2023-2024學(xué)年河北省衡水市棗強(qiáng)中學(xué)高一下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)河北省衡水市棗強(qiáng)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的模為()A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算計(jì)算得，進(jìn)而可得模長(zhǎng).【詳解】復(fù)數(shù)z滿足，，所以．故選：B．2．設(shè)x，，向量，，，且，，則（

）A． B．1 C．2 D．0【答案】D【分析】由題知，進(jìn)而解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，，且，，所以，解得，所?故選：D3．觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？（

）A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）【答案】A【分析】根據(jù)棱柱的定義分析判斷即可.【詳解】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征：一對(duì)平行的平面且側(cè)棱相互平行的幾何體，所以棱柱有（1）（3）（5）.故選：A.4．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積等于，結(jié)合已知條件求出，利用向量夾角公式即可求解.【詳解】由，所以，即，因?yàn)?，設(shè)向量的夾角為，所以，所以.故選：B.5．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：A.6．在中，角的對(duì)邊分別為，已知．則角（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換即可得解.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理及二倍角公式得：，因?yàn)樵谥?，，則，即，即，因?yàn)樵谥?，，所以，所?故選：B.7．在中，，且，是的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】建系求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，所以，，，所以，所以.故選：C..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，從而得解.8．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合余弦定理，以及三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：的面積，，，則，，，，，，，，．故選：D．二、多選題9．下列說法不正確的是（

）A．底面是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體B．有兩個(gè)面平行，其余四個(gè)面都是平行四邊形的幾何體叫平行六面體C．棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形D．有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱【答案】ABD【分析】根據(jù)棱柱的定義以及分類即可結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】對(duì)于A，底面是矩形的直棱柱是長(zhǎng)方體，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，有兩個(gè)面平行，其余四個(gè)面都是平行四邊形的幾何體不一定是平行六面體.例如正方體中，取分別為側(cè)棱上的點(diǎn)，且,則幾何體滿足有兩個(gè)面平行，其余四個(gè)面都是平行四邊形，但其不是平行六面體，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于D，底面是平行四邊形的四棱柱叫平行六面體，由兩個(gè)面互相平行，其余各面均為四邊形，且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行的幾何體是棱柱.故有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體不一定是棱柱.如：

,故D錯(cuò)誤.對(duì)于C,棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形,故C正確，故選：ABD10．已知i為虛數(shù)單位，以下四個(gè)說法中正確的是（

）A．，則B．C．若，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn)．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓【答案】AD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解A，根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解B，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解CD.【詳解】A：由題意，所以，解得，，所以,故A正確，B：因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，所以B不正確；C：因?yàn)?，所以?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，因此C不正確；D：因?yàn)?，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為圓心為，半徑為3的圓，因此D正確，故選：AD11．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，下列說法中正確的是（

）A．若為銳角三角形，則B．若，則為等腰三角形C．若，則D．若，，，則符合條件的有兩個(gè)【答案】AC【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、余弦定理、三角形的形狀等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若為銳角三角形，則，，在上單調(diào)遞減，所以，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，則可能，此時(shí)三角形是直角三角形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，則，由正弦定理得，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若，，，由余弦定理得，所以符合條件的只有個(gè)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC12．下列說法中正確的是（

）A．在中，，，，若，則為銳角三角形B．已知點(diǎn)是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，并且，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心C．已知，，與的夾角為銳角，實(shí)數(shù)的取值范圍是D．在中，若，則與的面積之比為【答案】BD【分析】利用向量的數(shù)量積的定義得到角C為鈍角，從而否定A；利用單位向量的定義與加法的平行四邊形法則判斷與的角平分線的關(guān)系，從而判斷C；注意到與同向的情況，可否定C；利用平面向量的線性運(yùn)算和三點(diǎn)共線的條件得到的比例，從而利用比例的性質(zhì)與三角形面積的特點(diǎn)判定D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，即，所以，則為鈍角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?、分別表示向量、方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線重合，又，可得，又，所以向量的方向與的角平分線重合，所以點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)與同向，夾角不是銳角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，延長(zhǎng)交于，如圖所示.

因?yàn)楣簿€，所以存在實(shí)數(shù)，，因?yàn)楣簿€，所以，所以，所以，所以，所以，所以，則，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是延長(zhǎng)交于，利用向量基本定理的推論得到在上的位置，從而得解.三、填空題13．復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）的虛部為.【答案】1【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求出結(jié)果即可作答.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為1.故答案為：114．在中，，，則外接圓半徑為.【答案】【分析】根據(jù)面積公式和數(shù)量積的定義可求，根據(jù)同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式和正弦定理可求外接圓的半徑.【詳解】因?yàn)?，?故，故為銳角，故，故外接圓的半徑為，故答案為：.15．圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱之美.為了估算圣·索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物，高約為，在它們之間的地面上的點(diǎn)（，，三點(diǎn)共線）處測(cè)得建筑物頂、教堂頂?shù)难鼋欠謩e是和，在建筑物頂處測(cè)得教堂頂?shù)难鼋菫?，則可估算圣·索菲亞教堂的高度約為.【答案】【分析】根據(jù)題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案為：16．四邊形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿足，則的最大值為．【答案】1【分析】利用向量線性表示、向量數(shù)量積公式以及余弦的二倍角公式即可解決問題.【詳解】如圖所示：

因?yàn)?，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，，又，所以，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即，設(shè)，，則，所以，所以，所以當(dāng)即時(shí)，有最大值1，即有最大值為1．故答案為：1四、解答題17．已知向量，．(1)求；(2)若向量，且，求向量的坐標(biāo)；(3)若向量與相互垂直，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案；（2）設(shè)，由，得，解方程組可得答案；（3）求出向量與在坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.【詳解】（1），，.（2）設(shè)，由，且得，解得，或，故，或.（3）若向量與相互垂直，則，即，所以，即，故．18．已知復(fù)數(shù)，．(1)若z是純虛數(shù)，求m的值；(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，求m的值；(3)若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）由復(fù)數(shù)的類型得到方程和不等式，得到m的值；（2）由題意得到方程，求出m的值；（3）由復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限得到不等式組，求出m的取值范圍.【詳解】（1）若z是純虛數(shù)，則，∴，則m的值為1；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，則，解得（3）若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則，∴，則m的取值范圍為．19．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足.(1)求的值；(2)若，且的面積為，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理的邊角變換，結(jié)合三角恒等變換求得，由此得解；（2）利用（1）的結(jié)論求得，再結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理，即可得解．【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得，即，因?yàn)?，則，所以.（2）由（1）知，又，所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，得，又，所以由，得，所以，即，又，所以.20．（1）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程；（2）若復(fù)數(shù)滿足，，求．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）利用配方法和可得；（2）設(shè)，根據(jù)，得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則可得.【詳解】（1）由，可得，則，所以方程的解為或．（2）設(shè)，則由，得，解得．又，所以，所以21．如圖，在平行四邊形中，，令．(1)用表示；(2)若，且，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及平面幾何的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）由數(shù)量積的運(yùn)算律及向量的模求出、，最后由夾角公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，，且是平行四邊形，所以，所以，所以，?）由（1）知，，又，所以，，，即，，解得，，所以.22．記的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知向量，.(1)設(shè)單位向量，若與共線，且，求；(2)當(dāng)時(shí)：（i）若，求；（ii）求的最小值.【答案】(1)或(2)（i）；（ii）【分析】（1）利用向量平行的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（2）（i）利用向量垂直的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角恒等變換即可得解；