2022年北京北京中學初二（下）期中數(shù)學試卷及答案

第1頁/共1頁2022北京北京中學初二（下）期中數(shù)學2022.4一、選擇題（共24分，每題3分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列式子為最簡二次根式的是（）A. B. C. D.2.以下列長度的三條線段為邊能組成直角三角形的是（）A.6，7，8 B.2，3，4 C.3，4，6 D.6，8，103.如圖，矩形中，對角線交于點，如果，那么度數(shù)是（）A. B.C. D.4.周長為的正方形對角線的長是（）A. B. C. D.5.下列各曲線中，不表示y是x的函數(shù)的是（）A. B.C. D.6.數(shù)學家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補”原理復原了《海島算經(jīng)》九題古證，下列說法不一定成立的是（）A. B.C. D.7.如圖，將?ABCD沿AE翻折，使點B恰好落在AD上的點F處，則下列結論不一定成立的是（）A.AF＝EF B.AE＝AF C.AB＝EF D.FD＝EC8.如圖1，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD交于點O．點E為線段AC上的一個動點，連接BE，DE，過點E作EF⊥BD于點F．設圖1中某條線段的長為x，DE＝y(tǒng)，若表示y與x的函數(shù)關系的圖象大致如圖2所示，則這條線段可能是圖1中的（）A.線段FE B.線段CE C.線段BE D.線段AE二、填空題（共24分，每題3分）9.函數(shù)的自變量x的取值范圍是___．10.在中，，則__________°．11.已知是正整數(shù)，是整數(shù)，則的值可以是_______（寫出一個即可）．12.在中，，，．則的長為_______．13.如圖，平面直角坐標系xOy中，A（0，3），B（4，0），點C為AB的中點，則線段OC的長為______．14.如圖，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于點E，F(xiàn)為BE的中點，G為BC的中點，連接EC．若AB＝6，BC＝14，則AE的長為_______；FG的長為_______．15.圖中菱形的兩條對角線長分別為和，將其沿對角線裁分為四個三角形，將這四個三角形無重疊地拼成如圖所示的圖形，則圖中菱形的面積等于__________；圖中間的小四邊形的面積等于__________．16.某商家需要更換店面地磚，商家打算用1500元購買單色和彩色兩種地磚進行搭配，并且把1500元全部花完．已知每塊單色地磚15元，每塊彩色地磚25元，根據(jù)需要，購買的單色地磚數(shù)要超過彩色地磚數(shù)的3倍，并且單色地磚數(shù)要少于彩色地磚數(shù)的4倍，那么符合要求的一種購買方案是_______．三、解答題（共52分，第17-24題，每題5分，第25，26題，每題6分）17計算：（）（）．18.計算：（）．19.下面是小明設計的作矩形ABCD的尺規(guī)作圖過程．已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．求作：矩形ABCD．作法：如圖，1、以點A為圓心，BC長為半徑作??；2、以點C為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧交于點D（點D與點B在直線AC異側）；3、連接AD，CD．所以四邊形ABCD就是所求作的矩形．根據(jù)小明設計的尺規(guī)作圖過程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明（括號里填推理的依據(jù)）．證明：∵AB＝______，BC＝______，∴四邊形ABCD是平行四邊形（_______）．又∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形（________）．20.如圖，在平行四邊形中，點，分別在，上，且．求證：．21.已知，求代數(shù)式的值．22.在矩形ABCD中，E在BC延長線上，連接DE，過點B作BF//DE交DA的延長線于點F．（1）求證：BF＝DE；（2）連接AE，若AF＝1，AB＝2，AD，求證：AE平分∠DEB．23.如圖所示正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，網(wǎng)格的中心標記為點O．按要求畫四邊形，使它的四個頂點均落在小正方形的頂點上，且點O為其對角線交點．（1）在圖1中畫一個兩邊長分別為2和4的矩形；（2）在圖2中畫一個平行四邊形，使它有且只有一條對角線與（1）中矩形對角線相等；（3）在圖3中畫一個正方形，使它的對角線與（2）中所畫平行四邊形的一條對角線相等．24.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，AB＝BC＝2CD，E為對角線AC的中點，F(xiàn)為邊BC的中點，連接DE，EF．（1）求證：四邊形CDEF為菱形；（2）連接DF交EC于G，若DF＝2，CD，求AD的長．25.在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是AB上一點（不與點A，B重合），線段CE的垂直平分線交CE于點F，交BD于點G，連接AG，EG．（1）根據(jù)題意補全圖形，并證明AG＝EG；（2）用等式表示線段AG與CE之間的數(shù)量關系，并證明．26.對于平面直角坐標系xOy中的點P（x1，y1）和Q（x2，y2），稱|x1?x2|+|y1?y2|為點P與Q的完美距離，記作d（P，Q）．例如：點P（4，3），點Q（1，1），因為|4?1|+|3?1|＝5，所以點P與Q的完美距離為d（P，Q）＝5，也就是圖中線段PM與線段QM長度的和（點M為垂直于x軸的直線PM與垂直于y軸的直線QM的交點）．（1）已知A（﹣3，0），B（1，m），C（t，m）．①若m＝0，d（A，B）＝d（A，C）+d（B，C），求t的取值范圍；②若m＝1，d（A，B）+2＜d（A，C）+d（B，C），直接寫出t的取值范圍；（2）若點D滿足d（O，D）＝3，點E（?6，0），線段DE的中點為F，直接寫出d（O，F(xiàn)）的取值范圍及所有符合條件的點F組成圖形的面積．

參考答案一、選擇題（共24分，每題3分）第1?8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．【詳解】解：A選項，是最簡二次根式，故該選項符合題意；

B選項，，故該選項不符合題意；

C選項，，故該選項不符合題意；

D選項，，故該選項不符合題意；

故選：A．【點睛】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式是解題的關鍵．2.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理即兩短邊的平方和等于最長邊的平方逐一判斷即可．【詳解】解：．，不能構成直角三角形，故本選項錯誤；．，不能構成直角三角形，故本選項錯誤；．，不能構成直角三角形，故本選項錯誤；．，能構成直角三角形，故本選項正確．故選：．【點睛】本題考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形就是直角三角形是解答此題的關鍵．3.【答案】C【解析】【分析】只要證明OA=OD，根據(jù)三角形的外角的性質即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=AC，OD=BD，AC=BD，∴OA=OB，∴∠OAD=∠ODA=30°，∵∠AOB=∠OAD+∠ODA=60°．故選C．【點睛】本題考查矩形的性質、等腰三角形的性質，三角形外角的性質等知識，解題的關鍵是根據(jù)矩形的性質得出OA=OB．4.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)正方形的性質得到正方形的邊長為1cm，然后根據(jù)勾股定理得到正方形對角線的長．【詳解】解：∵正方形的周長為4cm，∴正方形的邊長為1cm，∴正方形的對角線的長為=cm．故選D．【點睛】本題考查了正方形性質和勾股定理，根據(jù)正方形的四條邊相等得出直角三角形的兩直角邊長是解決此題的關鍵．5.【答案】C【解析】【分析】在直角坐標系中，對于x的取值范圍內的任意一點，通過這點作x軸的垂線，則垂線與圖形只有一個交點就滿足函數(shù)定義，否則就不滿足．【詳解】解：函數(shù)是指：在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應.選項C中，當x在-1到1之間時，過其中某點向x軸作垂線，該垂線與圖形有兩個交點，與函數(shù)的概念違背，故選項C中表示的不是函數(shù).選項A、B、D都滿足函數(shù)概念.故答案為：C.【點睛】本題考查函數(shù)的概念，函數(shù)的概念是指：在一個變化過程中，有兩個變量x，y，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)，x叫自變量；根據(jù)定義即可解答.6.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質及材料即可判斷．【詳解】根據(jù)題意可知，故C正確；根據(jù)矩形的性質得，，故A，B正確，故選：D．【點睛】此題主要考查矩形的性質，解題的關鍵是熟知矩形的性質定理．7.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質及折疊變換進行推理，可知A、C、D均成立，只有B不成立．【詳解】解：∵平行四邊形ABCD沿AE翻折，

∴△ABE≌△AFE，

∴AB＝AF，BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EAF，

∴∠AEF＝∠EAF，

∴AF＝EF，故選項A正確，不符合題意；

∴AF＝BE

∴四邊形ABEF為平行四邊形，

∴AB＝EF＝AF＝BE，故選項C正確，不符合題意，

∵AD＝BC，

∴AD?AF＝BC?BE，即FD＝EC，故選項D正確，不符合題意；

不能證明選項B，故選項B不一定成立，符合題意；

故選：B．【點睛】本題考查平行四邊形中的翻折問題，已知翻折就是圖形全等，翻折是一種對稱變換，它屬于軸對稱，解題的關鍵是掌握軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．8.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)圖象可知x的值可以取0，即圖2中表示長為x的線段的長度可以為0，由此即可排除A、C；再根據(jù)y隨x先減小后增大進行判斷B、D即可．【詳解】解：由圖2函數(shù)圖象可知，表示長為x的線段的長度可以為0，∵點E在線段AC上，∴線段BE和線段FE的長度不可能為0，故A、C不符合題意；當該線段為BE時，∵一開始表示長為x的線段為0，∴一開始點E與點C重合，然后慢慢從點C向點A運動，根據(jù)垂線段最短可知當DE⊥AC時，此時線段DE的長度有最小值，即此過程y隨x的增大而減小，當點E繼續(xù)運動時，DE的長度逐漸增大，即y隨x的增大而增大，∵AB＜BC，四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD＜AD=BC，∴當點E在C點時y的值小于點E運動到A點時的函數(shù)值，符合圖2所示的函數(shù)圖象，故B符合題意；當該線段為AE時，同理可知一開始點E與點A重合，當點E運動到DE⊥AC時，此時線段DE的長度有最小值，即此過程y隨x的增大而減小，當點E繼續(xù)運動時，DE的長度逐漸增大，即y隨x的增大而增大，但是由于AD＞CD，所以點E在A點的時y的值小于點E運動到C點時的函數(shù)值，不符合圖2的函數(shù)圖象，故D不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查的是動點問題的函數(shù)圖象，矩形的性質，根據(jù)垂線段最短確定出函數(shù)最小值出現(xiàn)的時刻是解題關鍵．二、填空題（共24分，每題3分）9.【答案】【解析】【詳解】解：在實數(shù)范圍內有意義，則；解得故答案為10.【答案】110【解析】【分析】直接利用平行四邊形的對角相等即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴．故答案為：110．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質，正確得出對角相等是解題關鍵．11.【答案】21（答案不唯一，21乘以完全平方數(shù)即可）【解析】【分析】因為是整數(shù)，且=，則是完全平方數(shù)，滿足條件的正整數(shù)為21乘以完全平方數(shù)即可．【詳解】∵=，且是整數(shù)；∴3是整數(shù)，即是完全平方數(shù)；∴正整數(shù)為21乘以完全平方數(shù)即可．故答案為：21（答案不唯一，21乘以完全平方數(shù)即可）【點睛】主要考查了乘除法法則和二次根式有意義的條件．二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負數(shù)．二次根式的運算法則：乘法法則；除法法則．解題關鍵是分解成一個完全平方數(shù)和一個代數(shù)式的積的形式．12.【答案】【解析】【分析】過點C作于D，先判斷，然后根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)含角的直角三角形的性質即可求．【詳解】解：如圖，過點C作于D．∵，，∴，∴，在中，，，∴，∵，，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質，含角的直角三角形的性質，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關鍵．13.【答案】##2.5【解析】【分析】利用勾股定理求出AB的長后再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵點C為AB的中點，∴，故答案：．【點睛】本題考查了勾股定理和直角三角形的性質，牢記勾股定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題關鍵．14.【答案】①.6②.5【解析】【分析】由矩形的性質得出AB＝CD＝6，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，由角平分線的定義得出∠ABE＝∠ABC＝45°，則△ABE是等腰直角三角形，得出AB＝AE，求出DE＝8，由勾股定理求出CE＝10，易證FG是△BCE的中位線，即可得出結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE＝6，∴DE＝AD?AE＝AD?AB＝14?6＝8，∴CE＝，∵F是BE的中點，G是BC的中點，∴FG是△BCE的中位線，∴FG＝CE＝×10＝5，故答案為：6；5．【點睛】本題考查了矩形的性質、角平分線的定義、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、三角形中位線的判定與性質等知識，熟練掌握角平分線的性質，證明△ABE是等腰直角三角形是解題的關鍵．15.【答案】①.24②.1【解析】【分析】根據(jù)菱形的面積等于對角線長乘積的一半，求出圖1菱形的面積，再根據(jù)菱形的對角線長可得菱形邊長為5，進而可得圖2中間的小四邊形的面積是邊長為5的正方形的面積減去菱形的面積．【詳解】∵圖1中菱形的兩條對角線長分別為6和8，∴菱形的面積等于×6×8＝24，菱形的邊長等于＝5，∴圖2中間的小四邊形的面積等于25?24＝1．故答案為：24，1．【點睛】本題考查了圖形的剪拼、菱形的性質，解決本題的關鍵是掌握菱形的性質．16.【答案】購買單色地磚65塊，彩色地磚21塊（或購買單色地磚70塊，彩色地磚18塊）【解析】【分析】設購買單色地磚x塊，則購買彩色地磚（60?x）塊，根據(jù)“購買的單色地磚數(shù)要超過彩色地磚數(shù)的3倍，并且單色地磚數(shù)要少于彩色地磚數(shù)的4倍”，即可得出關于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結合x，（60?x）均為正整數(shù)，即可得出各購買方案，任取其中的一種購買方案即可得出結論．【詳解】解：設購買單色地磚x塊，則購買彩色地磚塊，依題意得：，解得：，又∵x，（60?x）均為正整數(shù)，∴x＝65或70．當x＝65時，；當x＝70時，．∴共有兩種購買方案：方案1：購買單色地磚65塊，彩色地磚21塊；方案2：購買單色地磚70塊，彩色地磚18塊．故答案為：購買單色地磚65塊，彩色地磚21塊（或購買單色地磚70塊，彩色地磚18塊）．【點睛】本題考查了一元一次不等式組的應用，根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組是解題的關鍵．三、解答題（共52分，第17-24題，每題5分，第25，26題，每題6分）17.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質即可求出答案．【詳解】解：原式＝7?3＝4．【點睛】本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟練運用平方差公式，本題屬于基礎題型．18.【答案】【解析】【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的混合運算法則計算即可．【詳解】解：原式===．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題的關鍵．19.【答案】（1）見解析（2）CD，AD，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【解析】【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．

（2）根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可．【小問1詳解】解：如圖，四邊形ABCD即為所求．【小問2詳解】證明：∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對分別相等的四邊形是平行四邊形），

∵∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形）．

故答案為：CD，AD，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查作圖?復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．20.【答案】證明見解析【解析】【分析】由得出，，從而證得，，可證得四邊形是平行四邊形，即可得出結論【詳解】證明：∵，∴，，即，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．21.【答案】【解析】【分析】根據(jù)x的值，可以求得，將所求值代入原式即可求得結果．【詳解】解：∵，∴，∴．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的運算方法及乘法公式是解題的關鍵．22.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）由矩形的性質得出AD∥BC，BF∥DE，即可得出四邊形FBED是平行四邊形，進而解答即可；（2）由勾股定理得出BF，由平行四邊形的性質得出DF∥BE，DE=BF，則∠DAE=∠AEB，證出DE=AD，由等腰三角形的性質得出∠DAE=∠DEA，得出∠AEB=∠DEA即可．【小問1詳解】∵四邊形ABCD矩形，∴AD∥BC，∵BF∥DE，∴四邊形FBED是平行四邊形，∴BF=DE；【小問2詳解】如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠FAB=90°，∵AF=1，AB=2，∴由勾股定理得：，∵四邊形BEDF為平行四邊形，∴DF∥BE，DE=BF，∴∠DAE=∠AEB，∵AD，∴DE=AD，∴∠DAE=∠DEA，∴∠AEB=∠DEA，即AE平分∠DEB．【點睛】本題考查了矩形的性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握矩形的性質和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．23.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的定義以及題目要求畫出圖形即可；（2）根據(jù)平行四邊形的定義以及題目要求畫出圖形即可；（3）根據(jù)正方形的定義以及題目要求畫出圖形即可．【小問1詳解】解：在圖1中，矩形ABCD即為所求（答案不唯一）；【小問2詳解】解：在圖2中，平行四邊形ABCD即為所求（答案不唯一）；【小問3詳解】解：在圖3中，正方形ABCD即為所求（答案不唯一）．【點睛】本題考查作圖?應用與設計作圖，矩形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，正方形的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．24.【答案】（1）見詳解（2）【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理可得EF=AB，EF∥AB，CF=BC，可得AB∥CD∥EF，EF=CF=CD，由菱形的判定可得結論；（2）由菱形的性質可得DG=1，DF⊥CE，EG=GC，由勾股定理可得EG=GC=，可求AG=AE+EG=4，由勾股定理可求AD的長．【小問1詳解】證明：∵E為對角線AC的中點，F(xiàn)為邊BC的中點，∴EF=AB，EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵AB=BC=2CD，∴EF=CF=CD，∴四邊形DEFC是平行四邊形，且EF=CF，∴四邊形CDEF為菱形；小問2詳解】解：如圖，DF與EC交于點G，∵四邊形CDEF為菱形，DF=2，∴DG=1，DF⊥CE，EG=GC，∴EG=GC=，∴AE=CE=2EG=，∴AG=AE+EG=4，∴AD=．【點睛】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，勾股定理，熟練運用菱形的性質是本題的關鍵．25.【答案】（1）見解析；（2），證明見解析．【解析】【分析】（1）通過菱形的對角線互相垂直平分，線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等，分別證明AG=CG、EG=CG，通過等量代換即可；（2）延長EG交CE于點H，通過證明，通過證明，再根據(jù)、∠ABC=60°，通過等量代換證明∠EGC=120°，從而求出∠EGF=60°，∠GCF=30°，通過勾股定理求出CF=，通過CE=2CF、AG=CG代換即可求出．【小問1詳解】補全圖形如下：∵四邊形ABCE是菱形，AC、BD是對角線，∴AC、BD互相垂直平分，∵點G在BD上，∴AG=CG，∵FG是CE的垂直平分線，∴EG=CG，∴AG=EG．【小問2詳解】延長ED，交CD于點H，如圖，∵AD=CD，AG=CG，DG=DG，∴，