突破1.1-平面直角坐標系(解析版)

突破一平面直角坐標系一、考情分析二、經(jīng)驗分享1.極坐標和直角坐標的互化(1)互化公式:設是坐標平面內任意一點,它的直角坐標是,極坐標是(),于是極坐標與直角坐標的互化公式如表:點直角坐標極坐標互化公式參數(shù)方程和直角坐標的互化(1)曲線的參數(shù)方程普通方程，消去參數(shù)。方法一；相加或者相減方法二；三、題型分析(一)直角坐標方程例1．【河南省信陽高級中學2018–2019學年高二上學期期中考試數(shù)學】在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．直線與曲線分別交于兩點．（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若點的極坐標為，求的值．【答案】（1）曲線的直角坐標方程為：，直線的普通方程為．（2）．【解析】（1）由，得，所以曲線的直角坐標方程為，即，直線的普通方程為．（2）將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理，得．因為直線與曲線交于兩點．所以，解得．由根與系數(shù)的關系，得．因為點的直角坐標為，在直線上．所以，解得，此時滿足．且，故．【名師點睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程，利用關系式【變式訓練1】．【2019年高考北京卷理數(shù)】已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則點（1，0）到直線l的距離是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，可將直線化為普通方程：，即，即，所以點（1，0）到直線的距離，故選D．【名師點睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程的轉化，點到直線的距離，屬于容易題，注重基礎知識、基本運算能力的考查．【變式訓練2】．【2019年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求C和l的直角坐標方程；（2）求C上的點到l距離的最小值．【答案】（1）；的直角坐標方程為；（2）．【解析】（1）因為，且，所以C的直角坐標方程為．的直角坐標方程為．（2）由（1）可設C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．C上的點到的距離為．當時，取得最小值7，故C上的點到距離的最小值為．【名師點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、求解橢圓上的點到直線距離的最值問題．求解本題中的最值問題通常采用參數(shù)方程來表示橢圓上的點，將問題轉化為三角函數(shù)的最值求解問題．【變式訓練3】．【2019年高考江蘇卷數(shù)學】在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為．（1）求A，B兩點間的距離；（2）求點B到直線l的距離．【答案】（1）；（2）2．【解析】（1）設極點為O．在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=．（2）因為直線l的方程為，則直線l過點，傾斜角為．又，所以點B到直線l的距離為．【名師點睛】本題主要考查曲線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力．

(二)平面直角直角坐標系選下的坐標變換例2．在同一平面直角坐標系中，經(jīng)過伸縮變換eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,3)y))后，曲線C：x2＋y2＝36變?yōu)楹畏N曲線，并求曲線的焦點坐標．【解析】設圓x2＋y2＝36上任一點為P(x，y)，伸縮變換后對應的點的坐標為P′(x′，y′)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x′，,y＝3y′，))所以4x′2＋9y′2＝36，即eq\f(x′2,9)＋eq\f(y′2,4)＝1.所以曲線C在伸縮變換后得到橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，其焦點坐標為(±eq\r(5)，0)．【變式訓練1】．點P是曲線C1：(x－2)2＋y2＝4上的動點，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，以極點O為中心，將點P逆時針旋轉90°得到點Q，設點Q的軌跡為曲線C2.(1)求曲線C1，C2的極坐標方程；(2)射線θ＝eq\f(π,3)(ρ＞0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點，定點M(2，0)，求△MAB的面積．【解析】(1)由曲線C1的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4，可得曲線C1的極坐標方程為ρ＝4cosθ.設Q(ρ，θ)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ，θ－\f(π,2)))，則有ρ＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))＝4sinθ.所以曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sinθ.(2)點M到射線θ＝eq\f(π,3)(ρ＞0)的距離d＝2sineq\f(π,3)＝eq\r(3)，|AB|＝ρB－ρA＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)－cos\f(π,3)))＝2(eq\r(3)－1)，則S△MAB＝eq\f(1,2)|AB|×d＝eq\f(1,2)×2(eq\r(3)－1)×eq\r(3)＝3－eq\r(3).【變式訓練2】．已知函數(shù)f(x)=log2(2x-3)+4．（１）將函數(shù)f(x)的圖象按向量a＝（０，－４）平移后,求所得函數(shù)的解析式．（2）是否存在一個平移，能將函數(shù)f(x)化為對數(shù)函數(shù)形式？若存在，求出這一對數(shù)函數(shù)的解析式，并借化簡的結果研究函數(shù)f(x)的單調性；若不存在，請說明原因．【解析】.（１）設P(x,y)為函數(shù)f(x)圖象上任一點，按a＝（０，－４）平移后對應點為P′(x′,y′),則把平移公式即代入y=log2(2x-3)＋４，得y′+4=log2(2x′-3)＋４，即y′=log2(2x′-3).故平移后所得圖象的函數(shù)解析式為y=log2(2x-3)．(2)【解法一】：設存在向量a=(h,k)滿足題設，并設P(x,y)為f(x)圖象上任意一點，其按a=(h,k)平移后的對稱點為P′(x′,y′)，則即代入原函數(shù)解析式,得y′-k=log2\[2(x′-h)-3\]＋４，即y′=log2（2x′-2h-3）+4+k＝log22(x′-)+(4+k)＝log2(x′-)+(5+k).由題意即∴當a=(,-5)時，平移后的函數(shù)解析式y(tǒng)=log2x為對數(shù)函數(shù)，該函數(shù)在其定義域上為單調增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在其定義域上也為單調增函數(shù)．【解法二】：由已知f(x)=log2[2(x-)]+4，令y=f(x),則y=log22+log2(x-)+4,∴y-5=log2(x-).令則按向量a=(,-5)平移后，函數(shù)f(x)的解析式化為對數(shù)函數(shù)y=log2x，這一函數(shù)在其定義域上為單調增函數(shù)，∴函數(shù)f(x)在其定義域上也是單調增函數(shù)．

四、遷移應用1.將圖形F按向量a＝（h，k）（其中h＞０，k＞０）平移，就是將圖形F()A.向x軸的正方向平移h個單位長度，同時向y軸的正方向平移k個單位長度B.向x軸的負方向平移h個單位長度，同時向y軸的負方向平移k個單位長度C.向x軸的正方向平移h個單位長度，同時向y軸的負方向平移k個單位長度D.向x軸的負方向平移h個單位長度，同時向y軸的正方向平移k個單位長度【答案】：Ａ【解析】：設圖形F：f(x,y)＝0，按向量a=(h,k)平移后的圖形為F′：f(x-h,y-k)＝0，顯然圖形F′是由圖形F向x軸的正方向平移h個單位長度，同時向y軸的正方向平移k個單位長度所得到的.2.將函數(shù)y=sin2x按向量a＝（－，１）平移后的函數(shù)解析式是()A.y=sin(2x+)+1B.y=sin(2x-)+1C.y=sin(2x+)+1D.y=sin(2x-)+1【答案】：Ａ【解析】：函數(shù)y=sin2x的圖象按向量a=(－,1)平移,得y=sin［2(x+)］＋１．3.將拋物線y=x2-4x＋5按向量a平移，使頂點與原點重合，則向量a的坐標為()A.（2，１）B．（－2，－１）C.（－2，１）D.（2，－１）【答案】：Ｂ【解析】：y=x2-4x＋５＝(x-2)2＋１，頂點為（２，１）,將頂點移至與原點重合，則a＝（０，０）－（２，１）＝（－２，－１）．4.函數(shù)y=sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)解析式為y=cos2x+1，則a可能等于()A.（，１）B．（－，１）C.（－，１）D.（，１）【答案】：B【解析】：設a=(h,k)，則代入y=sin2x,得y′-k=sin2(x′-h).整理得y′=sin2(x′-h)+k.∴cos2x′+1=sin(2x′-2h)+k．當時,sin(2x-2h)+k=cos2x+1.5.函數(shù)f(x)=x2+mx+n的圖象按向量a=(4,3)平移后得到的圖象恰與直線4x+y－８＝０相切于點T(1,4)，則原函數(shù)的解析式為()A.f(x)=x2+2x+1B.f(x)=x2+2x+2C.f(x)=x2+2x-2D.f(x)=x2+2x【答案】：C【解析】：函數(shù)f(x)=x2+mx+n的導數(shù)y′=2x+m，設原切點T′(x,y)，按向量a＝（４，３）平移為T(1,4)，則T′(-3,1)，由切線的斜率為-４，切點T′(-3,1)在函數(shù)f(x)=x2+mx+n的圖象上，故2×(-3)+m=-4，所以m=2.又(-3)2+(-3)×2+n=1,所以n=-2.從而原函數(shù)的解析式為f(x)=x2+2x-2.6.把函數(shù)y=32x-5的圖象按向量a平移后，解析式變?yōu)閥=32x，求向量a．【解析】：(方法一)設向量a＝（h,k），P（x,y）是函數(shù)y=32x-5圖象上任一點，平移后，函數(shù)y=32x圖象上的對應點為P′(x′,y′)，由平移公式得y+k=32(x+h).整理得y=32x+2h-k，顯然它與y=32x-5為同一函數(shù)，從而有即所以a＝（，０）.(方法二)設向量a=(h,k)，由平移公式得將它代入y=32x-5，得y′-k=32(x′-h)-5.整理，得y′=32x′-2h-5+k.顯然它與y′=32x′為同一函數(shù)，∴解得所以a=,0)．7.已知拋物線y=x2-2x-８,求（１）拋物線頂點的坐標；（2）將這個拋物線的頂點平移到點（2，－3）時的函數(shù)解析式；（3）將此拋物線按怎樣的向量a=(h,k)平移，能使平移后的曲線的函數(shù)解析式為y=x2．【解析】：（1）將y=x2-2x-8配方，得y=(x-1)2-9，故拋物線頂點O的坐標為（１，－９）．(2)將拋物線y=(x-1)2-9的頂點平移到點（２，－３）時的函數(shù)解析式為y=(x-2)2-3,即y=x2-4x+1.（3）將平移公式即代入原拋物線的解析式,得y′-k=(x′-h)2-2(x′-h)-8.化簡,得y′=x′2-2(h+1)x′+h2+2h-8+k.與平移后的曲線解析式y(tǒng)′=x′2比較,可得解得∴所求平移向量a＝（－１，９）．8．【山東省鄆城一中等學校2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學】在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點M的極坐標為，直線l的極坐標方程為．（1）求直線l的直角坐標方程與曲線C的普通方程；（2）若N是曲線C上的動點，P為線段MN的中點，求點P到直線l的距離的最大值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）因為直線l的極坐標方程為，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得直線l的直角坐標方程為x－y－4＝0．將曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù)a，得曲線C的普通方程為．（2）設N（，sinα），α∈[0，2π）．點M的極坐標（，），化為直角坐標為（－2，2）．則．所以點P到直線l的距離，所以當時，點M到直線l的距離的最大值為．【名師點睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程和普通方程的互化，考查三角函數(shù)的圖像和性質，考查點到直線的距離的最值的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．9．【河南省周口市2018–2019學年度高三年級（上）期末調研考試數(shù)學】在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線交于兩點，且設定點，求的值．【答案】（1）普通方程為，C直角坐標方程為；（2）．【解析】（1）由直線的參數(shù)方程消去，得普通方程為．等價于，將代入上式，得曲線的直角坐標方程為，即．（2）點在直線上，所以直線的參數(shù)方程可以寫為為參數(shù)），將上式代入，得．設對應的參數(shù)分別為，則，所以．【名師點睛】本題考查了直線的參數(shù)方程，考查了簡單曲線的極坐標方程，解答此題的關鍵是熟練掌握直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義．10．【河北衡水金卷2019屆高三12月第三次聯(lián)合質量測評數(shù)學】在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）當時，寫出直線l的普通方程及曲線C的直角坐標方程；（2）已知點，設直線l與曲線C交于A，B兩點，試確定的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）當時，直線的參數(shù)方程為．消去參數(shù)t得．由曲線C的極坐標方程為，得，將，及代入得，即；（2）由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），可知直線是過點P（–1，1）且傾斜角為的直線，又由（1）知曲線C為橢圓，所以易知點P（–1，1）在橢圓C內，將代入中，整理得，設A，B兩點對應的參數(shù)分別為，則，所以，因為，所以，所以，所以的取值范圍為．【名師點睛】利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題．經(jīng)過點P（x0，y0），傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．若A，B為直線l上兩點，其對應的參數(shù)分別為，線段AB的中點為M，點M所對應的參數(shù)為，則以下結論在解題中經(jīng)常用到：（1）；（2）；（3）；（4）．11.已知曲線C的極坐標方程為ρ2＝eq\f(9,cos2θ＋9sin2θ)，以極點為平面直角坐標系的原點O，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系．(1)求曲線C的直角坐標方程；(2)A，B為曲線C上兩點，若OA⊥OB，求eq\f(1,|OA|2)＋eq\f(1,|OB|2)的值．【解析】(1)由ρ2＝eq\f(9,cos2θ＋9sin2θ)，得ρ2cos2θ＋9ρ2sin2θ＝9，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入得到曲線C的直角坐標方程是eq\f(x2,9)＋y2＝1.(2)因為ρ2＝eq\f(9,cos2θ＋9sin2θ)，所以eq\f(1,ρ2)＝eq\f(cos2θ,9)＋sin2θ，由OA⊥OB，設A(ρ1，α)，則點B的坐標可設為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，α±\f(π,2)))，所以eq\f(1,|OA|2)＋eq\f(1,|OB|2)＝eq\f(1,ρeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,ρeq\o\al(2,2))＝eq\f(cos2α,9)＋sin2α＋eq\f(sin2α,9)＋cos2α＝eq\f(1,9)＋1＝eq\f(10,9).12．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosφ，,y＝\r(2)sinφ))(φ為參數(shù))．以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcosθ＋ρsinθ＝1.(1)求橢圓C的極坐標方程和直線l的直角坐標方程；(2)若點P的極坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))，直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求|PA|＋|PB|的值．【解析】(1)由題意知橢圓C的普通方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入整理得2ρ2＋ρ2sin2θ－6＝0，∴橢圓C的極坐標方程為2ρ2＋ρ2sin2θ－6＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))得直線l的直角坐標方程為x＋y＝1.(2)設點A，B對應的參數(shù)分別為t1，t2，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))的直角坐標為P(0，1)，它在直線l上．設直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),2)t，,y＝1＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，代入eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1，得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)t