第節(jié)矩陣的運(yùn)算

矩陣的加法主要內(nèi)容數(shù)與矩陣相乘矩陣的乘法第二節(jié)矩陣的運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置方陣的行列式矩陣矩陣乘積的意義伴隨矩陣1.定義

設(shè)A＝(aij)m×n與B＝(bij)m×n是

A-B=A+(-B).陣.顯然有A+(-A)=O.由此可定義矩陣的差為

若記-A=(-aij),則稱-A為矩陣A的負(fù)矩矩陣A

與矩陣B

的和，記為A＋B．兩個(gè)同型矩陣，稱m×n矩陣C＝(aij+bij)m×n

為

一、矩陣的加法例1設(shè)(1)問三個(gè)矩陣中哪些能進(jìn)行加法運(yùn)算,并求其和,哪些不能進(jìn)行加法運(yùn)算,說明原因;(2)求C的負(fù)矩陣.(1)

A與B能進(jìn)行加法運(yùn)算;陣,A和B都是3×2矩陣,C是2×2矩陣.B與C不能進(jìn)行加法運(yùn)算,因?yàn)樗鼈儾皇峭途囟鳤與C,解(2)C的負(fù)矩陣為:

2.運(yùn)算規(guī)律

設(shè)A,B,C為同型矩陣,則

(1)

A+B=B+A(加法交換律);

(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法結(jié)合律);(3)

A+O=O+A=A,

(4)

A+(-A)=O.其中O是與A同型矩陣;

1.定義設(shè)A=(aij)m×n

,

k是一個(gè)數(shù),則為數(shù)k與矩陣A的數(shù)量乘積,簡稱數(shù)乘,記為kA.稱矩陣

二、數(shù)與矩陣相乘例2設(shè)且在求矩陣X.兩端同加上得解兩端乘以得

2.運(yùn)算規(guī)律設(shè)A,B為同類型矩陣,k,l為常數(shù)，則(1)

1A=A;(2)

k(lA)=(kl)A;(3)

k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.設(shè)某地區(qū)有甲、乙、丙三個(gè)工廠,每個(gè)工廠都產(chǎn)品工廠ⅠⅡⅢⅣ甲乙丙203010451510702020153525產(chǎn)量(單位:個(gè))如下表所示:生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4種產(chǎn)品.已知每個(gè)工廠的年引例總收入與總利潤

三、矩陣的乘法已知每種產(chǎn)品的單價(jià)(元/個(gè))和單位利潤(元/個(gè))項(xiàng)目產(chǎn)品單價(jià)單位利潤ⅠⅡⅢⅣ100201504530012020060求各工廠的總收入與總利潤.如下表所示:

解容易算出各工廠的總收入與總利潤,也項(xiàng)目工廠總收入總利潤甲乙丙1550056502800010350197506775本例中的三個(gè)表格可用三個(gè)矩陣表示,設(shè)可以列表如下:易見矩陣A的列數(shù)=矩陣B的行數(shù),矩陣C的行數(shù)=矩陣A的行數(shù),矩陣C的列數(shù)=矩陣B的列數(shù).如果記

A=(aij)3×4,B=(bij)4×2,C=(cij)3×2,則

cij=ai1b1j+ai2b2j

+ai3b3j,i=1,2,3,j=1,2,我們把矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的乘積.注意:

只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣(左矩陣)的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣(右矩陣)的行數(shù)時(shí),兩個(gè)矩陣才能相乘.

1.定義

設(shè)矩陣A=(aij)m×p,B=(bij)p×n,i=1,2,…,m,j=1,2,…,n則稱矩陣C為矩陣A與矩陣B的乘積,記作C=AB.

cij=ai1b1j+ai2b2j

+…+aipbpj

C=(cij)m×n,其中

例3已知求AB.因?yàn)锳是2×4矩陣,B是4×3矩陣,定義有其乘積AB=C是一個(gè)2×3矩陣,由矩陣乘積的

解9-2-19911左i行右

j列對(duì)應(yīng)元素相乘再求和等于乘積的(i,j)元素對(duì)于線性方程組若令則上述線性方程組可寫成矩陣形式:AX=b.關(guān)于矩陣的乘法運(yùn)算,需要注意以下幾點(diǎn):

(1)矩陣的乘法運(yùn)算不滿足交換律.

(2)兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.

(3)矩陣的乘法不滿足消去律,即如果AB=CB,B0,不一定能推出A=C.

但A

C.例如定義對(duì)矩陣A與B，若有

則稱A與B是可交換的。例4設(shè)，

計(jì)算AB與BA解該例題還表明，矩陣乘法沒有交換律；且但例如，n階單位矩陣E和n階方陣A是可交換的兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣.

例5設(shè)求與A可交換的所有矩陣。

解設(shè)B與A可交換，則B應(yīng)是2階方陣，不妨記

由，即

得

所以解得

故與A可交換的所有矩陣為

其中a、c為任意常數(shù)。

2.運(yùn)算規(guī)律

(1)

Ok×mAm×p=Ok×p,Am×pOp×n=Om×n;(2)

設(shè)A

是m×n

矩陣,Em是m階的單位矩(5)

k(AB)=(kA)B=A(kB).(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)C=A(BC);(4)

A(B+C)=AB+AC,

EmA=A,AEn=A;陣,En是n階的單位矩陣,則

四、方陣的冪另外還規(guī)定，

Ａ0=E.Ａ相乘稱為

Ａ的m次冪，記為Ａm,即

1.定義

設(shè)A是n階矩陣,m是正整數(shù),m個(gè)

2.運(yùn)算規(guī)律設(shè)A

為方陣,k,l

為正整數(shù),則階方陣A與B,一般來說(AB)k

AkBk.又因矩陣乘法一般不滿足交換律,所以對(duì)于兩個(gè)n

AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.

由數(shù)的乘法運(yùn)算規(guī)律推出的一些公式未必完全適合矩陣：

例如

設(shè)f(x)=a0+a1x+…+amxm為x的m次多項(xiàng)式，A為n階，記f(A)=a0E+a1A+…+amAm

，f(A)稱為矩陣A的m次多項(xiàng)式.3.矩陣多項(xiàng)式定義f(A)并且應(yīng)為和A同階

的方陣.設(shè)A

為方陣,可定義矩陣A多項(xiàng)式：

五、矩陣的轉(zhuǎn)置1.定義把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到例如矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為一個(gè)新矩陣,叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT或A′.

2.運(yùn)算規(guī)律設(shè)A，B，C，A1，A2，…，Ak是矩陣，且(A1A2…Ak)T=AkT…A2TA1T;(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;則它們的行數(shù)與列數(shù)使相應(yīng)的運(yùn)算有定義，k是數(shù)，(5)

若A

為n

階矩陣,則(Am)T=(AT)m,A

為反對(duì)稱矩陣的充要條件是AT=-A.

(6)

A

為對(duì)稱矩陣的充要條件是AT=A;m

為正整數(shù);例5已知例6設(shè)A為n×1矩陣,且ATA=En,En為n階單位矩陣,B=En-2AAT,證明:B為對(duì)稱矩陣,且B2=En.由于:BT=(En

-2AAT)T=En-(2AAT)T=En-2(AT)TAT=En

-2AAT=B,因而矩陣B為對(duì)稱矩陣.B2=(En-2AAT)(En-2AAT)=En-2AAT-2AAT+4AATAAT=En-2AAT-2AAT+4A(ATA)AT=En.證明又證畢例7

證明任一

n階矩陣A

都可表示成對(duì)稱陣與反對(duì)稱陣之和.證明所以C為對(duì)稱矩陣.所以B為反對(duì)稱矩陣.命題得證.

六、方陣的行列式1.定義由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變),叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.

2.運(yùn)算規(guī)律設(shè)A,B為n階方陣,

為數(shù),則有(1)|AT|=|A|;(2)|A|=

n|A|;(3)|AB|=|A|