第五節(jié)穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

第五節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)5/11/20241一、穩(wěn)定的基本概念和線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

穩(wěn)定的基本概念：設(shè)系統(tǒng)處于一起始的平衡狀態(tài)。在外作用的影響下，離開(kāi)了該平衡狀態(tài)。當(dāng)外作用消失后，如果經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間它能回復(fù)到起始的平衡狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定的系統(tǒng)。否則是不穩(wěn)定的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)特征方程的根（即極點(diǎn)）全為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根?；蛘哒f(shuō)，極點(diǎn)應(yīng)全部位于s平面的左半平面。注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號(hào)無(wú)關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無(wú)關(guān)。穩(wěn)定的充要條件和屬性5/11/20242充要條件說(shuō)明具有負(fù)實(shí)部共軛極點(diǎn)的環(huán)節(jié)在有輸入時(shí)，其穩(wěn)態(tài)值趨于零。所以是穩(wěn)定的。具有正實(shí)部共軛極點(diǎn)的環(huán)節(jié)是不穩(wěn)定的。極點(diǎn)處于虛軸，即具有共軛虛根的環(huán)節(jié)是臨界穩(wěn)定的。在脈沖函數(shù)輸入時(shí)，做等幅振蕩。穩(wěn)定區(qū)不穩(wěn)定區(qū)臨界穩(wěn)定S平面5/11/20243對(duì)于一階系統(tǒng)，只要都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對(duì)于二階系統(tǒng)，只有都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負(fù)實(shí)根或?qū)嵅繛樨?fù)）對(duì)于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。充要條件說(shuō)明5/11/20244二、勞思—赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)（一）、勞思判據(jù)

設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為則該系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：特征方程的全部系數(shù)為正值；由特征方程系數(shù)組成的勞思陣的第一列也為正。勞思陣的前兩行由特征方程的系數(shù)組成。第一行為1，3，5，…第二行為2，4，6，…項(xiàng)系數(shù)。勞斯判據(jù)勞思陣如右：5/11/20245以下各項(xiàng)的計(jì)算式為：依次類推?？汕蟮脛谒古袚?jù)5/11/20246勞斯判據(jù)例子[例]：特征方程為：，試判斷穩(wěn)定性。[解]：勞斯陣為：穩(wěn)定的充要條件為：均大于零且5/11/20247特殊情況下勞斯陣列的列寫及結(jié)論：用一個(gè)正數(shù)去乘或除某整行，不會(huì)改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論；勞斯陣第一列所有系數(shù)均不為零，但也不全為正數(shù)，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。表示s右半平面上有極點(diǎn)，極點(diǎn)個(gè)數(shù)等于勞斯陣列第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。[例]：系統(tǒng)的特征方程為：-130（2）100（）勞斯陣第一列有負(fù)數(shù)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。其符號(hào)變化兩次，表示有兩個(gè)極點(diǎn)在s的右半平面。勞斯判據(jù)特殊情況5/11/20248勞斯判據(jù)特殊情況勞思陣某一行第一項(xiàng)系數(shù)為零，而其余系數(shù)不全為零。[處理辦法]：用很小的正數(shù)代替零的那一項(xiàng)，然后據(jù)此計(jì)算出勞斯陣列中的其他項(xiàng)。若第一次零（即）與其上項(xiàng)或下項(xiàng)的符號(hào)相反，計(jì)作一次符號(hào)變化。[例]令則

故第一列不全為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。5/11/20249勞斯陣某行系數(shù)全為零的情況。表明特征方程具有大小相等而位置徑向相反的根。至少要下述幾種情況之一出現(xiàn)，如：大小相等，符號(hào)相反的一對(duì)實(shí)根，或一對(duì)共軛虛根，或?qū)ΨQ于虛軸的兩對(duì)共軛復(fù)根。勞斯判據(jù)特殊情況例如:[處理辦法]：可將不為零的最后一行的系數(shù)組成輔助方程，對(duì)此輔助方程式對(duì)s求導(dǎo)所得方程的系數(shù)代替全零的行。大小相等，位置徑向相反的根可以通過(guò)求解輔助方程得到。輔助方程應(yīng)為偶次數(shù)的。5/11/202410[例]168168130380可見(jiàn)，系統(tǒng)沒(méi)有右半平面的根。大小相等，位置徑向相反的根可由輔助方程求得：勞斯判據(jù)特殊情況輔助方程為：，求導(dǎo)得：，用1，3，0代替全零行即可。5/11/202411（二）、赫爾維茨判據(jù)赫爾維茨判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為：則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：，且由特征方程系數(shù)構(gòu)成的赫爾維茨行列式的主子行列式全部為正。赫爾維茨行列式的構(gòu)造：主對(duì)角線上的各項(xiàng)為特征方程的第二項(xiàng)系數(shù)至最后一項(xiàng)系數(shù)，在主對(duì)角線以下各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次增加，在主對(duì)角線以上各行中各項(xiàng)系數(shù)下標(biāo)逐次減小。當(dāng)下標(biāo)大于n或小于0時(shí)，行列式中的項(xiàng)取0。赫爾維茨行列式：5/11/202412赫爾維茨判據(jù)以4階系統(tǒng)為例使用赫爾維茨判據(jù)：赫爾維茨行列式為：穩(wěn)定的充要條件是：5/11/202413赫爾維茨判據(jù)的另一種形式系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（Lienard-Chipard定理）：若 或，則系統(tǒng)穩(wěn)定。赫爾維茨判據(jù)的另一種形式：式中，為赫爾維茨主子行列式。采用這種形式的判據(jù)可減少一半的計(jì)算工作量。5/11/202414（三）勞斯-赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)的應(yīng)用

判定控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性[例3-4]系統(tǒng)的特征方程為：，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。[解]：排列勞斯陣如下：因?yàn)?，，且勞斯陣第一列不全為正，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于勞斯陣第一列有兩次符號(hào)變化，所以系統(tǒng)在s右半平面有兩個(gè)極點(diǎn)。5/11/202415[例3-5]：系統(tǒng)的特征方程為：試用赫爾維茨定理判穩(wěn)。[解]：系統(tǒng)的特征方程為：列赫爾維茨行列式：所以，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。注意：由于所以根據(jù)Lienard-Chipard定理，只要計(jì)算 這樣可以減小一半的計(jì)算量。5/11/202416[例3-6]系統(tǒng)的特征方程為：該系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？求出每一個(gè)極點(diǎn)并畫(huà)出極點(diǎn)分布圖。[解]：勞斯陣如下行全為零。由前一行系數(shù)構(gòu)成輔助方程得：其導(dǎo)數(shù)為：將4，48或1，12代替行，可繼續(xù)排列勞斯陣如下：

勞斯陣第一列系數(shù)全為正，所以系統(tǒng)沒(méi)有右半平面的根因?yàn)樾腥珵榱?，所以特征方程可能有特殊的根。求解如下?/p>

5/11/202417設(shè)剩余的一個(gè)根為-p。則：，整理得：比較系數(shù)得：-p=-2極點(diǎn)分布如下：5/11/202418

分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響利用勞斯和赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)還可以討論個(gè)別參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響，從而求得這些參數(shù)的取值范圍。若討論的參數(shù)為開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的最大K稱為臨界放大系數(shù)。[例3-7]已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，試確定系統(tǒng)的臨界放大系數(shù)。[解]：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：特征方程為：5/11/202419勞斯陣：要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須①系數(shù)皆大于0，②勞斯陣第一列皆大于0所以，臨界放大系數(shù)

確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（穩(wěn)定裕度）利用勞斯和赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)確定的是系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，即絕對(duì)穩(wěn)定性。在實(shí)際系統(tǒng)中，往往需要知道系統(tǒng)離臨界穩(wěn)定有多少裕量，這就是相對(duì)穩(wěn)定性或穩(wěn)定裕量問(wèn)題。5/11/202420利用實(shí)部最大的特征方程的根p（若穩(wěn)定的話，它離虛軸最近）和虛軸的距離表示系統(tǒng)穩(wěn)定裕量。若p處于虛軸上，則，表示穩(wěn)定裕量為0。作的垂線，若系統(tǒng)的極點(diǎn)都在該線的左邊，則稱該系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。一般說(shuō)，越大，穩(wěn)定程度越高。可用 代入特征方程，得以z為變量的新的特征方程，用勞斯-胡爾維茨判據(jù)進(jìn)行判穩(wěn)。若穩(wěn)定，則稱系統(tǒng)具有的穩(wěn)定裕度。[例]系統(tǒng)特征為：，可知它是穩(wěn)定的。令則：行全為零，以它上面的行組成輔助方程，其解為特殊根。對(duì)輔助方程求導(dǎo)，用其系數(shù)代替行。輔助方程為：，其系數(shù)為1，0。其解為： ，有一對(duì)共軛虛根，所以系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的。系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度恰為1。5/11/202421討論相對(duì)穩(wěn)定性除了考慮極點(diǎn)離虛軸遠(yuǎn)近外，還要考慮共軛極點(diǎn)的振蕩情況。對(duì)于共軛極點(diǎn)，其實(shí)部反映響應(yīng)的衰減快慢，虛部反映響應(yīng)的振蕩情況。對(duì)于極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)為。所以，越小，衰減越慢，越大，振蕩越激烈。如下圖示意：可用共軛極點(diǎn)對(duì)負(fù)實(shí)軸的張角來(lái)表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng)