2018二次函數(shù)真題匯編以及答案

2018年二次函數(shù)解答題中考真題匯編含解析

—.解答題(共40小題)

L(2018?濟南)如圖1,拋物線y=ax?+bx+4過A(2,0)、B(4,0)兩點，交y

軸于點C,過點C作x軸的平行線與不等式拋物線上的另一個交點為D,連接

AC、BC.點P是該拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m(m>4).

(1)求該拋物線的表達式和NACB的正切值；

(2)如圖2,若NACP=45°,求m的值；

(3)如圖3,過點A、P的直線與y軸于點N,過點P作PM_LCD,垂足為M,

直線MN與x軸交于點Q,試判斷四邊形ADMQ的形狀，并說明理由.

2.(2018?巴彥淖爾)如圖，拋物線y=ax?+bx+2與x軸相交于A(-1,0),B(4,

0)兩點，與y軸相交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)WAABC繞AB中點M旋轉180°,得到4BAD.

①求點D的坐標；

②判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由；

(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使^BMP與4BAD相似？若存在，請

求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由.

3.(2018?甘孜州)如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+3的圖象與x軸分別交于A(1,

0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C

備用圖

(1)求此二次函數(shù)解析式；

(2)點D為拋物線的頂點，試判斷4BCD的形狀，并說明理由；

(3)將直線BC向上平移t(t>0)個單位，平移后的直線與拋物線交于M,N

兩點(點M在y軸的右側)，當AAMN為直角三角形時，求t的值.

4.(2018?德陽)如圖，在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90。，點A在x軸上,

點B在y軸上，點C(3,1),二次函數(shù)y=L<2+bx-3的圖象經(jīng)過點C.

32

(1)求二次函數(shù)的解析式，并把解析式化成y=a(x-h)2+k的形式；

(2)把aABC沿x軸正方向平移，當點B落在拋物線上時，求aABC掃過區(qū)域

的面積；

(3)在拋物線上是否存在異于點C的點P,使4ABP是以AB為直角邊的等腰直

角三角形？如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請

說明理由.

5.（2018?錦州）在平面直角坐標系中，直線y=，-2與x軸交于點B,與y軸

2

交于點C,二次函數(shù)y=L<2+bx+c的圖象經(jīng)過B,C兩點，且與x軸的負半軸交

2

于點A,動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1,連接DC,DB,設4BCD的面積為S,求S的最大值；

（3）如圖2,過點D作DM_LBC于點M,是否存在點D,使得△CDM中的某個

角恰好等于NABC的2倍？若存在，直接寫出點D的橫坐標；若不存在，請

說明理由.

6.（2018?綏化）已知直線y=L<+2分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=lj<2+mx

22

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1,點D是拋物線上的動點，且在第三象限，求4ABD面積的最大值;

（3）如圖2,經(jīng)過點M（-4,1）的直線交拋物線于點P、Q,連接CP、CQ分

別交y軸于點E、F,求OE?OF的值.

2

備注：拋物線頂點坐標公式（一旦，在上）

2a4a

7.(2018?蘭州)如圖，拋物線y=ax?+bx-4經(jīng)過A(-3,0),B(5,-4)兩點，

與y軸交于點C,連接AB,AC,BC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)求證：AB平分NCAO；

(3)拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得AABM是以AB為直角邊的直角三

角形，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

8.(2018?益陽)如圖，已知拋物線y=L?一旦x-門(n>0)與x軸交于A,B兩

22

(1)如圖1,若^ABC為直角三角形，求n的值；

(2)如圖1,在(1)的條件下，點P在拋物線上，點Q在拋物線的對稱軸上，

若以BC為邊，以點B、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求P點的坐

標；

(3)如圖2,過點A作直線BC的平行線交拋物線于另一點D,交y軸于點E,

若AE：ED=1：4,求n的值.

9.(2018?巴中)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax?+bx-2與x軸交于點

A、B(點A在點B的左側)，與y軸交于點C(0,-2),OB=4OA,tanZBCO=2.

(1)求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點M、N分別是線段BC、AB上的動點，點M從點B出發(fā)以每秒返個單位

2

的速度向點C運動，同時點N從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度向點B運動,

當點M、N中的一點到達終點時，兩點同時停止運動.過點M作MP_Lx軸于

點E,交拋物線于點P.設點M、點N的運動時間為t（s）,當t為多少時，

△PNE是等腰三角形？

10.（2018?曲靖）如圖：在平面直角坐標系中，直線I：y=L<-且與x軸交于點

33

A,經(jīng)過點A的拋物線y=ax2-3x+c的對稱軸是x=W.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）平移直線I經(jīng)過原點0,得到直線m,點P是直線m上任意一點，PB±x

軸于點B,PCly軸于點C,若點E在線段OB上，點F在線段OC的延長線上,

連接PE,PF,且PF=3PE.求證：PE1PF；

（3）若（2）中的點P坐標為（6,2）,點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，

當PE_LPF時，拋物線上是否存在點Q,使四邊形PEQF是矩形？如果存在，

請求出點Q的坐標，如果不存在，請說明理由.

11.（2018?撫順）如圖，拋物線y=-x?+bx+c和直線y=x+l交于A,B兩點，點A

在x軸上，點B在直線x=3上，直線x=3與x軸交于點C.

(2)點P從點A出發(fā)，以每秒&個單位長度的速度沿線段AB向點B運動，點

Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段CA向點A運動，點P,Q

同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設運動時間

為t秒(t>0).以PQ為邊作矩形PQNM,使點N在直線x=3上.

①當t為何值時，矩形PQNM的面積最?。坎⑶蟪鲎钚∶娣e；

②直接寫出當t為何值時，恰好有矩形PQNM的頂點落在拋物線上.

12.(2018?鎮(zhèn)江)如圖，二次函數(shù)y=x?-3x的圖象經(jīng)過0(0,0),A(4,4),

B(3,0)三點，以點0為位似中心，在y軸的右側將^OAB按相似比2：1

放大，得到△0AB,二次函數(shù)y=ax?+bx+c(aWO)的圖象經(jīng)過0,A\B三點.

(1)畫出△OAB,試求二次函數(shù)y=ax?+bx+c(ar0)的表達式；

(2)點P(m,n)在二次函數(shù)y=x2-3x的圖象上，mWO,直線OP與二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(a^O)的圖象交于點Q(異于點。).

①求點Q的坐標(橫、縱坐標均用含m的代數(shù)式表示)

②連接AP,若2Ap>OQ,求m的取值范圍；

③當點Q在第一象限內(nèi)，過點Q作QQ'平行于x軸，與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a

W0)的圖象交于另一點Q',與二次函數(shù)y=x2-3x的圖象交于點M,N(M在

N的左側),直線OCT與二次函數(shù)y=x2-3x的圖象交于點P'.△QPMS^QB'N,

則線段NQ的長度等于

VA

13.（2018?重慶）拋物線y=-返<2_3巨x+注與x軸交于點A,B（點A在點B

63

的左邊），與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.

（1）如圖1,連接CD,求線段CD的長；

（2）如圖2,點P是直線AC上方拋物線上一點，PFJ_x軸于點F,PF與線段AC

交于點E；將線段OB沿x軸左右平移，線段OB的對應線段是0正1，當PE+1EC

2

的值最大時，求四邊形POiBiC周長的最小值，并求出對應的點。1的坐標；

（3）如圖3,點H是線段AB的中點，連接CH,將aOBC沿直線CH翻折至△

O2B2c的位置，再將△O2B2c繞點B2旋轉一周，在旋轉過程中，點。2,C的對

應點分別是點。3,C1，直線03cl分別與直線AC,x軸交于點M,N.那么，

在△O2B2c的整個旋轉過程中，是否存在恰當?shù)奈恢?，使AAMN是以MN為

腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的線段02M的長；若不

存在，請說明理由.

14.（2018?十堰）已知拋物線y=L<2+bx+c經(jīng)過點A（-2,0）,B（0、-4）與x

2

軸交于另一點C,連接BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，P是第一象限內(nèi)拋物線上一點，且SAPBO=SAPBC，求證：AP〃BC；

(3)在拋物線上是否存在點D,直線BD交x軸于點E,使4ABE與以A,B,C,

E中的三點為頂點的三角形相似(不重合)？若存在，請求出點D的坐標；

15.(2018?梧州)如圖，拋物線y=ax?+bx-2與x軸交于A(1,0)、B(6,0)

2

兩點，D是y軸上一點，連接DA,延長DA交拋物線于點E.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若E點在第一象限，過點E作EF±x軸于點F,AADO與aAEF的面積比為

2”上，求出點E的坐標；

2AAEF9

(3)若D是y軸上的動點，過D點作與x軸平行的直線交拋物線于M、N兩點,

是否存在點D,使DA2=DM?DN?若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請

16.(2018?葫蘆島)如圖，拋物線y=ax?+4x+c(aWO)經(jīng)過點A(-1,0),點E

(4,5),與y軸交于點B,連接AB.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)將△ABO繞點。旋轉，點B的對應點為點F.

①當點F落在直線AE上時，求點F的坐標和4ABF的面積；

②當點F到直線AE的距離為加時，過點F作直線AE的平行線與拋物線相交，

請直接寫出交點的坐標.

17.（2018?大連）如圖，點A,B,C都在拋物線y=ax2-2amx+am2+2m-5（其

中-LvaVO）上，AB〃x軸，ZABC=135°,且AB=4.

4

（1）填空：拋物線的頂點坐標為（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）求aABC的面積（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）若△ABC的面積為2,當2m-5WxW2m-2時，y的最大值為2,求m的

值.

18.（2018?盤錦）如圖，已知A（-2,0）,B（4,0）,拋物線y=ax?+bx-1過A、

B兩點，并與過A點的直線y=-Lx-1交于點C.

2

（1）求拋物線解析式及對稱軸；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使四邊形ACP。的周長最?。咳舸嬖?

求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）點M為y軸右側拋物線上一點，過點M作直線AC的垂線，垂足為N.

問：是否存在這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與AAOC相似，若

存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由.

19.（2018?賀州）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax?+bx+c交x軸于A、

B兩點（A在B的左側），且OA=3,OB=1,與y軸交于C（0,3）,拋物線的

頂點坐標為D（-1,4）.

（1）求A、B兩點的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）過點D作直線DE〃y軸，交x軸于點E,點P是拋物線上B、D兩點間的一

個動點（點P不與B、D兩點重合），PA、PB與直線DE分別交于點F、G,當

點P運動時，EF+EG是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理

20.（2018?荊州）為響應荊州市"創(chuàng)建全國文明城市”號召，某單位不斷美化環(huán)境,

擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園，其中一邊靠墻，可利用的墻長不超過

18m,另外三邊由36m長的柵欄圍成.設矩形ABCD空地中，垂直于墻的邊

AB=xm,面積為yn?（如圖）.

（1）求y與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）若矩形空地的面積為160m2,求x的值；

（3）若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵（每種植物的

單價和每棵栽種的合理用地面積如下表）.問丙種植物最多可以購買多少棵？

此時，這批植物可以全部栽種到這塊空地上嗎？請說明理由.

甲乙丙

單價（元/棵）141628

合理用地（m?/棵）0.410.4

21.（2018?攀枝花）如圖，對稱軸為直線x=l的拋物線y=x2-bx+c與x軸交于A

（xi，0）、B（X2，0）（xi<x2）兩點，與y軸交于C點，且」一+1_=-Z.

Xjx23

（1）求拋物線的解析式;

（2）拋物線頂點為D,直線BD交y軸于E點；

①設點P為線段BD上一點（點P不與B、D兩點重合），過點P作x軸的垂線與

拋物線交于點F,求4BDF面積的最大值;

②在線段BD上是否存在點Q,使得NBDC=NQCE?若存在，求出點Q的坐標;

-1,0),B(4,0),C(0,

3）三點，D為直線BC上方拋物線上一動點，DE_LBC于E.

（2）如圖1,求線段DE長度的最大值;

（3）如圖2,設AB的中點為F,連接CD,CF,是否存在點D,使得4CDE中有

一個角與NCF。相等？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由.

23.（2018?柳州）如圖，拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于A（b，0）,B兩點（點

B在點A的左側），與y軸交于點C,且OB=3OA=?OC,NOAC的平分線AD

交y軸于點D,過點A且垂直于AD的直線I交y軸于點E,點P是x軸下方

拋物線上的一個動點，過點P作PF，x軸，垂足為F,交直線AD于點H.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點P的橫坐標為m,當FH=HP時，求m的值；

（3）當直線PF為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，LHC為半徑作。H,點Q

2

為。H上的一個動點，求&Q+EQ的最小值.

24.（2018?吉林）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2ax-3a（a<0）

與x軸相交于A,B兩點，與y軸相交于點C,頂點為D,直線DC與x軸相交

于點E.

（1）當a=-1時，拋物線頂點D的坐標為,OE=；

（2）OE的長是否與a值有關，說明你的理由；

（3）設NDEO邛，45-WBW60。，求a的取值范圍；

（4）以DE為斜邊，在直線DE的左下方作等腰直角三角形PDE.設P（m,n）,

直接寫出n關于m的函數(shù)解析式及自變量m的取值范圍.

V

25.（2018?長春）如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的對稱中心為坐標原

點O,AD_l_y軸于點E（點A在點D的左側），經(jīng)過E、D兩點的函數(shù)y=-L?+mx+l

2

（x20）的圖象記為Gi，函數(shù)y=-L?_mx-1（xVO）的圖象記為G2,其

2

中m是常數(shù)，圖象J、G2合起來得到的圖象記為G.設矩形ABCD的周長為

（1）當點A的橫坐標為-1時，求m的值；

（2）求L與m之間的函數(shù)關系式；

（3）當G2與矩形ABCD恰好有兩個公共點時，求L的值；

（4）設G在-4WxW2上最高點的縱坐標為y0,當時，直接寫出L的

2

取值范圍.

26.（2018?包頭）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=lx2+2x-2與x

22

軸交于A,B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C,直線I經(jīng)過A,C

兩點，連接BC.

（1）求直線I的解析式；

（2）若直線x=m（m<0）與該拋物線在第三象限內(nèi)交于點E,與直線I交于點D,

連接OD.當ODLAC時，求線段DE的長；

（3）取點G（0,-1）,連接AG,在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在點P,

使NBAP=NBCO-ZBAG?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

27.(2018?深圳)已知頂點為A拋物線y=a(x-^)2_2經(jīng)過點B(-1，2)，點

C(1.2).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,直線AB與x軸相交于點M,y軸相交于點E,拋物線與y軸相交

于點F,在直線AB上有一點P,若NOPM=NMAF,求△POE的面積；

(3)如圖2,點Q是折線A-B-C上一點，過點Q作QN〃y軸，過點E作EN

〃x軸，直線QN與直線EN相交于點N,連接QE,將△QEN沿QE翻折得到

△QENi，若點Ni落在x軸上，請直接寫出Q點的坐標.

28.(2018?廣安)如圖，已知拋物線y=L?+bx+c與直線y=L<+3交于A,B兩點，

22

交x軸于C、D兩點，連接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線對稱軸I上找一點M,使|MB-MD|的值最大，并求出這個最大

值；

(3)點P為y軸右側拋物線上一動點，連接PA,過點P作PQLPA交y軸于點

Q，問：是否存在點P,使得以A,P,Q為頂點的三角形與aABC相似？若存

在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

29.(2018?邵陽)如圖所示，將二次函數(shù)y=x2+2x+l的圖象沿x軸翻折，然后向

右平移1個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象.函

數(shù)y=x2+2x+l的圖象的頂點為點A.函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點為點B,和

x軸的交點為點C,D(點D位于點C的左側).

(1)求函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式；

(2)從點A,C,D三個點中任取兩個點和點B構造三角形，求構造的三角形是

等腰三角形的概率；

(3)若點M是線段BC上的動點，點N是4ABC三邊上的動點，是否存在以AM

為斜邊的RtAAMN,使^AMN的面積為^ABC面積的上？若存在，求tanZ

3

MAN的值；若不存在，請說明理由.

備用圖

參考答案與試題解析

解答題(共40小題)

1.(2018?濟南)如圖1,拋物線y=ax?+bx+4過A(2,0)、B(4,0)兩點，交y

軸于點C,過點C作x軸的平行線與不等式拋物線上的另一個交點為D,連接

AC、BC.點P是該拋物線上一動點，設點P的橫坐標為m(m>4).

(1)求該拋物線的表達式和NACB的正切值；

(2)如圖2,若NACP=45。，求m的值；

(3)如圖3,過點A、P的直線與y軸于點N,過點P作PMLCD,垂足為M,

直線MN與x軸交于點Q,試判斷四邊形ADMQ的形狀，并說明理由.

\

\

c

圖1圖2圖3

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)由點A、B坐標利用待定系數(shù)法求解可得拋物線解析式為y=L<2_

2

3x+4,作BG1CA,交CA的延長線于點G,證△GABS^OAC得%=更，據(jù)

AG0A

此知BG=2AG.在RtaABG中根據(jù)BG?+AG2=AB2,可求得AG1^.繼而可得

CG=AC+AG=UYG,根據(jù)正切函數(shù)定義可得答案；

55

(2)作BH_LCD于點H,交CP于點K,連接AK,易得四邊形OBHC是正方形，

應用“全角夾半角”可得AK=OA+HK,設K(4,h),則BK=h,HK=HB-KB=4-h,

AK=0A+HK=2+(4-h)=6-h.在RtAABK中，由勾股定理求得h=A,據(jù)此求

3

得點K(4,1).待定系數(shù)法求出直線CK的解析式為y=-L+4.設點P的坐

33

標為(x,y)知x是方程L?-3x+4=-L<+4的一個解.解之求得x的值即可

23

得出答案.

(3)先求出點D坐標為(6,4),設P(m,Jun2-3m+4)知M(m,4),H(m,

2

0).及PH=Lm2-3m+4),OH=m,AH=m-2,MH=4.①當4VmV6時，由

2

△OAN^AHAP知理據(jù)此得0N=m-4.再證△ONQS^HMP得

PHAH

型=強.據(jù)此求得0Q=m-4.從而得出AQ=DM=6-m.結合AQ〃DM可得

HMHQ

答案.②當m>6時，同理可得.

【解答】解：(1)將點A(2,0)和點B(4,0)分別代入y=ax2+bx+4,得fa+2b+4=0,

ll6a+4b+4=0

，

解得：azT.

b=-3

,該拋物線的解析式為y=Xx2-3x+4.

2

過點B作BG_LCA,交CA的延長線于點G(如圖1所示)，貝U/G=90。.

*/ZCOA=ZG=90°,ZCAO=ZBAG,

/.△GAB^AOAC.

?BG_0C_4_?

AG0A2

BG=2AG.

在RtAABG中，VBG2+AG2=AB2,

Z.(2AG)2+AG2=22.解得：AG=V網(wǎng).

BG=l>/5，CG=AC+AG=2代

555

在RtABCG中，tanNACB一里二L.

CG3

(2)如圖2,過點B作BH1.CD于點H,交CP于點K,連接AK.易得四邊形OBHC

是正方形.

應用“全角夾半角”可得AK=OA+HK.

設K(4,h),則BK=h,HK=HB-KB=4-h,AK=0A+HK=2+(4-h)=6-h.

在RgABK中，由勾股定理，得AB2+BK2=AK2.

.*.22+h2=(6-h)2.解得h=&.

3

.,.點K(4,1).

3

設直線CK的解析式為y=hx+4.

將點K(4,1)代入上式，得”4h+4.解得h=-1.

333

直線CK的解析式為y=-lx+4.

3

設點P的坐標為(x,y),則x是方程L<2-3X+4=-b+4的一個解.

23

將方程整理，得3X2-16X=0.

解得X2=0(不合題意，舍去).

3

將Xi=2■代入y=-_LX+4,得y=&L.

339

.?.點P的坐標為(」0,20).

39

(3)四邊形ADMQ是平行四邊形.理由如下:

?.?CD〃x軸，

:.yc=VD=4.

將y=4代入y=Xx2-3x+4,得4=ix2-3x+4.

22

解得Xi=O,X2=6.

.".點D(6,4).

根據(jù)題意，得P(m,A/n2-3m+4),M(m,4),H(m,0).

2

.*.PH=^m2-3m+4),OH=m,AH=m-2,MH=4.

2

①當4Vm<6時，DM=6-m,

如圖3,

.,△OAN^AHAP,

-0N=0A

"PHAH'

..0N=2

-^n)2-3nrl-4m-2

2

?QN=in-61rH~8=(im4)Cm-2)=m-4.

m-2m-2

/△ONQ^AHMP,

?.0此=0Q

,而HQ,

?_0N=OQ

4m-OQ

*n)~4_OQ

4m-OQ

,.OQ=m-4.

\AQ=OA-OQ=2-(m-4)=6-m.

?.AQ=DM=6-m.

又?.?AQ〃DM,

J四邊形ADMQ是平行四邊形.

②當m>6時，同理可得：四邊形ADMQ是平行四邊形.

綜上，四邊形ADMQ是平行四邊形.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關鍵是掌握待定系數(shù)法求函

數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)及勾股定理、

三角函數(shù)等知識點.

2.（2018?巴彥淖爾）如圖，拋物線y=ax?+bx+2與x軸相交于A（-1,0）,B（4,

0）兩點，與y軸相交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）將ZXABC繞AB中點M旋轉180°,得到△BAD.

①求點D的坐標；

②判斷四邊形ADBC的形狀，并說明理由；

（3）在該拋物線對稱軸上是否存在點P,使aBMP與4BAD相似？若存在，請

求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【分析】（1）由點A、B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式;

（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點C的坐標.①過點D作DE±x

軸于點E,根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得出。A=EB、OC=ED,結合點A、B、0、C的坐

標，即可找出點D的坐標；②由點A、B、C的坐標可得出OA、OC、OB的長

度，利用勾股定理可求出AC、BC的長，由AC?+BC2=25=AB2可得出NACB=90。，

再利用旋轉的性質(zhì)即可找出四邊形ADBC為矩形；

（3）假設存在，設點P的坐標為（W,m）,由點M為AB的中點可得出NBPD=

2

ZADB=90°,分△PMBs^BDA及△BMPs^BDA兩種情況考慮，利用相似三

角形的性質(zhì)可得出關于m的含絕對值的一元一次方程，解之即可得出結論.

【解答】解：（1）將A（-1,0）、B（4,0）代入y=ax?+bx+2,得：

_1_

(a-b+2=0,解得：「=2,

ll6a+4b+2=0

拋物線的解析式為y=-L?+當+2.

22

(2)當x=0時，y=-AJ(2+^X+2=2,

22

.?.點C的坐標為(0,2).

①過點D作DELx軸于點E,如圖1所示.

VWAABC繞AB中點M旋轉180。，得到ABAD,

AOA=EB,OC=ED.

VA(-1,0),0(0,0),C(0,2),B(4,0),

；.BE=1,DE=2,OE=3,

.?.點D的坐標為(3,-2).

②四邊形ADBC為矩形，理由如下：

VA(-1,0),B(4,0),C(0,2),

/.OA=1,OC=2,OB=4,AB=5,

AAC=V0A2+0C2=^>BC30/2+0*2依.

VAC2+BC2=25=AB2,

，ZACB=90°.

V^AABC繞AB中點M旋轉180°,得到ABAD,

；.NABC=NBAD,BC=AD,

BC〃AD且BC=AD,

???四邊形ADBC為平行四邊形.

又?:ZACB=90°,

二四邊形ADBC為矩形.

(3)假設存在，設點P的坐標為(旦，m).

2

?.?點M為AB的中點，

/.ZBPD=ZADB=90°,

有兩種情況(如圖2所示).

①當△PMBSZ^BDA時，有且匕鞏工，即，M=上,

MBDA2LX52

解得：m=土且

4

.?.點P的坐標為（W,5）或（W,-A）；

2424

②當△BMPs/\BDA時，有里=嶇=2,即，＞=2,

MBDBL*5

解得:m=±5,

.?.點P的坐標為（W,5）或（3,-5）.

22

綜上所述：在該拋物線對稱軸上存在點P,使aBMP與4BAD相似，點P的坐標

-5）或（3,5）或（W,-5）.

422

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、旋轉的性質(zhì)、矩形的判定、

勾股定理、勾股定理逆定理以及相似三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是：（1）由

點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）①利用旋轉的性質(zhì)找

出點D的坐標；②利用旋轉的性質(zhì)結合勾股定理的逆定理證出四邊形ADBC

為矩形；（3）分△PMBs/\BDA及△BMPsaBDA兩種情況找出點P的坐標.

3.（2018?甘孜州）如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+bx+3的圖象與x軸分別交于A（1,

0),B(3,0)兩點，與y軸交于點C

(1)求此二次函數(shù)解析式；

(2)點D為拋物線的頂點，試判斷4BCD的形狀，并說明理由；

(3)將直線BC向上平移t(t>0)個單位，平移后的直線與拋物線交于M,N

兩點(點M在y軸的右側)，當aAMN為直角三角形時，求t的值.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)根據(jù)點A、B的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)解析式；

(2)利用配方法及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出點C、D的坐標，利

用兩點間的距離公式可求出CD、BD、BC的長，由BC2+BD2=CD2可證出aBCD

為直角三角形；

(3)根據(jù)點B、C的坐標，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，進而可找

出平移后直線的解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組可找出

點M、N的坐標，利用兩點間的距離公式可求出AM?、AN\MN?的值，分別

令三個角為直角，利用勾股定理可得出關于t的無理方程，解之即可得出結

論.

【解答】解：(1)將A(1,0)、B(3,0)代入y=ax?+bx+3,得：

[a+b+3=0,解得：卜=1,

l9a+3b+3=0lb=-4

2

,此二次函數(shù)解析式為y=x-4x+3.

(2)ZSBCD為直角三角形，理由如下：

Vy=x2-4x+3=(x-2)2-1,

二頂點D的坐標為(2,-1).

當x=0時,y=x2-4x+3=3,

，點C的坐標為(0,3).

?點B的坐標為(3,0),

BC=V(3-0)2+(0-3)2=3V2，BD=V(2-3)2+(-l-0)2=

CD=7(2-0)2+(-1-3)

VBC2+BD2=2O=CD2,

，NCBD=90°,

/.△BCD為直角三角形.

(3)設直線BC的解析式為y=kx+c(kWO),

將B(3,0),C(0,3)代入y=kx+c,得:

(3k+c=0,解得：產(chǎn)-1,

Ic=3Ic=3

二直線BC的解析式為y=-x+3,

...將直線BC向上平移t個單位得到的直線的解析式為y=-x+3+t.

聯(lián)立新直線與拋物線的解析式成方程組，得：'

y=x2-4x+3

_3+49+4t-3~V9+4t

xl=―2―x2=—2—

解得：，

3+2t-Vg+4t3+2t+49+4t

yl=5y2=2____

...點M的坐標為(上酗W,絲土叵正)，點N的坐標為(上■￡,

____222

3+2t+V9+4t)

2'

???點A的坐標為(1,0),

2222

/.AM=(3+49+4t-02+(3+2t-V94-4t__0)=t+5t+7-(1+t)V9+47?AN=

22____

3+2t+V^_2^^23-V9H7

(3-V|M7_1)2+(0)2=t+5t+7+(1+t)>MN=(

2

-3+/9+4t)2+(3+2t+4g+4t_3+2tT9+4t)=ig+8t

~222

VAAMN為直角三角形,

???分三種情況考慮：

①當NMAN=90°時，有AM2+AN2=MM,即t2+5t+7-(1+t)V9+4t+t2+5t+7+(1+t)

V9+4t=18+8t,

整理，得：t2+t-2=0,

解得：邕=1,t2=-2(不合題意，舍去)；

②當NAMN=90°時，WAM2+MN2=AN2,即t?+5t+7-(1+t)V9+4t+18+8t=t2+5t+7+

(1+t)V9+4t，

整理，得:t2-2t-8=0,

解得：匕=4,t2=-2(不合題意，舍去)；

③當NANM=90。時，有AN2+MN2=AN2,即t2+5t+7+(1+t)V9+4t+18+8t=t2+5t+7

-(1+t)V9+4t?

整理，得：V9+4t(l+t+49+4t)=0-

Vt>0,

該方程無解(或解均為增解).

綜上所述：當aAMN為直角三角形時，t的值為1或4.

【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析

式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解題

的關鍵是：(1)根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；(2)

利用兩點間的距離公式結合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；(3)分N

MAN=90°、NAMN=90°及NANM=90°三種情況考慮.

4.(2018?德陽)如圖，在等腰直角三角形ABC中，NBAC=90。，點A在x軸上,

點B在y軸上，點C(3,1),二次函數(shù)y=L?+bx-S的圖象經(jīng)過點C.

32

(1)求二次函數(shù)的解析式，并把解析式化成y=a(x-h)2+k的形式；

(2)把aABC沿x軸正方向平移，當點B落在拋物線上時，求aABC掃過區(qū)域

的面積；

(3)在拋物線上是否存在異于點C的點P,使4ABP是以AB為直角邊的等腰直

角三角形？如果存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；如果不存在，請

說明理由.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)將點C的坐標代入拋物線的解析式可求得b的值，從而可得到拋物

線的解析式，然后利用配方法可將拋物線的解析式變形為y=a(x-h)2+k的

形式；

(2)作CK，x軸，垂足為K.首先證明△BAOgZXACK,從而可得到OA=CK,OB=AK,

于是可得到點A、B的坐標，然后依據(jù)勾股定理求得AB的長，然后求得點D

的坐標，從而可求得三角形平移的距離，最后，依據(jù)4ABC掃過區(qū)域的面積

=S四邊燧ABDE+SADEH求解即可；

(3)當NABP=90。時，過點P作PG，y軸，垂足為G,先證明ABPG之△ABO,

從而可得到點P的坐標，然后再判斷點P是否在拋物線的解析式即可，當/

PAB=90°,過點P作PF±x軸，垂足為F,同理可得到點P的坐標，然后再判

斷點P是否在拋物線的解析式即可.

【解答】解：(1)；點C(3,1)在二次函數(shù)的圖象上，

/.-l,x2+bx-解得：b=-—,

326

二次函數(shù)的解析式為y=Xx2-Xx-2

362

y=-lx2--Lx-3-^1.(x2-ix+工--A_)-奧工(x-工)2--

36232161623448

(2)作CK_Lx軸,垂足為K.

「△ABC為等腰直角三角形,

/.AB=AC.

又YNBAC=90°,

/.ZBAO+ZCAK=90°.

XVZCAK+ZACK=90°,

/.ZBAO=ZACK.

在△BAO和/SACK中，ZBOA=ZAKC,ZBAO=ZACK,AB=AC,

/.△BAO^AACK.

/.OA=CK=1,OB=AK=2.

AA(1,0),B(0,2).

當點B平移到點D時，D(m,2),則2=U2-Ln-3,解得m=-3(舍去)

362

或m=-L.

2

AB=7OB2+AO2=^-

.'.△ABC掃過區(qū)域的面積=$叫.ABDE+SADEH=￡X2+LXJ^X?=9.5

22

(3)當/ABP=90。時，過點P作PG，y軸，垂足為G.

VAAPB為等腰直角三角形，

；.PB=AB,ZPBA=90°.

/.ZPBG+ZBAO=90°.

XVZPBG+ZBPG=90°,

/.ZBAO=ZBPG.

在ABPG和△ABO中，ZBOA=ZPGB,ZBAO=ZBPG,AB=PB,

.,.△BPG^AABO.

.?.PG=OB=2,AO=BG=1,

：.P(-2,1).

當x=-2時，yWl,

.?.點P(-2,1)不在拋物線上.

當NPAB=90。，過點P作PF，x軸，垂足為F.

同理可知：4PAF/△ABO,

/.FP=OA=1,AF=OB=2,

P(-1,-1).

當x=-1時，y=-1,

...點P(-l,-1)在拋物線上.

【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數(shù)

法求二次函數(shù)的解析式、平移的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，作輔助線

構造全等三角形是解答本題的關鍵.

5.（2018?錦州）在平面直角坐標系中，直線y=，-2與x軸交于點B,與y軸

2

交于點C,二次函數(shù)y=L<2+bx+c的圖象經(jīng)過B,C兩點，且與x軸的負半軸交

2

于點A,動點D在直線BC下方的二次函數(shù)圖象上.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1,連接DC,DB,設aBCD的面積為S,求S的最大值；

（3）如圖2,過點D作DMLBC于點M,是否存在點D,使得△CDM中的某個

角恰好等于NABC的2倍？若存在，直接寫出點D的橫坐標；若不存在，請

說明理由.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【分析】（1）根據(jù)題意得到B、C兩點的坐標，設拋物線的解析式為y=L（x-4）

2

（x-m）,將點C的坐標代入求得m的值即可；

（2）過點D作DF」_x軸,交BC與點F,設D（x,lx2--2）,則DF=-1J（2+2X,

222

然后列出S與x的關系式，最后利用配方法求得其最大值即可；

（3）根據(jù)勾股定理的逆定理得到^ABC是以NACB為直角的直角三角形，取AB

的中點E,EA=EC=EB=A,過D作Y軸的垂線，垂足為R,交AC的延線于G,

2

設D（x,Xx2-lx-2）,則DR=x,CR=-L<2+2最后，分為NDCM=2NBAC

2222

和NMDC=2NBAC兩種情況列方程求解即可.

【解答】解：（1）把