第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)53807

第四章不定積分第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)第二節(jié)換元積分法第三節(jié)分部積分法公式第四節(jié)有理函數(shù)的積分第五節(jié)積分表的使用第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分表不定積分的性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念引例:

一個質(zhì)量為m的質(zhì)點,下沿直線運動,因此問題轉(zhuǎn)化為:已知求在變力試求質(zhì)點的運動速度根據(jù)牛頓第二定律,加速度定義1.若在區(qū)間I上定義的兩個函數(shù)F(x)及f(x)滿足在區(qū)間I上的一個原函數(shù).則稱F(x)為f(x)如引例中,的原函數(shù)有問題:1.在什么條件下,一個函數(shù)的原函數(shù)存在?3.若原函數(shù)存在,它如何表示?定理1.若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),則f(x)在I上存在原函數(shù).由于初等函數(shù)在其定義域上是連續(xù)的,所以得:初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)2.一個函數(shù)的原函數(shù)是否唯一,若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關(guān)于(1)即原函數(shù)存在性,我們有(下章證明)證:1)又知故即即

定理2若F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則f(x)所有的原函數(shù)可表示為F(x)+C.(C為任意常數(shù))定義2.

在區(qū)間I上的原函數(shù)全體稱為上的不定積分,其中—積分號;—被積函數(shù);—被積表達式.—積分變量;若則(C為任意常數(shù))C稱為積分常數(shù)不可丟!例如,記作不定積分的幾何意義:的原函數(shù)的圖形稱為的圖形的所有積分曲線組成的平行曲線族.的積分曲線.

例1

合并上面兩式,得到

解

如果F(x)是f(x)的一個原函數(shù),則

例2

設(shè)曲線通過點(1,2),且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍,求此曲線的方程.

故必有某個常數(shù)C使f(x)

x2

C,即曲線方程為y

x2

C.因所求曲線通過點(1,2),故2

1

C,C

1.于是所求曲線方程為y

x2

1.因為解

設(shè)所求的曲線方程為y

f(x),則曲線上任一點(x,y)處的切線斜率為y

f

(x)

2x,即f(x)是2x的一個原函數(shù).微分與積分的關(guān)系從不定積分的定義可知又由于F(x)是F

(x)的原函數(shù),所以由此可見,如果不計任意常數(shù),則微分運算與求不定積分的運算是互逆的.由于積分運算是微分運算的逆運算,由導數(shù)公式可以得到相應的積分公式.二、基本積分表

例3

例4

例5.

例6.

三、不定積分的性質(zhì)推論:

若則

例7

例8

例9

例10

例11例12

tanx

x

C.

例14

例15

內(nèi)容小結(jié)1.不定積分的概念?原函數(shù)與不定積分的定義?不定積分的性質(zhì)?基本積分表(見P186)2.直接積分法:利用恒等變形,及基本積分公式進行積分.常用恒等變形方法分項積分加項減項利用三角公式,代數(shù)公式,積分性質(zhì)練習1.

若提示:2.若的導函數(shù)為則的一個原函數(shù)是().提示:已知求即B??3.求下列積分:提示:作業(yè)：p-192習題4-1