高中數(shù)學專題訓練（教師版）一表面積和體積

高中數(shù)學專題訓練（教師版）一表面積和體積

一、選擇題

1.一個長方體其一個頂點的三個面的面積分別是近，小,乖,這個長方

體的對角線是（）

A.273B.3啦C.6D乖

答案D解析設(shè)長方體共一頂點的三棱長分別為4、6、C,

則ab=啦，be=小,ac=乖,

解得:a=y[2,6=1,c=yj3,

故對角線長/=\ja2+b2+c2=y{6.

2.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6萬和4%的矩形，則圓柱的全面積為（）

A.67r（4%+3）B.8-3TT+1）C.644乃+3）或8%（3兀+1）

D.6兀（4兀+1）或8萬）（3兀+2）

答案C解析分清哪個為母線，哪個為底面圓周長，應分類討論.

32

3.已知正方體外接球的體積是行心那么正方體的棱長等于（）

A.2啦B.孚C.平D竽

答案D解析由題意知「=%〃=爭，...火=2,外接球直徑為4,即正

方體的體對角線，設(shè)棱長為則體對角線/=/。=4,4

4.（2010?新課標全國卷）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a,

頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）

711

A.na2C.-^-7tcrD.Sita1答案B

解析如圖，O[,。分別為上、下底面的中心，D為OQ的中點，則DB

為球的半徑，有

r=DB=\）OD2+OB2=+y

7々27

:?S表=4%/=4ffX—=§兀/.

5.將棱長為3的正四面體的各頂點截去四個棱長為1的小正四面體（使截面

平行于底面），所得幾何體的表面積為（）

A.7^3B.6小C.3小D.答案A

解析原正四面體的表面積為4X乎=九8，每截去一個小正四面體，表

面減小三個小正三角形，增加一個小正三角形，故表面積減少4X2X乎=2小,

故所得幾何體的表面積為7小?故選A.

6.水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右

面”表示，如圖是一個正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的上面，則這

個正方體的下面是（）

A.0B.8C.奧D.運

答案B

7.

（2010?北京卷，理）如圖，正方體的棱長為2,動點E,F

在棱小囪上，動點P,。分別在棱NDCD±.若EF=1,AxE=x,DQ=y,

DP=z（x,y,z大于零），則四面體產(chǎn)所。的體積（）

A.與x,y,z都有關(guān)B.與x有關(guān)，與y,z無關(guān)

C.與y有關(guān)，與x,z無關(guān)D.與z有關(guān)，與x,y無關(guān)

答案D解析由于點0到直線小囪的距離為2啦，釬=1,故/EF0的

面積為定值，所以這個三角形的面積與x,y無關(guān)，由于點P到平面的距離

等于點P到平面小囪的距離，這個距離等于點P到直線4D的距離，等于孚

z,故四面體陽0的體積為:X^XIXZ啦X坐z=；z,故四面體PEE0的體積

只與Z有關(guān)，與X,y無關(guān).

8.半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，則這個半球的體積與正方體的體積之比為

（）

A鄧兀6B.曬2C.兀2D.57r12答案B

解析

AOC

方法一：作過正方體對角面的截面，如圖，設(shè)半球的半徑為上正方體的棱

長為a,

J2

那么CC'=a,OC=2a-

在RtaC，CO中，由勾股定理得

CC'1+0^=00'2,

即a2+（乎a）?=R2,；.R=乎q,

因此「半球V正方體=當兀/a3=乖兀2.

方法二：將半球補成整個球，同時把原半球的內(nèi)接正方體再補接一個同樣的

正方體，構(gòu)成的長方體剛好是球的內(nèi)接長方體，那么這個長方體的對角線便是它

的外接球的直徑，設(shè)原正方體棱長為球的半徑是凡則根據(jù)長方體的對角線

性質(zhì)，得（2和=J+J+（2。）2,

即4R2=6a2,；.R=2a-

從而「牛年=（孝a），=坐兀

修正方體=

因此入球V正方體=當7toi<73=#兀2.

二、填空題

9.

如圖所示，在長方體Z8C。一N'B'CD'中，用截面截下一個棱錐C-

A'DD',求棱錐C-Z'DD'的體積與剩余部分的體積之比為.

解析方法一設(shè)4B=a,AD=h,DD'=c,

則長方體/BCO-N'B'CD'的體積P=a6c.

又S"3=*c,且三棱錐C-/'DD'的高為8=a

憶三枝椎C"DD'=亍義/，DD''CD=^abc.

則剩余部分的幾何體積入=abc-^abc=^cibc.

方法二已知長方體可以看成側(cè)棱垂直于底面的四棱柱，-

BCCB',設(shè)它的底面A'面積為S,高為//,則它的體積為V=S/z.

而棱錐C-Z'DD1的底面面積為上,高是九

因此，棱錐DD'的體積

Vc-A'DD'=］義*"=07?.

余下的體積是Sh-*7?=^Sh.

所以棱錐C-HDD'的體積與剩余部分的體積之比為

yShySh：

66=15.

10.已知一個圓錐的展開圖如圖所示，其中扇形的圓心角為120°,底面圓

的半徑為1,則該圓錐的體積為_______.

答案坐

解析因為扇形弧長為271,所以圓錐母線長為3,高為2啦，所求體積r=

^XKXI2X2^/2=2,兀

11.已知N(0,0),8(1,0),C(2,l),。(0,3),四邊形488繞y軸旋轉(zhuǎn)210。,

則所得幾何體的體積為.

答案

357r

12

解析如圖，；囁位=；(兀?2產(chǎn)2=

17

V^=產(chǎn)T02+2X1+/)=鏟..?.四邊形Z68繞丁軸旋轉(zhuǎn)360。所得幾何體

的體積為竽+凈=5兀.

???繞丁軸旋轉(zhuǎn)210。所得幾何體的體積為瑞乂5兀=若.

12.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面.已知該六棱柱的頂

點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為《底面周長為3,那么這個球的體

O

積為?

47r

答案y

三、解答題

13.(2010?全國卷H,理)已知正四棱錐S-/BCD中，SA=25,那么當該

棱錐的體積最大時，它的高為多少？

解析設(shè)正四棱錐S-ABCD的底邊長為2x,則AC=BD=2-j2x,高h=

y/l2-2x2,所以體積r=1x4x2^/12-2x2.廬=yx4(12-2x2),.-.(V2)'=”：口

64

x3-^x5,由(戶)'=0,得x=2.

14.已知六棱錐尸一/38EE其中底面為正六邊形，點尸在底面上的投影

為正六邊形中心，底面邊長為2cm,側(cè)棱長為3cm,求六棱錐P—N8CQEE的體

積.

分析由已知條件可以判斷六棱錐為正六棱錐，要求其體積，求出高即可.

解析

如圖，。為正六邊形中心，則PO為六棱錐的高，G為中點，則PG為

六棱錐的斜高，由已知得：CD=2cm,則OG=g,CG=1,

在Rt△尸CG中，PC=3,CG=1,則

PG=ylPC2-CG2=2y/2.

在RSPOG中，PG=2?OG=小，則

PO=y/PG2-OG2=y[5.

VP-ABCDEF=^SABCDEF'PO=gX6XX2?XA/5=2^/75.

15.棱長為。的正四面體的四個頂點均在一個球面上，求此球的表面積.

解析

以正四面體的每條棱作為一個正方體的面的一條對角線構(gòu)造如圖所示的正

方體，則該正四面體的外接球也就是正方體的外接球.由圖知正方體的棱長為彳

”，正方體的對角線長為乎a,設(shè)正四面體的外接球的半徑為R,則2R=坐/,

_V6

「?火=下"。，

于是球的表面積5=47r,（W（7）2=1^672.

拓展練習?自助餐°。

TUOZHANLIANXIZlZHUCANI新源標版l????....................................................,

1.正六棱錐尸一N8C0EE中，G為尸8的中點，則三棱錐。一GNC與三棱

錐P—G4C體積之比為（）

A.1：1B.1：2

C.2：1D.3：2

答案C

解析

p

VD-GAC=VG-DAC=F"DC予》

Vp-GAC=3Pp.ABC=VG-ABC=個,ABC；

又S“DC:S^ABC=2：1,

J/^D04c?VpGAC=2：1

2.要做一個圓錐形漏斗，其母線長為20cm,要使體積最大，則高應為

解析?設(shè)圓錐底面半徑為r,高為4,則〃2+,.2=2（）2,.”=4400-川,.??圓

錐體積/=；兀/。=1■兀（400-爐）。=；兀（4000-盾，令V'=1■兀（400-3//2）=0得h

=笠旦當辰笠但時，V>0；當外笠區(qū)時，V<0,.?/=呼時，體積最

［二二二,

（2010?上海春季高考）在右圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40

cm,母線長最短50cm、最長為80cm,則斜截圓柱側(cè)面面積S=cm2.

答案2600兀

4.把一個棱長為。的正方體，切成27個全等的小正方體，則所有小正方體

的表面積為.

答案18廿

教師備選題

HBJIAOSHIBEIXUANTil新i*標版

1.如圖1,一個正三棱柱容器，底面邊長為a,高為2a,內(nèi)裝水若干，將

容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖2,這時水面恰好為中截面，則圖1中容

器內(nèi)水面的高度是

圖2

3

答案2a

解析如圖1中容器內(nèi)液面的高度為h,液體的體積為V,則V=S“Bch,

3

又如題圖2中液體組成了一個直四棱柱，其底面積為了以相。高度為2a,

則憶=/“叱2。,

3

?''h=

S&ABC2“,故填呼.

2.如圖所示，已知正方體N88一4囪。。1的棱長為3,長度為2的線段

的一個端點M在。。1上運動，另一端點N在底面N8C。上運動，則的

中點P的軌跡（曲面）與共一-頂點D的三個面所圍成的兒何體的體積為.

答案I

解析由于/88-4囪?。|是正方體，所以DDi工DN,故三角形。

是直角三角形，斜邊MN=2,又因為P為MM中點，所以。P=l,即P點到定

點。的距離等于常數(shù)1,因此P點的軌跡是一個以。為球心，1為半徑的球面被

正方體所截得的部分，所以所求幾何體的體積r=1x^xi3=J.

030

3.（09?陜西）若正方體的棱長為啦，則以該正方體各個面的中心為頂點的凸

多面體的體積為（）

A手B羋

63

C亞D?

J33

答案B

解析

由正方體的對稱性可知，任意兩個面的中心的連線長度相等，故所得凸多面

體為兩個共底的特殊正四棱錐，且其棱長均為1,如圖，在正四棱錐P-OIO2O3O4

中，底面OQ2O3O4為正方形，易得其面積為1，在三角形尸。2。4

中，易求得其高為乎，故山-。。203。4=/卜坐，從而所求凸多面體的體

積為2吵QQO3O4邛，選B.

4.

如圖，在多面體Z8C0EE中，已知四邊形4BC。是邊長為1的正方形，且

△4DE、ZiBC戶均為正三角形，EF//AB,EF=2,則該多面體的體積為.

答案乎

解析過/、8兩點分別作NA/、8N垂直于ER垂足分別為〃、N,連結(jié)

DM、CN,可證得。"-LEE、CN1EF,多面體Z5C0EF分為三部分，多面體的

體積為VABCDEF=VAMD-BNC+VE-AMD+VF-BNC'

?：NF=；,BF=1,；.BN=坐.

V2

作垂直于BC于上凡則〃為8C的中點，則加=苛.

；.S&BNC=《BCNH=I=4.

.yr___LOA7Z7—

一yF-BNC=W、4BNC'Nr=24，

__巫一啦

VE-AMD=^F-BNC=24'VAMD-BNC=SABNC^N=4?

.v-啦

,?/ABCDEF3.

空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖、

空間幾何體的表面積與體積

一、選擇題

1.（2012?江西高考文科?T7）若一個兒何體的三視圖如圖所示，則此兒何體

的體積為（）

(B)5（嗚(D)4

(A)T

【解題指南】由三視圖想象出兒何體的直觀圖，由直觀圖求得體積.

【解析】選D.由三視圖可判斷該兒何體為直六棱柱，其底面積為4,高為1,所以

體積為4.

2.（2012?新課標全國高考文科?T7）與（2012?新課標全國高考理科?T7）

相同

如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某兒何體的三視圖，則此兒

何體的體積為（）

(A)6(B)9(D)18

【解題指南】由三視圖想象出兒何體的直觀圖，由直觀圖求得體積.

【解析】選B.由題意知，此兒何體是三棱錐，其高h=3,相應底面面積為

S=-x6x3=9,:.V=-Sh=-x9x3=9

233

3.（2012?新課標全國高考理科?T11）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0

的球面上，4ABC是邊長為1的正三角形，SC為球0的直徑，且SC=2,則此棱錐

的體積為（）

,亞百V2V2

A.----——--------

6（B）6（C）3（D）2

【解題指南】思路一：取AB的中點為。，將棱錐分割為兩部分，利用

'=VB-CDS+f/.4-CDS求體積；思路二：設(shè)點。到面ABC的距離為d,利用

展13sZAX/IDVx2d

求體積;

思路三：利用排除法求解.

【解析】選A.方法一：???50是球0的直徑，，/。45=/。85=90。.

?.?H4=8C=ZC=1,SC=2,NS=8S=G,取AB的中點為。，顯然J_CD,

ABLSD,Z8_L平面CDS.

CD=—

在bCDS中，2,口，要SC=2,利用余弦定理可得

cos/CDS=—-^=,

V33

sin/.CDS=,—

故聞，

.c1V3VTT472V2

ASS222V332

]111^2^2

?，=%CDs+G8s=3xS.8sXBD+5S.8sx4D=5SExBA=]XkXl=x

r=在

方法二：MB。的外接圓的半徑,一丁，點°到平面的距離

3,

2d2

SC為球°的直徑n點S到平面ABC的距離為3

展為“2"*與城=也

此棱錐的體積為33436

?

方法三：'中22'=不，排除8，C，O

4.（2012?新課標全國高考文科?T8）平面a截球0的球面所得圓的半徑為1,

球心0到平面a的距離為鏡，則此球的體積為（）

（A）^6n（B）473n（C）4^6n（D）6^3n

【解題指南】利用球心到截面的距離、截面圓的半徑、球的半徑之間滿足勾股定

理求得球的半徑，然后利用公式求得球的體積.

4I-

I-----亡喂=—7rR3=4Ji1

【解析】選B.設(shè)球0的半徑為R,則1<=#+(&>=百，故米3

5.（2012?陜西高考文科?T8）將正方體（如圖1所示）截去兩個三棱錐，得

【解題指南】結(jié)合原正方體，確定兩個關(guān)鍵點用，A和兩條重要線段.4和3c的

投影.

【解析】選B.圖2所示的兒何體的左視圖由點A,D,用，2確定外形為正方形,

判斷的關(guān)鍵是兩條對角線和是一實一虛，其中要把和B。區(qū)別開來，

故選B.

6.（2012?浙江高考文科-T3）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所示,

則該三棱錐的體積是（）

正粳悵

他祝圖

(A)1cm3(B)2cm!(C)3cm3(D)6cm3

【解題指南】由三視圖可知，兒何體是底面為兩直角邊分別是1和2的直角三角

形,高為3的棱錐.

【解析】選A.三棱錐的體積為fxlx2x3=l(cmD.

7.(2012?北京高考文科?T7)與(2012?北京高考理科?T7)相同

某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是()

62k3fk—4—

正(主)視圖側(cè)(左)視圖

(A)28+6后(B)30+6后(C)56+12^(D)60+12^

【解題指南】由三視圖還原直觀圖，再求表面積.

【解析】選B.直觀圖如圖所示，

底面是邊長AC=5,BC=4的直角三角形，且過頂點P向底面作垂線PH,垂足在AC

SMBC=—x4x5=10SAPAC=—X5X4=10

上，AH=2,HC=3,PH=4.2,2.因為「"平

面"BO,所以尸"，鳥。.又因為

BC_L4cPHCUC;H,所以§°_1平面尸月C,所以BC,PC,所以

$叱=于4乂5=10,在好中，PA=2#,PB=AB=a,取PA中點E,連結(jié)

S.P.K——x2V5x6=6#s

BE,則8E=6,所以2.因此三棱錐的表面積為

10+10+10+6石=30+6石

8.（2012?湖南高考理科?T3）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該

兒何體的俯視圖不可能是（）

【解題指南】從俯視圖觀察可知，正視圖和側(cè)視圖不同的是D,正視圖應有虛線.

【解析】選D.由“正視圖俯視圖等長，側(cè)視圖俯視圖等寬”，知該兒何體正視圖

與側(cè)視圖相同，而D項中正視圖與側(cè)視圖不同，可知選D.

9.（2012?湖南高考文科?T4）某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則

該幾何體的俯視圖不可能是（）

【解題指南】找出正視圖和側(cè)視圖不相同的俯視圖.

【解析】選C.“正視圖俯視圖等長，側(cè)視圖俯視圖等寬”，本題正視圖與側(cè)視圖

相同，可知選C.

10.（2012?福建高考文科?T4）與（2012?福建高考理科?T4）相同

一個幾何體的三視圖形狀都相同、大小均相等，那么這個幾何體不可以是（）

（A）球（B）三棱錐（C）正方體（D）圓柱

【解題指南】通過了解基本空間兒何體的各個視圖分別是什么就能直接解題.

【解析】選D.圓柱的三視圖，分別是矩形、矩形、圓，不可能三個視圖都一樣,

而球的三視圖可以都是圓，三棱錐的三視圖可以都是三角形，正方體的三視圖可

以都是正方形.

11.（2012?廣東高考理科*T6）某兒何體的三視圖如圖所示，

它的體積為（）

（A）12n（B）45n（C）57n（D）81n

【解題指南】根據(jù)三視圖準確判斷出此幾何體的形狀，是解決本題的關(guān)鍵.本題

顯然是一個由同底的圓柱和圓錐組成的組合體.

【解析】選C.此兒何體是一個組合體，上方為一個圓錐，下方為?個同底的圓

V=^-X32X5+-X^-X32X4=57萬

柱，所以其體積為3

12.（2012?廣東高考文科?T7）某幾何的三視圖如圖所示，它的體積為

正構(gòu)圖網(wǎng)程圖

俯視圖

(A)72n(B)48n(C)30n(D)24n

【解題指南】根據(jù)三視圖準確判斷出此幾何體的形狀是解決本題的關(guān)鍵.顯然圖

中幾何體是一個由半球和倒立的圓錐組成的組合體.

【解析】選C.由三視圖可知該兒何體是由半球和倒立的圓錐組成的組合體.

1,____|4

V=-TTX32xJ52-32+—x—%x33=3O萬

3V23

13.（2012?湖北高考理科?T4）已知某兒何體的三視圖如圖所示，

則該幾何體的體積為（

8710不

(A)3⑻3n(03(D)6n

【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積的求法,解答本題的關(guān)鍵是正確地

想象出直觀圖，再補體代入體積公式求解.

【解析】選B.解答本題可采取補上一個與它完全相同的幾何體的方法，

1<2’C

.?.V=一乃xlx6=3萬.

2

二、填空題

14.（2012?湖北高考文科?T15）已知某兒何體的三視圖如圖所示，

則該幾何體的體積為.

【解題指南】本題考查三視圖與組合體的體積求法,解答本題的關(guān)鍵是正確地想

象出直觀圖,再代入體積公式求解.

【解析】由本題的三視圖可知，該幾何體是由三個圓柱組合而成，其中左右兩個圓

柱等體積.V=nX22XlX2+nX12X4=12n.

【答案】12n

15.（2012?江蘇高考?T7）如圖，在長方體/8CO-Z4GA中，

AB=AD=3cm,AA,=2cm,則四棱錐〃-BBRD的體積為cm\

【解題指南】關(guān)鍵是求出四棱錐的高，即點A到平面84。刀的距離.再利用公式

進行求解.

【解析】由題意知，四邊形ABCD為正方形，連接AC,交BD于0,則ACJ_BD.由

面面垂直的性質(zhì)定理，可證AOJ_平面86QQ.四棱錐底面88QQ的面積為

372x2=672,從而囁的qq=；*CMxS長方形附僅=6.

【答案】6

16.（2012?浙江高考理科?T11）已知某三棱錐的三視圖（單位：cm）如圖所

示，則該三棱錐的體積等于cm3.

【解題指南】由錐體體積公式可得.

-1x-1-x-3x2c=1,

【解析】三棱錐的體積為：32（cm3）.

【答案】1

17.（2012?天津高考理科?T10）一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m）,

則該兒何體的體積為

【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的形狀是關(guān)鍵.

【解析】組合體的上面是一個長、寬、高分別為6,3,1的長方體，下面是兩個

球半徑為之3的相切的球體，所以所求的體積是：

2

A3

展2/+4方體=2x2不x（、）+6x3x118+91

【答案】18+9萬

18.（2012?天津高考文科?T10）一個兒何體的三視圖如圖所示（單位：加）,

則該兒何體的體積為認

【解題指南】由三視圖正確判斷出組合體的形狀是關(guān)鍵.

【解析】組合體的底座是一個棱長分別為4,3,2的長方體，上面是一個高為4

3

的四棱柱，底面的面積S=],所以所求的體積是

V=V”生?V-=4X虧-3X4X2=6+24=30.

【答案】30

19.（2012?山東高考理科?T14）如圖，正方體44GA的棱長為1,

分別為線段""”瓦。上的點，則三棱錐。一包戶的體積為.

/；

【解題指南】本題考查利用換頂點法來求三棱錐的體積，只需知道8。上的任意

一點到面的距離相等.

【解析】"出〃的面積為正方形面積的一半，三棱錐的高即為正方體的棱長，

}D「EDF=*ED、=；Sgq?〃=1x:xXZ8=J

所以3326.

【答案】6

20.（2012?山東高考文科*T13）如圖，正方體"B8-4BCQ的棱長為bE

為線段BC上的一點，則三棱錐A"El的體積為.

【解題指南】本題考查利用換頂點法來求三棱錐的體積，只需知道8C上的任意

一點到面0力2的距離相等.

【解析】以為底面，則易知三棱錐的高為1,故。=:xgxixixi=；

320

【答案】6

21.（2012?安徽高考理科?T12）某兒何體的三視圖如圖所示，該兒何體的表

面積是

正（主）視圖側(cè)（左）程圖

俯徑圖

【解題指南】根據(jù)“長對正、寬相等、高平齊”的原則作出兒何體的直觀圖.

【解析】該幾何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱,

S=2X-X(2+5)X4+(2+5+4+J42+(5-2)2)X4=92

幾何體的表面積是2

【答案】92

22.（2012?安徽高考文科?T12）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的

體積等于

正（主）極圖側(cè)（左）攫圖

俯視圖

【解題指南】根據(jù)“長對正、寬相等、高平齊”的原則得出兒何體的直觀圖，進

而求得體積.

【解析】該兒何體是底面是直角梯形，高為4的直四棱柱，則該兒何體的體積是

r=-x(2+5)x4x4=56

【答案】56

23.（2012?遼寧高考理科?T13）一個兒何體的三視圖如圖所示，則該兒何體

的表面積為.

【解題指南】讀懂三視圖，它是長方體（挖去一個底面直徑為2cm的圓柱），分

別求表面積，注意減去圓柱的兩個底面積.

【解析】長方體的長寬高分別為4,3,1,表面積為4x3x2+3x1x2+4x1x2=38；

圓柱的底面圓直徑為2,母線長為1,側(cè)面積為2"X1X1=2T；圓柱的兩個底面積

2XTXF=2%.故該幾何體的表面積為38+27-2萬=38.

【答案】38

24.（2012-遼寧高考文科?T13）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體

的體積為.

【解題指南】讀懂三視圖，它是圓柱和長方體的組合，分別求體積即可.

【解析】該組合體上邊是一個圓柱，底面圓直徑為2,母線長為1；體積

匕=S6=乃X『xI=7T,下面是一個長方體，長、寬、高分別為4,3,1,體積

%=4x3x1=12.故組合體體積匕+%=12+上

【答案】12+萬

25.（2012?遼寧高考文科?T16）已知點P,A,B,C,D是球0表面上的點,

PA，平面ABCD,四邊形ABCD是邊長為2G的正方形.若PA=26，則AOAB的面

積為.

【解題指南】注意到已知條件中的垂直關(guān)系，將點P,A,B,C,D看作長方體的頂點

來考慮.

【解析】由題意，PAJ_平面ABCD,則點P,A,B,C,D,可以視為球0的內(nèi)接長方體

的頂點，球0位于該長方體的對角線的交點處，那么aOAB的面積為長方體對角

面的四分之一.

vAB=2百,PA=2瓜：.PB=6,AO/5的面積=-x2>/3x6=373.

4

【答案】36

三、解答題

26.(2012?新課標全國高考文科?T19)如圖，在三棱柱ABC-ABG中，側(cè)棱

垂直底面，ZACB=90°,AC=BC=|AA,,D是棱AAI的中點.

(I)證明：平面BDC」平面BDC；

(II)平面BDG分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.

【解題指南】(1)證兩個平面垂直，可轉(zhuǎn)化為在其中一個平面內(nèi)找到一條直線與

另一個平面垂直，要證平面BDG_L平面BDC,可證,G_L平面BDC；

(2)平面BDG分棱柱下面部分8一加℃1為四棱錐，可直接求體積，上面部分

可用間接法求得體積，從而確定兩部分體積之比.

［解析］(I)由題設(shè)可知BC,CG，8c?L/C，CGn/C=C,所以8C_L平面

ACC,A,

又DC】u平面ACCjA,,所以。G1BC

由題設(shè)知乙仙G=N/℃=45。所以NCg=90°,即DCJDC又

DCf)BC=C,

所以Z）G，平面BDC.又DC】u平面BDC],故平面BDC}±平面BDC.

（n）設(shè)棱錐8一6CG的體積為匕，4C=1.由題意得

又三棱柱"sc-44a的體積憶=1,所以（八匕）：匕=1:1.

故平面80G分此棱柱所得兩部分體積的比為1：1,

27.（2012?江西高考文科?T19）如圖，在梯形ABCD中，AB〃CD,E,F是線

段AB上的兩點，KDE±AB,CF±AB,AB=12,AD=5,BC=4&,DE=4.現(xiàn)將AADE,

△CFB分別沿DE,CF折起，使A,B兩點重合于點G,得到多面體CDEFG.

（1）求證：平面DEG,平面CFG；.求多面體CDEFG的體積.

【解題指南】（1）證兩個平面垂直，可轉(zhuǎn)化為在其中一個平面內(nèi)找到一條直線與

另一個平面垂直，要證平面DEGJ_平面CFG,可證EGJL平面CFG；

（2）多面體CDEFG為四棱錐，由平面DEGJ_平面CFG得到四棱錐的高，利用體

積公式求體積.

【解析】（1）由已知可得AE=3,BF=4,則折疊完后EG=3,GF=4,又因為EF=5,

所以可得EGLG/.

又因為,底面EG尸，可得CF1EG,即EG1平面CFG,所以平面DEG_L平面

CFG.

（2）過點G作GO垂直于EF,GO即為四棱錐G-EFCD的高,所以所求體積為

1112

—

S氏方形DEFC?GO二一X4X5X—=16.

335

空間幾何體的表面積和體積

近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體

積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問題。即使考查空間線面的位置關(guān)系問題，也常以幾

何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學

會運用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會等體積轉(zhuǎn)化求

解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解。

由于本講公式多反映在考題上，預測2010年高考有以下特色：

（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；

（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關(guān)的計算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)

體中某些元素有關(guān)的計算問題；

三.【要點精講】

1.多面體的面積和體積公式

名稱側(cè)面積（SG全面積（S全）體積（V）

棱柱直截面周長XIS底?h=S直截面?h

棱柱S側(cè)+2S底

直棱柱chS底，h

棱錐各側(cè)面積之和

棱：S底?h

S側(cè)+S底

錐正棱錐-chz3

2

棱分各側(cè)面面積之和"h（S上底+S下底

棱

S側(cè)+S上底+S下底

臺正棱臺(c+c')h'

2+Js下底?s下底）

表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長，h表斜高，h'表示斜高，1表示側(cè)

棱長。

2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式

名稱圓柱圓錐圓臺球

S?2Jirinrl冗(ri+r2)1

冗(ri+r)1+冗(r2i+r2)

S仝2nr(1+r)nr(1+r)224nR2

222223

Vnrh(UP兀rl)—nrh—nh(ri+rir2+r2)-JiR

333

表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，小r2分別表示圓臺上、

下底面半徑，R表示半徑

四.【典例解析】

題型1:柱體的體積和表面積

例1.一個長方體全面積是20cn?,所有棱長的和是24cm,求長方體的對角線長.

解：設(shè)長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm^1cm

...一2(xy+yz+zx)-20

依題意得：4.(1)

4(x+y+z)-24⑵

由(2)2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

由(3)—(1)得x?+y2+z2=16

即尸=16

所以/=4(cm),,

點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表

面積多被考察。我們平常的學習中要多建立一些重要的幾何要素(對角線、內(nèi)切)與面積、

體積之間的關(guān)系。

例2.如圖1所示，在平行六面體ABCD—AiBQDi中,已知AB=5,AD=4,AA,=3,

71

AB1AD,ZA,AB=ZAAD=—?

I3

(1)求證：頂點A,在底面ABCD上的射影O在NBAD的平分線上；

(2)求這個平行六面體的體積

解析：(1)如圖2,連結(jié)AQ,貝ijAQJ_底面ABCD。作OM_LAB交AB于M,作ON

J_AD交AD于N,連結(jié)A|M,A]N。由三垂線定得得A|M_LAB,A|N_LAD。VZA,AM=

NAiAN,

RtAA|NA^RtAA,MA,.*.AlM=A1N,

從而OM=ON。

...點O在/BAD的平分線上。

/、%13

(2)VAM=AA,cos—=3X-=-

322

.AM3r-

..AO=-------=-J2o

)2

cos一

4

99

又在RL^AOAi中，AIO2=AA!2-AO2=9--=-

22

???AQ=nZ，平行六面體的體積為P=5x4x述二30五。

22

題型2：柱體的表面積、體積綜合問題

例3.一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是正,內(nèi),而，這個長方體對角線的長是

（）

A.273B.3A/2C.6D.V6

解析：設(shè)長方體共一頂點的三邊長分別為片1,b=42,c=6則對角線/的長為

/=Ja~+b~+c~—y[6；答案D。

點評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體枳的幾何要素一棱長。

例4.如圖，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分別為AB、AC的中點，平面EBC將三棱

柱分成體積為V,、%的兩部分，那么V,：V2=o

解：設(shè)三棱柱的高為h,匕下底的面積為S,體積為V,則曠=%+%=$11。

VE.F分別為AB、AC的中點，

???SAAEF=-S,

4

Vi=-h(S+—S+Js?一)=—Sh

34V412

V2=Sh-Vl-—Sh,

12

AV,:V2=7:5。

點評：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的兒何元素之間的對應

關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可

題型3：錐體的體積和表面積

例5.7.（2009山東卷理）一空間幾何體的三視圖如

圖所示，則該幾何體的體積為（）.

A.2乃+2』B.4乃+2百C.

c2由,273

2TT+----D.414-----

33

【解析】:該空間幾何體為一圓柱和一四棱錐組成的,

圓柱的底面半徑為1,高為2,體積為2萬，四棱錐的底

面

邊長為后，高為JL所以體積為

所以該幾何體的體積為2乃+空.

3

答案:C正（主）視圖側(cè)（左）視圖

【命題立意】：本題考查了立體幾何中的空間想象能力,

由三視圖能夠想象得到空間的立體圖，并能準確地

計算出.幾何體的體積.

（2009四川卷文）如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，

PA1平面=2AB則下列結(jié)論正確的是

A.PB1AD

B.平面尸/8,平面P8C/'\、X

C.直線BC//平面尸/E"

D.直線產(chǎn)。與平面48c所成的角為45°

【答案】D

【解析】VAD與PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB,平面PAE,所

以平面尸48，平面P8C也不成立；BC〃AD〃平面PAD,直線8C〃平面尸NE也不成

立。在RfAPZD中，PA=AD=2AB,，NPDA=45°.，D正確

（2009全國卷H文）設(shè)OA是球O的半徑，M是OA的中點，過M且與OA成45。角的平

7乃

面截球O的表面得到圓Co若圓C的面積等于—，則球O的表面積等于X

4

答案：8n

解析：本題考查立體幾何球面知識，注意結(jié)合平面幾何知識進行運算，由

1.

S=4成2=4%（外才了=8萬.

例61.（2009年廣東卷文）（本小題滿分13分）

某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖4所示，墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH,

下半部分是長方體ABCD-EFGH.圖5、圖6分別是該標識墩的正（主）視圖和俯視圖.

（1）請畫出該安全標識墩的側(cè)（左）視圖；

（2）求該安全標識墩的體積

（3）證明:直線BDL平面PEG

圖4圖5圖6

【解析】（1）側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.

(2)該安全標識墩的體積為：V=Vp_EFGH=VABCD-EFGH

=；X402*60+402x20=32000+32000=64000(cm2)

(3)如圖，連結(jié)EQHF及BD,EG與HF相交于O,連結(jié)PO.

由正四棱錐的性質(zhì)可.知，尸01?平面EFGH,PO1HF

又EG工HF：.HF1平面PEG

又BDPHF.?.801.平面PEG：

例7.ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形

ABCD所在的平面，且GC=2,求點B到平面EFC的距離？

解：如圖，取EF的中點O,連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B-EFG。

G

3

設(shè)點B到平面EFG的距離為h,BD=4jI,EF=2a,CO=-X472=372o

4

GO=>]co2+GC2=7（3V2）2+22=J18+4=V22。

而GCJ_平面ABCD,且GC=2。

由乙.EFG=L口2,得泊?GOi二S：?

63

點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構(gòu)造以點B

為頂點，4EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同?個三棱錐的體積的唯性列方

程是解這類題的方法