七年級數(shù)學(xué)寒假教案

J論蟬T學(xué)

一七年級數(shù)學(xué)寒假教案

《動態(tài)數(shù)學(xué)思維》教案

教材版本：全國版.學(xué)

校：.

年七授年月日

師級年級課時間

謂2課時課第1講一數(shù)軸、絕對值、相反數(shù)

時題

教材分有理數(shù)是學(xué)生上初中接觸的第一個代數(shù)章節(jié)，也是學(xué)習(xí)初中

析數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在以后的教學(xué)中要處理好這樣的幾個問題：教師主

導(dǎo)與學(xué)生主體的問題；感性與理性的問題；過程與結(jié)論的問題.

注意培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高計算能力和思維能力.

本講內(nèi)容主要講解有理數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)軸、絕對值和相反數(shù)的

知識，都屬于數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容，要注意培養(yǎng)學(xué)生的形象思維.

能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的相反

數(shù)與絕對值，充分理解絕對值的幾何意義.

知1.結(jié)合數(shù)軸，理解有理數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)，能利用數(shù)軸比

識較有理數(shù)的大小.

技2.體會相反數(shù)的意義和作用，并能應(yīng)用相反數(shù)解決實際問

能題.

學(xué)3.借助數(shù)軸，初步理解絕對值得概念，能求一個數(shù)的絕對值，

會利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的大小.

目

數(shù)1.通過用數(shù)軸、有理數(shù)表示相反數(shù)的數(shù)量關(guān)系的過程，體會

標(biāo)學(xué)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，建立圖形意識.

思2.在數(shù)軸上移動的過程中進一步引發(fā)學(xué)生的空間觀念，理解

考數(shù)軸與相反數(shù)的幾何意義，絕對值的關(guān)系，建立幾何直觀.

問1.初步學(xué)會在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問

題題、解決問題，應(yīng)用數(shù)軸、相反數(shù)和絕對值的相關(guān)知識解決簡單

解的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力.

決2.經(jīng)歷從不同的角度出發(fā)，尋求分析問題和解決問題的方法

過程，體驗解決問題的多樣性.

情借助數(shù)軸解決數(shù)學(xué)問題，有意識地形成“腦中有圖，心中有

感數(shù)”的數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生采取自主探索，合作交流的學(xué)習(xí)

態(tài)方式.

度

教學(xué)重教學(xué)重點

點、1.初步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，正確掌握數(shù)軸畫法和用數(shù)

難點軸上的點表示有理數(shù),并會比較有理數(shù)的大小.

2.理解相反數(shù)的實際意義，并能利用相反數(shù)解

決實際問題.

3.理解絕對值的幾何意義，并能運用絕對值的性

質(zhì)解決生活中的數(shù)學(xué)問題.

教學(xué)難點

數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

教學(xué)準(zhǔn)動畫多媒體語言課件

備

第一課時

復(fù)備內(nèi)教學(xué)過程

容及討論記

錄

導(dǎo)入

(老師做自我介紹)，歡迎大家來到數(shù)學(xué)課堂，從今天開

始，老師將帶領(lǐng)大家一起來回顧復(fù)習(xí)一下我們秋季的學(xué)習(xí)過的

七年級的知識，并對明年你們即將要學(xué)習(xí)的部分新知識進行預(yù)

習(xí).這節(jié)課我們首先來復(fù)習(xí)一下數(shù)軸、絕對值、相反數(shù)的知識.

下面我們先一起來回憶一下基礎(chǔ)知識，誰來說一說.

生：...

課件播放導(dǎo)入動畫

回顧

1數(shù).軸

定義：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸.

數(shù)軸是數(shù)、形聯(lián)系的橋梁，借助它可以幫助理解相反數(shù)、絕

對值等概念.

2相.反數(shù)

定義：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

一般地，a和-a互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0.

3.絕對值

定義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a

的絕對值.

?(?>0),

時=?o(a=0),

—a(a<0).

幾何意義：|廠/指在數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)a的點的

距離.

性質(zhì):⑴|a|20(非負(fù)性)；(2)a|=|-a|.

師：看來大家基礎(chǔ)知識掌握的還不錯呀，接下來讓我們看

看怎么利用這些知識來解決問題.

教學(xué)新授

探究類型之一數(shù)軸的概念

例1如圖，A,B,C,D,E為某為標(biāo)出原點的數(shù)軸上的五個

點，且AB=BC=CD=DE,則距離原點最近的點是

ABCDE

............................................

-911

L教師指定學(xué)生讀題，并說一說自己從圖中獲得的信息.

生：從圖中我們可以知道點A表示的數(shù)是-9,點E表示的

數(shù)11.

師：很好，數(shù)軸上的每個點都對應(yīng)著一個數(shù)，那么我們已

經(jīng)知道了兩個點對應(yīng)的數(shù)，那么題目問我們哪個點離原點最近,

我們還需要知道什么？

生：還需要知道點C,。分別表示的數(shù)是多少.

師：很好，只要知道了每個點所表示的數(shù)那么我們也就可

以知道哪一個點離原點最近了，那么點B,C,。分別表示的數(shù)

是多少呢，下面就請你自己獨立思考，嘗試解決一下吧.解決之

后把自己的想法和同桌說一說.

2.學(xué)生獨立思考，嘗試解答，然后同桌交流.

3.教師指定學(xué)生匯報講解，其他學(xué)生指正補充.

生：從圖中我們可以知道AE=11-(-9)=20,而

AB=BC=CD=DE,這樣我們就可以得到AB=BC=CD=DE=5,

從而就可以知道點B表示的數(shù)是-9+5=-4,點C表示的數(shù)是

-4+5=1,點。表示的數(shù)是1+5=6.

師：很好，既然我們知道了每個點表示的數(shù)，那么怎么來

判斷哪一個點離原點最近呢？

生：要判斷誰離原點最近，也就是要比較這五個點表示的

數(shù)對應(yīng)的絕對值哪個最小.我們很容易知道1離原點最近.

4.教師小結(jié)：數(shù)軸上的每一個點都表示一個數(shù)，數(shù)軸上一

個點距離原點的距離就是這個點表示的數(shù)的絕對值.

答案：C

師：這么容易同學(xué)們就把這道題目給解決了，看來大家都

已經(jīng)掌握了解決這類問題的一般方法了，下面我們就來做一做

課后的類似性問題3吧，請你獨立完成，看誰做的又對又快！

鞏固拓展

3.點M在數(shù)軸上距原點5個單位長度，若將M先向右平移4個

單位長度再向左移動2個單位長度至N點，則N點表示的數(shù)

是.

師：學(xué)生獨立完成解答，教師指定學(xué)生講解.

提示：分點M在原點的左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論.

MAT

-----*1*-------->

-5--0----5

探究類型之二利用數(shù)軸比較大小

例2a,匕是有理數(shù)，它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，

將a,-a,b,~b,a+b,a~h,按照從小到大的順序排

列.

-----1--11-------->

a0----b

1.教師制定學(xué)生讀題，并說一說自己從圖中獲得的信息及

解題思路.

生：從圖中我們可以知道aVOVb,|a|V例.

師：那么本題我們該怎么解決呢？說說你的想法.

生1：可以用特殊值法，我們可以假設(shè)a=T,8=3.然后分

別計算出-a,~b,a+b,a-b,b-a,再比較.

師：特殊值法在我們做選擇題或者填空題時，可以幫助我

們快速解答，是一種非常重要的方法.取特殊值時要注意取值

的合理性（如本題取a=T,A=l.5時就會出現(xiàn)錯誤）.如果不用

特殊值法，我們又該怎么辦呢？

生2：在數(shù)軸上分別找到-a,-b,a+b,a~b,b-a對應(yīng)的點，

然后根據(jù)數(shù)軸上右邊的點對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點對應(yīng)的數(shù)大來

比較大小.

師：下面就請大家在數(shù)軸上找找-a,-b,a+h,a~b,b-a

對應(yīng)的點的位置吧.

2.學(xué)生獨立嘗試在數(shù)軸上標(biāo)出-a,-b,a+b,a-b,b-a對

應(yīng)的點的位置，教師指定學(xué)生上臺標(biāo)示.

3.教師根據(jù)臺上學(xué)生的標(biāo)示情況講評.

4.學(xué)生獨立完成解答.

5.教師小結(jié)：在數(shù)軸上，從左到右的點對應(yīng)的數(shù)由小到大,

在數(shù)軸上原點左邊的點對應(yīng)的數(shù)表示負(fù)數(shù)，右邊的點對應(yīng)的數(shù)

表示正數(shù).a+。（力>0）對應(yīng)的點可以由a對應(yīng)的點向右平移b

個單位長度得到（。>0）對應(yīng)的點可以由a對應(yīng)的點向左

平移b個單位長度得到.

答案：

解:Va<0,^>0,\a\<\b\,

-^<0,〃+。>0,a-b<0,b-a>0,

結(jié)合圖形分析可知：

a-b<-b<a<-a<a+b<b<b-a.

鞏固拓展

L有理數(shù)a,b,c對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則

a

-a,b~c,c+a中最大的數(shù)是.

-1a0bc1

師：學(xué)生獨立完成解答，教師指定學(xué)生講解.

提示：根據(jù)TVaVOVbVcVl,且阿<|《<目，

分別判斷-L-a,b~c,c+a中的大小.

a

答案：--

a

探究類型之三相反數(shù)

例3已知a,b互為相反數(shù)，數(shù)x在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的

距離為2,c,d互為負(fù)倒數(shù)，求

（〃+O+cd）x+（a+b）2015+（ct/）20,4的值.

師：學(xué)生獨立完成此題，教師巡視提示.

提示：a,匕互為相反數(shù)，a+b=Q.

c,d互為負(fù)倒數(shù)，cd=~l.

數(shù)x在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離為2,

在(T)"中，若〃為奇數(shù)，則(T)"=T,

若n為偶數(shù),則0的任何正整數(shù)次幕結(jié)果都為

0.

師：找出做出的學(xué)生說說解題思路，老師點評.

師：出示課件講解.

答案：

解：'.'a,人互為相反數(shù)，.，.a+0=0.

Vc,d互為負(fù)倒數(shù)，...cdbL

原式=f-(OT)X+O2OI3+(-1)254=^2+x+l.

?.?數(shù)x在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離為2,.?.國=2,x=

±2.

.,.當(dāng)x=2時，原式=22+2+1=7；

當(dāng)x=-2時，原式=(-2)2-2+1=3.

鞏固拓展

7

2.已知x的相反數(shù)是5士的倒數(shù)，則x的值為______.

3一

師：學(xué)生獨立完成此題，集體核對答案.

答案：-2

17

三、課堂總結(jié)

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)是不是對數(shù)軸有了跟深刻的理解了.

那同學(xué)們課間休息一下.

第二課時

復(fù)備內(nèi)容及討論教學(xué)過程

記錄

師：上節(jié)課我們主要回顧了數(shù)軸和相反數(shù)的知識，接下來我們一起來

幾道與絕對值有關(guān)的題目.

合作探究

探究類型之四絕對值

例4a,b是有理數(shù)，如果=a+。,那么對于結(jié)論：

(1)。一定不是負(fù)數(shù)；

(2)〃可能是負(fù)數(shù)，其中()

A.只有(1)正確B.只有(2)正確

C.(1)(2)都正確D.(1)(2)都不正確

1.教師指定學(xué)生讀題，并說說自己能夠獲得哪些信息.

生：根據(jù)絕對值的非負(fù)性可以得到|。-可=。+匕20.

師：但是題目給我我們判斷的兩個結(jié)論都是關(guān)于?；颉ǖ?，我們該怎

辦呢？

在小組里討論一下吧.

2.學(xué)生小組討論，教師巡視并積極參與其中，對于沒有思路的小組適

提示：嘗試著去掉|。-目的絕對值看看有什么收獲.

3.教師指定學(xué)生匯報講解.

4.教師講評并小結(jié):僅由a+b=\a-b\20,則無法確定a,b的非負(fù)性，

以必須分與。沖<0兩種情況討論.絕對值體現(xiàn)了分類思想，分類

論思想在處理與絕對值相關(guān)問題時，有著非常重要的作用.

分析：

①當(dāng)時，,一可=。-匕，.'.a-b=a+b,.\b=0,

②當(dāng)aWO時，\ci~b\=b~a,'.b-a=a+b,'.a=0,.,.b>0.

綜上可知，a,8都不可能是負(fù)數(shù).

答案：A

鞏固拓展

5.有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，試化簡

|t7—c]-1<7~/>|+|<7+c|+|Z>+c|.

師：提示學(xué)生根據(jù)c<a<Q<b,同<同<比

分別判斷a-c,a-b,a+c,b+c的大小.

分析：

由圖可知c〈aVOV<|/?|<|?|<|cj,

a-c>0,a-b<Q,a+c<0,b+c<0.

6.已知a,b,c為非零有理數(shù)，且a+b+c=O,求與+3+?！龅闹凳嵌郕

問問lcl

1.教師指定學(xué)生讀題并說說自己的解題思路.

生：應(yīng)該根據(jù)a,b,c的正負(fù)性分類討論.

師：那么我們該怎么分類呢？和你的同桌討論一下.

2.學(xué)生同桌之間討論a,4c的正負(fù)性，教師指定學(xué)生匯報.

3.學(xué)生獨立完成解答.

分析：

可以分a,b,c為一正兩負(fù)和一負(fù)兩正兩種情況討論.

合作探究

探究類型之五絕對值與非負(fù)數(shù)

例5已知2,一2()13|+：0+2014)2=0,求(x+y)2。15的值.

L教師指定學(xué)生讀題，并說一說自己的解題思路.

生：我們知道卜-2013|20,(y+2014)220,根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和為

則這幾個數(shù)都為0,我們可以得至1」廠2013=0和y+2014=0,從而求出x不

的值.

師：很好，你發(fā)下了題中給了我們兩個非負(fù)數(shù)，而且他們的和是0.下

就請大家獨立完成解答吧，不過要注意解題過程哦！

2.學(xué)生獨立完成解答，教師指定學(xué)生上臺解答，教師注意引導(dǎo)學(xué)生規(guī)

解題過程.

3.其他同學(xué)對黑板板演過程指正補充，教師講評.

答案：

解：根據(jù)題意得k-2013|=0,(y+2014)2=0,

Ax-2013=0,y+2014=0,Ax=2013,),二一2014.

A(x+y)2O,5=[2O13+(-2014)]2O15=(-1)20,5=-I.

鞏固拓展

4.若|2x+6]+|3_y|=0,求3x+2y的值.

師：學(xué)生獨立完成此題，教師指定學(xué)生講解.

提示：學(xué)生利用絕對值非負(fù)性，

分析：根據(jù)兩個絕對值的和為0，

可知2x+6=0，3-y=0-

7.已知同=5,網(wǎng)=8,求5a+4Z?的值.

師：提示學(xué)生利用絕對值的非負(fù)性，根據(jù)卜-司口判斷。，。取值.

由同=5,網(wǎng)=8,可得a=±5,b=±8.

根據(jù)絕對值的非負(fù)性可知,-。|=力-420,即所以a=±5,b=

合作探究

探究類型之六絕對值的幾何意義

例6我們知道絕對值表示的是距離，如：|3-1|表示的是數(shù)軸上表示3的

到表示1的點的距離，|3-(-1)|表示的是數(shù)軸上表示3的點到表示

的點的距離.

（1）數(shù)軸上表示任意數(shù)X的點到表示3的點的距離可以表示

,表示任意數(shù)x的點到表示-5的點的距離可以表示

答案：|1一3|；3—（一5）|

（2）,-3|+k+5|的最小值為.

分析：

AB

---*--------1-------*----->

-503

卜+5|=k-（-5）|,如圖，本題可以轉(zhuǎn)化為“求數(shù)軸上任意一點C（表

數(shù)x）到點A（表示數(shù)-5）和點8（表示數(shù)3）的距離之和的最小值”.

分點C在點A的左邊、點A和點B之間（包含點A和點8）、點B的

邊三種情況討論.

①當(dāng)點C在點AWiiiEbj-,AC+BC=AC+AC+AB=2AC+AB>AB.（

一步）

②當(dāng)點C在點A和點8之間（包含點A和點B）^,AC+BC=AB.（

一步）

③當(dāng)點C在點B的右邊時,AC+8C=A8+8C+BC=A8+280AB.（

一步）

綜上可知當(dāng)點。在點A和點8之間（包含點A和點8）時，AC+BC

得最小值，最小值等于A8的長，即卜-3|+卜+5|的最小值為8.

答案：8

（3）|x+7|+|x-3|+|x+5|的最小值為.

解析：動畫畫圖

CAB

---4----414---->

-7-5----0------3

|x+5|=|.r-(-5)|,|x+7|=|x-(-7)|,

如圖，本題可以轉(zhuǎn)化為“求數(shù)軸上任意一點。（表示數(shù)%）到點A（表示

-5）、點8（表示數(shù)3）、點C（表示數(shù)-7）的距離之和的最小值”.

由（2）可知當(dāng)點。在點8和點。之間（包含點8和點C）時，BD+（

取得最小值.

而要想使AD+8D+CD最小，同時我們要保證AO盡可能地小，所以

點。在點A位置時，AD=O,此時AQ+3Q+C。取得最小值，最小值等于.

的長，即當(dāng)x=-5時，|x+7|+|x-3|+|x+5］取得最小值10.

答案：10

1.教師指定學(xué)生讀題并匯報第（1）問答案.

師：（2）如何來轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上呢？在小組內(nèi)討論一下吧.

2.學(xué)生分小組討論，教師注意巡視，積極參與其中，對于沒有思路的

組給予適當(dāng)提示.

3.教師指定小組派代表匯報本，其他小組補充評價.

4.教師講評第（2）問.

師：那么下面你能自己獨立把（3）轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上并解決它嗎？

4.學(xué)生畫出圖形獨立嘗試解答第（3）問.

5.教師指定學(xué)生講解，其他學(xué)生指正并補充，教師講評.

6.教師小結(jié)：把絕對值所表示的距離反映到數(shù)軸上，充分體現(xiàn)了數(shù)形

合的思想，數(shù)形結(jié)合的思想在解決求幾個絕對值之和最小值問題時，有著

常重要的作用.

鞏固拓展

8.^|x-3|+|x-l|+|x+5|+|x+7|的最小值并說明取得最小值時x的取

范圍.

師：參考例6的解題過程.學(xué)生嘗試畫圖小組討論獨立解答此題.

分析：

CADB

----4----*----------1—*----*------>

-7-5013

|x+5|=|x-（-5）|,|x+7|=|A:-（-7）|,

如圖，本題可以轉(zhuǎn)化為“求數(shù)軸上任意一點E（表示數(shù)x）到點A（表示

-5）、點B（表示數(shù)3）、點。（表示數(shù)-7）、點D（表示數(shù)1）的距離之和的

小值”.

要使AE+BE+CE+DE取得最小值，可以分為兩組AE+DE和BE+CE

別取得最小值.

當(dāng)點E在點A和點D之間（包含點A和點D）時，AE+DE取得最小彳

在點E在點B和點C之間（包含點B和點C）時，8E+CE取得最小彳

綜上可知，當(dāng)點E在點A和點D之間（包含點A和點D）時

AE+BE+CE+DE取得最小值.

拓展延伸：

例題1（1）已知a,",c為非零有理數(shù)，求一4占的值是多少

\a\\b\Id

（2）在上題的條件下，若abcVO,求￡+￡的值.

同月H

課件出示答案：

解：（1）a、b、c均為非零的有理數(shù)，則a、b、c可以為正數(shù)和負(fù)數(shù)

①當(dāng)a、b、c都是正數(shù)時，原式2，=-3,

abc

②當(dāng)a、b、c都是負(fù)數(shù)時，原式=3；

③當(dāng)a、b、c有兩正一負(fù)時，原式=T；

④當(dāng)a、b、c有兩負(fù)一正時，原式=1；

（2）因為abc<0,所以a、b、c中有3個負(fù)數(shù)或者1個負(fù)數(shù)，

①當(dāng)a、b、c中有3個負(fù)數(shù)時，原式=-1-1-（-1）=-1,

②當(dāng)a、b中有一個負(fù)數(shù)時，原式=-1+1-1=-1,

當(dāng)c是負(fù)數(shù)時，原式=1+1-(-1)=3.

例題2歡歡在研究數(shù)學(xué)問題時遇到一個定義：對于排列好順序的三

數(shù)：a,b,c,稱之為數(shù)列a,b,c.分別計算時，口皆，,

這三個數(shù)的最小值稱為數(shù)列a,b,c的價值.例如對于數(shù)列-1,-5,4,因

(1)+(5)+4

|-1|=1,1--1=|,所以數(shù)列一1,-5,4的價

是M

3

歡歡進一步發(fā)現(xiàn)：當(dāng)改變這三個數(shù)的順序時，所得到的數(shù)列都可以按

上述方法計算其相應(yīng)的價值，如數(shù)列-1,-5,4的價值是;.數(shù)歹以5,4,-1的

值是,……經(jīng)過研究，歡歡發(fā)現(xiàn)，對于“-1,-5,4”這三個數(shù)，按照不同

2

排列順序得到的不同數(shù)列中，價值最小的為L.

2

(1)數(shù)列-4,-3,2的價值___________.

(2)將數(shù)列“4-3,2”這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干

數(shù)列，這些數(shù)列的價值的最小值是,取得價值最小值的數(shù)列

(寫一個即可)

(3)將2,-9,a(a>l)這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若

個數(shù)列.若這些數(shù)列的價值的最小值是1,則a的值是.

課件出示答案：

(1)5/3(2)]/2,-3,2,-4或2,-3,-4(3)11或4

全堂總結(jié)

1、絕對值的幾何意義：

(1)|a|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個數(shù)的點離原點的距離.

(2)|a-b|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a,b對應(yīng)數(shù)軸上兩點間的

離.

2、帶有絕對值的問題解題技巧：

絕對值內(nèi)的數(shù)無法判斷正負(fù)性時，去絕對值要分類進行討論，對于不

合要求的情況需要舍去.

答案：

鞏固拓展

3.-3或7

4.解：根據(jù)題意得2x+6=0,3-j'=0,可得x=-3,y=3.所以3x+2y=3X(-3)

+2X3=-3.

5.解：由圖可知cVqVOV瓦|Z?|<|a|<|c|>a-c>0,a-b<0,a+cVO,

b+c<0.

p/—c|—1<7—Z?|+|a+c|+|Z?+c|=?-(?+a-b-a-c-b-c=a-2b-3c.

6.解：b,c為非零有理數(shù)，且a+b+c=O,h,c應(yīng)為兩正一負(fù)或兩

負(fù)一正.

當(dāng)a,b,c為兩正一負(fù)時，不妨設(shè)a>Q,b>Q,c<0,則

abcabc....

\~r+■：-:+:-r-1----1----=1+1-1=1.

|4I.|c|ab-c

當(dāng)a,b,c為兩負(fù)一正時，不妨設(shè)a>0,b<0,c<0,則

ahcabc,,,

1~r+1-i+1—r=—I-----1-----=1-1—1=-1.

|n|\b\|c|a-b-c

綜上可知,4+3+三■的值為1或T.

7.解：V|a|=5,\b\=8,；.a=±5,/?=±8.

V\d-b\=b-a^O,:.b?a,.*.a=±5,b=8.

當(dāng)a=5,b=8時，5a+48=5X5+4X8=57；

當(dāng)a=-5,b=8時，5a+4b=5X（-5）+4X8=7.

8.解：|x+5|=|x-（-5）|,|x+7|=|x-（-7）|,如圖，本題可以轉(zhuǎn)化為“求數(shù)軸上任

意一點￡'（表示數(shù)x）到點A（表示數(shù)-5）、點3（表示數(shù)3）、點C（表示數(shù)-7）、點

。（表示數(shù)1）的距離之和的最小值”.口B

-c-----*--A----*----------------1—4-----?-

-7-5013

要使AE+BE+CE+DE取得最小值，可以分為兩組AE+DE和BE+CE分別取得

最小值.

當(dāng)點E在點A和點。之間（包含點A和點。）時，AE+OE取得最小值，最小

值為6；

在點E在點8和點。之間（包含點8和點C）時，BE+CE取得最小值，最小

值為10.

綜上可知，當(dāng)點E在點A和點D之間（包含點A和點D）時，AE+BE+CE+DE

取得最小值.

即當(dāng)-5Wx〈l時，卜-3|+卜-1|+卜+5|+k+7|取得最小值，最小值為6+10=16.

練習(xí)冊答案

1.D

2.A

3.2或8

4.-a-b

5.解：a+b<Q,b+c>Q,a-b<Q,c-b>0,a~b-c<0.

6.解：+5-3=2,20154-(5+3)=251....7,x2oi5=251X2+5-2=505.

7.解：根據(jù)題意可知點8表示的數(shù)是4,所以點P表示的數(shù)是-7或T或1

或7.

-7-14-1+7=0.

8.解：b,c為整數(shù)，...la-q和k一4為整數(shù).

V|a-Z?|+|c-a|-1?m-/?仔0,卜一《20,二=0,=1或卜_《=0,

卜一@=1.

當(dāng)卜_。|=0,\c~a\=1時，a=b,|/?—c|=|c-Z?|=|c—=1,/.

|c—6(|+16/-Z?|+1/?—c|=1+1=2.

當(dāng)|c-a|=0,\a~^\=1時，a=c,|/?-c|=|c-Z?|=|?-h|=1,:.

|c-+卜7一+卜一c|=1+1=2.

綜上可知卜_4+,_目+弧_°|的值為2.

《動態(tài)數(shù)學(xué)思維》教案

教材版本：全國版.學(xué)

校：.

年七授年月日

師級年級課時間

2課時課第2講一有理數(shù)的運算

時題

教材分本講是有理數(shù)章節(jié)的一個重點，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)了有理數(shù)的

析力口、減、乘、除以及乘方的基礎(chǔ)上熟練的對有理數(shù)進行運算，并

能充分理解、掌握有理數(shù)運算的順序.

本講難度相對不大，可以采用學(xué)生獨立解答的方式進行，教

師在教學(xué)例3時，要注重學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，觀察數(shù)字的特點，尋

找解題的簡便算法；在教學(xué)例題4時要注意運算的先后順序，避

免和正常的加減乘除順序搞混，在教學(xué)例6時，要深入理解滿200

返60的含義.

知1.會用科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)，理解乘方的意義，掌握有理數(shù)

識的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；

技2.理解有理數(shù)的運算律，能用運算律簡化運算；

能3.能運用有理數(shù)的運算解決簡答的實際問題.

學(xué)

目

數(shù)學(xué)生嘗試獨立思考，提高學(xué)生解決問題能力及計算能力，體

標(biāo)學(xué)會運算律的使用可以簡化計算.

思

考

問學(xué)生通過合作交流，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，加強練習(xí)，

題提高學(xué)生的計算能力.

解

決

情1.學(xué)生主動參與探索獲得數(shù)學(xué)知識，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積

感極性；

態(tài)

2.通過小組活動，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和能力.

度

教學(xué)重教學(xué)重點

點、有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及混合運算.

難點教學(xué)難點

有理數(shù)運算律的巧妙運用及有理數(shù)運算的應(yīng)用.

教學(xué)準(zhǔn)動畫多媒體語言課件

備

第一課時

復(fù)備教學(xué)過程

內(nèi)容及討

論記錄

一、導(dǎo)入

師：上節(jié)課我們一起復(fù)習(xí)了數(shù)軸、絕對值和相反數(shù)的知識，這

節(jié)課老師將帶領(lǐng)大家一起回顧復(fù)習(xí)一下有理數(shù)的運算的一些知識.

下面我們首先來一起梳理一下有理數(shù)運算的一些基本法則.

課件播放導(dǎo)入

二、教學(xué)新授

探究類型之一科學(xué)記數(shù)法

例12013年我國GDP達(dá)56.88萬億元，用科學(xué)記數(shù)法表示

是_________元.（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）

1.學(xué)生獨立完成解答.

2.教師指定學(xué)生講解其表示過程，其他學(xué)生指出錯誤并更正.

生：56.88的單位是萬億元，需要把單位改寫成元.

生：56.88萬億元=568800億元=56880000000000元.

3.教師指定學(xué)生總結(jié)用科學(xué)記數(shù)法表示大數(shù)的方法.

生：用科學(xué)記數(shù)法把大數(shù)表示成aX10"時，一定要注意IWa

<10,〃的取值比大數(shù)的整數(shù)部分位數(shù)少1.

答案：5.7X1013

56.88萬億=568800億=56880000000000=5.688X1（^小5.7X

1013.

4.教師小結(jié)科學(xué)記數(shù)法的注意事項.

探究類型之二有理數(shù)的混合運算

例2計算下列各題：

(1)4+(-2)2X2-(-36)4-4；

(2)(-10)4-)X5；

5

2

(3)[1-(1-0.5x1)]X[2-(-3)]；

3

(-24)X1)+(-3)2-r(-2)

(4)+

834

1.教師指定兩名學(xué)生板演，一人做(1)(3)題，另一人做(2)

(4)題，其他學(xué)生在下面獨立完成計算，完成后仔細(xì)觀察黑板上

兩位同學(xué)的計算過程及結(jié)果，并指正評價.

2.師指定學(xué)生說說我們在進行有理數(shù)運算時應(yīng)注意哪些.

生：有理數(shù)的運算順序：先算乘除，后算加減,有括號的先算

括號里面的.

師：說的非常全面，那么大家就按照剛剛XX同學(xué)的說法

來解答這幾個題目吧.

答案：

解：(1)原式=4+4X2-(-9)=4+8+9=21.

(2)原式=T0X(-5)X5=250.

(3)原式=(1-1+—X-)X(2-9)=-X(-7)

2366

(4)原式二(-24)X--(-24)X-+(-24)xl+94-(-2)

834

911

=-3-(-8)+(-6)+(--).

22

教師小結(jié)，強調(diào)有理數(shù)運算的順序和注意事項.

例3計算:

111

1949x+65x-2014x1,1

6519492014194965

1.學(xué)生仔細(xì)觀察題目，并找學(xué)生說說式子什么特點.

生:我發(fā)現(xiàn)1949+65=2014,而且整個式子中分母是65、1949、

2014的各兩個.

師：你觀察的真仔細(xì)，那么你覺得這道題目我們該怎么處理呢？

生：應(yīng)該先按照乘法分配律計算，然后把同分母分?jǐn)?shù)相結(jié)合.

師：說得非常好，我們在計算時一定要注意觀察式子有什么特

點，能不能簡便計算.

2.學(xué)生獨立完成計算，教師指定學(xué)生上臺板演.

3.教師根據(jù)學(xué)生板演情況講評.

4.教師小結(jié)：根據(jù)各個數(shù)之間的關(guān)系，運用運算律，改變運

算順序，可使某些計算簡便.

答案：

5T19491949656520142014

解:原15式=-----------1-----------------------------------------

65201419492014194965

=(19492014)(1949?65)1652014)

一^-6565-Fl2014+2014/11949-1949)

=-1-1-1=-3.

三、鞏固拓展

拓展1：2014年全國高校畢業(yè)生總數(shù)達(dá)到727萬人，比被稱

為‘史上最難就業(yè)季”的2013年再增加28萬人，創(chuàng)下歷史新高.2014

年全國高校畢業(yè)生總數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示是人.

先讀題，理清題意，算出2014年的具體畢業(yè)生人數(shù);

把“萬人”改寫成“人”，對數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)化.

學(xué)生獨立完成，集體核對答案.

拓展4：計算:

824

(1)48+(--—)；

1535

(2)(-2)2-k7k3-2

(3-5

532114

?2

(4)(-1)2014+(-2)X

3

學(xué)生獨立完成計算，教師指定兩名學(xué)生上臺板演，其他學(xué)生完

成后對臺上板演同學(xué)的計算過程指正并評價.

四、課堂小結(jié)：

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你都收獲了哪些知識，和大家分享一下.

好的，看來大家學(xué)習(xí)的都很不錯，那么我們現(xiàn)在先休息一會，下

節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)有理數(shù)的運算知識.

第二課時

復(fù)備內(nèi)容及教學(xué)過程

討論記錄

師：上節(jié)課我們一起復(fù)習(xí)了有理數(shù)的有關(guān)計算問題，這節(jié)課我們一起

來繼續(xù)看看有理數(shù)的運算有哪些創(chuàng)新應(yīng)用和實際生活運用.

合作探究

探究類型之三有理數(shù)運算的創(chuàng)新型問題

例4如圖是一個有理數(shù)混合運算的流程圖，請根據(jù)這個程序回答問

1.學(xué)生獨立思考，指定學(xué)生說說解題思路

生：把x=-16代入，按照給定的程序計算，然后判斷結(jié)果，如果結(jié)果大

于5則結(jié)束，如果結(jié)果不大于5,則把得到的結(jié)果代入從頭繼續(xù)計算，直

到結(jié)果大于5為止.

師：下面就請大家計算一下吧，看誰算得又對又快.

2.學(xué)生獨立完成計算，教師積極巡視，注意學(xué)生中是否有先化簡運算

程序，再代入計算的.

3.學(xué)生對黑板上板演內(nèi)容指正評價，教師講評.

師：有和這位同學(xué)方法不太一樣的嗎？（如果沒有，師提出，我們可不

可以先整理下運算程序呢？）

4.教師小結(jié)：一般來說，給定運算程序的計算題目我們只需要按照給

定的程序計算即可.如果是結(jié)果需要判斷確定是否循環(huán)計算的程序問題，我

們可以先將運算程序化簡，然后代入計算，可以使計算較為簡便.

答案：

解：[-16+4-(-32)(-0.5)

[-1+4-(-32)—(-0.5)

=[3-(-9)]X|—L|X(-2)

\6/

[4+4-(-32)—(-0.5)

=[8-(-9)]xf—L|X(-2)

17

最后輸出的結(jié)果y是;.

師：下面讓我們來做一道題鞏固一下：

拓展鞏固

拓展2：按圖中的程序運算，若輸入的數(shù)據(jù)為4時，則輸出的數(shù)據(jù)是

學(xué)生先理清圖表程序的運算順序是怎樣的.

學(xué)生獨立完成，指定學(xué)生講解.

例5對于兩個非零有理數(shù)內(nèi)〃定義運算如下：a*b=ab+2”3b

2h

?

求(-3)*(--)*(-2)的值.

3

學(xué)生先觀察題目，理解*號代表的含義

1.師指定學(xué)生到黑板上板演，其他同學(xué)獨立計算.

2.全班集體交流，指出錯誤并更正.

答案：

2-6+23

解：(-3)

342

3

33

(-2)+2x；—3x(—2)

3、—x-3+3+63

-*(-2),2

22x(—2)—42

師：下面自己來完成課后的鞏固拓展6吧.

拓展鞏固

拓展6：對于有理數(shù)x,y規(guī)定一種新運算其中a為常數(shù),

已知2*3=11.

(1)求a的值；

(2)求(-2)*(-2)的值.

4

1.學(xué)生獨立完成，指定學(xué)生講解.

生：根據(jù)2*3=11我們能求出a的值，知道了。是多少，我們就能求出

第（2）問中算式的結(jié)果.

2.師評價

探究類型之四有理數(shù)的運算的應(yīng)用

例6商場為了促銷，推出兩種促銷方式：

方式①：所有商品打7.5折銷售；

方式②：單件商品滿200元送60元現(xiàn)金.

（1）楊老師要購買標(biāo)價為628元和788元的商品各一件，現(xiàn)有四種購

買方案：

方案一：628元和788元的商品均按促銷方式①購買；

方案二：628元的商品按促銷方式①購買，788元的商品按促銷方式②

購買；

方案三：628元的商品按促銷方式②購買，788元的商品按促銷方式①

購買；

方案四：628元和788元的商品均按促銷方式②購買.

你給楊老師提出的最合理購買方案是.

答案：方案三

方案一:（628+788）X0.75=1062（元）；

方案二：628X0.75+788-60X3=1079（元）；

方案三：788X0.75+628-60X3=1039（元）；

方案四:628-180+788-180=1056（元）.

（2）通過計算下表中標(biāo)價在600~800元之間商品的付款金額，你總結(jié)

出商品的購買規(guī)律是什么？

商品標(biāo)價

666777

（元）

解：規(guī)律：當(dāng)商品標(biāo)價接近600時，按促銷方式②購買；當(dāng)商品標(biāo)價

接近800元時，按促銷方式①購買.

1.教師指定學(xué)生讀題，并說一說自己對促銷方式②的理解，教師列舉

具體的價格幫助學(xué)生理解.（如240元、380元、420元、530元的商品時,

實際分別花多少錢）

2.學(xué)生獨立完成（1）,然后找學(xué)生說說四種購買方案各應(yīng)付多少錢，

教師指定學(xué)生匯報結(jié)果，集體核對.

3.學(xué)生獨立完成（2）中的計算，并和同桌之間相互討論總結(jié)規(guī)律.

教師指定學(xué)生匯報.

生：當(dāng)商品標(biāo)價接近600時，按促銷方式②購買；當(dāng)商品標(biāo)價接近800

元時，按促銷方式①購買.

4.師拓展：那么商品標(biāo)價在600元到800元之間時，具體在什么范圍

時選擇方式①，什么范圍時候選擇方案②呢？（列一元一次方程解答，先計

算出商品標(biāo)價是多少時，兩種方式所付的錢數(shù)相等）

生小組討論，嘗試解答，教師指定學(xué)生匯報.

（當(dāng)商品的標(biāo)價為720元時，兩種方式所付的錢的是一樣的.商品標(biāo)價

大于600元且小于720元按促銷方式②購買，商品標(biāo)價大于720元且小于

800元按促銷方式①購買.）

5.教師小結(jié)：解決這類實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵在于理解題意，弄清題意

之后仔細(xì)計算比較即可.

師：下面就一起來完成課后的鞏固拓展3、5、7題吧！

鞏固拓展

拓展3：設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可分別表示為1,a+b,a的形

式，又可分別表示為0,--b的形式，則層。14+62015=______.

b

1.教師指定學(xué)生讀題，并說一說自己從題中獲得的信息.

生1：因為互不相等的有理數(shù)可以表示為1,a+b,a,也可以表示為0,

8說明a+A和a中有一個為0.

b

生2：還可以得到區(qū)，人有一個為1.

b

2.學(xué)生分小組討論（一組：討論a+b和。到底哪個為0；二組：

b

人到底哪一個為1）教師巡視并參與其中.

3.教師指定小組代表講解匯報，其他小組指正補充.

拓展5：A100）之間的路線如圖所示，若每條路

線的里程a（km44盤40）用（。，。）表示，從景點A

（迎，

到景點c用時最用時是多少？

（100.loom?,J^（I8O,60）

D

學(xué)生小組合作討論，教師指定小組代表匯報，其他小組補充.

先分別計算出五條路線（Af￡>fC,Af￡fC,AfBfC,A^E-B

fC,A-B-E^C）所需時間,再比較即可.

拓展7：已知a,b,c是有理數(shù)，且a+b+c=O,abc<0,求

b+ca+ca+b

q+可+W的值.

分析：由a+h+c=O,abc<0,得a,b,c為兩正一負(fù)；

不妨設(shè)a>0，^>0,c<0,則b+c=~a,a+c=~b,a+b=~c.

學(xué)生嘗試解答，教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范分類討論解題的方法.

學(xué)生匯報解題過程.教師評價.

拓展延伸

例題1觀察下列各式：

(x-l)(X+1)=/-1

(x-l)(/+X+1)=3^-1

(x-1)(j^+x2+x+l)=/-1

由上面的規(guī)律：

(1)25+24+23+22+2+1的值.

(2)求22°於+22014+22。13+…+2+1的個位數(shù)字.

學(xué)生先觀察題目的規(guī)律，說說你的發(fā)現(xiàn).

要想出現(xiàn)“25+24+23+22+2+1"，你想怎么辦？

學(xué)生先思考，然后匯報，其他學(xué)生補充.

解析：(1)令x=2,尋找<<25+24+23+22+2+1W出現(xiàn)的式子；

(2)探索2n的個位數(shù)字的情況.

答案：

解：(1)根據(jù)題干規(guī)律，令x=2有：

(2-1)(25+24+23+22+2+1)=26-1

所以(25+24+23+22+2+1)=26-1=63

(2)由題可知22015+22014+220l3+...+2+1=22016-1；

因為2n(n為自然數(shù))的個位數(shù)字只能為2,4,8,6,且具備周期

性.

又因為2016-4=504,所以22016的個位數(shù)字是6,

所以2235+22014+22013+…+2+1的個位數(shù)字是6-1=5.

例題2如果想要求1+2+22+23+...+2i°的值，除了用例題1中的方法之

外，還可以這樣:令$0=1+2+22+23+...+21°①,將①式兩邊同時乘2,得

到②，由②式減去①式，得Sio=.

學(xué)生嘗試解答.

答案：

(1)x2=(1+2+22+23+...+210)X2=2+22+23+...+2I0+2".

由②-①;(2+22+23+...+210+211)-(1+2+22+23+...+210)=2"-1

拓展：在例題的條件下，試計算：。+。4+沏2+。爐+...+的".(q不等于1)

師：這個題目和上題有什么聯(lián)系和區(qū)別，說說你的看法.

學(xué)生匯報思路，其他學(xué)生集體交流.

教師梳理補充.

答案：

解：設(shè)Sn=a+aq+aq2+aq3+???+aqn①，

將①式兩邊同時乘q,得

qSn=aq+aq2+aqi+,?,+aqn+aqn+1②

n+x

②-①可得:(q-1)5n=aq-a

所以Sn=a⑨”“T).

(q-D

全堂總結(jié)

有理數(shù)運算常用方法：

1.巧用運算律

2.湊整法

3.拆項法

4.分組相約法