暑假銜接班新高一數(shù)學教案25次課(5次復(fù)習-20次預(yù)習)

新高一數(shù)學第一次教學教案

授課主題：一元二次方程

1.掌握一元二次方程的概念，解法，根的判別式.

教學目標

2.掌握一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達定理）及其應(yīng)用.

教學重點一元二次方程解法、根的判別式、韋達定理.

教學難點韋達定理的應(yīng)用.

一、【勵志小故事】

羅斯福的故事

一個小男孩幾乎認為自己是世界上最不幸的孩子，因為患脊髓灰質(zhì)炎而留下了

痛腿和參差不齊且突出的牙齒。他很少與同學們游戲或玩耍，老師叫他回答問題時，

他也總是低著頭一言不發(fā)。在一個平常的春天，小男孩的父親從鄰居家討了一些樹

苗，他想把它們栽在房前。他叫他的孩子們每人栽一棵。父親對孩子們說，誰栽的

樹苗長得最好，就給誰買一件最喜歡的禮物。小男孩也想得到父親的禮物。但看到

兄妹們蹦蹦跳跳提水澆樹的身影，不知怎么地，萌生出一種陰冷的想法：希望自己

栽的那棵樹早點死去。因此澆過一兩次水后，再也沒去搭理它。幾天后，小男孩再

去看他種的那棵樹時，驚奇地發(fā)現(xiàn)它不僅沒有枯萎，而且還長出了幾片新葉子，與

兄妹們種的樹相比，顯得更嫩綠、更有生氣。父親兌現(xiàn)了他的諾言，為小男孩買了

一件他最喜歡的禮物，并對他說，從他栽的樹來看，他長大后一定能成為一名出色

的植物學家。從那以后，小男孩慢慢變得樂觀向上起來。一天晚上，小男孩躺在床

上睡不著，看著窗外那明亮皎潔的月光，忽然想起生物老師曾說過的話：植物一般

都在晚上生長，何不去看看自己種的那顆小樹。當他輕手輕腳來到院子里時，卻看

見父親用勺子在向自己栽種的那棵樹下潑灑著什么。頓時，一切他都明白了，原來

父親一直在偷偷地為自己栽種的那顆小樹施肥！他返回房間，任憑淚水肆意地奔

流……

教學過程幾十年過去了，那病腿的小男孩雖然沒有成為一名植物學家，但他卻成為了美國總

統(tǒng)，他的名字叫富蘭克林?羅斯福。

愛是生命中最好的養(yǎng)料，哪怕只是一勺清水，也能使生命之樹茁壯成長。也許

那樹是那樣的平凡、不起眼；也許那樹是如此的瘦小，甚至還有些枯萎，但只要有

這養(yǎng)料的澆灌，它就能長得枝繁葉茂，甚至長成參天大樹。

二、【基礎(chǔ)知識梳理】

1.像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次

數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

一般地，任何一個關(guān)于X的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式

ax2+歷:+。=（）（。。0）.這種形式叫做一元二次方程的一般形式.其中以?是二次

項，。是二次項系數(shù)；或是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

注意:二次項、二次項系數(shù)、一次項、一次項系數(shù)、常數(shù)項都包括前面的符號.

2.使一元二次方程成立的數(shù)值稱為一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.

3.把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降

次轉(zhuǎn)化思想

4.利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫作直接開平方法.

注：理論依據(jù)是平方根的定義，類型有四種：

①f=a(a20)②(x+a)2="匕20)

③(ar+b)2=c(c>0)?(ax+b)2=(cx+J)2(|a|^|c|)

5.通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法.

配方法解一元二次方程的一般步驟：

(1)先將已知方程化為一般形式/+灰+c=0(aH0)；

(2)化二次項系數(shù)為1,即丁+2工+上=0的形式，并將常數(shù)項移到等式的

aa

右邊；

(3)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式，

即化為(x+m)2=〃的形式.

(4)當〃20時，用直接開平方法解變形后的方程.

6.求根公式的推導(dǎo)過程及根的判別式：

?.?。尤2+/?尤+。=0

4a2%2+4ahx+4-ac=0

即,4a2%2+Aabx+b2=b2-4ac

當。2-4QCN0時、2cvc+b=±ylb2—4ac,2ax=-b±yJb2-4ac,

-b±ylb2-4ac

Qw0,.??元=---------------

la

其中，稱從一4ac為一元二次方程ax2+bx+c=0(a關(guān)0)根的判別式.

(1)當〃—4ac>0時，一元二次方程欠2+歷:+。=0(。。0)有兩個不相等的實

皿珀—b+個I)?—4ac—b—Nb~-4ac

數(shù)根：x,=--------------,x2=---------------

2a2a

(2)當力2-4ac=0時，一元二次方程ar2+加:+C=Q(。wo)有兩個

h

相等的實數(shù)根：%=%=———.

2a

(3)當〃-4ac<0時，一元二次方程加+法+。=0(。。0)沒有實數(shù)根.

注意：應(yīng)用求根公式之前，必須將一元二次方程整理成一般形式.

7.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.

當。2-4ac>0時，一元二次方程加+云+c=0(。W0)有兩個不相等的實數(shù)根：

一〃+〃2-4ac一/J-"2-4ac

12a22a

bc

則%］+%2=——，XjX=—.

a2a

8.因式分解法：通過因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這

兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次，這種解方程的方法叫做因式分解法.

三、【典型例題剖析】

［例1］不解方程判斷下列根的情況.

(1)2x2+3=0(2)(m2—根)尤2-(2m-l)x+l=0

［舉一反三］(1)當〃?為何值時，關(guān)于x的一元二次方程4x+機—L=o有兩

2

個相等的實數(shù)根？此時的兩個根是多少？

(2)已知a、b、c分別是三角形的三邊長，方程(。+母/+25+(.+力)=0的根

的情況？

［例2］已知與=—1是方程/+加%-5=0的一個根，求加的值及方程的另一根

x2.

［舉一反三］①已知斗聲是方程2/+14%-16=0的兩個實數(shù)根，求三+五的

%x2

值.

22

②已知關(guān)于x的一元二次方程x=2（1-加）x-m的兩個根為玉、X2

（1）求〃7的取值范圍.

（2）設(shè)＞=%+工2，當y取得最小值時，求相應(yīng)的根的值，并求出最小值.

④已知關(guān)于X的方程/一+（2左一1卜+1=0有兩個不相等的實數(shù)根的,々，

（1）求k的取值范圍；

（2）是否存在實數(shù)k,使方程的兩實數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k的值；若不

存在，請說明理由.

⑤在A48c中，若NC=90',AB=5,3C、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程

%2一（2女+3）x+公+3A+2=0的兩個實數(shù)根，求k的值和A4BC的面積.

1.已知一個直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2-8x+7=0的兩根，則這個

直角三角形的斜邊是（）

A.V3B.3C.6D.A/6

2.以-3和2為兩根的方程是_______________________

3.設(shè)關(guān)于x的方程x2+2ax+a2+4a-2=Q的兩個根分別是x?和x2.當。為

何值時，的值等于14?

4.已知方程X2-5X-6=0的根是x?和x2,求下列式子的值：

22

(1)X)+x2+(2)—+—

x2匹

課后作業(yè)

5.若a、。、。是AABC的三邊，且關(guān)于x的方程”（/一1）-25+儀/+1）=。

有兩個相等的實數(shù)根，試判斷A4BC的形狀.

7.已知a?—7a=T,b2-lh=-4(a^b),求J的值?

新高一數(shù)學第二次教學教案

授課主題：一次函數(shù)

1.理解一次函數(shù)的概念，掌握一次函數(shù)的一般形式及特殊的一次函數(shù)（正比例函數(shù)）.

教學目標

2.掌握一次函數(shù)的四種圖象與性質(zhì)，理解用一次函數(shù)的觀點看方程（組）與不等式.

教學重點一次函數(shù)的概念、圖象及其性質(zhì)；一次函數(shù)的平移、平行問題；一次函數(shù)的實際應(yīng)用.

教學難點一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用；一次函數(shù)的實際應(yīng)用問題.

一、【勵志小故事】

不肯放棄的林肯

堅持到底的最佳實例可能就是亞伯拉罕?林肯。如果你想知道有誰從末放棄，

那就不必再尋尋覓覓了！生下來就一貧如洗的林肯，終其一生都在面對挫敗，八

次競選八次落敗，兩次經(jīng)商失敗，甚至還精神崩潰過一次。好多次，他本可以放

棄，但他并沒有如此，也正因為他沒有放棄，才成為美國歷史上最偉大的總統(tǒng)之

一。以下是林肯進駐白宮前的簡歷：

1816年，家人被趕出了居住的地方，他必須工作以撫養(yǎng)他們；1818年，母親

去世；1831年，經(jīng)商失??；1832年，競選州議員但落選了；1832年，工作也丟

了，想就讀法學院，但進不去；1833年，向朋友借錢經(jīng)商，但年底就破產(chǎn)了，接

下來他花了十六年，才把債還清；1834年，再次競選州議員，贏了！1835年，訂

婚后即將結(jié)婚時，末婚妻卻死了，因此他的心也碎了；1836年，精神完全崩潰，

臥病在床六個月；1838年，爭取成為州議員的發(fā)言人，沒有成功；1840年，爭取

成為選舉人了，失敗了；1843年，參加國會大選落選了；1846年，再次參加國會

大選這次當選了！前往華盛頓特區(qū)，表現(xiàn)可圈可點；1848年，尋求國會議員連

任失敗了！1849年，想在自己的州內(nèi)擔任土地局長的工作，被拒絕了！1854年，

競選美國參議員，落選了；1856年，在共和黨的全國代表大會上爭取副總統(tǒng)的提

名，得票不到一百張：1858年，再度競選美國參議員一一再度落敗；1860年，當

選美國總統(tǒng)。

教學過程

評語：此路艱辛而泥濘。我一只腳滑了一下，另一只腳也因而站不穩(wěn)；但我

緩口氣，告訴自己，“這不過是滑一跤，并不是死去而爬不起來?！薄挚显?/p>

競選參議員落敗后如是說。

二、【基礎(chǔ)知識梳理】

1.一次函數(shù)的定義

一次函數(shù)：若兩個變量X、y間的關(guān)系式可以表示成'=七1+人（k、力為常數(shù)，

左。0）的形式，稱y是x的一次函數(shù).

正比例函數(shù)：形如y=（女聲0）的函數(shù)，稱y是x的正比例函數(shù)，此時也可

說y與x成正比例，正比例函數(shù)是一次函數(shù)，但一次函數(shù)并不一定是正比例函數(shù).

2.求一次函數(shù)的解析式

關(guān)鍵：確定一次函數(shù)y=中的字母女與b的值.

步驟：1、設(shè)一次函數(shù)表達式

2、將x,y的對應(yīng)值或點的坐標代入表達式

3、解關(guān)于系數(shù)的方程或方程組

4、將所求的待定系數(shù)代入所設(shè)函數(shù)表達式中

3.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

圖象

y=kx+b（k、b為常數(shù)，k/0）當k＞0時，y的值隨x的值增大而增大；

當k＜0時，y的值隨x值的增大而減小.

直線y=kx+b（k、b為常數(shù)，k/0）時在坐標平面內(nèi)的位置與k的關(guān)系.

①人＞0,6＞0直線經(jīng)過第一、二、三象限（直線不經(jīng)過第四象限）；

②々＞0力＜0直線經(jīng)過第一、三、四象限（直線不經(jīng)過第二象限）；

③k＜0力＞0直線經(jīng)過第一、二、四象限（直線不經(jīng)過第三象限）；

④左＜0力＞0直線經(jīng)過第二、三、四象限（直線不經(jīng)過第一象限）；

4.平移

直線y=^x+々與直線＞=心1+4的位置關(guān)系：兩直線平行=k,=k2

平移規(guī)律：左加右減，上加又減.

5.一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組

①一次函數(shù)與一元一次方程：一般地將x=0或y=0代入y=kx+b中解一元一

次方程可求求直線與坐標軸的交點坐標。

②一次函數(shù)與一元一次不等式:kx+b＞0或kx+b＜0即一次函數(shù)圖象位于x軸上方

或下方時相應(yīng)的x的取值范圍，反之也成立

③一次函數(shù)與二元一次方程組：兩條直線的交點坐標即為兩個一次函數(shù)所列二元

一次方程組的解，反之根據(jù)方程組的解可求兩條直線的交點坐標

6.一次函數(shù)的應(yīng)用

一般步驟：①設(shè)定問題中的變量②建立一次函數(shù)關(guān)系式

③確定自變量的取值范圍④利用函數(shù)性質(zhì)解決問題⑤作答

三、【典型例題剖析】

［例1］如圖，一次函數(shù)丫=（m-2）x-1的圖象經(jīng)過二、三、四象限，則m的取值

范圍是（）

A.m>0B.m<0C.m>2D.m<2

［舉一反三］若實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=O,且a〈b〈c,則函數(shù)y=cx+a的圖象

可能是()

A.BCD

［例2］函數(shù)y=2x和y=ax+4的圖象相交于點A(m,3),則不等式2xVax+4的

解集為()

33

A.x<—B.x<3C.x>—D.x>3

22

［舉一反三］體育課上，20人一組進行足球比賽，每人射點球5次，已知某一組

的進球總數(shù)為49個，進球情況記錄如下表，其中進2個球的有x人，進3個球的

3333

C.y=-x+9與y=--x+——D.y=x+9與y=—x+——

3333

［例3］如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A,C兩點，分別過A,C兩點

作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA,OC(OA>OC)的長分別是一元二次

方程X2-14X+48=0的兩個實數(shù)根.

（1）求C點坐標；

（2）求直線MN的解析式；

（3）在直線MN上存在點P,使以點P,B,C三點為頂點的三角形是等腰三角

形，請直接寫出P點的坐標.

1.一條直線y=kx+b,其中k+b=-5、kb=6,那么該直線經(jīng)過（）

A.第二、四象限B.第一、二、三象限

C.第一、三象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

2.設(shè)點A（xi，yi）和B（X2，y2）是反比例函數(shù)y=與圖象上的兩個點，當xi<

X

X2<0時，yi<y2，則一次函數(shù)y=-2x+k的圖象不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.把直線y=-x+3向上平移m個單位后，與直線y=2x+4的交點在第一象限，則m

的取值范圍是（）

A.I<m<7B.3<m<4C.m>lD.m<4

4.一次函數(shù)y=丘+/-3）的函數(shù)圖象不可能是（）

課后作業(yè)

5.如圖，已知一條直線經(jīng)過點A（0,2）、點B（1,0）,將這條直線向左平移

與x軸、y軸分別交與點C、點D.若DB=DC,則直線CD的函數(shù)解析式

為.

V

（-1,0）,BCJ_x軸，將AABC以y軸為對稱軸作軸對稱變換，得到A

（A和A，，B和B\C和C分別是對應(yīng)頂點），直線y=x+b經(jīng)過點A,。，則點

C的坐標是

第6題

7.某工廠投入生產(chǎn)一種機器的總成本為2000萬元.當該機器生產(chǎn)數(shù)量至少為10

臺，但不超過70臺時，每臺成本y與生產(chǎn)數(shù)量x之間是一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)y

與自變量x的部分對應(yīng)值如下表：

X（單位：臺）102030

y（單位：萬元/臺）605550

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）求該機器的生產(chǎn)數(shù)量；

（3）市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種機器每月銷售量z（臺）與售價a（萬々臺）之間滿足

如圖所示的函數(shù)關(guān)系.該廠生產(chǎn)這種機器后第一個月按同一售價共賣出這種機器

25臺，請你求出該廠第一個月銷售這種機器的利潤.（注：利潤=售價-成本）

新高一數(shù)學第三次教學教案

授課主題：反比例函數(shù)

1.理解反比例函數(shù)的概念，掌握反比例函數(shù)的形式、圖象、性質(zhì).

教學目標2.理解反比例函數(shù)中比例系數(shù)&的意義，能根據(jù)其意義解決相關(guān)面積問題.

3.掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用.

反比例函數(shù)的形式、圖象、性質(zhì)；反比例函數(shù)的實際應(yīng)用；反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜

教學重點

合應(yīng)用.

教學難點反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用.

一、【勵志小故事】

霍金的故事

科學家霍金小時候的學習能力似乎并不強，他很晚才學會閱讀，上學后在班級

里的成績從來沒有進過前10名，而且因為作業(yè)總是“很不整潔”，老師們覺得他已經(jīng)

“無可救藥”了，同學們也把他當成了嘲弄的對象。在霍金12歲時，他班上有兩個男

孩子用一袋糖果打賭，說他永遠不能成材，同學們還帶有諷刺意味地給他起了個外

號叫“愛因斯坦誰知，20多年后，當年毫不出眾的小男孩真的成了物理界一位大

師級人物。這究竟是什么原因呢？原來，隨著年齡漸長，小霍金對萬事萬物如何運

行開始感興趣起來，他經(jīng)常把東西拆散以追根究底，但在把它們恢復(fù)組裝回去時，

他卻束手無策，不過，他的父母并沒有因此而責罰他，他的父親甚至給他擔任起數(shù)

學和物理學“教練在十三四歲時，霍金發(fā)現(xiàn)自己對物理學方面的研究非常有興趣，

雖然中學物理學太容易太淺顯，顯得特別枯燥，但他認為這是最基礎(chǔ)的科學，有望

解決人們從何處來和為何在這里的問題。從此，霍金開始了真正的科學探索。

二、【基礎(chǔ)知識梳理】

1.反比例函數(shù)的概念：

k

如果y=-（A是常數(shù)，上0）,那么y叫做x的反比例函數(shù).

X

注：①在反比例函數(shù)關(guān)系式中：ZN0,xw0,yw0.

教學過程

②反比例函數(shù)的另一種表達式為y=點t（左是常數(shù)，人工0）

③反比例函數(shù)解析式可寫成孫=左（人工0）它表明反比例函數(shù)中自變量x與

其對應(yīng)函數(shù)值y之積，總等于定值匕

2.反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：

反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.

（1）當4>0時，圖象的兩個分支分別在第一、三象限內(nèi)，在各自的象限內(nèi)，y隨x

的增大而減小.

（2）當*<0時，圖象的兩個分支分別在第二、四象限內(nèi)，在各自的象限內(nèi)，y隨x

的增大而增大.

（3）反比例函數(shù)圖象關(guān)于直線y=ix對稱，關(guān)于原點對稱.

注：①在反比例函數(shù)y=K中，因為xwO,所以雙曲線與坐標軸無限接近，

X

但永不與x軸y軸相交.

②在反比例函數(shù)y隨x的變化情況中一定注明在每一個象限內(nèi).

3.反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義：

過反比例函數(shù)>圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM,PN,則所得

的矩形PMON的面積S=PM?PN=H?兇=附

vy=—,:.xy=k,S=冏

三、【典型例題剖析】

［例1］設(shè)點和5（々,必）是反比例函數(shù)y=與圖象上的兩個點，當

x

玉＜々＜0時，M＜當，則一次函數(shù)y=-2x+左的圖象不經(jīng)過的象限是（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

［例2］如圖，反比例函數(shù)尸（x＞0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M,

x

分別于AB、BC交于點D、E,若四邊形ODBE的面積為9,則k的值為（）

A.1B.2C.3D.4

例2

［舉一反三］下列圖形中，陰影部分面積最大的是（）

弋3U/n.3）

\y~5（v

［例3］已知反比例函數(shù)y=K(k/))和一次函數(shù)y=x-6.

X

(1)若一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點P(2,m),求m和k的值.

(2)當k滿足什么條件時，兩函數(shù)的圖象沒有交點？

［舉一反三］已知一次函數(shù)y=kx+b(k>0,b>0)與反比例函數(shù)y=

X

的圖象有唯一的公共點.

(1)求出b關(guān)于k的表達式及b為最小正整數(shù)時的兩個函數(shù)的解析式；

(2)證明：k取任何正實數(shù)時，直線y=kx+b總經(jīng)過一個定點，并求出定

點的坐標.

2

1.如圖，一次函數(shù)％=x+l的圖象與反比例函數(shù)％=—的圖象交于A、B兩點,

X

過點作ACLx軸于點C,過點B作BDLx軸于點D,連接AO、B0,下列說

法正確的是（）

A.點A和點B關(guān)于原點對稱B.當X<1時，

C.SAAOC=SABODD.當x>0時，M、必都隨X的增大而增大

k-2

2.如圖，是反比例函數(shù)y=—的圖象的一個分支，對于給出的下列說法：

x

①常數(shù)女的取值范圍是k>2；②另一個分支在第三象限；

③在函數(shù)圖象上取點A（q，4）和點以%也），當4>生時，則仇<4；

課后作業(yè)④在函數(shù)圖象的某一個分支上取點和點8（%,與），當q>。2時，則仿

〈瓦;其中正確的是（在橫線上填出正確的序號）

3

3.已知直線y-kx（k>0）與雙曲線>,=—交于點A（N，y），B（稱必）兩點，

x

則X1y2+工2%的值為（）

A.-6B.-9C.0D.9

4.如圖，已知一次函數(shù)丫=丘+〃的圖象經(jīng)過點P（3,2）,與反比例函數(shù)產(chǎn)2（x

x

>0）的圖象交于點Q（,〃，〃）.當一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大時，m

的取值范圍是.

5.如圖，已知直線1分別與x軸、y軸交于A,B兩點，與雙曲線y=芻（a和，x

x

>0)分別交于D、E兩點.

(1)若點D的坐標為(4,1),點E的坐標為(1,4)：

①分別求出直線/與雙曲線的解析式；

②若將直線/向下平移m(m>0)個單位，當m為何值時，直線1與雙曲線有

且只有一個交點？

(2)假設(shè)點A的坐標為(a,0),

的n等分點，請直接寫出b的值.

6.如圖，直線/：y=x+l與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點C與原點。關(guān)于

直線/對稱.反比例函數(shù)尸&的圖象經(jīng)過點C,點P在反比例函數(shù)圖象上且位

x

于C點左側(cè)，過點P作x軸、y軸的垂線分別交直線/于歷、N兩點.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求ANRM的值.

新高一數(shù)學第四次教學教案

授課主題：二次函數(shù)

1掌.握二次函數(shù)丁=以2+法+c的開口，對稱軸，頂點坐標，增減性.

教學目標

2.理解函數(shù)平移、對稱的規(guī)律，會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式.

教學重點二次函數(shù)y=or?+bx+c的性質(zhì).

教學難點二次函數(shù)y=o?+桁+。與一次函數(shù)、幾何圖形的綜合應(yīng)用.

一、【勵志小故二宴］

匡衡的故事

漢朝時，少年E寸的匡衡，非常勤奮好學。由于家里很窮，所以他白天必須干許

多活，掙錢糊口。,只有晚上，他才能坐下來安心讀書。不過，他又買不起蠟燭，天

一黑，就無法看書一了?？锖庑耐催@浪費的時間，內(nèi)心非常痛苦。他的鄰居家里很富

有，一到晚上好幾1司屋子都點起蠟燭，把屋子照得通亮?？锖庥幸惶旃钠鹩職?，對

鄰居說：“我晚上?懼讀書，可買不起蠟燭，能否借用你們家的一寸之地呢？”鄰居

一向瞧不起比他們:家窮的人，就惡毒地挖苦說：“既然窮得買不起蠟燭，還讀什么

書呢！”匡衡聽后三E常氣憤，不過他更下定決心，一定要把書讀好?？锖饣氐郊抑校?/p>

悄悄地在墻上鑿了，個小洞，鄰居家的燭光就從這洞中透過來了。他借著這微弱的光

線，如饑似渴地讀1色書來，漸漸地把家中的書全都讀完了。匡衡讀完這些書，深感

自己所掌握的知識7是遠遠不夠的，他想繼續(xù)看多一些書的愿望更加迫切了。附近有

個大戶人家，有很2京藏書。一天，匡衡卷著鋪蓋出現(xiàn)在大戶人家門前。他對主人說：

“請您收留我，我紿'您家里白干活不報酬。只是讓我閱讀您家的全部書籍就可以了?！?/p>

主人被他的精神所J液動，答應(yīng)了他借書的要求。匡衡就是這樣勤奮學習的，后來他

做了漢元帝的丞相,成為西漢時期有名的學者。

教學過程

二、【基礎(chǔ)知識，流理】

1.二次函數(shù)圖象的司z移

孱a2|----------上二~''''s"ixr-產(chǎn)紗2+4

向右（力＞0）【或左（力＜0）】

向右（力乂））【或左（加0）】

向右他＞0）【或左伍＜0）】^陽個單位

平移網(wǎng)個單位

平移囤個單位向上（Q0）【或下伏＜俞、\^

平移網(wǎng)個單位

卜"砌向上伏＞0）【或下伏《?】平移閡個單位N-+H

注：平移規(guī)律：在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“力值正右移，負左移；我值正上移，負下移”.概

括成八個字“左加右減，上加下減”.

2.二次函數(shù)y=#+6x+c的性質(zhì)

從解析式上看，）,=。@-/7）2+%與〉=以2+法+。是兩種不同的表達形式，后者通

過配方可以得到前者，即y=Jx+2]+處二生，其中/?=_L,k=4ai

I2aJ4a2a4a

（1）當4>0時，拋物線開口向上，對稱軸為x=-2,頂點坐標（-2,4ac一%.

2a（2。4〃,

當*<-2時，y隨x的增大而減??；當x>-2時，y隨x的增大而增大；

2a2a

當X=_2時，y有最小值把二

2a4a

（2）當a<0時，拋物線開口向下，對稱軸為X=-2,頂點坐標為

2a

當x<_2時，），隨》的增大而增大；當x>-立時，），隨x的增

12a4a）2a2a

大而減??；當x=-2時，），有最大值處世.

2a4a

注：五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)>=以2+公+?；癁轫旤c式

y=a（x-h）2+k,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右

對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點（0,c）、以及（0,c）

關(guān)于對稱軸對稱的點（2〃，c）、與x軸的交點&,0）,（x2,0）（若與x軸沒有交點，

則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.

畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交

點.

3：二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系

二次項系數(shù)“：。決定了拋物線開口的大小和方向，。的正負決定開口方向，同的

大小決定開口的大小.

一次項系數(shù)以在二次項系數(shù)。確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.

⑴在a>0的前提下，

當b>0時，-2<0,即拋物線的對稱軸在），軸左側(cè)；

2a

當6=0時，--=0,即拋物線的對稱軸就是y軸；

2a

當b<o時，-2>o,即拋物線對稱軸在），軸的右側(cè).

2a

⑵在a<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，總結(jié)起來，在〃確定的前提

b

下，6決定了拋物線對稱軸的位置.ab的符號的判定：對稱軸x=——在y軸左

2a

邊則〃人〉0,在y軸的右側(cè)則ab<0,概括的說就是“左同右異”.

常數(shù)項c：⑴當c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點

的縱坐標為正；

⑵當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與），軸交點的縱坐

標為o;

⑶當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與），軸交點的縱坐

標為負.

總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置.

總之，只要a，》，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.

三、【典型例題剖析】

［例1］拋物線丁=以2+區(qū)+。，OA=OC,下列關(guān)系中正確的是（）

舉一反三

［舉一反三］已知二次函數(shù)尸底+法+。的圖象如圖.則下列5個代數(shù)式：ac,a

+h+c,4a-2h+c,2a+h,2a—6中，其值大于0的個數(shù)為（）.

A.2B3C、4D、5

［例2］一開口向上的拋物線與無軸交于4（m-2,0）,B（機+2,0）兩點，記

拋物線頂點為C,且AC_LBC.

（1）若〃?為常數(shù)，求拋物線的解析式；

（2）若小為小于0的常數(shù)，那么（1）中的拋物線經(jīng)過怎么樣的平移可以使頂點

在坐標原點？

（3）設(shè)拋物線交y軸正半軸于。點，問是否存在實數(shù)〃］，使得△80。為等腰三

角形？若存在，求出根的值；若不存在，請說明理由.

［舉一反三］如圖，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為石的等腰直角三

角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（-1,

0）,點B在拋物線y=+ax-2上.

①求點A、點B的坐標；

②求拋物線的解析式；

③設(shè)②中拋物線的頂點為D,求ADBC的面積.

*

D

舉-fi

1.二次函數(shù)y=依2+/?x+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=Z?x+/?2-而。與

反比例函數(shù)y=""二在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（）

X

2.定義［a/,c］為函數(shù)曠=/+法+，的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為［2m,1-

m,-1-ni］的函數(shù)的一些結(jié)論：

1Q

①當"2=-3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（§,-）；

②當〃?>0時，函數(shù)圖象截X軸所得的線段長度大于3；

2

③當“<0時，函數(shù)在x>1時，），隨x的增大而減?。?/p>

4

④當加工0時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點.

其中正確的結(jié)論有（）

A.①②③④B.①?④C.①③④D.②④

3.將函數(shù)y=的圖象向右平移"（4>0）個單位，得到函數(shù)y=f-3%+2

的圖象，則。的值為（）

A.1B.2C.3D.4

4.在平面直角坐標系中，先將拋物線y=f+x—2關(guān)于x軸作軸對稱變換，再

將所得的拋物線關(guān)于y軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的

解析式為()

A.y——f—x+2B.y——f+x—2

C.y=-￡+x+2D.y=x2+x+2

5.已知二次函數(shù))=依2+法+。的圖象如圖所示，有以下結(jié)論：

@a+b+c<0；?a-b+c>\；(§)abc>0；④4a-2Z>+c<0；?c-a>1

其中所有正確結(jié)論的序號是()

A.①②B.①③④：葉

C.①②③⑤D.①②③④⑤(

/一。卜；

第5題

6.如圖所示，已知直線y=與拋物線)=一1%2+6交于A、B兩點，

點C是拋物線的頂點.

(1)求出點A、B的坐標；

(2)求出△ABC的面積；

(3)在AB段的拋物線上是否存在一點P,使得△ABP的面積最大？

若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

J]C

第6題

新高一數(shù)學第五次教學教案

授課主題：二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系

1.掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一元二次方程根的判別式、韋達定理.

教學目標

2.掌握二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系.

教學重點二次函數(shù)、一元二次方程.

教學難點二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系.

一、【勵志小故事】

宋濂的故事

宋濂小時侯，喜歡讀書，但是家里很窮。也沒錢買書，只好向人家借，每次借書，

他都講好期限，按時還書，從不違約，人們都樂意把書借給他。一次，他借到一本書，

越讀越愛不釋手，便決定把它抄下來?？墒沁€書的期限快到了。他只好連夜抄書。時

值隆冬臘月，滴水成冰。他母親說：“孩子，都半夜了，這么寒冷，天亮再朝抄吧。

人家又不是等這書看?！彼五フf：“不管人家等不等這本看，到期限就要還，這是個

信用問題，也是尊重別人的表現(xiàn)。如果說話做事不講信用，失信于人，怎么可能得到

別人的尊重?！庇忠淮危五ヒミh方向一位著名者請教，并約好見面日期，誰知出

發(fā)那天下起鵝毛雪。當宋濂挑起行李準備上路時，母親驚訝地說：“這樣的天氣怎能

出遠門呀？再說，老師那里早已大雪封山了?你這一件舊棉襖，也抵御不住深山的嚴

寒?。　彼五フf：“娘，今不出發(fā)就會誤會了拜師的日子，這就失約了：失約，就是

對老師不尊重啊。風雪再大，我都得上路?！碑斔五サ竭_老師家里時，老師感動地稱

贊說道：“年輕人，守信好學，將來必有出息！”

二、【基礎(chǔ)知識梳理】

教學過程

1.圖象與x軸的交點個數(shù)：

一元二次方程O?+灰+C=0是二次函數(shù)y=+廄+C當函數(shù)值y=0時的特殊情況.

①當A=b2-4ac>0時，圖象與x軸交于兩點義斗，0）,8（々，（））（x產(chǎn)&），其中的

不，馬是一元二次方程加2+%x+c=0（a/0）的兩根.這兩點間的距離

AB-昆X,-同.

②當△=（）時，圖象與X軸只有一個交點；

③當A<0