2022年北京五十七中初二（下）期中數(shù)學(xué)試卷及答案

1/12022北京五十七中初二（下）期中數(shù)學(xué)一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）.1．（3分）下列二次根式中，不能與合并的是A． B． C． D．2．（3分）下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是A． B． C． D．3．（3分）下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫呴L(zhǎng)的線段不能構(gòu)成直角三角形的是A．1，， B．3，4，5 C．5，12，13 D．2，2，34．（3分）如圖，矩形中，對(duì)角線，交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為A．4 B． C．3 D．55．（3分）如圖，點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，在上取兩點(diǎn)，，分別以，為圓心，，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，分別連接、、，則四邊形一定是A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形6．（3分）若一直角三角形的兩邊為5和12，則它第三邊的長(zhǎng)為A．13 B． C．13或 D．13或7．（3分）如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為A．6.5 B．7 C．7.5 D．88．（3分）下列命題中，正確的是A．有一組鄰邊相等的四邊形是菱形 B．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是矩形 C．兩組鄰角相等的四邊形是平行四邊形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形9．（3分）如圖，一根木棍斜靠在與地面垂直的墻上，設(shè)木棍中點(diǎn)為，若木棍端沿墻下滑，且沿地面向右滑行．在此滑動(dòng)過程中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離A．不變 B．變小 C．變大 D．無法判斷10．（3分）如圖，點(diǎn)是內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接、、、，得到、、、，設(shè)它們的面積分別是、、、，給出如下結(jié)論：①；②如果，則；③若，則；④若，則點(diǎn)一定在對(duì)角線上．其中正確的有A．①③ B．②④ C．②③ D．①④二、填空：（每小題3分，共8個(gè)小題，共24分）11．（3分）如果兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與能合并，那么．12．（3分）若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．13．（3分），則的取值為．14．（3分）如圖所示，菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，菱形的周長(zhǎng)為24，則的長(zhǎng)等于．15．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形沿對(duì)折，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．16．（3分）如圖，正方形的面積是2，，，分別是，，上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值等于．17．（3分）在中，，，點(diǎn)在直線上，且，則線段的長(zhǎng)為．18．（3分）如圖，矩形中，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別與，交于點(diǎn)，，連接交于點(diǎn)，連接，，若，，則下列結(jié)論：①垂直平分；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是．三、解答題：（19題8分，20，21，22，23題每小題8分，24，25，26每題6分共計(jì)46分），19．（8分）計(jì)算：（1）；（2）．20．（6分）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上，，請(qǐng)說明與的大小關(guān)系，并說明理由．21．（6分）已知：在中，．求作：矩形．作法：如下，①分別以點(diǎn)，為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于點(diǎn)，；②作直線，交邊于點(diǎn)；③作射線，以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)為半徑作弧，與射線的另一個(gè)交點(diǎn)為，連接，；所以四邊形就是所求作的矩形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：直線是的垂直平分線，．，四邊形是平行四邊形（填推理的依據(jù)）．，四邊形是矩形（填推理的依據(jù)）．22．（6分）小東和小明要測(cè)量校園里的一塊四邊形場(chǎng)地（如圖所示）的周長(zhǎng)，其中邊上有水池及建筑遮擋，沒有辦法直接測(cè)量其長(zhǎng)度小東經(jīng)測(cè)量得知，，，小明說根據(jù)小東所得的數(shù)據(jù)可以求出的長(zhǎng)度．你同意小明的說法嗎？若同意，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；若不同意，請(qǐng)說明理由．23．（8分）在中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）證明四邊形是菱形；（2）若，，求菱形的面積．24．（8分）如圖，在正方形中，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）是否存在點(diǎn)的位置，使得為等腰三角形？若存在，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)的位置并證明；若不存在，說明理由．25．（12分）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，點(diǎn)、在直線的同側(cè)，在直線上找一點(diǎn)，使得的值最?。∶鞯乃悸肥牵喝鐖D2，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則與直線的交點(diǎn)即為所求．請(qǐng)你參考小明同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：（1）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，設(shè)與直線的交點(diǎn)為，過點(diǎn)作，垂足為，若，，，寫出的值；（2）將（1）中的條件“”去掉，換成“”，其它條件不變，寫出此時(shí)的值；（3）請(qǐng)結(jié)合圖形，求出的最小值．26．（12分）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在平行四邊形中，是上一點(diǎn)，，，過點(diǎn)作直線，在上取一點(diǎn)，使得，連接．（1）求證：．（2）如果將原問題中的“”改為“”，原問題中的其它條件不變（如圖，請(qǐng)?zhí)骄烤€段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）.1．【分析】根據(jù)二次根式的乘除法，可化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的被開方數(shù)相同，可得答案．【解答】解：、，故能與合并；、，故能與合并；、，故不能與合并；、，故能與合并；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，被開方數(shù)相同的最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式．2．【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式的定義判斷即可．【解答】解：、為最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；、，不合題意；、，不合題意；、，不合題意，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵．3．【分析】欲求證是否為直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．這里給出三邊的長(zhǎng)，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解答】解：、，故是直角三角形，故錯(cuò)誤；、，故是直角三角形，故錯(cuò)誤；、，故是直角三角形，故錯(cuò)誤；、，故不是直角三角形，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．4．【分析】先由矩形的性質(zhì)得出，再證明是等邊三角形，得出即可．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，是等邊三角形，；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．5．【分析】利用平行四邊形的判定方法可以判定四邊形是平行四邊形．【解答】解：分別以、為圓心，、長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記平行四邊形的判定方法．6．【分析】此題要考慮兩種情況：當(dāng)所求的邊是斜邊時(shí)；當(dāng)所求的邊是直角邊時(shí)．【解答】解：由題意得：當(dāng)所求的邊是斜邊時(shí)，則有；當(dāng)所求的邊是直角邊時(shí)，則有．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，難度不大，但要注意此類題的兩種情況，很多學(xué)生只選13．7．【分析】先證明四邊形是菱形，得出，，，由勾股定理求出，即可得出的長(zhǎng)．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，的平分線交于點(diǎn)，，，，同理可得，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，，；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解決問題的關(guān)鍵．8．【分析】分別根據(jù)菱形、矩形、正方形及平行四邊形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，故本選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是命題與定理，熟知菱形、矩形、正方形及平行四邊形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．9．【分析】連接，易知就是斜邊上的中線，由于直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，那么，由于不變，那么也就不變．【解答】解：不變．連接，在中，是斜邊上的中線，那么，由于木棍的長(zhǎng)度不變，所以不管木棍如何滑動(dòng)，都是一個(gè)定值．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是知道木棍的長(zhǎng)度不變，也就是斜邊不變．10．【分析】根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得，，設(shè)點(diǎn)到、、、的距離分別為、、、，然后利用三角形的面積公式列式整理即可判斷出①正確；根據(jù)三角形的面積公式即可判斷②③錯(cuò)誤；根據(jù)已知進(jìn)行變形，求出，即可判斷④．【解答】解：四邊形是平行四邊形，，，設(shè)點(diǎn)到、、、的距離分別為、、、，則，，，，，，又，故①正確；根據(jù)只能判斷，不能判斷，即不能得出，②錯(cuò)誤；根據(jù)，能得出，不能推出，即不能推出，③錯(cuò)誤；，，如圖所示：此時(shí)，即點(diǎn)一定在對(duì)角線上，④正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，以及平行四邊形對(duì)角線上點(diǎn)的判定的應(yīng)用，用平行四邊形的面積表示出相對(duì)的兩個(gè)三角形的面積的和是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．二、填空：（每小題3分，共8個(gè)小題，共24分）11．【分析】由兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與能合并，可得兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，然后根據(jù)同類二次根式的定義，可得方程，解此方程即可求得答案．【解答】解：兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與能合并，兩個(gè)最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，，解得：．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類二次根式的概念．注意同類二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式．12．【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案．【解答】解：式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，的取值范圍是：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)二次根式的化簡(jiǎn)的法則可得，從而可求解．【解答】解：，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，解答的關(guān)鍵是由所給的式子得出．14．【分析】根據(jù)已知可求得菱形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分，為的中點(diǎn)，從而求得的長(zhǎng)．【解答】解：菱形的周長(zhǎng)等于24，，在中，為斜邊上的中線，．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，還綜合利用了菱形的性質(zhì)．15．【分析】本題應(yīng)先根據(jù)題意得出和的角度．再根據(jù)三角形全等得出的度數(shù)，最后通過作出輔助線軸于點(diǎn)，寫出計(jì)算式，化簡(jiǎn)即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：由，可得，那么，所以，，則，作軸于點(diǎn)，利用三角函數(shù)可得，，故的坐標(biāo)為：，．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)得到相應(yīng)的角的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)翻折求得所求點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)．16．【分析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出，且、，由此即可得出，再由正方形的面積為2即可得出結(jié)論．【解答】解：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖所示．四邊形為正方形，，（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，正方形的面積是2，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)找出最小時(shí)，三點(diǎn)的位置關(guān)系是關(guān)鍵．17．【分析】分兩種情況：（1）點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上；（2）點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，分別用勾股定理求得的長(zhǎng)，情況（1）中，情況（2）中．【解答】解：分兩種情況：（1）點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖：，，，，，，；（2）點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，如圖：，，，，，．綜上，線段的長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理在等腰直角三角形及一般的直角三角形的邊長(zhǎng)計(jì)算中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并分類討論是解題的關(guān)鍵．18．【分析】由矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，可得，且，可證垂直平分，故①正確；由“”可證，故②錯(cuò)誤；由“”可證，可得，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，故③正確；由直角三角形的性質(zhì)可得，由三角形的面積公式可求，故④正確，即可求解．【解答】解：四邊形是矩形，，，，又，，，為的中點(diǎn)，，，，又，垂直平分，故①正確；，是等邊三角形，，，，垂直平分，，，，，，，，，故②錯(cuò)誤；如圖，連接，四邊形是矩形，與互相平分，過點(diǎn)，與共線，，，又，，，，又，，，，是等邊三角形，，故③正確；，，，，，，，，，，，，，，故④正確，故正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故答案為3個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題：（19題8分，20，21，22，23題每小題8分，24，25，26每題6分共計(jì)46分），19．【分析】（1）先化簡(jiǎn)，去括號(hào)，再算加減即可；（2）先算乘法，化簡(jiǎn)，再算加減即可．【解答】解：（1）；（2）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．20．【分析】平行四邊形中，，可知，又，可知，繼而得出，從而得出結(jié)論．【解答】解：，理由如下：平行四邊形中，，又，四邊形為平行四邊形，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，比較容易解答，注意熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．21．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形證明即可．【解答】（1）解：如圖，四邊形即為所求．（2）證明：直線是的垂直平分線，．，四邊形是平行四邊形（對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形），，四邊形是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．故答案為：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出點(diǎn)，屬于中考常考題型．22．【分析】直接利用等邊三角形的判定方法得出是等邊三角形，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：同意小明的說法．理由：連接，，，是等邊三角形，，，，，，，，答：的長(zhǎng)度為．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及等邊三角形的判定，正確得出是等邊三角形是解題關(guān)鍵．23．【分析】（1）首先根據(jù)題意畫出圖形，由是的中點(diǎn)，，易證得，即可得，又由在中，，是的中點(diǎn)，可得，證得四邊形是平行四邊形，繼而判定四邊形是菱形；（2）首先連接，易得四邊形是平行四邊形，即可求得的長(zhǎng)，然后由菱形的面積等于其對(duì)角線積的一半，求得答案．【解答】（1）證明：如圖，，，是的中點(diǎn)，是邊上的中線，，，在和中，，；．，，四邊形是平行四邊形，，是的中點(diǎn)，，四邊形是菱形；（2）解：連接，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求解是關(guān)鍵．24．【分析】（1）先證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出；（2）存在，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，為等腰三角形，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，然后證明，得出，再根據(jù)，得出結(jié)