湖北省荊州市江陵第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

湖北省荊州市江陵第一中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，正四棱錐P﹣ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，如果，則求O的表面積為(

)A．4π B．8π C．12π D．16π參考答案：D【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【專題】計(jì)算題；綜合題．【分析】由題意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半徑，由體積求出半徑，然后求出球的表面積．【解答】解：如圖，正四棱錐P﹣ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，SABCD=2R2，，所以，R=2，球O的表面積是16π，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，球的表面積、體積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題．2.在四面體ABCD中，AD⊥底面ABC，，，E為棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在AE上且滿足AG=2GE，若四面體ABCD的外接球的表面積為，則（

）A．

B．2

C．

D．參考答案：B，設(shè)的外心為O，則O在AE上，設(shè)，則即，解得∴四面體ABCD的外接球的半徑，解得則故選B

3.下列函數(shù)中，最小正周期為π的偶函數(shù)是(

)(A)y＝sin(2x＋)

(B)y＝cos(2x＋)(C)y＝sin2x＋cos2x

(D)y＝sinx＋cosx參考答案：AA、B、C的周期都是π，D的周期是2πA選項(xiàng)化簡(jiǎn)后為y＝cos2x是偶函數(shù)，故正確答案為A【考點(diǎn)】三角函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，函數(shù)的周期性和奇偶性，誘導(dǎo)公式.4.（5分）已知a≠0直線ax+（b+2）y+4=0與直線ax+（b﹣2）y﹣3=0互相垂直，則ab的最大值等于（）A．0B．2C．4D．參考答案：B【考點(diǎn)】：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【專題】：直線與圓．【分析】：當(dāng)b=2或b=﹣2時(shí)，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)不滿足條件．當(dāng)b≠±2時(shí)，根據(jù)兩直線方程求出它們的斜率，根據(jù)斜率之積等于﹣1求得ab的最大值．解：若b=2，兩直線方程為y=﹣x﹣1和x=，此時(shí)兩直線相交但不垂直．若b=﹣2，兩直線方程為x=﹣和y=x﹣，此時(shí)兩直線相交但不垂直．所以當(dāng)b≠±2時(shí)，兩直線方程為y=﹣﹣和y=﹣，此時(shí)兩直線的斜率分別為﹣、﹣，由﹣（﹣）=﹣1，求得a2+b2=4．因?yàn)閍2+b2=4≥2ab，所以ab≤2，即ab的最大值等2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào)．故選B．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查兩條直線垂直的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．5.“”是“函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A略6.若，則的值為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,且的最小值為,則實(shí)常數(shù)的取值范圍是(

).

A. B.

C.

D.參考答案：答案：B8.若把函數(shù)f（x）=sinωx的圖象向左平移個(gè)單位，恰好與函數(shù)y=cosωx的圖象重合，則ω的值可能是(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】把函數(shù)f（x）=sinωx的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（ωx+ω）的圖象，而y=cosωx=sin（+ωx），可得ω=+2kπ，k∈z，結(jié)合所給的選項(xiàng)得出結(jié)論．【解答】解：把函數(shù)f（x）=sinωx的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)y=sinω（x+）=sin（ωx+ω）的圖象．而y=cosωx=cos（﹣ωx）=sin（+ωx），∴ω=+2kπ，k∈z．觀察所給的選項(xiàng)，只有ω=滿足條件，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，利用了y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．9.等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是()A．3

B．

4

C．5

D．6參考答案：C10.已知集合，Q={1,2}，則下列關(guān)系中正確的是（）A.P=Q

B.QP C.PQ D.參考答案：B【分析】根據(jù)真子集的定義可判斷出結(jié)果.【詳解】，，且

本題正確選項(xiàng)：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知四面體P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面體P﹣ABC的體積為，則該球的體積為．參考答案：4π考點(diǎn)：球的體積和表面積．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：設(shè)該球的半徑為R，則AB=2R，2AC=AB=×2R，故AC=R，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，由此能求出球的體積．解答：解：設(shè)該球的半徑為R，則AB=2R，2AC=AB=×2R，∴AC=R，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2﹣AC2=R2，所以Rt△ABC面積S=×BC×AC=R2，又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面體P﹣ABC的體積為，∴VP﹣ABC=×R××R2=，即R3=9，R3=3，所以：球的體積V球=×πR3=×π×3=4π．故答案為：點(diǎn)評(píng)：本題考查四面體的外接球的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題．12.已知函數(shù)，對(duì)于下列命題：①若，則；②若，則；③，則；④．其中正確的命題的序號(hào)是(寫出所有正確命題的序號(hào)）．參考答案：①②13.在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中,設(shè)則=_______。___________.參考答案：略14.已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式

．參考答案：15.現(xiàn)有一半球形原料，若通過(guò)切削將該原料加工成一正方體工件，則所得工件體積與原料體積之比的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】設(shè)球半徑為R，正方體邊長(zhǎng)為a，求出當(dāng)正方體體積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的球半徑，由此能求出結(jié)果．【解答】解：設(shè)球半徑為R，正方體邊長(zhǎng)為a，由題意得當(dāng)正方體體積最大時(shí)：，∴，∴所得工件體積與原料體積之比的最大值為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查工件體積與原料體積之比的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．16.函數(shù)，的定義域都是，直線（），與，的圖象分別交于，兩點(diǎn)，若的值是不等于的常數(shù)，則稱曲線，為“平行曲線”，設(shè)（，），且，為區(qū)間的“平行曲線”，，在區(qū)間上的零點(diǎn)唯一，則的取值范圍是

．參考答案：.考點(diǎn)：1.新定義問(wèn)題；2.函數(shù)與方程；3.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.【名師點(diǎn)睛】本題考查新定義問(wèn)題、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，以及學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及運(yùn)算能力，屬難題；高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查多以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根所在區(qū)間求參數(shù)的范圍應(yīng)分三步：1.判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用函數(shù)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；3.解不等式求參數(shù)范圍.17.若向量與的夾角為120°，，，則

.參考答案：由向量與的夾角為，，則，則有，故答案是.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知拋物線與雙曲線有公共焦點(diǎn)，點(diǎn)

是曲線在第一象限的交點(diǎn)，且．Ks5u（1）求雙曲線的方程；（2）以雙曲線的另一焦點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，圓：

．過(guò)點(diǎn)作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線和，設(shè)被圓截得的弦長(zhǎng)為，被圓截得的弦長(zhǎng)為．是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，

∴雙曲線的焦點(diǎn)為、，設(shè)在拋物線上，且，由拋物線的定義得，，∴，∴，∴，∴，又∵點(diǎn)在雙曲線上，由雙曲線定義得，，∴，∴雙曲線的方程為：．（2）為定值．下面給出說(shuō)明．設(shè)圓的方程為：，∵圓與直線相切，∴圓的半徑為，故圓：.顯然當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)不符合題意，設(shè)的方程為，即，設(shè)的方程為，即，∴點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，∴直線被圓截得的弦長(zhǎng)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)，∴，故為定值略19.（本題滿分14分）已知園（1）直線與圓相交于兩點(diǎn)，求；（2）如圖，設(shè)是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，如果直線，與軸分別交于和.問(wèn)是否為定值？若是，求出定值，若不是，說(shuō)明理由.參考答案：解：（1）圓心到直線的距離．圓的半徑，．………………4分（2），，則，，，．………………8分：，得．：，得．…………12分………………14分略20.本小題滿分12分）已知等差數(shù)列中，.（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若將數(shù)列的項(xiàng)重新組合，得到新數(shù)列，具體方法如下：，…依此類推，第n項(xiàng)由相應(yīng)的項(xiàng)的和組成，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T.

參考答案：略21.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）與一定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到一定直線l：x=4的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；（2）己知直線l'：x=my+1交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l的垂線，垂足依次為點(diǎn)D、E．連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）直接利用求軌跡方程的步驟，由題意列出滿足動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到一定直線l：x=4的距離之比為的等式，整理后即可得到點(diǎn)P的軌跡；（2）如果存在滿足條件的定點(diǎn)N，則該點(diǎn)對(duì)于m=0的直線也成立，所以先取m=0，與橢圓聯(lián)立后解出A、B的坐標(biāo)，同時(shí)求出D、E的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫出AE、BD所在的直線方程，兩直線聯(lián)立求出N的坐標(biāo)，然后證明該點(diǎn)對(duì)于m取其它值時(shí)也滿足直線AE、BD是相交于定點(diǎn)N，方法是用共線向量基本定理．【解答】解：（1）由題意得=，即2=丨x﹣4丨，兩邊平方得：4x2﹣8x+4+4y2=x2﹣8x+16．整理得：．∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程為橢圓．（2）當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N（，0）．證明：如圖，當(dāng)m=0時(shí)，聯(lián)立直線x=1與橢圓，得A（1，）、B（1，﹣）、D（4，）、E（4，﹣），過(guò)A、B作直線x=4的垂線，得兩垂足D（4，）、E（4，﹣），由直線方程的兩點(diǎn)式得：直線AE的方程為：2x+2y﹣5=0，直線BD的方程為：2x﹣2y﹣5=0，方程聯(lián)立解得x=，y=0，直線AE、BD相交于一點(diǎn)（，0）．假設(shè)直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N（，0）．證明：設(shè)A（my1+1，y1），B（my2+1，y2），則D（4，y1），E（4，y2），由，消去x，并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，△=36m2﹣4×（3m2+4）×（﹣9）=144m2+144＞0＞0，由韋達(dá)定理得y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由=（my1﹣，y1），=（，y2），則（my1﹣）y2﹣y1=my1y2﹣（y1+y2）=m×（﹣）﹣×（﹣）=0所以，∥，所以A、N、E三點(diǎn)共線，同理可證B、N、D三點(diǎn)共線，所以直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N（，0）．22.（本小題滿分10分）選修4—4：極坐標(biāo)與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.