第四次授課-數(shù)形結(jié)合

xxxx教育_____學(xué)科個(gè)性化教學(xué)教案

授課時(shí)間：______年______月______日備課時(shí)間______年一月_____日

年級(jí)九課程類別一對一課時(shí)學(xué)生姓名

授課主題幾何動(dòng)點(diǎn)問題授課教師

教學(xué)目標(biāo)理解和掌握幾何動(dòng)點(diǎn)問題的解決思路，提高解決問題的能力

教學(xué)

動(dòng)點(diǎn)問題；幾何難題如何加輔助線

重難點(diǎn)

教學(xué)方法講練結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考

1、課程導(dǎo)入/錯(cuò)題講解：

L2J點(diǎn)撥

所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們在線段、射線或

弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)

知識(shí)解決問題.

關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.

數(shù)學(xué)思想：分類思想函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想

教學(xué)過程

2.知識(shí)點(diǎn)講解

一.添輔助線有二種情況□

1按定義添輔助線：學(xué)習(xí)札記

如證明二直線垂直可延長使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取

中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個(gè)幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往

是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫

做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：

(1)平行線是個(gè)基本圖形：

當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線

(2)等腰三角形是個(gè)簡單的基本圖形：

教學(xué)過程當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平

分線與平行線組合時(shí)可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長

垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是

直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖

形。

(5)三角形中位線基本圖形

幾何問題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒有

中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段

倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線

得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，

則可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

(6)全等三角形:

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段

或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱

軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對

頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)

端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行線

（7）相似三角形：

相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相

比線段重疊在一直線上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。

若平行線過端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類題目中往往有多

種淺線方法。

（8）特殊角直角三角形

當(dāng)出現(xiàn)30,45,60,135,150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直

角三角形三邊比為1：1：V2；30度角直角三角形三邊比為1：2；J3進(jìn)行證明

（9）半圓上的圓周角

出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對弦--直

徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰,

木等組成一樣

二.基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問題添加輔助線方法

方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形

的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的

條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問題。

方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段

的一些定理。

方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法

或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條

線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相

同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，

構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題

處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：

（1）連對角線或平移對角線：

(2)過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形

(3)連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行

或中位線

(4)連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。

(5)過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為

問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形內(nèi)平移兩腰

(4)延長兩腰

(5)過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高

(6)平移對角線

(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。

(8)過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。

(9)作中位線

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。

通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這

是解決問題的關(guān)鍵。

4.圓中常用輔助線的添法

在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和

結(jié)論間的橋梁，從而使問題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔

助線的一般規(guī)律和常見方法，對提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力是大有幫助的。

(1)見弦作弦心距

有關(guān)弦的問題，常作其弦心距(有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑)，通過垂徑平分定理，

來溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。

(2)見直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對的圓周角，利用"直徑所對的圓周角是

直角"這一特征來證明問題。

(3)見切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過切點(diǎn)的半徑，利用”切線與半徑垂直〃這

一性質(zhì)來證明問題。

(4)兩圓相切作公切線

對兩圓相切的問題，一般是經(jīng)過切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過公切

線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

(5)兩圓相交作公共弦

對兩圓相交的問題，通常是作出公共弦，通過公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來，又

可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來。

作輔助線的方法

-：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。

如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長中線或中位線作輔助線，

使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點(diǎn)作已知邊或線段的平行

線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。

二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件,

而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對稱軸往往是

垂線或角的平分線。

三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)

一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對稱中心，

因題而異，有時(shí)沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。

四:造角、平、相似，和、差、積、商見。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相

似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角

等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、

相似，和差積商見?！?/p>

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表)

五：兩圓若相交，連心公共弦。

如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。

六：兩圓相切、離，連心，公切線。

如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往

往是連心線或內(nèi)外公切線。

七：切線連直徑，直角與半圓。

如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，

條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與

直徑互為輔助線。

如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相

反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為

輔助線。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。

如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。

如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為

輔助線，反之，亦成立。

有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助

線。

九：面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>

如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往

作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。

如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。

另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百

多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄?/p>

所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們在線段、射線或弧線

上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)

解決問題.

關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.

數(shù)學(xué)思想：分類思想函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想

注重對幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查

從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、

動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程

中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能

力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.圖形在動(dòng)點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計(jì)算

推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路，這也

是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、

實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展.這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問

題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等.從數(shù)學(xué)思想的

層面上講：（1）運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想;

（5）轉(zhuǎn)化思想等.

一次函數(shù)定義：一般地，形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，kWO）的函數(shù)，叫一次函數(shù)。

（存在條件：①兩個(gè)變量x、y,②k、b是常數(shù)且k#0,

③自變量x的次數(shù)是1,④自變量x的是整式形式）

一次函數(shù)與正比例函數(shù)關(guān)系：正比例函數(shù)包含于一次函數(shù)，即正比例函數(shù)是一

次函數(shù)；正比例函數(shù)是一次函數(shù)當(dāng)b=0時(shí)的特殊情況。

一次函數(shù)性質(zhì)：以下各條性質(zhì)反之也成立。

①圖像形：是一條直線。稱為直線y=kx+b

②象限性：

當(dāng)k>0、b>0時(shí)，直線經(jīng)過第一、二、三象限，不過四象限。

當(dāng)k>0、bVO時(shí)，直線經(jīng)過第一、三、四象限。不過二象限

當(dāng)k<0、b>0時(shí)，直線經(jīng)過第一、二，四象限。不過三象限

當(dāng)k<0、b<0時(shí)，直線經(jīng)過第二，三、四象限。不過一象限

③增減性：當(dāng)k>0時(shí)，直線從左向右上升，隨著x的增大（減?。﹜也增大（減

?。?/p>

當(dāng)kVO時(shí)，直線從左向右下降。隨著X的增大（減?。﹜反而而減?。ㄔ龃螅?/p>

④連續(xù)性：由于自變量取值是全體實(shí)數(shù)，所以圖像具有連續(xù)性。（沒有最大或

最小值）

⑤截距性;

當(dāng)b>0時(shí)，直線與y軸交于y軸正半軸（交點(diǎn)位于軸上方）

當(dāng)bVO時(shí)，直線與y軸交于y軸負(fù)半軸（交點(diǎn)位于軸下方）

⑥傾斜性：Ik|越大，直線越靠向y軸，與x軸正方向的夾角度數(shù)越大，越陡。

⑦平移性；直線y=kx+b

當(dāng)b>0時(shí)，是由直線丫=1?向上平移得到的。

當(dāng)b<0時(shí)，是由直線丫=1?向下平移得到的。

⑧平行性：，當(dāng)時(shí)，〃

待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)解析式，在根據(jù)條件確定解析式中的未知的系數(shù)，從

而寫出這個(gè)式子的方法，叫待定系數(shù)法。

用待定系數(shù)法確定解析式的步驟：

①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為：y=kx或y=kx+b

②將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式，得到方程（組）

③解方程或組，求出待定的系數(shù)的值。

④把的值代回所設(shè)表達(dá)式，從而寫出需要的解析式。

注意；正比例函數(shù)尸kx只要有一個(gè)條件就可以。而一次函數(shù)y=kx+b需要有兩

個(gè)條件。

一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系

一元一次方程ax+b=O（a,b為常數(shù)，且a#0）可看作一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值

是0的一種特例，其解是直線y=ax+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以解一元一次方程

ax+b=O可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)一次函數(shù)丫=2*+1）的值為0時(shí)，求相應(yīng)自變量x的值，因此可以

利用圖像來解一元一次方程。

求直線產(chǎn)kx+b與x軸交點(diǎn)時(shí)，可令y=0,得到一元一次方程kx+b=O,解方程得x=

—，則一就是直線產(chǎn)kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

反過來解一元一次方程也可以看作是求直線y=kx+b與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。

一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

一元一次不等式ax+b>0或ax+bVO（a,b為常數(shù)，且aWO）可看作一次函數(shù)

y=ax+b的函數(shù)值大于0或小于0的情形，所以解一元一次不等式可以轉(zhuǎn)化為當(dāng)一次

函數(shù)y=ax+b的值大于0或小于0時(shí)，求相應(yīng)自變量x的范圍，因此可以利用圖像來

解一元一次不等式。

一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)y>0時(shí),成為一元一次不等式kx+b>0;

一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)y<0時(shí)，成為一元一次不等式kx+bVO;

kx+b>0的解集是一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為正值時(shí)的自變量x的取值范圍，

對應(yīng)函數(shù)圖像在x軸上方；

kx+bVO的解集是一次函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為負(fù)值時(shí)，自變量x的取值范圍，

對應(yīng)函數(shù)圖像在x軸下方。

一次函數(shù)與二元一次方程(組)的關(guān)系

每個(gè)二元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)一次函數(shù)，對應(yīng)著一條直線；二元一次方

程組可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一次函數(shù)，對應(yīng)著兩條直線。從“數(shù)”的角度看是解方程組的

過程，從“形”的角度看，解方程組可以看作兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)，因此可以利用圖

像來解二元一次方程組。

二元一次方程kx—y+b=0(kWO)的解與一次函數(shù)y=kx+b(kWO)圖像上點(diǎn)

坐標(biāo)是----對應(yīng)的。

3、例題分析：UL

1.(2012?常德)已知四邊形ABCD是正方形，。為正方形對角線的交點(diǎn)，

方法與技

一動(dòng)點(diǎn)P從B開始，沿射線BC運(yùn)動(dòng)，連接DP,作CN_LDP于點(diǎn)M,且交直

巧

線AB于點(diǎn)N,連接OP,0N.(當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1：當(dāng)P在BC的

延長線上時(shí)，如圖2)

(1)請從圖L圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：①BN=CP；②OP=ON,且

OP±ON；

(2)設(shè)AB=4,BP=x,試確定以0、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x

的函數(shù)關(guān)系.

Mp

鼠____________c

4NB卜---------亨義V

?圖1n圖2

(1)證明：如圖1,

?..四邊形ABCD為正方形，

教學(xué)過程，OC=OB,DC=BC,ZDCB=ZCBA=90°,Z0CB=Z0BA=45°,ZD0C=90°,

DC/ZAB,

VDP±CN,

/.ZCMD=ZD0C=90°,

NBCN+NCPD=90°,ZPCN+ZDCN=90°,

...ZCPD=ZCNB,

VDC/7AB,

:.ZDCN=ZCNB=ZCPD,

?.?在aDCP和4CBN中

/.△DCP^ACBN(AAS),

.*.CP=BN,

?在△OBN和△OCP中

.,.△OBN^AOCP(SAS),

.,.ON=OP,ZB0N=ZC0P,

:.NB0N+NB0P=NC0P+NB0P,

MPZN0P=ZB0C=90°,

.-.ON±OP,

即ON=OP,ON±OP.

(2)解：?.?AB=4,四邊形ABCD是正方形，

...0到BC邊的距離是2,

圖1中，S四邊形OPBN=SAOBN+SABOP,

_11

=,x（4-x）x2+力xx*2,

=4（0<x<4）,

SS

圖2中，S0OBNP"APOB*△PBN

11

■,xxx2-&x（x-4）xx

1

--2X--x（x>4）,

'y=4（0<x<4）

<12

即以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與X的函數(shù)關(guān)系是：［小冠X-X（X>4）.

2.已知正方形ABCD,點(diǎn)P是對角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊

所在直線上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE=PD總成立.

（1）如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)P在對角線AC上時(shí)，請你通過測量、觀察，猜想

PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論不必證明）；

（2）如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長線上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是

否成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由；

（3）如圖（3）,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長線上時(shí)，請你利用圖（3）

畫出滿足條件的圖形，并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)

論不必證明）

\

I國X__\JSI_./\\

DELEDC1p\

(1)(2)(3)

(1)解：①PE=PB,②PEJ_PB.

(2)解：(1)中的結(jié)論成立.

①?.?四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，

/.CD=CB,ZACD=ZACB,

又PC=PC,

/.△PDC^APBC,

/.PD=PB,

VPE=PD,

/.PE=PB,

②：由①，得△PDCgZ\PBC,

ZPDC=ZPBC.(7分)

XVPE=PD,

:.ZPDE=ZPED.

/.ZPDE+ZPDC=ZPEC+ZPBC=180°,

/.ZEPB=360°-(ZPEC+ZPBC+ZDCB)=90°,

/.PE±PB.

(3)解：如圖所示：

結(jié)論：①PE=PB,②PE_LPB.

3.已知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、

BC于點(diǎn)E、F,垂足為0.

(1)如圖L連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿4AFB和4CDE各

邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即點(diǎn)P自A-F-BfA停止，點(diǎn)Q自CfD-E->C停止.在

運(yùn)動(dòng)過程中，

①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,

當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值.

②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b(單位：cm,abWO),已知A、C、P、

Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式.

EDAEDAED

BFCBFCBFC

圖1圖2備用圖

解：(1)①..?四邊形ABCD是矩形，

，AD〃BC,

NCAD=NACB,ZAEF=ZCFE,

TEF垂直平分AC,垂足為0,

.,.OA=OC,

/.△AOE^ACOF,

.,.OE=OF,

...四邊形AFCE為平行四邊形，

又?.?EF_LAC,

...四邊形AFCE為菱形，

②設(shè)菱形的邊長AF=CF=xcm,則BF=(8-x)cm,

在RtAABF中，AB=4cm,

由勾股定理得42+(8-x)2=x2,

解得x=5,

.*.AF=5cm.

2)①顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí)，Q點(diǎn)在CD上，此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;

同理P點(diǎn)在AB上時(shí)，Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF,Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形，也不能

構(gòu)成平行四邊形.

因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形，

.?.以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC=QA,

二,點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，

.\PC=5t,QA=12-4t,

.*.5t=12-4t,

4

解得t在，

以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，秒.

②由題意得，四邊形APCQ是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P、Q在互相平行的對應(yīng)邊

上.

分三種情況：

D如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在AF上、Q點(diǎn)在CE上時(shí)，AP=CQ,即a=12-b,得a+b=12；

ii)如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在DE上時(shí),AQ=CP,即12-b=a,得a+b=12；

iii)如圖3,當(dāng)P點(diǎn)在AB上、Q點(diǎn)在CD上時(shí)，AP=CQ,即12-a=b,得

a+b=12.

綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a+b=12(abWO).

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),

以線段AP為一邊,在其一側(cè)作等邊三角形APQ.當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)0處時(shí),

記Q的位置為B.

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)求證：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)(P不與0重合)時(shí)，NABQ為定值；

(3)是否存在點(diǎn)P,使得以A、0、Q、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在,

請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(1)解：過點(diǎn)B作BCJ_y軸于點(diǎn)C,

VA(0,2),Z^AOB為等邊三角形，

/.AB=0B=2,ZBA0=60o

.,.BC=A/3，OC=AC=L

即B(V3，1)；

(2)證明：當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)(P不與0重合)時(shí)，不失一般性,

VZPAQ=Z0AB=60°,

:.ZPAO=ZQAB,

在aAPO和AAQB中，

/.△APO^AAQB（SAS）,

.?.NABQ=NA0P=90°總成立，

，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)（P不與0重合）時(shí)，NABQ為定值90°；

（3）解：由（2）可知，點(diǎn)Q總在過點(diǎn)B且與AB垂直的直線上，可見A0

與BQ不平行.

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，

此時(shí)，若AB〃OQ,四邊形AOQB即是梯形，

當(dāng)AB〃OQ時(shí)，ZBQ0=90°,ZB0Q=ZAB0=60°.

又OB=OA=2,可求得BQ=J5，

由（2）可知，絲ZiAQB,

.-.0P=BQ=V3-

此時(shí)P的坐標(biāo)為（-、門，0）

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)Q在B的上方，

此時(shí)，若AQ〃OB,四邊形AOBQ即是梯形，

當(dāng)AQ〃OB時(shí)，ZABQ=90°,ZQAB=ZAB0=60°.

又AB=2,可求得BQ=2、Q，

由（2）可知，ZiAPO經(jīng)ZSAQB,

OP=BQ=2V5，

，此時(shí)P的坐標(biāo)為（2?，0）.

綜上，P的坐標(biāo)為（-五，0）或（2M,0）.

0x

A

L"上

___乙VzVX

P

2Q

5.如圖，在aABC中，點(diǎn)。是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)0

作直線MN〃BC.設(shè)MN交NBCA的平分線于點(diǎn)E,交NBCA的外角平分線于

點(diǎn)F,連接AE、AF.那么當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并

證明你的結(jié)論.

二BC

解：當(dāng)點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)（或OA=OC）時(shí)，四邊形AECF是矩形.

證明：TCE平分NBCA,

，N1=N2,

又『MN〃BC,

/.Z1=Z3,

/.Z3=Z2,

.*.EO=CO,

同理，F(xiàn)O=CO,

/.EO=FO,

又『OAWJC,

:.四邊形AECF是平行四邊形，

???CF是NBCA的外角平分線，

.*.Z4=Z5,

又???N1=N2,

/.Z1+Z5=Z2+Z4,

又?.?Nl+N5+N2+N4=180°,

/.Z2+Z4=90°,

平行四邊形AECF是矩形.

BC

4、隨堂練習(xí)

L正方形ABCD中，點(diǎn)0是對角線DB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是DB所在直線上的一

/小

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE_LBC于E,PF_LDC于F.

（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)0重合時(shí)（如圖①），猜測AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系，

并證明你的結(jié)論；提示

（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上（不與點(diǎn)D、0、B重合）時(shí)（如圖②），探究（1）

中的結(jié)論是否成立？若成立eee寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在DB的長延長線上時(shí)，請將圖③補(bǔ)充完整，并判斷（1）中

的結(jié)論是否成立？若成立，直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出相應(yīng)的結(jié)論.

教學(xué)過程

2.如圖，一個(gè)直角三角形紙片的頂點(diǎn)A在NMON的邊0M上移動(dòng)，移動(dòng)過程

中始終保持ABJ_ON于點(diǎn)B,AC_LOM于點(diǎn)A.NMON的角平分線0P分別交

AB、AC于D、E兩點(diǎn).

(1)點(diǎn)A在移動(dòng)的過程中，線段AD和AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

(2)點(diǎn)A在移動(dòng)的過程中，若射線ON上始終存在一點(diǎn)F與點(diǎn)A關(guān)于0P

所在的直線對稱，判斷并說明以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形是怎樣特殊

的四邊形？

(3)若NM0N=45°,猜想線段AC、AD、0C之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，只寫

出結(jié)果即可.不用證明.

3.如圖，^ABC中，點(diǎn)P是邊A