出圖象

由圖判斷函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故B不正確；

由圖判斷y=/(x)圖象上的點到原點距離的最小值點應(yīng)在的圖象上,

22

即滿足需+三=1,設(shè)圖象上的點P(x,y)

\PO\=^x2+y2

當(dāng)了=()時取得最小值3,故C正確；

當(dāng)4/(x)+3x=0,即/(x)=-：x,

3

函數(shù)g(x)=4/(x)+3x的零點，就是函數(shù)y=/(x)和y=的交點,

22222

而丁二一；x是曲線一看=1，xN0,y<0和看一卷=lx<O,yN。的漸近線，所以沒

22

3rv

有交點，由圖象可知y=--x和一+」=1,xWO,y〈O沒有交點，

4169

所以函數(shù)g(x)=4/(x)+3x不存在零點，故D正確.

故選：ACD

點評：

本題考查判斷函數(shù)的性質(zhì)，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題和解決問題的能力，本題的關(guān)鍵是畫

出函數(shù)的圖象，因為函數(shù)圖象是橢圓和雙曲線的一部分，還需結(jié)合曲線的性質(zhì)做出判斷.

12.18700km

22

根據(jù)題意求出軌道方程為一―+1一=1,設(shè)變軌時，探測器位于p(%,%),則

x1+y1=ab=81975.1,結(jié)合軌道方程求出P,再利用兩點間的距離公式即可求解.

設(shè)所求軌道方程為

22_______

-^7+-^-r-=1(〃>b>0),c=y/a2—b2?

a~b~

a+c=80()+34,〃一c=8+34,=438,c=396.

22

于是/=/一=35()28.所以所求軌道方程為——+二一=1.

19184435028

設(shè)變軌時，探測器位于。(%,%)，則芯+>；="=81975.1

%；?片二1

19184435028

解方程組，得玉)=239.7,>o=l56.7(由題意).

所以探測器在變軌時與火星表面的距離為-。)2+%―火=187.3.

所以探測器在變軌時與火星表面的距離約為18700km.

點評：

本題考查了橢圓方程的應(yīng)用，考查了考生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.見解析

根據(jù)選擇的條件求出｛為｝的通項，再利用分組求和可得了“.

若選①，由2s“=2/+a“可得=2+q,故a1=2,

又2s2=2x4+%，故2(2+電)=2*4+。2，故%=4,

故等差數(shù)列的公差d=4-2=2,故%=2+2(〃-1)=2〃,

所以S,,="(2+2〃)=“(”+]),

〃2,7

所以々=2,4=6,所以等比數(shù)列也｝的公比為q=3,故a=2x3'i

1,11

故不+2-+2x3"''+2x3-1

1n〃+1

11一3"1

故片+…++2x^-=3"-一—

n1-3H+1

2a.+6d=164=2

若選②，由題設(shè)可得《,解得4

3q+3d+5q+10d=42d=2

同①可得1=3"-——

〃+1

S,1,

若選③，由題設(shè)可得丁即生=2q,故d=q,故a“=〃4,

而S]=56=7%,故為=8,故q=2,故=2rl,

同①可得I=3"-——.

n+\

點評：

方法點睛：等差數(shù)列或等比數(shù)列的處理有兩類基本方法：（1）利用基本量即把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化

為關(guān)于基本量的方程或方程組，再運用基本量解決與數(shù)列相關(guān)的問題；（2）利用數(shù)列的性質(zhì)

求解即通過觀察下標(biāo)的特征和數(shù)列和式的特征選擇合適的數(shù)列性質(zhì)處理數(shù)學(xué)問題.另外求和

注意根據(jù)通項的特征選擇合適的求和方法.

7C

14.(1)A=-(2)正三角形，理由見解析.

3;

(1)由正弦定理化簡(2sinB-sinC)cosA-sinAcosC=0可得2sin5cosA-sin5=0

即可得解;

(2)根據(jù)面積關(guān)系結(jié)合余弦定理即可得解.

(1)由(20-c)cosA-acosC=0,

由正弦定理得(2sinB—sinC)cosA-sinAcosC=0,

A2sinBcosA-sin(A+C)=0,2sinBcosA-sinB=0

1Jl

?：0<B<乃，sin8wO,cosA=],0<A<A=—

(2)。=百，—Z?csinA=^^-,hc=3,

24

由余弦定理/=Z?2+C2-2Z?CCOSA，

3=〃+。2_3，人2+。2=3，be=3

所以b=c=5

所以該三角形為正三角形.

15.(1)證明見解析(2)Ml

11

(1)由AE=BE=6,AB=2可得AELBE,利用平面。石3，平面ABED,可得

AE,平面PEB,則AE_L/>8,由折疊知進而得證；

(2)以8E的中點。為坐標(biāo)原點，以0P的方向為z軸正方向，過點0分別做AB和AD的

平行線,分別為x軸和y軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-孫z,分別求得平面AOP的法

向量和平面AEP的法向量,進而利用數(shù)量積求解即可

(1)證明：由題意==J5,又A5=2,所以

又平面PEBD平面ABED=,且平面PEB_L平面ABED，所以/IE工平面PEB,

故AE_LPB,又P8_LPE,且A￡cPE=￡,所以依，平面PE4

(2)以BE的中點。為坐標(biāo)原點，以0P的方向為z軸正方向，過點0分別做AB和AD的

平行線,分別為工軸和丁軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系o-型，

設(shè)〃=(玉，X,zJ為平面ADP的法向量，則有

y=0

nAD=0

則《_—，即〈31V2八,可取"=

n-AP-0—X—M-*-----Z]=0

I212-121

設(shè)加=(工2，%，22)為平面AEP的法向量,則有

~X2一必=0

m-AE=0

則《—，即〈31V2，可取而=(1,—1

in-AP=0「產(chǎn)一”于2=0

/--\n-tn2^22

所以而="fF

則二面角。一1P4—E余弦值為名后

11

點評：

本題考查線面垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查運算能力

2

16.(1)二f+匕v=1(2)見解析

43

(1)由離心率及2a6=46,結(jié)合才=4+占解得a、b,即可求得橢圓。的方程；

(2)由題意可設(shè)直線7：x=my+\,代入橢圓方程，利用韋達定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運

算，將麗?麗用m與X。表示，利用對應(yīng)系數(shù)成比例，即可求得劉，代入得麗?麗為定

值;

2ab=4石22

(1)由，c1得：”=2,人=6所以橢圓方程為三+二=1

e----43

.a2

X2y2

(2)由于直線1過右焦點F(l,0),可設(shè)直線1方程為：X=my+1,代入橢圓方程三+乙=1

43

并整理得：(4+3m2)x2-8x+4-12m2=0(或(4+3m‘)y2+6my-9=0)

△=64-(4+3m2)(4-12m2)>0

設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2),則xbx?是方程①的兩個解,

4-12加2-6m-9

由韋達定理得：X|+Xz=------?X1X2=-------Tv+yz="a2-vy20，

4+3〃r4+3〃r4+3m-4yl+3/?r

假設(shè)在x軸上存在定點P(x0,0),使萬?麗為定值，貝I：

/、/、/\24—12/—98x0

(x「xo)(X2-X0)+y?2=XiX2+y(,xi+x2)+x0=-------—+------r--------胃+x0

4+3〃z4+3m~4+3加一

22

=-5-l2m2-8x0+4X(/+3*：m2_-5-8x0+4%?+(3x0-12)m

4+3m24+3/n?

由題意，上式為定值，所以應(yīng)有：3々二12=二5二經(jīng)之徨

34

即:12XO2-48=-15-24XO+12XO2

解得：xo=一,

8

一_135

此時PA^PB=—-—

64

點評:

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及定義，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理，向量數(shù)量積

的坐標(biāo)運算，考查計算能力，分類討論，屬于難題.

17.(I)a=O.O15,(II)0.42(III)6.826

(I)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)即可判斷方差的大小，利用頻率總和為1即可求出。的值；

(H)先設(shè)設(shè)事件A：在高一學(xué)生中隨機抽取1人，其鍛煉時間不大于20分鐘，事件8：在

高二學(xué)生中隨機抽取1人，其鍛煉時間不大于20分鐘，根據(jù)圖形數(shù)據(jù)可得到它們的概率，

而恰有一人的鍛煉時間大于20分鐘分兩種情況：一種是這個人在高一；另一種是這個人在

高二；再不出它們的概率和即可；

(IH)利用所給的數(shù)據(jù)分別求出樣本平均數(shù)亍和樣本方差，代入公式即可求出概率和數(shù)學(xué)期

望.

解：(I)a=0.015,s；>4；

(II)設(shè)事件A：在高一學(xué)生中隨機抽取1人，其鍛煉時間不大于20分鐘，

事件8：在高二學(xué)生中隨機抽取1人，其鍛煉時間不大于20分鐘，

事件C：在高一、高二學(xué)生中隨機抽取1人，恰有一個學(xué)生鍛煉時間大于20分鐘，且另一

個不大于20分鐘，

則P(A)=0.20+0.10=0.30,

P(8)=0.10+0.20=0.30,

P(C)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.42.

(Ill)x=26.5,由條件得Z?N(26.5,142.75),

從而P(26.5—11.95<Z<26.5+11.95)=0.6826,

.??從高二中隨機抽取10人，其鍛煉時間值位于(14.55,38.45)的概率是0.6826,

根據(jù)題意得X~3(10,0.6826),.;EY=10x0.6826=6.826.

點評：

本題考查了概率的計算及正態(tài)分布期望值的計算，考查了學(xué)生對數(shù)據(jù)的處理能力和計算能力,

屬于一般題.

18.(I)遞增區(qū)間(O,2e-l),遞減區(qū)間(〃-1,+s),極大值為一l-ln(2e-l),無極小

值；(H)|~-,+℃

-1J

(I)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間以及極值：

JT

(H)對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，利用題設(shè)條件得出8=5,構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)-g(x),分類

討論m的值，當(dāng)時，由于尸(x)小于0,則不存在Xoe[l，e]使得了(%)>g(%)成立；

當(dāng)相>0時，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)F(X)的最大值，由F(x)max=/(e)>。解出m的取值范圍.

1—2e

解：(I)m=0,/.f(x)=----------InX,XG(0,+OO),

2口一1一x

:.f\x)=令/'(x)=0得X=2e—1,

x

當(dāng)xe(O,2-1)時，/'(x)>0,/(x)遞增；

當(dāng)xe(2e-l,+8)時，f(x)<0,/(x)遞減，

所以/(x)的遞增區(qū)間為(0,2e-1),

遞減區(qū)間為(2e-l,+8),

極大值為/