(必考題)高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)選修2-2第四章《定積分》檢測(含答案解析)

一、選擇題1．給出下列函數(shù)：①；②；③.使得的函數(shù)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．在圍成的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入曲線,和軸圍成的區(qū)域的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）A．5000 B．6667 C．7500 D．78543．三棱錐及其正視圖和側(cè)視圖如圖所示，且頂點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．4．若函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率為，則的值是（）A．1B．2C．4D．35．設(shè)若，，則的值是()A．1 B．2 C．1 D．-26．設(shè),則二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)是（）A． B． C． D．7．曲線與直線以及軸所圍圖形的面積為（）A．2B．C．D．8．已知冪函數(shù)圖像的一部分如下圖，且過點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積等于（）A． B． C． D．9．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積是A． B． C． D．10．若則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A． B．2 C． D．12．下列積分值最大的是（）A． B．C． D．二、填空題13．定積分的值等于________.14．曲線與直線及軸所圍成的封閉圖形的面積為____．15．__________．16．定積分______________.17．由曲線與，，所圍成的平面圖形的面積為________________.18．已知，則______．19．設(shè)函數(shù)的圖象與直線及軸所圍成圖形的面積稱為函數(shù)在上的面積，已知函數(shù)在上的面積為，則函數(shù)在上的面積為__________．20．，則實(shí)數(shù)____________.三、解答題21．已知函數(shù)圖像上一點(diǎn)的切線斜率為，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求的值域；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．如圖所示，拋物線與軸所圍成的區(qū)域是一塊等待開墾的土地，現(xiàn)計(jì)劃在該區(qū)域內(nèi)圍出一塊矩形地塊作為工業(yè)用地，其中、在拋物線上，、在軸上已知工業(yè)用地每單位面積價(jià)值為元，其它的三個(gè)邊角地塊每單位面積價(jià)值元．（Ⅰ）求等待開墾土地的面積；（Ⅱ）如何確定點(diǎn)的位置，才能使得整塊土地總價(jià)值最大．23．設(shè)函數(shù)（1）證明：；（2）若對(duì)任意都有，求的取值范圍.24．已知函數(shù)的圖象如圖，直線在原點(diǎn)處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為.（1）求的解析式；（2）若常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.25．計(jì)算下列定積分（1）（2）（3）26．計(jì)算由直線曲線以及軸所圍圖形的面積。【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．A解析：A【分析】利用定義判斷①②中的函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)和定積分的性質(zhì)，判斷①②；利用反證法，結(jié)合定積分的性質(zhì)，判斷③.【詳解】對(duì)①，的定義域?yàn)榧春瘮?shù)為奇函數(shù)，則使得對(duì)②，的定義域?yàn)?，即函?shù)為奇函數(shù)，則使得對(duì)③，若，使得成立則，解得，與矛盾，則③不滿足故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的性質(zhì)以運(yùn)用，屬于中檔題.2．B解析：B【分析】應(yīng)用微積分基本定理求出對(duì)應(yīng)的原函數(shù)，再由定積分定義求出空白區(qū)域面積，由正方形面積減去空白區(qū)域面積即可求出陰影部分面積，結(jié)合幾何概型可推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)【詳解】由微積分基本定理可求出的原函數(shù)為，空白區(qū)域面積為，故陰影部分面積，由幾何概型可知，落入陰影部分的點(diǎn)數(shù)估計(jì)值為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查定積分與微積分的基本定理，幾何概型，屬于基礎(chǔ)題3．A解析：A【解析】由三視圖可得：平面且底面為正三角形，如圖所示，取中點(diǎn)，連，則，在中，，，，在中，，所以，設(shè)球心到平面的距離為，因?yàn)槠矫?，且底面為正三角形，所以，因?yàn)榈耐饨訄A的半徑為2，所以由勾股定理可得，則該三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積是，故選A．點(diǎn)睛：本題考查幾何體的三視圖，線面垂直的定義，以及幾何體外接球問題，由三視圖正確還原幾何體、以及判斷幾何體位置關(guān)系是解題關(guān)鍵；由三視圖畫出幾何體的直觀圖，由三視圖判斷出平面、求出的外接圓的半徑，列出方程求出三棱錐外接球的半徑，由球的表面積公式求出答案.4．A解析：A【解析】由題意，得，，所以；故選A.5．C解析：C【詳解】，故選：C6．D解析：D【解析】試題分析：，的通項(xiàng)為，，系數(shù)為.考點(diǎn)：定積分、二項(xiàng)式定理．7．A解析：A【解析】試題分析：在抄紙上畫出圖像，可根據(jù)圖像列出方程====2考點(diǎn)：區(qū)間函數(shù)的運(yùn)用8．B解析：B【解析】試題分析：由題意得，因?yàn)閮绾瘮?shù)圖像過點(diǎn)，所以，解得，所以冪函數(shù)，則陰影部分的面積為，故選B.考點(diǎn)：冪函數(shù)的解析式；定積分的應(yīng)用.9．D解析：D【解析】曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,),(,),則封閉圖形的面積為本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)用微積分基本定理求定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)．此外，如果被積函數(shù)是絕對(duì)值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對(duì)積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應(yīng)的解析式，分別求出積分值相加．(2)根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分．(3)若y＝f(x)為奇函數(shù)，則＝0.10．D解析：D【解析】∵，，，則，，的大小關(guān)系是，故選D.11．D解析：D【分析】根據(jù)三視圖可得到該幾何體的直觀圖，進(jìn)而可求出該幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為四棱錐，四邊形是邊長為1的正方形，平面，，則四棱錐的體積為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，考查了四錐體的體積的計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.12．A解析：A【分析】對(duì)各個(gè)選項(xiàng)計(jì)算出被積函數(shù)的原函數(shù)，再將上下限代入即可得到結(jié)果，進(jìn)行比較即可得到結(jié)果.【詳解】A：，函數(shù)y=為奇函數(shù)，故，，B:，C:表示以原點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓的面積的，故，D:，通過比較可知選項(xiàng)A的積分值最大，故選A【點(diǎn)睛】計(jì)算定積分的步驟：①先將被積函數(shù)變形為基本初等函數(shù)的和、差等形式；②根據(jù)定積分的基本性質(zhì)，變形；③分別利用求導(dǎo)公式的逆運(yùn)算，找到相應(yīng)的的原函數(shù)；④利用微積分基本定理分別求出各個(gè)定積分的值，然后求代數(shù)和(差)．二、填空題13．ln2【分析】直接根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可【詳解】故答案為：ln2【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算關(guān)鍵是求出原函數(shù)屬于基礎(chǔ)題解析：ln2【分析】直接根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可．【詳解】，故答案為：ln2．【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】根據(jù)定積分的幾何意義先聯(lián)立直線與曲線方程求出積分的上下限將面積轉(zhuǎn)化為定積分從而可求出所圍成的圖形的面積【詳解】由曲線與直線構(gòu)成方程組解得由直線與構(gòu)成方程組解得；曲線與直線及x軸所圍成的封閉圖解析：【分析】根據(jù)定積分的幾何意義，先聯(lián)立直線與曲線方程，求出積分的上下限，將面積轉(zhuǎn)化為定積分，從而可求出所圍成的圖形的面積.【詳解】由曲線與直線構(gòu)成方程組，解得，由直線與構(gòu)成方程組，解得；曲線與直線及x軸所圍成的封閉圖形的面積為：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的幾何意義，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時(shí)，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來求解.15．【解析】【分析】根據(jù)定積分的運(yùn)算將函數(shù)分為兩個(gè)部分分別用定積分的幾何意義和微積分基本定理兩個(gè)內(nèi)容求解再合并起來即可【詳解】由定積分的幾何意義可知表示的為單位圓在第一象限內(nèi)的面積即由微積分基本定理可知解析：【解析】【分析】根據(jù)定積分的運(yùn)算，將函數(shù)分為兩個(gè)部分，分別用定積分的幾何意義和微積分基本定理兩個(gè)內(nèi)容求解，再合并起來即可。【詳解】由定積分的幾何意義可知表示的為單位圓在第一象限內(nèi)的面積，即由微積分基本定理可知所以【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的求法，定積分幾何意義與微積分基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。16．【解析】函數(shù)表示以為圓心為半徑的單位圓位于第一象限的部分則由微積分基本定理可得：則：解析：【解析】函數(shù)表示以為圓心，為半徑的單位圓位于第一象限的部分，則，由微積分基本定理可得：，則：.17．【解析】由題設(shè)曲線與所圍成的平面圖形的面積為應(yīng)填答案解析：【解析】由題設(shè)曲線與，，所圍成的平面圖形的面積為，應(yīng)填答案。18．【解析】由題意可得答案：【點(diǎn)睛】求定積分的題型一種是：幾何方法求面積一般是圓第二種是：求用被積函數(shù)的原函數(shù)用積分公式第三種是：利用奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間的積分為0本題考查了第一種和第二種解析：【解析】由題意可得，答案：．【點(diǎn)睛】求定積分的題型，一種是：幾何方法求面積，一般是圓．第二種是：求用被積函數(shù)的原函數(shù)，用積分公式，第三種是：利用奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間的積分為0.本題考查了第一種和第二種．19．【解析】解：令則問題等價(jià)于求解在區(qū)間上的面積由題中所給的結(jié)論可知：函數(shù)的周期為結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：將函數(shù)的圖象向上平移兩個(gè)單位得到函數(shù)的圖象增加的面積為：綜上可得：函數(shù)在上的面積為解析：【解析】解：令，則問題等價(jià)于求解在區(qū)間上的面積，由題中所給的結(jié)論可知：，函數(shù)的周期為，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：，將函數(shù)的圖象向上平移兩個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，增加的面積為：，綜上可得：函數(shù)在上的面積為.20．【分析】直接根據(jù)定積分的運(yùn)算法則再分別計(jì)算定積分解得的值【詳解】根據(jù)定積分的運(yùn)算法則所以解得故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的求解涉及正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定積分和積分運(yùn)算法則的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題解析：【分析】直接根據(jù)定積分的運(yùn)算法則，，再分別計(jì)算定積分，解得的值．【詳解】根據(jù)定積分的運(yùn)算法則，所以，解得，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的求解，涉及正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定積分和積分運(yùn)算法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題21．(Ⅰ),；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】試題分析：(Ⅰ)由導(dǎo)函數(shù)研究原函數(shù)切線的方法得到關(guān)于實(shí)數(shù)a,b的方程組，求解方程組可得,；(Ⅱ)將不等式恒成立的問題分類討論可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題（Ⅰ）∴∴∴因?yàn)椤啵á颍┯桑á瘢┑谩嗔罱獾谩嗟闹涤蚴牵á螅┮驗(yàn)闀r(shí)，不等式恒成立∴在上恒成立，令對(duì)稱軸為因?yàn)椤唷嗷蚪獾茫旱娜≈捣秶鸀?22．（1）;（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【詳解】試題分析：（1）由于等待開墾土地是由曲線與x軸圍成的，求出曲線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用定積分就可求出此塊土地的面積；（2）既然要確定點(diǎn)C的位置，使得整塊土地總價(jià)值最大,那我們只需先設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，0)，然后含x的代數(shù)式表示出矩形地塊ABCD，進(jìn)而結(jié)合（1）的結(jié)果就可表示出其它的三個(gè)邊角地塊的面積，從而就能將整塊土地總價(jià)值表示成為x的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)的最大值即可．試題（1）由于曲線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－１，0）和(１,0),所以所求面積S=，故等待開墾土地的面積為（2）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)B其中，∴∴土地總價(jià)值由得并且當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)，y取得最大值.答：當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，整個(gè)地塊的總價(jià)值最大.考點(diǎn)：1.定積分;2.函數(shù)的最值.23．(1)見解析;(2)x的范圍是.【解析】試題分析：（1）根據(jù)均值不等式，乘積是定值，可以證得問題.(2)首先要根據(jù)根據(jù)函數(shù)特殊值，再由函數(shù)的單調(diào)性直接比較函數(shù)自變量的大小關(guān)系即可.（1）（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“=”）（2）由（1）可知，對(duì)任意，均有，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增從而，故當(dāng)對(duì)任意都有時(shí)，的取值范圍是.點(diǎn)睛：這道題目是考查不等式與函數(shù)最值集合的問題，第一問因?yàn)槌朔e是定值，故就想到了均值不等式求最值.第二問，解不等式，根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性，直接去掉f，直接比較括號(hào)內(nèi)的大小關(guān)系即可.24．（1）；（2）當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),.【分析】（1）第一步：根據(jù)圖形分析出兩個(gè)重要的信息，過原點(diǎn)，并且在原點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于0，第二步，計(jì)算出圖形與軸的令一個(gè)交點(diǎn)，求出被積區(qū)間，利用定積分求面積的公式寫出定積分，最后計(jì)算出；（2）根據(jù)（1）求出，第一步：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，第二步：求函數(shù)的極值點(diǎn)，和判斷單調(diào)區(qū)間，第三步，根據(jù)區(qū)間，并極大值，并求出，因?yàn)椋苑只騼煞N情況進(jìn)行討論，得出最大值.【詳解】（1）由得，.由得，∴，則易知圖中所圍成的區(qū)域（陰影）面積為從而得，∴.（2）由（1）知.的取值變化情況如下：2單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增又,①當(dāng)時(shí),；②當(dāng)時(shí),綜上可知：當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),25．(1)e(2)(3)【解析】【分析】(1)由微積分基本定理求解定積分即可；(2)由微積分基本定理結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得定積分的值；(3)由定積分的幾何意義將原問題轉(zhuǎn)化為求解面積的問題即可.【詳解】(1)由微積分基本定理可得：.(2)由奇函數(shù)的性質(zhì)可得：，由微積分基本定理可得：，則.(3)由定積分的幾何意義可知，表示如圖所示的陰影部分的面積，該圖形可分解為一個(gè)扇形與兩個(gè)三