高考數(shù)學一輪復習第三篇導數(shù)及其應用（考點梳理+考點自測+揭秘高考+集訓）理新人教A版

第三篇導數(shù)及其應用③

第1講變化率與導數(shù)、導數(shù)的運算

【2014年高考會這樣考】

1.利用導數(shù)的幾何意義求曲線在某點處的切線方程.

2.考查導數(shù)的有關(guān)計算，尤其是簡單的函數(shù)求導.

01:抓住g個考慮必考必記夯基固本

對應學生

~38

考點梳理

1.函數(shù)尸f(x)從小到X2的平均變化率

函數(shù)尸/U)從M到xz的平均變化率為,.―汨，

X2-X\

若△x=X2—汨，△/=『(就一『(為)，則平均變化率可表示為

2.函數(shù)尸^(x)在處的導數(shù)

(1)定義

稱函數(shù)尸f(x)在x=Xo處的瞬時變化率liA所＞0

li△^0--~~~-為函數(shù)尸/("在x=%處的導數(shù)，記作/(加或y'|x

=8，BPf(Ao)=li△Jtr*O—

Ax

(2)幾何意義

函數(shù)f(x)在點施處的導數(shù)f(司)的幾何意義是在曲線尸/U)上點(施，/U。))處的切線

的斜率.相應地，切線方程為y—%=升(%)(x—斯).

3.函數(shù)/'(x)的導函數(shù)

稱函數(shù)f(x)=li4k0一--------為f(x)的導函數(shù)，導函數(shù)有時也記作

y'.

4.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式

原函數(shù)導函數(shù)

F(x)=c(c為常數(shù))f(x)=9

f(x)=/(77GQ,)f(X)=〃X"T

f{x}=sinxf(x)=cos_x

F(x)=cosxf(x)——sinx

f{x)=af(力=dlna

/*(%)=erf(x)=￡

f(x)=1—

f(x)=log〃x

xlna

f(x)=」

f{x}=lnx

X

5.導數(shù)運算法則

(1)[，(X)土g(x)]'=f(x)±g'(x);

(2)[/'(x)?g(x)]，=/，(x)g(x)+/'(X)g'(x)；

(3)U，x§：—<H*(g(x)￥O).

\_gx]JLgx」

6.復合函數(shù)的導數(shù)

復合函數(shù)y=F(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y—f(u),〃=g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為/

即y對x的導數(shù)等于y對〃的導數(shù)與〃對x的導數(shù)的乘積.

【助學?微博】

一個區(qū)別

曲線尸f(x)“在”點以揚，加處的切線與“過”點P(x。，㈤的切線的區(qū)別：

曲線y=f(x)在點P(溝㈤處的切線是指尸為切點、,若切線斜率存在時，切線斜率為k

(揚)，是唯一的一條切線；曲線尸f(x)過點?(劉，㈤的切線，是指切線經(jīng)過尸點，

點夕可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條.

三個防范

1.利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆.

2.要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個交點的區(qū)別.

3.正確分解復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，由外向內(nèi)逐層求導，做到不重不漏.

考點自測

1.下列求導過程

①&T；②3"=泰③(kg力=QH)'=備；④⑷'=即=

=(e"na)'=exlnaIna=a】na.

其中正確的個數(shù)是().

A.1B.2C.3D.4

答案D

2.(人教A版教材習題改編)函數(shù)f(x)=(x+2a)(x—a/的導數(shù)為().

A.2(V——)B.2(x+a)

C.3(?—#)D.3(/+a)

解析f(A)=(x—a)2+[x+2a)[2(jr—a)]=3(/—a2).

答案C

3.(2013?福州模擬)曲線尸產(chǎn)在點(0,1)處的切線方程為().

A.y=^x+lB.尸—2x+l

C.y=2x~lD.y=2x+l

解析yr=(e2A)1=2e2r,在=y'|E)=2?e"°=2,???切線方程為y—l=2(x—0),即y

=2x+l,故選D.

答案D

4.(2013?杭州一模)曲線y=*+x在點(1,，處的切線與坐標軸圍成的三角形面積為

().

1212

A-9B-9C,3D,3

解析y'=1+l,曲線在點(1,3處的切線斜率A=J+1=2,故曲線在點(1,胃處的

切線方程為了一1=2。-1).該切線與兩坐標軸的交點分別是七，0)，(0,一才.故所求

1121

三角形的面積是5X§x§=w.

答案A

5.(2012?廣東)曲線尸f-x+3在點(1,3)處的切線方程為.

解析V/=3/—1,|E=3X12—1=2.

該切線方程為y-3=2(x-l),即2x-y+l=0.

答案2x—y+l=0

02?突破考庾研析塞必考向突破

對應學生

考向一導數(shù)的定義

[例1]?利用導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù):

(1)Hx)X=1處的導數(shù);

⑵/(x)=x+2

［審題視點］正確理解導數(shù)的定義是求解的關(guān)鍵.

⑴/=/,1+?―/-1=護;

1-yjl+^x

△W1+△X

________1-1+十丁________

△W1+△x1+N1+Ax

___________—bx_________

△x.1+Ax+1+Ax

________T

[1+△x+1+△x'

AZ—11

:?f(1)=li△—^-=liAan-*O/--------—--

bx業(yè)+-葉1+Ax2

1________1

/、卜yfx+Ax—fxx+2+△xx+2

(2)7I=-------------------=------T*—

x+2—x+2+Ax_______________]

△xx+2%4~2+Axx+2x+2+Ax

△y一1

“a)=liA^r>0—=liA^r>0

x+2x+2+△x

1

=-x+22，

方法錦囊》求函數(shù)尸F(xiàn)(x)在X=Xo處的導數(shù)的步驟:

(1)函數(shù)增量：△y=f(xo+Ax)—/'(的)；

"+AyfAb+Ax-fXQ

⑵平均變化率：-=---------7----------;

△X△X

(3)求極限f,(胸)=li△所>。J』.

△x

f1—f1—OY

【訓練1】設(shè)Ax)為可導函數(shù)，且滿足lixurO------------------=—1,則過曲線y

=上點(1,AD)處的切線斜率為().

A.2B.-1C.1D.-2

.f1—f1—2xf1—2x—f1.

解析lixmO------------------=lixnrO------------------=-1,即y|戶1=一

Lx-Lx

1,則y=F(x)在點(1,F(D)處的切線斜率為-1,故選B.

答案B

考向二導數(shù)的運算

【例2】?求下列函數(shù)的導數(shù):

(l)y=ev?Inx；

⑵k?+%+?；

XX

(3)尸”—sin-cos-；

［審題視點］若式子能化簡，可先化簡，再利用公式和運算法則求導.

?"mT-總1+以

方法錦囊》有的函數(shù)雖然表面形式復雜，但在求導之前，利用代數(shù)、三角恒等式等變形對

函數(shù)進行化簡，然后求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，減少差錯.

【訓練2】求下列函數(shù)的導數(shù).

(1)/=%?tanx^(2)尸(x+1)(x+2)(x+3).

解(DV=(x?tanx)r=x'tanx+x(tanx)

(sinx'cos'x+sin，

=tanx+x?=tanx+x?

\cos為cos、

X

=tanx+----

cosx

⑵法一/=U+1)Z(x+2)(x+3)+(x+l)[(x+2)?(x+3)「

=(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)+(x+1)(x+3)=3、+12%+11.

法二y—(/+3x+2)(x+3)=/+6f+llx+6,

/./=3/+12^+ll.

考向三求復合函數(shù)的導數(shù)

【例3】A求下列復合函數(shù)的導數(shù).

⑴尸(2x—3)"；(2)y=\j3—x；

(3)y=sin2^2%+—j；(4)y=ln(2x+5).

［審題視點］正確分解函數(shù)的復合層次，逐層求導.

解⑴設(shè)尸爐，u—2x—3,

則/=/“.",=(/)，(2x—3)'=5u?2

——10u=10(2x-3)\

⑵設(shè)尸4，u—3—x,則

y'—y'JU1*=(坂)'(3—x)，--u--(-l')

_111d3r

=F亍-醺〒2x-6?

(3)設(shè)尸)，u=sinr,K=2X+--,

則yx'=yu?Uv?vx'=2u?cosr?2

=4sin(2矛+彳)?cos^2^+—=2sin|

⑷設(shè)尸Inu,u=2x+5,貝ij

12

“",?3+5”=赤

方法錦奈》求復合函數(shù)的導數(shù)關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復合層次，一般是從最外層開始，由

外向內(nèi)，一層一層地分析，把復合函數(shù)分解成若干個常見的基本函數(shù)，逐步確定復合過程.

【訓練3】求下列函數(shù)的導數(shù).

(1)y~,_n1；(2)y—x\j1+f.

koX

解⑴設(shè)U=l—3x,y=u~\

19

貝=yJ?U「=一4"-5?(-3)=—：——

1—6x

(2)/=(八肝7)，

=x'?+f+x?(.1+，)'

/1+2/

=、l+4-F

、1+齊

03?揭秘3年高考權(quán)威解讀真題展示

對應學生

40

規(guī)范解答3——求解與曲線的切線有關(guān)的問題

【命題研究】利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線斜率或切線方程是近幾年高考命題的熱

點，常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)、幾何圖形性質(zhì)交匯命題，主要以選擇題、填空題的形式來考

查，有時也滲透在解答題之中，難度一般不大.

【真題探究】a（本小題滿分13分）（2012?安徽）設(shè)函數(shù)F（x）=疣'+2+Ma>0）.

ae

（1）求F（x）在［0,+8）內(nèi)的最小值;

（2）設(shè)曲線尸/'（x）在點（2,M2））處的切線方程為尸求a,6的值.

［教你審題］（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，按照函數(shù)極值點是否在區(qū)間［0,+8）內(nèi)分兩種情

況討論，進而求出函數(shù)的最小值，（2）直接利用導數(shù)的幾何意義——切點的雙重作用，找

到關(guān)于參數(shù)a,6的方程組，求出a,b.

［規(guī)范解答］（1）/（1）=旎'一上，（2分）

ae

當F（才）>0,即x>—Ina時，F(xiàn)（x）在（-Ina,+8）上遞增；

當/（x）<0,即K—Ina時，F(xiàn)（x）在（-8,—Ina）上遞減.（4分）

①當0<水1時，一Ina>0,F（x）在（0,—Ina）上遞減，在（一Ina,+8）上遞增，從而

F（x）在［0,+8）內(nèi)的最小值為的一?。?2+6；（6分）

②當時，-InaWO,F（x）在［0,+8）上遞增，從而f（x）在［0,+8）內(nèi)的最小值

為f（0）=a+-+b.（8分）

a

i9

⑵依題意/（2）=匏2——

ae2

解得ae=2或旎2=—舍去）.（10分）

211

所以a=\,代入原函數(shù)可得2+萬+6=3,即。=3

e22

21

故a——,6=5.（13分）

e2

［閱卷老師手記］函數(shù)尸/Xx）在點的處的導數(shù)的幾何意義是曲線尸/'（x）在點P（劉，

f（疝））處的切線的斜率/（加，相應的切線方程是y—乂產(chǎn)產(chǎn)（加（*—刖）；但要注意：

①當函數(shù)尸Hx）在點為處的導數(shù)不存在時，曲線y=f（x）在點?（劉，丹劉））處的切線方

程為x=x。；②當切點的坐標不知道時，應首先設(shè)出切點坐標，再求解.

模板構(gòu)建》解與曲線的切線有關(guān)問題的一般程序

第一步：設(shè)出切點坐標（劉，％）；

第二步：計算切線的斜率為才=f'(劉)；

第三步：寫出切線方程y—%=々(矛一選)；

第四步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程問題求解.

【試一試】(2011?重慶)設(shè)f(x)="3+/+*H的導數(shù)F(x)滿足F⑴=2a,f(2)

=-b,其中常數(shù)a,Z?GR.

(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(D)處的切線方程.

⑵設(shè)g(x)=￡(x)e、，求函數(shù)g(x)的極值.

解(1)因為f(x)=f+af+6x+L

故/(x)=3/+2ax+6.

令x=l,得f(l)=3+2a+6.又已知產(chǎn)⑴=2a,

因此3+2a+Z)=2a,解得6=-3.

又令x=2,得￡(2)=12+4a+6,由已知f(2)=-6,

3

因此12+4a+b=-6,解得a=一］.

因此f{x)=x—~x—'ix+1,從而f(l)—~2-

又因為/(1)=-3,

故曲線尸f(x)在點(1,f⑴)處的切線方程為7-卜習=-3(了一1)，即6x+2y-l=0.

(2)由⑴知g(x)=(3^—3x—3)e~\

從而有g(shù)'(x)=(—3/+9x)e~\

令g'(x)=0,得一3f+9x=0,解得用=0,*2=3.

當x《(一8,0)時、g'(%)<0,

故g(x)在(-8,o)上為減函數(shù)；

當x￡(0,3)時，g1U)>0,故g(x)在(0,3)上為增函數(shù);

當x￡(3,+8)時，gf(%)<0,

故g(x)在(3,+8)上為減函數(shù).

從而函數(shù)g(x)在汨=0處取得極小值g(0)=-3,在及=3處取得極大值g(3)=15e7

限時規(guī)范迥練階梯訓練能力提升

對應學生

243

A級基礎(chǔ)演練(時間：30分鐘滿分：55分)

?、選擇題(每小題5分，共20分)

1.(2011?全國)曲線尸『,+1在點(0,2)處的切線與直線尸0和尸x圍成的三角形的面

為

積\

1

7

112

氏D

3-2-3-

解析y'=-212',曲線在點(0,2)處的切線斜率k

=-2,.?.切線方程為y=~2x+2,該直線與直線y

=0和尸x圍成的三角形如圖所示，其中直線尸一

2x+2與尸x的交點/《，y=-2x+2與x軸的

121

交點3(1,0).所以三角形面積S=$X1*耳=鼻，故選

A.

答案A

2.函數(shù)/'(x)是定義在(0,+8)上的可導函數(shù)，且滿足/I(x)》。，xf(x)+F(x)<0,則對任

意正數(shù)a,b,若Gb,則必有().

A.af{6}<.bf(a)B.6f(a)<af(6)

C.af(a)<f(6)1).bf(b)<f(a)

fvxFx—fx

解析構(gòu)造函數(shù)尸(x)=---------(x>0),F(x)=--------------5------------,由條件知F(X)<0,

XX

fyfafb

???函數(shù)F{x}=------在(0,+8)上單調(diào)遞減，又於力0,.??----------<——,即

xab

bf(a)<af(b).

答案B

3.(2013?南京模擬)已知函數(shù)F(x)=x+2ax+-x(a>0),則F(2)的最小值為

a

().

A.12般B.12+8a+-

va

C.8+8a+-D.16

a

2221

解析F⑵=8+8名+-，令g?=8+8己+-，則g'⑶=8—-2,由g'(a)〉0得a>-,

3cl32

山g,(5)<0得0<環(huán)4，,,.&=]時〃2)有最小值.F(2)的最小值為8+8X[+:=16.故選

乙乙乙

2

D.

答案D

4.已知對任意實數(shù)x,有/—x)=-f(x),g(—x)=g(x),且x>0時，f(x)>0,g'(x)>0

則水0時().

A.f(x)>0,g'(A)>0B.f(A)>0,g'(A)<0

C.f(x)<0,g'(x)>0D.f(x)<0,g'(x)<0

解析依題意得，函數(shù)F0g'(x)分別是偶函數(shù)、奇函數(shù)，當KO時，-x>0,產(chǎn)(x)

—f(—%)>0,g'(x)——g'(―x)<0,選B.

答案B

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.(2012?新課標全國)曲線y=x(31n*+1)在點(1,1)處的切線方程為

3

解析?尸x(31nx+1),y'=31nx+l+x?:=31nx+4,J.k—y'|T=1=4,.,.所

求切線的方程為yT=4(x—l),即尸4x—3.

答案y=4x—3

6.曲線尸f+x-2在點尸處的切線平行于直線尸4x—l,則點尸的坐標為_

解析依題意得V=3/+1,設(shè)點。(加，%)，則有3/+1=4,解得施=—1或刖=1,

將加的值代入曲線方程得加=—4或%=0,從而點夕的坐標是(1,0)或(一1,-4).

答案(1,0)或(一1,-4)

三、解答題(共25分)

7.(12分)求下列函數(shù)的導數(shù)：

⑴尸(2x+l)",(2)y=ln(x+W+f)；

e"+l

(3)y———7；(4)尸2右in(2x+5).

e—1

解(1)V="(2x+l)i?(2*+l)'=2〃(2x+l)i.

(2)/=1+2x

^F7<2尸7廠后7

/\e'+l2—2e'

⑶"===1+=???y=e'-l

(4)y'=2sin(2x+5)+4xcos(2x+5).

8.(13分)已知函數(shù)/U)=f+x—16.

(1)求曲線尸f(x)在點(2,-6)處的切線的方程；

(2)直線/為曲線尸/Xx)的切線，且經(jīng)過原點，求直線/的方程及切點坐標；

(3)如果曲線尸/Xx)的某一切線與直線尸一；了+3垂直，求切點坐標與切線的方程.

解(1)可判定點(2,-6)在曲線y=F(x)上.

,:f(x)=(f+>—16)'=39+l.

:(x)在點(2,一6)處的切線的斜率為4=姓(2)=13.

；?切線的方程為y=13(%—2)+(―6),

即y=13x—32.

(2)法一設(shè)切點為(劉，㈤，

則直線/的斜率為F(照)=3/+1,

；?直線1的方程為y=(3AO+1)(X-XQ)+AO+AO_16,

又???直線/過點(0,0),A0=(3點+1)(一向)+舄+施一16,

整理得，器=-8,?,?胸=一2,

；?%=(一2尸+(—2)—16=-26,攵=3>(-2)2+1=13.

???直線/的方程為尸13M切點坐標為(-2,-26.)

法二設(shè)直線/的方程為尸履，切點為(加,㈤，

mil//—°/+施―16

則k=----=---------

旅―0Ab

又?：k=f(照)=3髭+1,...M+XJ_——3Ab+l>

Ab

解之得選=-2,

:.jb=(—2)'+(—2)—16=-26,A=3X(—2)2+1=13.

???直線/的方程為y=13%切點坐標為(-2,-26).

(3)?.?切線與直線尸一[x+3垂直，

二切線的斜率k=4.

設(shè)切點的坐標為(照，jb),則/(施)=3岔+1=4,

.?劉=±1f

[AO=1f加=-1,

,或(門

〔外=一14[jb=—18,

切線方程為片=4(才一1)—14或y=4(%+1)—18.

即尸4x—18或尸4x—14.

B級能力突破(時間：30分鐘滿分：45分)

一、選擇題(每小題5分，共10分)

x~\~I

1.設(shè)曲線尸一T在點⑶2)處的切線與直線a*+y+l=0垂直，貝Ija=().

X—1

A.2B.C."D.—2

Y1V—I-1-2i

解析y'---------T—=-----「，點⑶2）處切線斜率在=—今?.?切線與直線ax

x—1x—1Z

+y+l=O垂直，a——2.

答案D

2.已知函數(shù)/(x),g'(x)分別是二次函數(shù)/1(x)和三次函數(shù)g(x)的導函數(shù)，它們在同一坐

標系下的圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)爾x)=f(x)-g(x),則().

A.A(1)</?(O)<A(-1)

B./?(!)</?(-1)<A(O)

C.A(0)<A(-1)<A(1)

D.A(O)<A(1)<A(-1)

解析由圖象可知f(A)—x,g'[x)—x,則f(x)=*?+勿，其中勿為常數(shù)，

+〃，其中A為常數(shù),則方(X)我+?—”,得力(0)<力⑴(方(一1).

答案D

二、填空題(每小題5分，共10分)

3.已知曲線af^x)=x-ax+a,若過曲線C外一點/(l,0)引曲線C的兩條切線，它們的

傾斜角互補，則a的值為_____.

解析設(shè)切點坐標為(3t3—at+a).由題意知，f(x)=3x‘一a,

切線的斜率為4=/Ik,=31—a@

所以切線方程為y~^-at+a)=(3/―a)(x-t)②

將點(1,0)代入②式得一(/一at+a)=(3t2—1a)(1—i),

解之得：/=0或1=].

397

分別將0=0和￡=]代入①式，得"=-a和"=7'—a,

97

由題意得它們互為相反數(shù)，故2=可.

O

27

答案T

4.同學們經(jīng)過市場調(diào)查，得出了某種商品在2011年的價格y(單位：元)與時間4單位：月)

L2

的函數(shù)關(guān)系為：y=2+永=(1W￡W12),則10月份該商品價格上漲的速度是元/

月.

解析,?,尸2+辦區(qū)⑵，

20—t

?"=(2+&，=2,+(+)，

f2'20—t—干20—t'401——

=20-2=20-2?

由導數(shù)的幾何意義可知10月份該商品的價格的上漲速度應為VI

因此10月份該商品價格上漲的速度為3元/月.

答案3

三、解答題(共25分)

5.(12分)設(shè)函數(shù)/U)=ax—曲線片/Xx)在點(2,f(2))處的切線方程為7x—4^12

=0.

(1)求f(x)的解析式；

(2)證明：曲線尸f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線尸x所圍成的三角形面積

為定值，并求此定值.

7

⑴解方程7%-4K-12=0可化為y=^-3,

當x=2時，y=1.又f(x)=a+4,

2a-5=7g,3

于是《,解得，.故/1(*)=*—=

,b7[6=3.x

3

⑵證明設(shè)幻為曲線上任一點，由r(x)=l+,知，曲線在點P(Ab,㈤處的切

線方程為7-%=(1++)5-施)，即了一(劉一€=(1+君(kx°).

令x=0得，p=一色，從而得切線與直線x=0交點坐標為(0，—2).

Xo\XQJ

令尸筋得尸尸2用，從而得切線與直線尸x的交點坐標為(2選,2劉).

所以點〃(照，㈤處的切線與直線x=0,尸x所圍成的三角形面積為一§「2照|=6.

故曲線y=f(x)上任一點處的切線與直線x=0和直線尸x所圍成的三角形面積為定值,

此定值為6.

6.(13分)(2012?遼寧)設(shè)/■(x)=ln(x+l)+FTl+ax+8(a,6GR,a,b,為常數(shù))，曲

3

線y=f(x)與直線尸/X在(0,0)點相切.

⑴求外。的值；

9v

(2)證明：當0<x<2時，

x+6

(1)解由尸F(xiàn)(x)過(0,0)點，得6=-1.

山y(tǒng)=/G)在(0,0)點的切線斜率為亍

又VI*崗+士，T+a)l。=%，

得<3=0.

(2)證明當王>0時，2ylx+1―Z〈x+l+l=x+2,

故5+1<]+1..記力(才)=f(x)—貝I」

,()_1154_2+V7R54

Xx+12y]x+1x+6J2x+1x+6'

x+654_______x+6'-216x+1

〈4x+1x+624x+1x+62?

令g(x)=(x+6)3—216(x+l),

則當0<水2時,g‘(X)=3(X+6)2—216<0.

因此g(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)，

又由g(0)=0,得g(x)<0,所以力'(x)<0.

因此力(x)在(0,2)內(nèi)是遞減函數(shù)，又力(0)=0,得力(x)<0.

Qjz

于是當0〈水2時，f(x)〈H.

x+6

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設(shè)計?高考總復習》光盤中內(nèi)容.

第2講導數(shù)的應用(一)

【2014年高考會這樣考】

1.導數(shù)的幾何意義及應用，曲線的切線方程的求解與應用.

2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)?般不超過三次).

3.山函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系，研究恒成立問題或求參數(shù)的范圍.

01:抓住3J考點必考必記夯基固本

對應學生

41~

考點梳理

1.導數(shù)的幾何意義

函數(shù)尸〃*)在x=施處的導數(shù)(施)是曲線尸f(x)在點(而，F(xiàn)(胸))處切線/的斜率，

切線1的方程是廣廣(施)=產(chǎn)(施)(萬一施).

2.導數(shù)的物理意義

若物體位移隨時間變化的關(guān)系為s=At),則f(??)是物體運動在t=友時刻的瞬時速度.

3.函數(shù)的單調(diào)性

在(a,⑸內(nèi)可導函數(shù)f(x),f(x)在(a,力任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0,則，(力200

函數(shù)f(x)在(a,6)上單調(diào)遞增;f(x)WO0函數(shù)/tr)在(a,份上單調(diào)遞減.

【助學?微博】

一個警示

直線與曲線有且只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線；反之直線是曲線的切線，但

直線不一定與曲線有且只有?個公共點.

兩個條件

(l)f'(x)〉0在(a,6)上成立是f(x)在(a,⑸上單調(diào)遞增的充分條件.

(2)對于可導函數(shù)F(x),f(加=0是函數(shù)汽必在x=施處有極值的必要不充分條件.

三個步驟

求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；

(2)求導數(shù)F⑸；

(3)由/a)>o(r(M〈O)解出相應的x的范圍.

當/，(x)》0時，/U)在相應的區(qū)間上是增函數(shù)；當/(*)<0時，f(x)在相應的區(qū)間上

是減函數(shù)，還可以列表，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

考點自測

1.(2012?遼寧)函數(shù)尸In*的單調(diào)遞減區(qū)間為().

A.(-1,1]B.(0,1]

C.[1,+°°)D.(0,+°°)

解析由題意知，函數(shù)的定義域為(0,+8),又由/=x—40,解得0〈后1,所以函

X

數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1].

答案B

2.(2011?山東)曲線尸f+11在點？(1,12)處的切線與y軸交點的縱坐標是().

A.-9B.-3C.9D.15

解析由已知V=3f,則/|皿=3,切線方程為廠-12=3(X-1),即尸3*+9,令

x=0得y=9.

答案C

3.曲線G上斜率最小的一條切線與圓的交點個數(shù)為().

O乙

A.0B.1C.2D.3

解析由題可知V當x=0時，/取得最小值1,則曲線C上斜率最小的

一條切線斜率為1,切點為(0,1),切線方程為x—y+l=0,圓心到直線的距離為d=

-F===^=r,所以直線與圓相切，只有一個交點.

71+12

答案B

4.(2011?遼寧)函數(shù)f(x)的定義域為R,*—1)=2,對任意xWR,f(x)>2,則/>(x)>2x

+4的解集為().

A.(-1,1)B.(-1,+8)

C.(—8,—1)D.(-8,H-OO)

解析記g(x)=F(x)—(2x+4),則有g(shù)(—1)=F(—1)—(—2+4)=0.(A)=f(x)

-2>0,.?.g(x)在R上是增函數(shù).不等式f(x)>2x+4,即g(x)>0=g(—1),于是由g(x)

在R上是增函數(shù)得，x>-l,即不等式/'(x)〉2x+4的解集是(-1,+8),選B.

答案B

5.函數(shù)/'(￡)=f+ax-2在(1,+8)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是.

解析f(x)=3f+a,F(x)在區(qū)間(1,+8)上是增函數(shù)，則f(x)=3V+a20在(1,

+8)上恒成立，即a)一3/在(1,+8)上恒成立，.?.a)一3.

答案[-3,+8)

02?突破3個考向研析案更考向突破

對應學生

-41-

考向一導數(shù)幾何意義的應用

1R

【例1?(2013?蘇州模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線尸f和尸aV+Yx-9都相

切，則a等于（）.

-25-21

A.-1或一期B.一1或7

644

7-257-

&一區(qū)或一次D.一不或7

［審題視點］因為點（1,0）不在曲線尸系上，所以應從設(shè)切點入手來求切線方程，再利用

15

切線與曲線y=af+jx—9相切求a的值.

解析設(shè)過（1,0）的直線與尸f相切于點（劉，加，所以切線方程為了一竟=3/（入一加即

3|5

尸3'x—2扁又（1,0）在切線上，貝lj施=0或揚=當加=0時，由尸0與尸aV+丁

x-9相切可得a=一尋，當選='時，由尸?與尸af9相切可得a=-1,

642444

所以選A.

答案A

方法錦囊》導數(shù)的兒何意義是切點處切線的斜率，應用時主要體現(xiàn)在以下兒個方面：（1）

已知切點4（劉，Ax。））求斜率★,即求該點處的導數(shù)值：k=F（劉）；（2）已知斜率衣，求

切點/（汨，f（xj）,即解方程f（為）=木⑶已知過某點"（為，HE））（不是切點）的切

線斜率為A時，常需設(shè)出切點4（崗，￡（加），利用k='"―/求解.

X\—X0

13

【訓練1】（2012?重慶）設(shè)f（x）=aln才+/+萬X+匕其中a￡R,曲線尸f（x）在點（1,

/U））處的切線垂直于y軸.

（1）求3的值;

⑵求函數(shù)/.（＞）的極值.

1Q

解（1）因為/'（x）=alnx+—+-x+1,

乙x乙

13

色

故-

-2

(%)X2%2

由于曲線尸f(x)在點(1,f(D)處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0,即f(1)=0,

13

從而5+5=0,

解得a=-l.

13

(2)由(1)知f{x)=—Inx+--\~^x+1(%>0),

/、113Zx—2x—13x+lx—1

f⑸--

1

-

令(%)—0,解得％=1,3

(因為*=一(不在定義域內(nèi)，舍去).

當xd(0,1)時，f(x)<0,故/U)在(0,1)上為減函數(shù)；

當xG(l,+8)時，fU)>0,故/'(x)在(1,十8)上為增函數(shù).

故f(x)在X=1處取得極小值A(chǔ)1)=3.

考向二利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【例2】??已知aWR,函數(shù)/'(x)=(-x?+ax)e'(xeR,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)當a=2時，求函數(shù)/\x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

[審題視點](1)由f(x)>0可求；(2)由f(x)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，分離參數(shù)可求.

解(1)當a=2時,f(x)=(―y+2x)ex,

f(x)=(―2x+2)e'+{—x+2x)e*=(~x+2)e*.

令f(x)>0,即(一*+2)e、>0,

Ve'>0,—x+2>0,解得一■^2<x<^2.

.?.a=2時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一衣，也).

(2)?.?函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，

：.f(x)N0對xC(T,1)都成立.

,:f(x)=(―2x+a)e"+(―

=\_—x+(干-2)x+a]e

[—x+(a—2)x+a]e"+0對xG(—1,1)都成立.

■:e'>0,/.—x+(a—2)x+a20對xG(—1,1)都成立.

v--4-9V12-111

即——-=x+l—F7對XS(-1,1)都成立.令y=^+l--T,則

X十1X十1X十1X十1

y'=1+77；_2>0,

x+1

...尸x+l--二在(一1,1)上單調(diào)遞增.

XI1

133

“<1+1-中=5，.『?

故a的取值范圍是|,十8).

方法錦囊》(1)當f(x)不含參數(shù)時，可通過解不等式/5)〉0(或￡(x)<0)直接得到單

調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間.

(2)已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應用條件/*'(x)20(［或f(x)W0］,xe(a,

⑸］恒成立，解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立的理論求解)，應注意參數(shù)的取

值是/J)不恒等于0的參數(shù)的范圍.

【訓練2］已知函數(shù)f(x)=加+加(如、/?eR,"層0),函數(shù)尸f(x)的圖象在點(2,/⑵)

處的切線與x軸平行.

(1)用關(guān)于加的代數(shù)式表示〃；

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

解⑴由已知條件得f(x)=3m/+2nx,

又f(2)=0,3zz/+/?=0,故〃=—"Bza

⑵n——3?,/.f(x)=mx—^mx,

f(*)=3加一6/?x.

令■f(x)>0.即3加一6/z?x>0,

當加>0時，解得水0或x>2,則函數(shù)/tv)的單調(diào)增區(qū)間是(一8,0)和(2,4-oo)；當成°

時，解得0<水2,

則函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,2).

綜上，當於0時，函數(shù)/'(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-8,0)和(2,+8)；當正0時，函數(shù)/

的單調(diào)增區(qū)間是(0,2).

考向三利用導數(shù)研究恒成立問題

【例3】晚