廣東省東莞市東華初級中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期中模擬數(shù)學(xué)試題【含答案】

九年級數(shù)學(xué)2023-2024年期中復(fù)習(xí)模擬卷培優(yōu)卷一、選擇題(每小題3分，共30分)1.下列圖形是中心對稱圖形是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由中心對稱圖形的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對稱圖形的概念，關(guān)鍵是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合．2.已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（）A. B.8 C.0 D.0或8【答案】D【解析】【詳解】解：∵一元二次方程x2+(m?2)x+m+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=0，即(m?2)2?4×1×(m+1)=0，整理，得m2?8m=0，解得m1=0，m2=8．故選D．3.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題可先由一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的圖象分別求出對應(yīng)的a，b的范圍，再相比較看是否一致即可．【詳解】解：觀察一次函數(shù)的圖象得：，由次函數(shù)的圖象得：，相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；B、觀察一次函數(shù)的圖象得：，由二次函數(shù)的圖象得：，相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；C、觀察一次函數(shù)的圖象得：，由二次函數(shù)的圖象得：，有可能，故本選項(xiàng)符合題意；D、觀察一次函數(shù)的圖象得：，由二次函數(shù)的圖象得：，相矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．4.關(guān)于x的一元二次方程根的情況，下列說法正確的是（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無實(shí)數(shù)根 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】先計(jì)算判別式，再進(jìn)行配方得到△=（k-1）2+4，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，再利用判別式的意義即可得到方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【詳解】△=(k-3)2-4(1-k)=k2-6k+9-4+4k=k2-2k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．5.拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，且與y軸交于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，y的值為（）A. B. C. D.5【答案】A【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，再求函數(shù)值即可．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)、，且與y軸交于點(diǎn)，∴，解方程組得，∴拋物線解析式為，當(dāng)時(shí)，．故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線解析式，和函數(shù)值，掌握系數(shù)法求拋物線解析式方法和函數(shù)值求法是解題關(guān)鍵．6.如圖，四邊形內(nèi)接于，是上一點(diǎn)，且，連接并延長交的延長線于點(diǎn)，連接，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由等弧所對的圓周角相等得出的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，，∴，∵，，∴,又∵，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等弧所對的圓周角相等，三角形的外角性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．7.將含有30°角的直角三角板OAB如圖放置在平面直角坐標(biāo)中，OB在x軸上，若OA＝2，將三角板繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A.（，1） B.（1，﹣） C.（，﹣） D.（﹣，）【答案】C【解析】【分析】求出旋轉(zhuǎn)后OA與y軸夾角為45°，然后求出點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，從而得解．【詳解】如圖，∵三角板繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°，∴旋轉(zhuǎn)后OA與y軸夾角為45°，∵OA＝2，∴OA′＝2，∴點(diǎn)A′的橫坐標(biāo)為2×＝，縱坐標(biāo)為﹣2×＝﹣，所以，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（，﹣）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化和旋轉(zhuǎn)，能正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵．8.某病毒人傳人，3人感染病毒后如果不隔離，那么經(jīng)過兩輪傳染將會有人感染，假設(shè)每輪每人傳染的人數(shù)相同.則每輪每人傳染的人數(shù)為（）A.4人 B.5人 C.6人 D.7人【答案】A【解析】【分析】設(shè)1個(gè)人傳染人，第一輪共傳染人，第二輪共傳染人，由此列方程解答，再進(jìn)一步求問題的答案．【詳解】解：設(shè)每個(gè)人傳染人，根據(jù)題意列方程得，，解得：，（不合題意，舍去），故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是找出題目中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系：1個(gè)人傳染人，輪共傳染人．9.若m、n（n＜m）是關(guān)于x的一元二次方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的兩個(gè)根，且b＜a，則m，n，b，a的大小關(guān)系是（）A.m＜a＜b＜n B.a＜m＜n＜b C.b＜n＜m＜a D.n＜b＜a＜m【答案】D【解析】【詳解】試題分析：如圖拋物線y=（x﹣a）（x﹣b）與x軸交于點(diǎn)（a，0），（b，0），拋物線與直線y=1的交點(diǎn)為（n，1），（m，1），由圖象可知，n＜b＜a＜m．故選D．考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)．10.已知二次函數(shù)，當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，而m的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：拋物線的對稱軸為直線，∵當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，∴，解得：．故選D．考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)．二、填空題(每小題4分，共28分)11.若關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)解是則的值是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義把代入方程得到關(guān)于的方程，解得，，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定滿足條件的的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有一個(gè)解是故將代入，得：，即，解得：，，∵方程是一元二次方程，∴，即，故．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，，，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______【答案】【解析】【分析】作軸于H，由題可得，即可求出和，由第二象限點(diǎn)的特征橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)縱坐標(biāo)為正數(shù)即可【詳解】解：如圖，作軸于H．由題意：，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13.若關(guān)于x方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解得到關(guān)于的等式，結(jié)合根的判別式配方后求解即可．【詳解】解：∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，整理得，∴，由題意得，，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，的值隨m的增大而減少，∴當(dāng)，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解以及根與系數(shù)的關(guān)系和二次函數(shù)的最值問題，解題的關(guān)鍵是正確理解：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，和通過配方求二次函數(shù)的最值．14.已知二次函數(shù)y＝3x2＋c的圖象與正比例函數(shù)y＝4x的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則c的值為________．【答案】【解析】【分析】將一次函數(shù)解析式代入到二次函數(shù)解析式中，得出關(guān)于x的一元二次方程，由兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)可得知該方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于c的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】將正比例函數(shù)y=4x代入到二次函數(shù)y=3x2+c中，得：4x=3x2+c,即3x2?4x+c=0.∵兩函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，∴方程3x2?4x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴△=(?4)2?4×3c=0，解得：c=.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握根的判別式與運(yùn)算法則.15.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，分別連結(jié)AP、BP、CP，若，，．則＝_______．【答案】【解析】【分析】將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得△AP'B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可得△BPP′為等邊三角形，可得，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面積公式可求解．【詳解】解：如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得△AP'B，連接PP′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，旋轉(zhuǎn)角，，∴△BPP′為等邊三角形，∴；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，在△BPP′中，，，由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出等邊三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．16.如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，，若，，則的半徑=_______．【答案】【解析】【分析】連接，，，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得，根據(jù)兩直線平時(shí)，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，，推得，根據(jù)等角對等邊可得，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得，推得，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可求得的值，即可求解．【詳解】解：連接，，，如圖：∵是直徑，∴，，∵，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴,∴的半徑是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理直徑所對的圓周角是直角，等角對等邊，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作合適的輔助線．17.已知關(guān)于x的方程的根都是一整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有_____個(gè)．【答案】5【解析】【分析】首先利用當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)一元一次方程，直接得出根，當(dāng)，把，代入方程，得出a的取值即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，則；②當(dāng)時(shí)，原方程可以整理為：，∴，，∴是方程的一個(gè)整數(shù)根，當(dāng)，∴，則，且x是整數(shù)，∴或，∴，0，2，3；由①、②得符合條件的整數(shù)a有5個(gè)．故答案為5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了方程整數(shù)解的求法，一元二次方程的定義，從特殊解入手求解，是解本題的關(guān)鍵．三、解答題(一)(本大題共3小題，每題6分，共18分)18.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）整理后，根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可求解；（2）將看作整體，因式分解法解一元二次方程即可求解．【小問1詳解】解：，∴，∴或，解得：；【小問2詳解】解：，∵，即，∴或，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．19.關(guān)于x的方程．（1）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值；（2）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可知，求出的取值范圍即可；（2）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得出，求出取值范圍即可．【小問1詳解】解：∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：．【小問2詳解】解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．20.如圖所示，已知為的直徑，是弦，且于點(diǎn)．連接、、．（1）若，求的度數(shù)．（2）若，，求的直徑．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由為的直徑，是弦，且，由垂徑定理即可求得，然后由圓周角定理，可得；（2）設(shè)的半徑為，則，，利用勾股定理可求出的值，繼而求得答案．【小問1詳解】解：，，為的直徑，是弦，且，，；【小問2詳解】設(shè)的半徑為，則，，，，，在中，，，解得：，的直徑為．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理、圓周角定理以及勾股定理，熟練掌握這些定理是解答本題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想．四、解答題(二)(本大題共3小題，每題8分，共24分)21.在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、E．（1）當(dāng)點(diǎn)E恰好在上時(shí)，如圖1，求的大小；（2）若時(shí)，點(diǎn)F是邊中點(diǎn)，如圖2，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出，進(jìn)而計(jì)算出的度數(shù)；（2）利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，則，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，從而得到，和為等邊三角形，接著證明得到，然后根據(jù)平行四邊形的判定方法得到結(jié)論．【小問1詳解】解：∵將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，點(diǎn)E恰好在上，∴，，，∵，∴，∴；【小問2詳解】證明：∵點(diǎn)F是邊中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，如圖，連接，∵將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，和為等邊三角形，∴，∵點(diǎn)F為的邊的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定等，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，能夠綜合運(yùn)用上述知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．22.如圖，是的直徑，，M是弧的中點(diǎn)，，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)與的兩邊分別交于E、F（點(diǎn)E、F與點(diǎn)A、B、M均不重合），與分別交于P、Q兩點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接、，試探究：在繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)過程中，是否為定值？若是，求出的大小；若不是，請說明理由；【答案】（1）證明見解析（2）為定值，【解析】【分析】（1）連接，，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，根據(jù)題意可得，根據(jù)同圓中，等弧所對的弦相等可得，推得為等腰直角三角形，，根據(jù)等腰直角三角形三線和合一可得，，根據(jù)勾股定理求得，根據(jù)題意推得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)圓周角定理得到，，推得，即可求解．小問1詳解】證明：連接，，如圖：∵是的直徑，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，，即，，∴，在和中，，∴，∴．小問2詳解】解：為定值．理由：∵，，∴，

∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同圓中，等弧所對的弦相等，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形三線和合一，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等，熟練掌握圓的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．23.小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．（1）求拋物線的表達(dá)式．（2）爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求她與爸爸的水平距離．【答案】（1）（2）2或6m【解析】【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，將點(diǎn)，代入即可求解；（2）將代入（1）的解析式，求得的值，進(jìn)而求與點(diǎn)的距離即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意可知拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得，拋物線的解析式為，【小問2詳解】由，令，得，解得，爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，她與爸爸的水平距離為(m)，或(m)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．五、解答題(三)(本大題共2小題，每題10分，共20分)24.已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．（1）求m的值；（2）先作的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形，然后將所作圖形向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度，寫出變化后圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，當(dāng)直線y=2x+n（n≥m）與變化后的圖象有公共點(diǎn)時(shí)，求的最大值和最小值．【答案】（1）1；（2）；（3）最大值為21，最小值為﹣4．【解析】【詳解】試題分析：（1）由題意△≥0，列出不等式，解不等式即可；（2）畫出翻折．平移后的圖象，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可寫出函數(shù)的解析式；（3）首先確定n的取值范圍，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；試題解析：（1）對于一元二次方程，△=（m+1）2﹣2（m2+1）=﹣m2+2m﹣1=﹣（m﹣1）2，∵方程有實(shí)數(shù)根，∴﹣（m﹣1）2≥0，∴m=1．（2）由（1）可知=，圖象如圖所示：平移后的解析式為，即．（3）由消去y得到，由題意△≥0，∴36﹣4n﹣8≥0，∴n≤7，∵n≤m，m=1，∴1≤n≤7，令y′=n2﹣4n=（n﹣2）2﹣4，∴n=2時(shí)，y′的值最小，最小值為﹣4，n=7時(shí)，y′的值最大，最大值為21，∴的最大值為21，最小值為﹣4．25.如圖(示意圖)，某跳水運(yùn)動員進(jìn)行10m跳臺跳水訓(xùn)練，水面邊緣點(diǎn)E的坐標(biāo)為運(yùn)動員(將運(yùn)動員看成一點(diǎn))在空中運(yùn)動的路線是經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線.在跳某個(gè)規(guī)定動作時(shí)，運(yùn)動員在空中最高處點(diǎn)A的坐