數(shù)列拓展新定義子數(shù)列插入新數(shù)列

數(shù)列拓展——新定義、新數(shù)列、與其他知識結(jié)合類型一：數(shù)列新定義【例1】(多選)已知數(shù)列，如果存在常數(shù)，對于任意給定的正數(shù)(無論多小)，總存在正整數(shù)，使得時，恒有成立，就稱數(shù)列收斂于(極限為)，即數(shù)列為收斂數(shù)列.下列結(jié)論正確的是(

)A．?dāng)?shù)列是一個收斂數(shù)列B．若數(shù)列為收斂數(shù)列，則，使得，都有C．若數(shù)列和為收斂數(shù)列，而數(shù)列不一定為收斂數(shù)列D．若數(shù)列和為收斂數(shù)列，則數(shù)列也一定為收斂數(shù)列【答案】ABD【解析】對選項(xiàng)A：存在，取，當(dāng)時，，是收斂數(shù)列，正確；對選項(xiàng)B：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，中最大的項(xiàng)為，取，則，正確；對選項(xiàng)C：對任意，取，時，恒有，時，，故時，則，故數(shù)列一定為收斂數(shù)列，錯誤；對選項(xiàng)D：對任意，，取，時，恒有，時，，故時，則，故數(shù)列一定為收斂數(shù)列，正確.故選：ABD【變式訓(xùn)練】1．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作；再將剩下的兩個區(qū)間分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作；…；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.設(shè)第次操作去掉的區(qū)間長度為，數(shù)列滿足：，則數(shù)列中的取值最大的項(xiàng)為(

)A．第3項(xiàng) B．第4項(xiàng) C．第5項(xiàng) D．第6項(xiàng)【答案】C【分析】由已知可得，則，然后由，得，而為正整數(shù)，從而可求得答案.【詳解】由題可知，由此可知，所以，因?yàn)椋?，解?舍)，由此可知時時，故的取值最大2．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖數(shù)量為例,引入數(shù)列:,該數(shù)列從第三項(xiàng)起,每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和,即遞推關(guān)系式為,故此數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列,又稱“兔子數(shù)列”.已知滿足上述遞推關(guān)系式的數(shù)列的通項(xiàng)公式為,其中的值可由和得到,比如兔子數(shù)列中代入解得.利用以上信息計(jì)算表示不超過的最大整數(shù)(

)A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根據(jù)題不妨設(shè),求出,,進(jìn)而得到,通過的第五項(xiàng),即可得到之間的關(guān)系,根據(jù)的范圍可大致判斷的范圍,進(jìn)而選出選項(xiàng).【詳解】解:由題意可令,所以將數(shù)列逐個列舉可得:,,,,,故,因?yàn)?所以,故.3．已知數(shù)列滿足：對任意的，總存在，使得，則稱為“回旋數(shù)列”．以下結(jié)論中正確的個數(shù)是(

)①若，則為“回旋數(shù)列”；②設(shè)為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則為“回旋數(shù)列”；③設(shè)為等差數(shù)列，當(dāng)，時，若為“回旋數(shù)列”，則；④若為“回旋數(shù)列”，則對任意，總存在，使得．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①由可得，由可得，取即可，則為“回旋數(shù)列”，故①正確；②當(dāng)時，，，由可得，故當(dāng)時，很明顯不成立，故不是“回旋數(shù)列，②錯誤”；③是等差數(shù)列，故，，因?yàn)閿?shù)列是“回旋數(shù)列”，所以，即，其中為非負(fù)整數(shù)，所以要保證恒為整數(shù)，故為所有非負(fù)整數(shù)的公約數(shù)，且，所以，故③正確；④由①可得當(dāng)時，為“回旋數(shù)列”，取，，顯然不存在,使得，故④錯誤故選：B4．(多選)若數(shù)列滿足：對，若，則，稱數(shù)列為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.下列數(shù)列是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有(

)A． B． C． D．【答案】BD【分析】舉特例，可說明A不符合題意，同理可說明C不符合題意；依據(jù)“鯉魚躍龍門數(shù)列”的定義，可說明B,D.【詳解】對于A,不妨取，但，不滿足，故A錯誤；對于B,,對，若,則，則,即，故B正確；對于C，不妨取，但，不滿足，故C錯誤；對于D,,對，若,則，則，故，即，故D正確5．(多選)定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”．將數(shù)列1，4進(jìn)行“美好成長”，第一次得到數(shù)列1，4，4；第二次得到數(shù)列1，4，4，16，4，，設(shè)第n次“美好成長”后得到的數(shù)列為，并記，則(

)A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為【答案】ABD【分析】對A：由題意直接運(yùn)算判斷；對B：根據(jù)第次“美好成長”與第n次“美好成長”的關(guān)系分析運(yùn)算；對C：根據(jù)題意分析可得：，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列分析運(yùn)算；對D：由，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列可得，利用裂項(xiàng)相消結(jié)合分組求和運(yùn)算求解.【詳解】對A：，A正確；對B：由題意可知：，故，B正確；對C：設(shè)第n次“美好成長”后共插入項(xiàng)，即，共有個間隔，且，則第次“美好成長”后再插入項(xiàng)，則，可得，且，故數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則，故，C錯誤；對D：∵，則，且，故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，則，即，設(shè)，則，解得，故，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，即數(shù)列的前n項(xiàng)和為，D正確.故選：ABD.6．(多選)設(shè)正整數(shù)，其中.記，當(dāng)時，，則(

)A．B．C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．【答案】ACD【分析】分別表示出，，即可求解A，再求出可求解B，利用等差數(shù)列的定義可求解C，根據(jù)可求解D.【詳解】當(dāng)時，，又，所以，同理，所以，…，，所以，，所以，所以，A項(xiàng)正確；，，B項(xiàng)錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時也符合，所以，所以，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，C項(xiàng)正確；，，D項(xiàng)正確7．對于一個給定的數(shù)列，把它的連續(xù)兩項(xiàng)與的差記為，得到一個新數(shù)列，把數(shù)列稱為原數(shù)列的一階差數(shù)列.若數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列，數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列，則稱數(shù)列為原數(shù)列的二階差數(shù)列.已知數(shù)列的二階差數(shù)列是等比數(shù)列，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式及累加法可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)數(shù)列為原數(shù)列的一階差數(shù)列，為原數(shù)列的二階差數(shù)列.則由題意可知.又為等比數(shù)列，故公比，所以，即.當(dāng)時，，將代入得，符合，所以，.所以，當(dāng)時，，將代入得，符合，所以，.8．對于數(shù)列，記：…，(其中)，并稱數(shù)列為數(shù)列的k階商分?jǐn)?shù)列.特殊地，當(dāng)為非零常數(shù)數(shù)列時，稱數(shù)列是k階等比數(shù)列.已知數(shù)列是2階等比數(shù)列，且，若，則m=___________.【答案】23【分析】根據(jù)給定的定義，計(jì)算，進(jìn)而求出數(shù)列的公比及通項(xiàng)，再借助累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)即可推理計(jì)算作答.【詳解】由數(shù)列是2階等比數(shù)列，得，即，且，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則有，即，當(dāng)時，，而滿足上式，因此，由得：，即，整理得，又為小于的任意正整數(shù)，所以.故答案為：239．定義:對于任意數(shù)列,假如存在一個常數(shù)使得對任意的正整數(shù)都有,且,則稱為數(shù)列的“上漸近值”．已知數(shù)列有(為常數(shù),且),它的前項(xiàng)和為,并且滿足,令,記數(shù)列的“上漸近值”為,則的值為_____．【分析】先根據(jù)求解數(shù)列的通項(xiàng)公式,得出等差數(shù)列后,利用等差數(shù)列求和方法求出,代入得出的表達(dá)式,最后即可得出上漸近值．【詳解】解:當(dāng)時,,當(dāng)時,,得到,根據(jù)累乘法:;滿足n=1情況，故而數(shù)列是首項(xiàng)為0,公差為的等差數(shù)列,,,,,,.故答案為:10．在數(shù)列中，若，則稱數(shù)列為“泛等差數(shù)列”，常數(shù)d稱為“泛差”.已知數(shù)列是一個“泛等差數(shù)列”，數(shù)列滿足.(1)若數(shù)列的“泛差”，且，，成等差數(shù)列，求；(2)若數(shù)列的“泛差”，且，求數(shù)列的通項(xiàng).【答案】(1)或，(2)【分析】(1)根據(jù)“泛差”，聯(lián)立得，解出即可.(2)由題，升次作差得，結(jié)合，整體代入可得，即可寫出其通項(xiàng).【詳解】(1)“泛差”，，，，，聯(lián)立三式得，化簡得，解得.(2)，則，由，①，②②①得，即，且.所以為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，.11．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，則稱是“緊密數(shù)列”.(1)已知數(shù)列是“緊密數(shù)列”，其前5項(xiàng)依次為，求的取值范圍;(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由;(3)設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍.【分析】(1)根據(jù)題意，得到，且，求解，即可得出結(jié)果；(2)根據(jù)，求出，計(jì)算的范圍，即可得出結(jié)論；(3)先討論，易得滿足題意；再討論，得到，，根據(jù)為“緊密”數(shù)列，得到或，分別根據(jù)這兩種情況，計(jì)算的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】(1)若數(shù)列為“緊密”數(shù)列，則，且，解得：，即的取值范圍為.(2)數(shù)列為“緊密”數(shù)列；理由如下：數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時，；當(dāng)時，，又，即滿足，因此，所以對任意，，所以，因此數(shù)列為“緊密”數(shù)列；(3)因?yàn)閿?shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，當(dāng)時，有，，所以，，滿足題意；當(dāng)時，，，因?yàn)闉椤熬o密”數(shù)列，所以，即或，當(dāng)時，，，所以，滿足為“緊密”數(shù)列；當(dāng)時，，不滿足為“緊密”數(shù)列；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.12．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中n為正整數(shù)，(1)證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)，定義，且記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】(1)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，是“平方遞推數(shù)列”．

因?yàn)?，對兩邊同時取對數(shù)得，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)知，

由數(shù)列的通項(xiàng)公式得，當(dāng)時，；當(dāng)時，．又由，得

當(dāng)且時，；

當(dāng)且時，，

綜上，類型二：取整數(shù)列【例2】已知數(shù)列滿足，記為不小于的最小整數(shù)，，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為(

)A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.【詳解】由題意得，則當(dāng)時，，當(dāng)時也滿足上式，所以，所以，故的前2023項(xiàng)和為【變式訓(xùn)練】1．在數(shù)列中，，，且．表示不超過的最大整數(shù)，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則(

)A．2 B．3 C．2022 D．2023【答案】B【分析】利用累加法求得，進(jìn)而求得，找到規(guī)律后求得.【詳解】由可得，故是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，則，所以當(dāng)時，，故，當(dāng)時，也滿足上式，所以，故．易得，，當(dāng)時，，，，即，故，故當(dāng)時，，故2．已知數(shù)列、，，，其中為不大于x的最大整數(shù).若，，，有且僅有4個不同的，使得，則m一共有(

)個不同的取值.A．120 B．126 C．210 D．252【答案】C【分析】將表示為，其中，且不全為0，，分析與的取值的關(guān)系，由此確定滿足條件的的取值的個數(shù).【詳解】設(shè)，其中，且不全為0，，若，則，，，，若，則，，，，所以若則，，若，則，若，，則，，，，，，若，，則，，，，，，若，，則，，，，，，若，，則，，，，，，所以時，，時，，同理可以證明時，，，，因?yàn)橛星覂H有4個不同的，使得，即中有且僅有4個變量取值為1，其余變量取值為0，又從中任選4個變量有種取法，故滿足條件的的個數(shù)為，即210個3．符號表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，如，.已知數(shù)列滿足，，.若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】由變形可推出數(shù)列為等比數(shù)列、為常數(shù)列，求出這兩個數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，利用裂項(xiàng)相消法可求出，結(jié)合題中定義可求得的值.【詳解】因?yàn)?，則，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比也為的等比數(shù)列，所以，，①由可得，且，所以，數(shù)列為常數(shù)列，且，②由①②可得，因?yàn)?，，則，所以，，所以，，所以，，所以，，因此，4．已知，設(shè)是關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根，記，.(符號表示不超過的最大整數(shù)).則.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得，進(jìn)而得，()，由等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】令,則,于是方程化為.記,,故在上為增函數(shù),且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，因此，，則.則，()又，則5．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；(2)若，求使成立的整數(shù)n的最大值．(表示不超過的最大整數(shù))【答案】(1)，，(2)44【分析】(1)對變形后可得數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，從而可求出，對變形后可得數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，從而可求出，(2)由(1)得，通過比較和的大小，可得，然后分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況求解.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以，因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)因?yàn)?，所以，因?yàn)楫?dāng)時，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，又，所以，即．又，，所以，當(dāng)且為奇數(shù)時，，又，即，所以，又，，所以的最大值為43．當(dāng)且為偶數(shù)時，為奇數(shù)，所以，又，即，所以，又，，所以的最大值為44．綜上所述，使成立的整數(shù)的最大值為446．在①，；②公差為，且、、成等比數(shù)列；③；三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答．問題：已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，______．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，其中表示不超過的最大整數(shù)，求的值．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析(1)解：選①，設(shè)的公差為，則，由已知可得，解得，則；選②，，，，由題意可得，則，解得，所以，；選③，，當(dāng)時，.也滿足，故對任意的，.(2)解：選①，，則，，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，當(dāng)，則，可得，此時.所以，，故；選②，，則，，當(dāng)時，則，此時，當(dāng)時，則，此時，當(dāng)時，則，此時，當(dāng)時，則，此時，當(dāng)時，則，此時，當(dāng)時，則，此時.所以，，故；選③，，則，，當(dāng)，則，此時；當(dāng)，則，此時；當(dāng)，則，此時；當(dāng)，則，此時.所以，，故.類型三：插入數(shù)字構(gòu)成新數(shù)列【例3】在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，組成一個新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個數(shù)列的一次“拓展”．先將數(shù)列1，3進(jìn)行拓展，第一次拓展得到1，4，3，第二次拓展得到數(shù)列1，5，4，7，3；；第n次拓展得到數(shù)列1，，，，，3，設(shè)，則，．【答案】【分析】拓展規(guī)則可知拓展后的項(xiàng)數(shù)的遞推式和的遞推式，通過構(gòu)造等比數(shù)列可求通項(xiàng).【詳解】(1)設(shè)數(shù)列1，3第n次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，則，，根據(jù)拓展規(guī)則可知，，即，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，∴，即，所以；(2)根據(jù)拓展規(guī)則可知，，∴，又，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為6，公比為3，∴，所以【變式訓(xùn)練】1．已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，在中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入4個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的等差數(shù)列，則(

)A．4043 B．4044 C．4045 D．4046【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出，再代入即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可知，，，，故，故，則2．(多選)在數(shù)學(xué)課堂上，教師引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造新數(shù)列：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1,2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,3,2；第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2；…；第次得到數(shù)列1，，2；…記，數(shù)列的前項(xiàng)為，則(

)A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可.【詳解】由題意可知，第1次得到數(shù)列1,3,2，此時第2次得到數(shù)列1,4,3,5,2，此時第3次得到數(shù)列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此時第4次得到數(shù)列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此時第次得到數(shù)列1，，2此時所以，故A項(xiàng)正確；結(jié)合A項(xiàng)中列出的數(shù)列可得：用等比數(shù)列求和可得則又所以，故B項(xiàng)正確；由B項(xiàng)分析可知即，故C項(xiàng)錯誤.，故D項(xiàng)正確3．若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)對數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第一次得到數(shù)列1，3，2；第二次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構(gòu)造，第次得到的數(shù)列的所有項(xiàng)之和記為.(1)求與滿足的關(guān)系式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；(2)；【分析】(1)根據(jù)題干給出的規(guī)則,得到第次構(gòu)造后數(shù)列的和與第次構(gòu)造后數(shù)列和的關(guān)系;(2)已知相鄰兩項(xiàng)關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列,進(jìn)而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式;【詳解】(1)設(shè)第次構(gòu)造后得的數(shù)列為，則，則第次構(gòu)造后得到的數(shù)列為1，，，，，…，，，，2，則，即與滿足的關(guān)系式為；(2)由，可得，且,則所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，即4．設(shè)數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的任意與項(xiàng)之間，都插入個相同的數(shù)，組成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】(1)由條件證明數(shù)列為等比數(shù)列，利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列中在之前共有項(xiàng)，由此確定前項(xiàng)的值，再分組，結(jié)合等比求和公式可求得答案.【詳解】(1)因?yàn)椋?，又，所以?shù)列為首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，所以當(dāng)時，，所以，所以當(dāng)時，，又也滿足該關(guān)系，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；(2)數(shù)列中在之前共有項(xiàng)，當(dāng)時，，當(dāng)時5．在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”.如數(shù)列1，2第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，3，2，第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2.設(shè)數(shù)列a，b，c經(jīng)過第n次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為，所有項(xiàng)的和記為.(1)若，求，；(2)設(shè)滿足的n的最小值為，求及(其中[x]是指不超過x的最大整數(shù)，如，)；【答案】(1)，；(2)，；【分析】(1)根據(jù)數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”，即可列舉出數(shù)列求解.(2)根據(jù)第次“和擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)，與經(jīng)“和擴(kuò)充”后的項(xiàng)數(shù)為，構(gòu)造等比數(shù)列即可求解，結(jié)合“和擴(kuò)充”，即可列舉出數(shù)列求解.【詳解】(1)數(shù)列1，2，3，經(jīng)第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列為1，3，2，5，3，數(shù)列1，2，3，經(jīng)第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列為1，4，3，5，2，7，5，8，3，所以，；(2)數(shù)列經(jīng)每1次“和擴(kuò)充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)中增加一項(xiàng)，由數(shù)列經(jīng)“和擴(kuò)充”后的項(xiàng)數(shù)為，則經(jīng)第次“和擴(kuò)充”后增加的項(xiàng)數(shù)為，所以，所以，由(1)得，是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，由，即，解得，所以滿足的n的最小值為10，故，所以，數(shù)列a，b，c經(jīng)過第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列，且，數(shù)列a，b，c經(jīng)過第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列，且，數(shù)列a，b，c經(jīng)過第3次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列，且，即6．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為；數(shù)列滿足(，)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)①試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；②在①結(jié)論下，若對每個正整數(shù)，在與之間插入個2，符到一個數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)．【答案】(1)；(2)見解析【詳解】分析：(1)求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程即可求出；②討論的取值，根據(jù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可．詳解：(1)當(dāng)時，，，則公比，則(2)①當(dāng)時，得時，得；時，得，則由，得．而當(dāng)時，由得．由，知此時數(shù)列為等差數(shù)列．②由題意知，則當(dāng)時，，不合題意，舍去；當(dāng)時，，所以成立；當(dāng)時，若，則，不合題意，舍去；從而必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，則：又，所以，即，所以因?yàn)闉槠鏀?shù)，而為偶數(shù)，所以上式無解．即當(dāng)時，綜上所述，滿足題意的正整數(shù)僅有．【鞏固練習(xí)】1．在和兩個實(shí)數(shù)之間插入個實(shí)數(shù)，，，，使數(shù)列為等差數(shù)列，那么這個數(shù)列的公差為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得.【詳解】依題意等差數(shù)列中共有項(xiàng)，設(shè)公差為，則，所以.2．?dāng)?shù)列中，，定義：使為整數(shù)的數(shù)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】利用換底公式與累乘法把化為，然后根據(jù)為整數(shù)，可得，最后由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求解．【詳解】解：，，，又為整數(shù)，必須是2的次冪，即．內(nèi)所有的“幸運(yùn)數(shù)”的和：3．對于數(shù)列，定義為數(shù)列的“加權(quán)和”，已知某數(shù)列的“加權(quán)和”，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系求出，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求出，將化為對任意的恒成立，分類討論可求出結(jié)果.【詳解】由，∴時,，∴，∴，時，也成立，∴，∴數(shù)列的前n項(xiàng)和為：，∵對任意的恒成立，∴，即，即，即，即，即對任意的恒成立，當(dāng)時，對任意的恒成立，因?yàn)?，∴，所以，?dāng)時，恒成立，，當(dāng)時，對任意的恒成立，因?yàn)?，∴，所以，綜上可得：實(shí)數(shù)p的取值范圍為．故選：A．4．(多選)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列，現(xiàn)將數(shù)列2，4進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列2，6，4；第2次得到數(shù)列2，8，6，10，4；…；第次得到數(shù)列2，，，，?，，4.記，則(

)A． B．為偶數(shù)C． D．【答案】ACD【詳解】由題意得：，此時，此時，則，不為偶數(shù)，故B不正確；，此時，故A正確；，此時歸納可得，此時，故C正確；則，，，……，累加可得所以，則，即，故D正確5．(多選)若正整數(shù)m，n只有1為公約數(shù)，則稱m，n互質(zhì)，對于正整數(shù)k，是不大于k的正整數(shù)中與k互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，函數(shù)以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：，，，.已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如果m，n互質(zhì)，那么，例如：，則(

)A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列不是遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和小于解析：，，∴，A對；∵2為質(zhì)數(shù)，∴在不超過的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為，∴為等比數(shù)列，B對；∵與互質(zhì)的數(shù)為1，2，4，5，7，8，10，11，…，，.共有個，∴，又∵，∴是遞增數(shù)列，故C錯誤；，的前n項(xiàng)和為設(shè)，則，所以，，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和小于，故D正確.故選：ABD.6．(多選)定義：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”．將數(shù)列、進(jìn)行“美好成長”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；；設(shè)第次“美好成長”后得到的數(shù)列為、、、、、，并記，則(

)A． B．C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為【答案】ACD【解析】對于A選項(xiàng)，，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)第次“美好成長”后共插入項(xiàng)，即，共有個間隔，且，則第次“美好成長”后再插入項(xiàng)，則，可得，且，故數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，故，B錯；對于C選項(xiàng)，由題意可知：，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且，所以，，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為，D對.故選：ACD.7．?dāng)?shù)學(xué)家祖沖之曾給出圓周率的兩個近似值：“約率”與“密率”．它們可用“調(diào)日法”得到：稱小于3.1415926的近似值為弱率，大于3.1415927的近似值為強(qiáng)率．由，取3為弱率，4為強(qiáng)率，得，故為強(qiáng)率，與上一次的弱率3計(jì)算得，故為強(qiáng)率，繼續(xù)計(jì)算，……．若某次得到的近似值為強(qiáng)率，與上一次的弱率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值；若某次得到的近似值為弱率，與上一次的強(qiáng)率繼續(xù)計(jì)算得到新的近似值，依此類推，已知，則；．【答案】6【分析】根據(jù)題意不斷計(jì)算即可解出．【詳解】因?yàn)闉閺?qiáng)率，由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率；由可得，，即為強(qiáng)率，所以；由可得，，即為弱率；由可得，．8．高斯函數(shù)也稱為取整函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，例如．已知數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則．【答案】2021【分析】首先利用裂項(xiàng)得到再化簡，利用裂項(xiàng)相消求和，再利用高斯函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，所以，故?．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在數(shù)列的任意相鄰兩項(xiàng)與之間插入個4，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個新的數(shù)列，記新數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則的值為．【答案】370【分析】依題意，確定前60項(xiàng)所包含數(shù)列的項(xiàng)，以及中間插入4的數(shù)量即可求和.【詳解】因?yàn)榕c之間插入個4，，，，，，其中，之間插入2個4，，之間插入4個4，，之間插入8個4，，之間插入16個4，，之間插入32個4，由于，，故數(shù)列的前60項(xiàng)含有的前5項(xiàng)和55個4，故10．已知，在相鄰兩項(xiàng)中間插入這兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，求所得新數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】【分析】設(shè)數(shù)列滿足，的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，則，根據(jù)等比數(shù)列求和公式，代入計(jì)算，即可得答案.【詳解】設(shè)數(shù)列滿足．記的前項(xiàng)和為，的前項(xiàng)和為，則．由等比數(shù)列的求和公式得：，．所以．即新數(shù)列的前項(xiàng)和11．已知，在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)(其中成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請說明理由.【答案】不存在，理由見解析【分析】由題意可得，假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，結(jié)合已知化簡可得結(jié)論.【詳解】假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)成等比數(shù)列，為遞增數(shù)列，不妨設(shè)，則則，成等差數(shù)列，，，由，得，所以，與題設(shè)矛盾不存在這樣的三項(xiàng)(其中成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.12．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求；(2)在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)【分析】(1)當(dāng)時，利用累加法可求得的表達(dá)式，結(jié)合可得出的表達(dá)式，再檢驗(yàn)的情形，綜合可得出的通項(xiàng)公式；(2)由求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，列舉出數(shù)列的前項(xiàng)，即可求得的值.【詳解】(1)解：對任意的，因?yàn)椋?dāng)時，，因?yàn)?，所以，故．?dāng)時，適合，所以，．(2)解：因?yàn)?，，所以?dāng)時，，所以，，所以，數(shù)列的前項(xiàng)分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，所以的前項(xiàng)是由個與個組成．所以13．定義：稱為個正數(shù)，，…，，的“均倒數(shù)”．已知數(shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，試判斷并說明(為正整數(shù))的符號；(3)設(shè)函數(shù)，是否存在最大的實(shí)數(shù)，當(dāng)時，對于一切的自然數(shù)都有．【答案】(1)(2)正，答案見解析(3)存在最大的實(shí)數(shù)滿足.【分析】(1)由題知，再根據(jù)前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解即可；(2)由題知，進(jìn)而作差判斷即可；(3)結(jié)合(2)得，進(jìn)而當(dāng)時，恒成立，再解不等式即可得答案.【詳解】(1)解：因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，所以，所以①，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，②，①②得：，顯然時，滿足；所以，.(2)解：由(1)得，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以；下面證明，因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，所以，.(3)解：假設(shè)存在最大的實(shí)數(shù)，當(dāng)時，對于一切的自然數(shù)都有，則，當(dāng)時，對于一切的自然數(shù)恒成立，由(2)知，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，，所以，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，因?yàn)榈慕饧癁榛颍?，?dāng)時，對于一切的自然數(shù)都有綜上，存在最大的實(shí)數(shù)，當(dāng)時，對于一切的自然數(shù)都有.14．若數(shù)列滿足(為正整數(shù)，為常數(shù))，則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，為公方差.(1)已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為：，，判斷上述兩個數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說明理由；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在(1)的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和.【答案】(1)是等方差數(shù)列；數(shù)列不是等方差數(shù)列；理由見解析(2)1622【分析】(1)根據(jù)等方差數(shù)列的定義分別判斷，，即可得結(jié)論；(2)由題意確定數(shù)列中前30項(xiàng)中含有的前7項(xiàng)和數(shù)列的前23項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公