湖南省張家界市市永定區(qū)西溪坪街道辦事處關(guān)門巖中學高三數(shù)學理模擬試題含解析

湖南省張家界市市永定區(qū)西溪坪街道辦事處關(guān)門巖中學高三數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知一個空間幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標出的尺寸，可得這個幾何體的體積是（

）A．

B．

C.

1

D．參考答案：B根據(jù)題中三視圖，知該幾何體為三棱錐，則該三棱錐的體積為，故正確答案為B.

2.一支田徑隊有男運動員56人,女運動員42人,若用分層抽樣的方法從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本,則樣本中男運動員的人數(shù)為

(

).（A）16

（B）14

（C）12

（D）10參考答案：A3.定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個正數(shù)a，b滿足則的取值范圍是(

)A． B． C． D．參考答案：C考點：簡單線性規(guī)劃的應用；函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系．專題：壓軸題；圖表型．分析：先根據(jù)導函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a、b的范圍得到答案．解答：解：由圖可知，當x＞0時，導函數(shù)f'（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增∵兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，∴0＜2a+b＜4，∴b＜4﹣2a，0＜a＜2，畫出可行域如圖．k=表示點Q（﹣1，﹣1）與點P（x，y）連線的斜率，當P點在A（2，0）時，k最小，最小值為：；當P點在B（0，4）時，k最大，最大值為：5．取值范圍是C．故選C．點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減4.設向量，，定義一種向量積：．已知向量，，點P在的圖象上運動，點Q在的圖象上運動，且滿足（其中O為坐標原點），則在區(qū)間上的最大值是（

）A．2

B．

C．

D．4參考答案：D略5.閱讀右側(cè)程序框圖，輸出的結(jié)果的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：B的函數(shù)值構(gòu)成周期為6的數(shù)列，且，則

6.拋物線（）的焦點為，其準線經(jīng)過雙曲線（，）的左焦點，點為這兩條曲線的一個交點，且，則雙曲線的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C7.從數(shù)字1，2，3，4，5中，取出3個數(shù)字（允許重復），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A.7 B.9 C.10 D.13參考答案：C【分析】由題意，把問題分為三類：當三個數(shù)分別為，，三種情況，結(jié)合排列、組合和計數(shù)原理，即可求解.【詳解】從數(shù)字1，2，3，4，5中，取出3個數(shù)字（允許重復），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，可分為三類情況：（1）當三個數(shù)為時，共有種排法；（2）當三個數(shù)為時，共有種排法；（3）當三個數(shù)為時，只有1中排法，由分類計數(shù)原理可得，共有種不同排法，即這樣的數(shù)共有10個.故選：C.【點睛】本題主要考查了計數(shù)原理與排列、組合的應用，其中解答中認真審題，合理分類，結(jié)合計數(shù)原理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8.下面程序框圖運行后，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間[－2，]內(nèi)，則輸入的實數(shù)x的取值范圍是

()

A．(－∞，0)∪[，]

B．(－∞，－1]∪[，]

C．(－∞，－1]

D．[，]參考答案：B9.曲線在點處的切線與直線垂直，則實數(shù)的值為

(

)Ａ.２Ｂ.－２

Ｃ.Ｄ.參考答案：A略10.已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=2，且f（x）的導數(shù)f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），則不等式f（x）＜x+1的解集為（） A． （1，+∞） B． （﹣∞，﹣1） C． （﹣1，1） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）參考答案：考點： 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；導數(shù)的加法與減法法則．專題： 計算題．分析： 構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）﹣x﹣1，g'（x）=f′（x）﹣1＜0，從而可得g（x）的單調(diào)性，結(jié)合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．解答： 解：令g（x）=f（x）﹣x﹣1，∵f′（x）＜1（x∈R），∴g′（x）=f′（x）﹣1＜0，∴g（x）=f（x）﹣x﹣1為減函數(shù)，又f（1）=2，∴g（1）=f（1）﹣1﹣1=0，∴不等式f（x）＜x+1的解集?g（x）=f（x）﹣x﹣1＜0=g（1）的解集，即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）﹣x﹣1為減函數(shù)，∴x＞1，即x∈（1，+∞）．故選A．點評： 本題利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可構(gòu)造函數(shù)，考查所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，也是難點所在，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標方程為（），曲線C在點（2，）處的切線為l，以極點為坐標原點，以極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系，則l的直角坐標方程為

▲

.參考答案：12.已知，，若直線與直線互相垂直，則ab的最大值是__________．參考答案：.分析：根據(jù)兩直線垂直的條件，求出滿足的關(guān)系式，再利用基本不等式求出的最大值。詳解：因為直線與直線互相垂直，所以，，又，所以，當且僅當，即時，等號成立。所以的最大值為。點睛：本題主要考查了兩直線垂直的條件以及基本不等式，屬于中檔題。本題使用基本不等式時，注意湊項，方便使用基本不等式。13.已知圓柱的嗎，母線長為，底面半徑為，是上底面圓心，是下底面圓周上兩個不同的點，是母線，如圖，若直線與所成角的大小為，則__________

參考答案：【知識點】異面直線及其所成角

G3【答案解析】

解析：如圖，過A作與BC平行的母線AD，連接OD，則∠OAD為直線OA與BC所成的角，大小為，在直角三角形ODA中，因為∠OAD＝，所以，故答案為：【思路點撥】：過A作與BC平行的母線AD，由異面直線所成角的概念得到∠OAD＝，在直角三角形ODA中，直接由即可計算出。14.已知程序框圖如右，則輸出的=

．K參考答案：9因為,所以當S=105時退出循環(huán)體，因而此時i=9,所以輸出的i值為915.已知sinθ﹣2cosθ=，則tan（θ十）的值為．參考答案：【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得tanθ的值，再利用兩角和的正切公式求得tan（θ十）的值．【解答】解：∵sinθ﹣2cosθ=，∴平方可得1+3cos2θ﹣4sinθcosθ=5，即=4，即=4，求得tanθ=﹣

則tan（θ十）===，故答案為：．【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題．16.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}，若a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則a1=，an=．參考答案：1，an=2n﹣1．【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【分析】設等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，由a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，可得a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1，d即可得出．【解答】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d≠0，∵a2+a4=10，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則2a1+4d=10，a22=a1a5，即（a1+d）2=a1（a1+4d），解得a1=1，d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．故答案為：1，an=2n﹣1．17.設等比數(shù)列的公比q=2，前n項和為Sn，則=

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓上任一點P，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M在PQ上，且，點M的軌跡為C.

（Ⅰ）求曲線C的方程；

（Ⅱ）過點D（0，－2）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點且平行于軸的直線上一動點，滿足（O為原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在說明理由參考答案：因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，

假設存在矩形OANB，則

即，

所以，

…………10分

設N（x0，y0），由，得

，即N點在直線，

所以存在四邊形OANB為矩形，直線l的方程為

略19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．（1）設，判斷在上是否為有界函數(shù)，若是，請說明理由，并寫出的所有上界組成的集合；若不是，也請說明理由；（2）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：【測量目標】（1）邏輯思維能力/會進行演繹、歸納和類比推理，能合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點.（2）分析問題與解決問題的能力/能自主地學習一些新的數(shù)學知識（概念、定理、性質(zhì)和方法等），并能初步應用.【知識內(nèi)容】（1）函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/函數(shù)的基本性質(zhì).（2）函數(shù)與分析/函數(shù)及其基本性質(zhì)/函數(shù)的基本性質(zhì).【參考答案】（1），則在上是增函數(shù)，故，即，

……………2分故，所以是有界函數(shù)．

……………4分所以，上界滿足，所有上界的集合是．……6分（2）因為函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，故在上恒成立，即，所以，（），…………8分所以（），令，則，故在上恒成立，所以，（），

………11分令，則在時是減函數(shù)，所以；…12分令，則在時是增函數(shù)，所以．…13分所以，實數(shù)的取值范圍是．

……14分20.已知點A（﹣4，4）、B（4，4），直線AM與BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為﹣2，點M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的軌跡方程；（2）Q為直線y=﹣1上的動點，過Q做曲線C的切線，切點分別為D、E，求△QDE的面積S的最小值．參考答案：（Ⅰ）設M（x，y），由題意可得：，化為x2=4y．∴曲線C的軌跡方程為x2=4y且（x≠±4）．（Ⅱ）聯(lián)立，化為x2﹣4kx+4（km+1）=0，由于直線與拋物線相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切點（2k，k2），由k2﹣km﹣1=0．∴k1+k2=m，k1?k2=﹣1．∴切線QD⊥QE．∴△QDE為直角三角形，|QD|?|QE|．令切點（2k，k2）到Q的距離為d，則d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）（k2+1），∴|QD|=，|QE|=，∴（4+m2）=≥4，當m=0時，即Q（0，﹣1）時，△QDE的面積S取得最小值4．21.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，，，，為等邊三角形。（Ⅰ）當PB長為多少時，平面PAD⊥平面ABCD？并說明理由；（Ⅱ）若二面角的大小為150°，求直線AB與平面PBC所成角的正弦值。

參考答案：（Ⅰ）當時，平面平面.

理由如下：在中，結(jié)合已知有，，滿足勾股定理，所以.

又，，所以.

而，所以平面平面.

（Ⅱ）分別取線段的中點,連接.因為為等邊三角形，為的中點，所以，且.又，所以，故為二面角的平面角，所以.

如圖，分別以,的方向以及過點垂直于平面向上的方向作為軸的正方向，建立空間直角坐標系.因為,,所以，，，，可得設為平面的一個法向量，則有.即，令=1，可

直線與平面所成角為,則有所以直線與平面所成角的正弦值為.