高一數(shù)學(xué)校本教材《高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽分類匯編》

目錄

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題規(guī)則和考試范圍........................................2

第一部分江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷［2009-2016年］.............................4

試卷012009年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷................................4

試卷022010年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷................................8

試卷032011年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷...............................12

試卷042012年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷...............................16

試卷052013年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷...............................20

試卷062014年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷...............................24

試卷072015年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷...............................28

試卷082016年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷...............................32

第二部分江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽分類匯編［2009-2016年］........................36

匯編01集合與簡易邏輯...................................................36

匯編02函數(shù)...........................................................37

匯編03導(dǎo)數(shù)...........................................................39

匯編04三角函數(shù).........................................................41

匯編05解三角形.........................................................42

匯編06平面向量.........................................................43

匯編07復(fù)數(shù)...........................................................45

匯編08數(shù)列...........................................................46

匯編09不等式..........................................................49

匯編10概率與計數(shù)原理...................................................51

匯編11立體幾何.........................................................52

匯編12解析幾何.........................................................54

匯編13平面幾何........................................................59

匯編14初等數(shù)論........................................................61

匯編15其他...........................................................63

匯編16分類匯編參考答案.................................................65

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題規(guī)則和考試范圍

聯(lián)賽分為一試、加試（即俗稱的“二試”）。各個省份自己組織的“初賽”、“初試”、“復(fù)

賽，，等等，都不是正式的全國聯(lián)賽名稱及程序。

一試和加試均在每年9月中旬的第二個周日舉行。

在江蘇省入圍參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)時間備注

一般是4月中下旬或5月上旬

2009年-2016年，考試時間均是上午

[2009-5-3:2010-4-18；2011-5-15；

江蘇省初賽8:00-10.00：通過初賽才能參加夏令營和

2012T-8；2013-5-5：2014-4-20；

復(fù)賽

2015-4-19；2016-5-8]

取決于夏令營的時間（夏令營最后一天復(fù)

2016年:7月19日上午8:00-12:00

江蘇省復(fù)賽賽）；近些年夏令營都是在揚州；內(nèi)容及

2015年：7月24日上午8:00-12:00

試卷格式同全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

根據(jù)復(fù)賽成績，劃定參加決賽同學(xué)名單；

全國高中

每年9月中旬的第二個周日舉行近些年江蘇賽區(qū)的決賽地點都在邛江中

數(shù)學(xué)聯(lián)賽

學(xué)

一、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試卷格式

一試

考試時間為上午8：00-9：20,共80分鐘。試題分填空題和解答題兩部分，滿分120

分。其中填空題8道，每題8分；解答題3道，分別為16分、20分、20分。

加試（二試）

考試時間為9：40-12：10,共150分鐘。試題為四道解答題，前兩道每題40分，后

兩道每題50分，滿分180分。試題內(nèi)容涵蓋平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)等。

依據(jù)考試結(jié)果評選出各省級賽區(qū)級一、二、三等獎。其中一等獎由各省負責(zé)閱卷評分，

然后講一等獎的考卷寄送到主辦方（當(dāng)年的主辦方），由主辦方復(fù)評，最終由主管單位（中

國科協(xié)）負責(zé)最終的評定并公布。二、三等獎由各個省自己決定。

各省、市、自治區(qū)賽區(qū)一等獎排名靠前的同學(xué)可參加中國數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）,

二、考試范圍

一試

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的一試競賽大綱，完全按照全日制中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中所規(guī)定

的教學(xué)要求和內(nèi)容，即高考所規(guī)定的知識范圍和方法，在方法的要求上略有提高，其中概

率和微積分初步不考」

二試

1、平面幾何

基本要求：掌握初中數(shù)學(xué)競賽大綱所確定的所有內(nèi)容。補充要求：面積和面積方法。

兒個重要定理：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

幾個重要的極值：到三角形三頂點距離之和最小的點-費馬點。到三角形三頂點距離

的平方和最小的點——重心。三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點——重心。

幾何不等式。

簡單的等周問題。了解下述定理：在周長一定的n邊形的集合中，正n邊形的面積最

大。在周長一定的簡單閉曲線的集合中，圓的面積最大。在面積一定的n邊形的集合中，

正n邊形的周長最小。在面積一定的簡單閉曲線的集合中，圓的周長最小。

幾何中的運動：反射、平移、旋轉(zhuǎn)。

復(fù)數(shù)方法、向量方法。平面凸集、凸包及應(yīng)用。

2、代數(shù)

在一試大綱的基礎(chǔ)上另外要求的內(nèi)容：周期函數(shù)與周期，帶絕對值的函數(shù)的圖像。三

倍角公式，三角形的一些簡單的恒等式，三角不等式。第二數(shù)學(xué)歸納法。遞歸，一階、二

階遞歸，特征方程法。函數(shù)迭代，求n次迭代，簡單的函數(shù)方程。n個變元的平均不等式,

柯西不等式，排序不等式及應(yīng)用。復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，歐拉公式，棣莫佛定理，單位根，單

位根的應(yīng)用。圓排列，有重復(fù)的排列與組合，簡單的組合恒等式?一元n次方程（多項式）

根的個數(shù)，根與系數(shù)的關(guān)系，實系數(shù)方程虛根成對定理。

簡單的初等數(shù)論問題，除初中大綱中所包括的內(nèi)容外，還應(yīng)包括無窮速降法，同余，

歐幾里得除法，非負最小完全剩余類，高斯函數(shù)，費馬小定理，歐拉函數(shù)，孫子定理，格

點及其性質(zhì)。

3、立體凡何多面角，多面角的性質(zhì)。三面角、直三面角的基本性質(zhì)。正多面體，歐拉

定理。體積證法。截面，會作截面、表面展開圖。

4、平面解析幾何直線的法線式，直線的極坐標(biāo)方程，直線束及其應(yīng)用。二元一次不等

式表示的區(qū)域。三角形的面積公式。圓錐曲線的切線和法線。圓的事和根軸。

5、其它抽屜原理。容斥原理。極端原理。集合的劃分。覆蓋。

參考書目：

1.高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程（第四版）（一試）李名德、李勝宏浙江大學(xué)出版社

2.高中數(shù)學(xué)競賽培優(yōu)教程（專題講座）（第3版）李勝宏、李名德浙江大學(xué)出版社

3.全國重點大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)教程（修訂版）張?zhí)斓沦Z廣素山東科學(xué)技術(shù)出版社

4.高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)提優(yōu)教程（第1、2、3、4冊）（共四冊）馮慧愚等著江蘇教育出版社

5.金版奧賽教程——數(shù)學(xué)（高一分冊）劉康寧主編浙江大學(xué)出版社

6.金版奧賽教程——數(shù)學(xué)（高二分冊）劉康寧主編浙江大學(xué)出版社

7.金版奧賽教程——數(shù)學(xué)（高中綜合分冊）左宗明主編浙江大學(xué)出版社

8.高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊（預(yù)賽試題集錦）（每年一本）華東師范大學(xué)出版社

9.奧數(shù)小叢書（高中）（共14本）華東師范大學(xué)出版社

10.高中數(shù)學(xué)競賽專題講座（共十多本學(xué)校圖書館可以借）浙江大學(xué)出版社

11.啟東中學(xué)奧賽：高中數(shù)學(xué)訓(xùn)練教程曹瑞彬南京師范大學(xué)出版社

12.新編高中數(shù)學(xué)奧賽指導(dǎo)葛軍南京師范大學(xué)出版社

13.奧數(shù)教程（高一、高二、高三年級）華東師范大學(xué)出版社

14.奧數(shù)教程學(xué)習(xí)手冊（高一、高二、高三年級）華東師范大學(xué)出版社

15.奧數(shù)教程能力測試（高一、高二、高三年級）華東師范大學(xué)出版社

16.數(shù)學(xué)競賽研究教程（第3版，上下冊）單博著江蘇教育出版社

第一部分江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷［2009-2016年】

試卷012009年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷

一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分.要求直接將答案寫在橫線上.）

1.已知sinacos尸=1,則cos（a+萬）=.

2.已知等差數(shù)列｛恁｝的前11項的和為55,去掉一項秋后，余下10項的算術(shù)平均值為4.若

“1=-5,則上=.

3.設(shè)一個橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率e=.

3"+11

=

4?已知77□?-A，則實數(shù)x=__________?

y—13

5.如圖，在四面體A8CO中，P、。分別為棱8。與CO上的點，1.BP=2PC,CQ=2QD.

R為棱AO的中點，則點A、B到平面PQR的距離的比值為.

6.設(shè)/（x）=log/一產(chǎn)G,則滿足f（x）K）的x的取值范圍是

7.右圖是某種凈水水箱結(jié)構(gòu)的設(shè)計草圖，其中凈水器是一個寬10c機、體積為3OOOa”3的

長方體，長和高未定.凈水水箱的長、寬、高比凈水器的長、寬、高分別長20cm、20。%、

60c7%.若不計凈水器中的存水，則凈水水箱中最少可以存水______________5?.

8.設(shè)點。是AABC的外心，AB=13,AC=12,則就?■=.

=

9.設(shè)數(shù)列{a.}“兩足：nn+id?—2o?+1—2(〃=1,2,...)>^2009"V2>則此數(shù)列的前2009項的

和為.

10.設(shè)。是整數(shù)，0</?<1,若/=2以。+切，貝1］人=.

二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）

22

11.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線4—2y+4=0與橢圓/+：=1交于A,B兩點，尸是橢圓

的左焦點.求以o,F,A,B為頂點的四邊形的面積.

12.如圖，設(shè)。、E是△ABC的邊AB上的兩點，已知/ACD=/2CE,AC=14,AD=7,

AB=28,CE=\2.求BC.

13.若不等式5+正矩而對于任意正實數(shù)x,y成立，求人的取值范圍.

14.(1)寫出三個不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個數(shù)的乘積與10的和都是完全平方數(shù)，

請予以驗證；

(2)是否存在四個不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個數(shù)的乘積與10的和都是完全平方

數(shù)？請證明你的結(jié)論.

試卷022010年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷

一、填空題(本題共10小題，滿分70分，每小題7分.要求直接將答案寫在橫線上.)

1.方程于+||—3'|=5的實數(shù)解為.

2.函數(shù)y=卜出％|+|cosx|(xeR)的單調(diào)減區(qū)間是.

3.在AABC中，已知AB-AC=4,ABBC=-12,則網(wǎng)=.

4.函數(shù)”X)=(X-2)(X+1)2在區(qū)間［0,2］上的最大值是,最小值是.

5.在直角坐標(biāo)系，中，已知圓心在原點0、半徑為R的圓與AABC的邊有公共點，其

中A=(4,0),8=(6,8),C=(2,4),則R的取值范圍為.

6.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x+l)與/(x-1)都是關(guān)于x的奇函數(shù),則函數(shù)y=/(x)

在區(qū)間［0,100］上至少有個零點.

7.從正方體的12條棱和12條面對角線中選出〃條，使得其中任意■

兩條線段所在的直線都是異面直線，則〃的最大值為_______-......

8.圓環(huán)形手鐲上等距地鑲嵌著4顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色憶-------

中的一種.其中鍍2金2銀的概率是.(第7題)

9.在三棱錐A-BCD中，已知N4CB=NC8。，NACD=NADC=NBCD=NBDC=9,

且cosO=膽.已知棱43的長為6應(yīng)，則此棱錐的體積為.

1().設(shè)復(fù)數(shù)列｛%,｝滿足x,產(chǎn)a-1,0,且工用=合.若對任意〃eN*都有七+3=%，貝伯

的值是.

二、解答題(本大題共4小題，每小題20分，共80分)

11.直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A、B、M是橢圓C:土+yJl上的三點.若

4

34r2

OM=-OA+-OB,證明：線段AB的中點在橢圓一+2丁=1上.

552

12.已知整數(shù)列｛《,｝滿足q=T，/=4,前6項依次成等差數(shù)列，從第5項起依次成等

比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求出所有的正整數(shù)m,使得/+4“+i+am+2=amam+la?^2.

13.如圖，圓內(nèi)接五邊形ABCOE中，4)是外接圓的直徑，BE±AD,垂足

過點”作平行于CE的直線，與直線AC、OC分別交于點F、G.

證明：(1)點4、8、F、H共圓；

(2)四邊形BFCG是矩形.

AD

B

G

14.求所有正整數(shù)x、y,使得d+3y與y?+3x都是完全平方數(shù).

試卷032011年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷

一、填空題(本題共10小題，滿分70分，每小題7分.要求直接將答案寫在橫線上.)

1.復(fù)數(shù)(1+/)4+(1-/-)4=.

2.已知直線x-my+1=0是圓C:x2+y2-4x+4y-5=0的一條對稱軸，則實數(shù)m=.

3.某班共有30名學(xué)生，若隨機抽查兩位學(xué)生的作業(yè)，則班長或團支書的作業(yè)被抽中的概

率是(結(jié)果用最簡分數(shù)表示).

4.已知COS40=L則sin"O+cos"。.

5

5.已知向量a,6滿足同=W=2,<a,Z>>=U,則以向量2a+8與3a表示的有向線段

為鄰邊的平行四邊形的面積為.

6.設(shè)數(shù)列｛斯｝的前"項和為S”若｛S,｝是首項及公比都為2的等比數(shù)列，則數(shù)歹U｛飆3｝的前

n項和等于.

7.設(shè)函數(shù)/。)=,-2].若/(a)=fS),且0<a<b,則她的取值范圍是.

8.設(shè)/（附為數(shù)列｛”“｝中小于根的項的個數(shù)，其中q=〃2,〃eN*,則f"（2011）］=

9.一個等腰直角三角形的頂點分別在底邊長為4的正三棱柱的三條側(cè)棱上，則此直角三角

形的斜邊長是.

10.已知，〃是正整數(shù)，且方程2x—mJl0—x—m+10=0有整數(shù)解,則m所有可能的值

是.

二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）

11.已知圓f+V=l與拋物線y=有公共點，求實數(shù)〃的取值范圍.

12.設(shè)/(x)=x2+6x+c3,ceR).若可22時，f(x)》O,且/(x)在區(qū)間(2,3］上的最大值

為1,求戶+。2的最大值和最小值.

13.如圖，P是△A8C內(nèi)一點.

(1)若P是AABC的內(nèi)心，證明：ZBPC=90+gz84C；

(2)若NBPC=90+-ZBACKZAPC=90+-ZABC,證明：尸是△ABC的內(nèi)心.

22

14.已知a是實數(shù)，且存在正整數(shù)a。，使得冊不￡為正有理數(shù).

證明：存在無窮多個正整數(shù)〃，使得而￡為有理數(shù).

試卷042012年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷

一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分.要求直接將答案寫在橫線上.）

1.當(dāng)XG[-3,3]時,函數(shù)/（x）=|x3-3x|的最大值為.

2.在A4BC中，已知AC3C=12,ACJ5A=-4,則AC=.

3.從集合｛3,4,5,6,7,8｝中隨機選取3個不同的數(shù)，這3個數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為

4.已知a是實數(shù)，方程/+（4+，口+4+山=0的一個實根是匕（i是虛部單位），貝+加|

的值為.

5.在平面直角坐標(biāo)系初中，雙曲線的右焦點為F,一條過原點。且傾斜

角為銳角的直線/與雙曲線C交于A8兩點.若的面積為，則直線的斜率為

6.已知a是正實數(shù)，%=的取值范圍是.

7.在四面體ABCD中，AB=AC=AD=D函,BC=3,C￡>=4該四面體的體積為

8.已知等差數(shù)列｛叫和等比數(shù)列也｝滿足：q+4=3,/+瓦=7,0,+4=15,%+%=35,

則an+bn=.(〃eN*)

9.將27,37,47,48,55,71,75這7個數(shù)排成一列，使任意連續(xù)4個數(shù)的和為3的倍數(shù)，則這樣

的排列有種.

10.三角形的周長為31,三邊。也c均為整數(shù)，B.a<b<c,則滿足條件的三元數(shù)組(a,仇。)

的個數(shù)為.

二、解答題(本大題共4小題，每小題20分，共80分)

n.在&4BC中，角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,證明:

(1)bcosC+ccosB=a；

2sin_一

c、cosAA+cosBD_2

(2):=?

a+bc

12.已知口矢為實數(shù),a>2,函數(shù)f(x)=Hnx-g|+6(x>0).若/⑴=e+lJ(2)=W-ln2+l.

x2

(1)求實數(shù)a力；

(2)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若實數(shù)c,d滿足c>d,cd=l,求證：/(c)<f(d).

13.如圖，半徑為1的圓。上有一定點"為圓。上的動點.在射線OM上有一動點B,

AB=],OB>\.線段AB交圓。于另一點C,。為線段的。B中點.求線段C。長的取值范

圍.

14.設(shè)是a,Ac,d正整數(shù)，。力是方程x2-（d-c）x+cd=0的兩個根.證明：存在邊長是整

數(shù)且面積為曲的直角三角形.

試卷052013年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷

一、填空題（本題共10小題，滿分70分，每小題7分.要求直接將答案寫在橫線上.）

1.設(shè)方程x2-2,nx+/-1=0的根大于-2,且小于4,則實數(shù)，”的范圍是.

2.從6雙不同號碼的鞋中取出4只，至少配成一雙的概率為.

3.設(shè)實數(shù)x,y滿足/一4光+/+3=0,則/+丁的最大值與最小值之差是.

4.若存在正實數(shù)-人滿足（4+初）"=（。-協(xié)，（i是虛數(shù)單位，neN*）,則〃的最小值

是.

5.若三角形A8C的三邊A8,BC,AC成等差數(shù)列，則4的取值范圍

是.

6.若數(shù)列｛4｝滿足%=9,（a?+l-??-l）（a?+l-3a?）=0（〃eN*）,則滿足條件的q的所有

可能值之積是.

7.已知/(x)=f-94x+2013,則￡(/(")+『(")|)=.

“=30

8.設(shè)x,ye[0,2句，且滿足2sinxcosy+sinx+cosy=-；,則x+y的最大值

為_______

9.已知正四面體ABC。的棱長為9,點尸是面ABC上的一個動點，滿足尸到面

DARDBC,DCA的距離成等差數(shù)列，則P到面DCA距離的最大值是.

10.將小王和小孫現(xiàn)在的年齡按從左到右的順序排列得到一個四位數(shù)，這個四位數(shù)為完全

平方數(shù)，再過31年，將他們倆的年齡以同樣方式排列又得到一個四位數(shù)，這個數(shù)仍為完

全平方數(shù)，小王現(xiàn)在的年齡是.

二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）

11.設(shè)k為實數(shù)，0<k<6,橢圓耳：攵二殳_+丁=1與橢圓與：三+/=1交于點A和C,

月的左頂點為8,馬的右頂點為。（如圖），若四邊形A8CZ）是正方形，求實數(shù)k.

12.如圖，梯形A8CD中，B、。關(guān)于對角線AC對稱的點分別是9、A、C關(guān)于

對角線BO對稱的點分別是A、C.證明：四邊形是梯形.

13.設(shè)實數(shù)。，方滿足1.證明：2(b-a)<cosTia-cosTib.

2

14.正100邊形的每個頂點染紅、黃、藍三色之一.證明：必存在四個同色點，恰為某等

腰梯形的頂點.

試卷062014年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷

一、填空題(本題共10小題，滿分70分，每小題7分.要求直接將答案寫在橫線上.)

1.若x>2,則函數(shù)f(x)=x+—?—的最小值是.

2.已知函數(shù)f｛x)=e'.若/(a+A)=2,則f(3a)"(3b)的值是.

3.已知數(shù)列｛%｝是各項均不為0的等差數(shù)列，公差為d,S,,為前〃項和，且滿足a；=$21,

〃eN",則數(shù)列｛4｝的通項a.=.

9_r~—3TX20

4,若函數(shù)/(x)=,''是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值是__________.

-2x2+ax,x<0

5.已知函數(shù)f(x)=lg|x-?|.若關(guān)于x的方程/(劃一5f(x)-6=0的實根之和為機,則

f(m)的值是.

6.設(shè)a、夕都是銳角，且cosa=1-,sin(a+y0)=-.則cos夕等于.

7.四面體ABCO中，48=3,CO=5,異面直線AB和C￡>之間的距離為4,夾角為60°,

則四面體ABCD的體積為.

8.若滿足ZABC=工，AC=3,BC=m的448。恰有一解，則實數(shù)的取值范圍

3

是.

9.設(shè)集合5={1,2,,8},A,3是S的兩個非空子集，且A中的最大數(shù)小于8中的最小

數(shù)，則這樣的集合對(AB)的個數(shù)是.

10.如果正整數(shù)m可以表示為9-4/(x,yeZ),那么稱優(yōu)為“好數(shù)問1,2,3,

2014中“好數(shù)”的個數(shù)為.

二、解答題(本大題共4小題，每小題20分，共80分)

11.已知a,b,c為正實數(shù)，a'=by=c:,1+1+1=0,求"c的值.

xyz

22

12.已知耳，鳥分別是雙曲線C:鼻-當(dāng)=13>0,6>0)的左右焦點，點3的坐標(biāo)為(0,6),

直線耳8與雙曲線C的兩條漸近線分別交于p,2兩點，線段尸。的垂直平分線與x軸交

于點、M.若Mg=g耳鳥，求雙曲線C的離心率.

13.如圖，已知&4BC是銳角三角形，以43為直徑的圓交邊AC于點。，交邊上的高

CH于點E.以AC為直徑的半圓交3￡)的延長線于點G.求證：AG=AE.

AH

14.(1)正六邊形被3條互不交叉(端點可以重合)的對角線分割成4個三角形.將每個三

角形區(qū)域涂上紅、藍兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不同.怎樣分割并涂

色可以使紅色三角形個數(shù)與藍色三角形個數(shù)的差最大？

(2)凸2016邊形被2013條互不交叉(端點可以重合)的對角線分割成2014個三角形.將

每個三角形區(qū)域涂上紅、欄兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不同.在上述

分割并涂色的所有情形中，紅色三角形個數(shù)與藍色三角形個數(shù)之差的最大值是多少？證明

你的結(jié)論.

試卷072015年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷

一、填空題(本題共10小題，滿分70分，每小題7分.要求直接將答案寫在橫線上.)

1.已知點P(4,1)在函數(shù)/(x)=log“(x-%)S>0)的圖象上，則必的最大值是.

2.函數(shù)f(x)=，5sin(2x—/在尸號^處的值是

3.若不等式kr+l|W3的解集為{x|-2SXS1},則實數(shù)a的值是

4.第一只口袋里有3個白球、7個紅球、15個黃球，第二只口袋里有10個白球、6個紅

球、9個黑球，從兩個口袋里各取出一球，取出的球顏色相同的概率是.

2222

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)焦距為2c的橢圓計卓=1(40>0)與橢圓￡+》=1有

相同的離心率e,則e的值是.

6.如圖，在長方體ABCD-A|B|C|Di中，對角線8。與

平面48G交于E點.記四棱錐E—A8C0的體積為V,,

長方體ABCD-A^C^的體積為V2,則卷的值

是.

7.若實數(shù)集合4={31x,65用與8={5工丫，403}僅有一個公共元素，則集合AUB中所有

元素之積的值是.

8.設(shè)向量a=(cosa,sina),》=(—sina,cosa).向量M，x2,X7中有3個為a,其余

為出向量yi，)2...J7中有2個為a,其余為從則￡x%的可能取值中最小的為.

(=1

9.在3x3的幻方中填數(shù)，使每行、每列及兩條對角線上的三個數(shù)之和都相等.如圖，三個

方格中的數(shù)分別為1，2,2015,則幻方中其余6個數(shù)之和為

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)。是滿足於0,龍0,x+y+[x]+WW19的點(x,y)形成

的區(qū)域(其中㈤是不超過x的最大整數(shù)).則區(qū)域。中整點的個數(shù)為.

二、解答題(本大題共4小題，每小題20分，共80分)

11.在等比數(shù)列｛冊｝中，。2=2,4是公比.記S.為｛斯｝的前〃項和，7；為數(shù)列｛$｝的前“

項和.若$2“=27；,求q的值.

12.如圖，ZVIBC中，A8>4C,點￡）、E分別在邊AB、AC上，且8￡>=CE./BAC的外

角平分線與AAOE的外接圓交于A、P兩點.求證：4、P、B、C四點共圓.

13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓01、圓。2

都與直線/：y=匕及x軸正半軸相切.若兩圓的半徑

之積為2,兩圓的一個交點為P（2,2）,求直線/的方

程.

（第12題圖）

（第13題圖）

14.將正十一邊形的k個頂點染紅色，其余頂點染藍色.

(1)當(dāng)k=2時，求頂點均為藍色的等腰三角形的個數(shù)；

(2)k取何值時，三個頂點同色(同紅色或同藍色)的等腰三角形個數(shù)最少？并說明理由.

試卷082016年江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽試卷

一、填空題(本題共10小題，滿分70分，每小題7分.要求直接將答案寫在橫線上.)

1.若關(guān)于x的不等式|x+a|〈人的解集為"|2<x<4},則必的值是.

2.從123,4,5,6,7,8,9中任取兩個不同的數(shù)，則取出的兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率是.

3.已知/(x)是周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)xe(0,2)時，/(x)=x2-16x+60,則.f(2版)的

值是.

4.已知直線/是函數(shù)f(x)=21ar+/圖象的切線，當(dāng)/的斜率最小時，/的方程

是.

5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果直線/將圓￥+/-2%-4)，=0平分，且不經(jīng)過第四象

限，那么/的斜率的取值范圍是.

6.已知等邊aABC的邊長為2,若A尸=g(A8+4C),AQ^AP+^BC,則AAP。的面積

是.

7.已知正方體ABCQ-AiBiGR的棱長為1,點P在棱BC上，點。為棱CG的中點.若

過點A,P,。的平面截該正方體所得的截面為五邊形，則BP的取值范圍為.

8.已知數(shù)列｛斯｝的奇數(shù)項依次構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，偶數(shù)項依次構(gòu)成公差為42的等

差數(shù)列，且對任意〃CN*,都有斯＜斯+].若0=1,42=2,且數(shù)列｛斯｝的前10項和$0=

75,貝!）麴=.

9.己知正實數(shù)滿足更電+@±空=16,貝IJx+y=___________.

yx

10.設(shè)M表示滿足下列條件的正整數(shù)〃的和："整除20162,且2016整除〃2,那么M的所

有不同正因子的個數(shù)為.

二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）

11.已知-^―+-^—=史，6?e(0,-),求tan?,

sin。cos。122

12.如圖，點尸在△人5。的邊AB上，且A8=4AP,過點尸的直線MN與AABC的外接圓

交于點M,N,且點A是弧MN的中點.求證：

(1)〉A(chǔ)BNs〉A(chǔ)NP?,

⑵BM+BN=2MN.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C：=-工=1的右焦點為F,過點F的直線/與

a~h~

雙曲線C交于A,B兩點,若OFAB=FAFB,求雙曲線。的離心率e.

14.已知凸九邊形的任意5個內(nèi)角的正弦與其余4個內(nèi)角的余弦之和都等于某個常數(shù)值2.

若九個內(nèi)角中有一個角等于120。，試求常數(shù)義的值.

第二部分江蘇省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽分類匯編12009-2016年］

匯編01集合與簡易邏輯

1.［2011UZ為夏森-T1］已知集合"={x||x-l|<3},"=卜卜,<l,xez),則MN的

子集的個數(shù)是.

2.［2006?任％新賽-17］集合4=豈仇=3〃，"GN,0<n<10}，B={y\y=5m,mWN,

0<n<6}則集合AU8的所有元素之和為.

3.［2016.fa笏裒卷-T1］已知集合A={(x,y)|(x-2)2+(y-l)2<l},

B={(x,y)|2|x-l|+|y-l|<?},AcB,則實數(shù)a的取值范圍是.

4.［2008.(2%法賽-T6］設(shè)集合A={x\x2-［幻=2}和B={x||x|<2},其中符號［x］表示不大

于x的最大整數(shù)，則AB=.

5.［2O15Y2笏歷卷-T7］若實數(shù)集合A={31x,65田與8={5沖，403}僅有一個公共元素，

則集合AUB中所有元素之積的值是.

6.［2008?仁名意卷+丁<4，，是“肛+4>2x+2y”成立的().

(A)充分但不必要條件(B)必要但不充分條件

(C)既不充分也不必要條件(D)充分必要條件

7.［2。09,2人妻卷-T2］若集合A=k|JTb=ax+l,xeR}為空集，則實數(shù)a的取值范圍

是.

匯編02函數(shù)

8.[2010-療分石賽-T1]方程9'=5的實數(shù)解為.

9.[2015Y2%勃卷-T1]已知點P(4,1)在函數(shù)f(x)=10g“(x-b)(b>0)的圖象上，貝的

最大值是.

10.[2014正名法賽-T2]已知函數(shù)/(x)=e'.若f(a+份=2,則/(3。)/(為的值

是.

11.[2016-au<-T3]已知f(X)是周期為4的奇函數(shù)，且當(dāng)XG(0,2時，

/(x)=i-16x+6則八2回)的值是.

3"+1]

12.[2009,《23初賽-T4]已知示7Ti7v>則實數(shù)X=____________.

9-13—3------------

2十一3xx20

13.[2014?值冬法賽-T4]若函數(shù)f(X)=「「'’是奇函數(shù)，則實數(shù)。的值

-2x~+ax9x<0

是.

14.[2014-f2券法卷-T5]已知函數(shù)f(x)=lg|x-y|.若關(guān)于x的方程/2(X)-5/(X)-6=0

的實根之和為m,則f[m)的值是.

15.[2009」2蘇法賽-T6]設(shè)f(x)=logM—產(chǎn)彳，則滿足fW>0的x的取值范圍

是.

16.[2015f2笏初卷-T6]設(shè)函數(shù)外力的定義域為/?,若/(x+1)與f(x-l)都是關(guān)于x的奇

函數(shù)，則函數(shù)y=〃x)在區(qū)間[0,100]上至少有個零點.

17.[2012-￡2%蕩霖-T6]已知a是正實數(shù)，&=a"的取值范圍是.

18.[2011?鰲笏勃賽-T7]設(shè)函數(shù)/(x)=|N—2].若f(a)=/(b),且0Va<6,則一的取值范

圍是.

19.[2014?仁劣法套一T11]已知a,b,c為正實數(shù)，ax=by=cz,—+—+—=0,求Me的

xyz

值.

☆2008-2016年江荻高考我T9-T14^

20.［2016?日芳金灣-T11］設(shè)〃x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1,1)上

x+a,T”x<0,

f(x)=-2_x0x<i，其中"R,若［-］卜敢'則/(M的值

是.

0,0<x<l,

21.［2015?￡3冬需老-T13］已知函數(shù)/(X>|1巾，g(x)=<II則方程

Ix2_412,x>1,

|/(x>g(H實根的個數(shù)為.

22.［2014,2名每灣-T13］已知/(X)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)xe［0,3)時，

/(x)=爐-2x+1.若函數(shù)y=/(x)-a在區(qū)間［-3,4］上有10個零點(互不相同)，則實

數(shù)a的取值范圍是.

23.［2014立冬需號-T1O］已知函數(shù)/。)=犬+/HT-1,若對于任意［見機+1］,都有

/(x)<0成立，則實數(shù)機的取值范圍是.

24.［2O13Y2笏離老-T11］己知/(x)是定義在R上的奇函數(shù).當(dāng)x>0時，/(x)=f-4x,則

不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為.

25.［2012,2笏,老-T1O］設(shè)/(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間［-1,1］上,

ar+l,-lWx<0,,、zx

hx+2八一「其中a"eR.若/（彳卜/、］,則a+3。的值

/W=?

---------,0WxWl,\2.j\2.J

x+1

為________

2x+a,x<l,什八八

［2O11Y2多需存-T11］已知實數(shù)aR0,函數(shù)/(x)=-1若/…="+辦

則。的值為.

27.［201。?夏舒石老-T11舊知函數(shù)