初中數(shù)學(xué)代數(shù)部分知識點總結(jié)

實數(shù)知識點梳理一

一?實數(shù)的組成

正整數(shù)

f整數(shù)零

（有理數(shù)蟠駕再限小數(shù)或循環(huán)小數(shù)

I分?jǐn)?shù)鱉？

實數(shù)??負(fù)分?jǐn)?shù)J

,無理數(shù)正無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)

尢埋型〔負(fù)無理數(shù)

實數(shù)又可分為正實數(shù)，零，負(fù)實數(shù)

2.數(shù)軸：數(shù)軸的三要素——原點、正方向和單位長度。數(shù)軸上的點與

實數(shù)---對應(yīng)

二?相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)

1.相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)回味相反數(shù)。數(shù)a的相反數(shù)是-a。

正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)，零的相反數(shù)是零.性

質(zhì)：互為相反數(shù)的兩個數(shù)之和為0。

2.絕對值：表示點到原點的距離，數(shù)2的絕對值為

3.倒數(shù)：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。非0實數(shù)a的倒數(shù)為1/a.O沒

有倒數(shù)。

4.相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0,；絕對值是它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)（0和

正數(shù)）；倒數(shù)是它本身的數(shù)是±1.

三、平方根與立方根

1.平方根：如果一個數(shù)的平方等于a,這個數(shù)叫做a的平方根。土麴a

的平方根記作一

（a>=0）

特性：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，零的平方根還是零。

負(fù)數(shù)沒有平方根。

正數(shù)a的正的平方根也叫做a的算術(shù)平方根，零的算術(shù)平方根還是

零。

開平方:求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方。

2.立方根：如果一個數(shù)的立方等于a,則稱這個數(shù)為a立方根。數(shù)a

的立方根用后表示。

任何數(shù)都有立方根，一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)

的立方根，零的立方根是零。

開立方：求一個數(shù)的立方根（三次方根）的運算，叫做開立方。

正確理解R、-石、士&、址iv_

a

V?=\\（?>0）場=aWJ-"

幾個性質(zhì)：、、、

四-實數(shù)的運算

1.有理數(shù)的加法法則：

a）同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；

b）異號兩數(shù)相加。絕對值相等時和為0；絕對值不相等時，取絕對值

較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.任何數(shù)與

零相加等于原數(shù)。

2.有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

a-bb）

3.乘法法則：

a）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；零乘以任何

數(shù)都得零.

b）兒個不為0的有理數(shù)相乘，積得符號由負(fù)因數(shù)的個數(shù)決定，當(dāng)負(fù)

因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負(fù)，為偶數(shù)，積為正

c）幾個數(shù)相乘，只要有一個因數(shù)為0,積就為0

4.有理數(shù)除法法則：

a）兩個有理數(shù)相除（除數(shù)不為0）同號得正，異號得負(fù)，并把絕對

值相除。0除以任何非0實數(shù)都得0。

b）除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

5.有理數(shù)的乘方：

在an中，a叫底數(shù)，n叫指數(shù)

a）正數(shù)的任何次辱都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的偶次幕是正數(shù)，奇次事是負(fù)數(shù);

0的任何次事都是0

b）a°=l（a不等于0）

6.有理數(shù)的運算順序：

a）同級運算，先左后右

b）混合運算，先算括號內(nèi)的，再乘方、開方，接著算乘除，最后是

加減

五-實數(shù)大小比較的方法

1）數(shù)軸法：數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)總大于左邊的點表示的數(shù)

2）比差法：若a-b>0則a>b；若a-b<0貝!Ja<b；若a-b=0則a=b

3）比商法:A.兩個數(shù)均為正數(shù)時,a/b>l則a>b；a/b<l則a<bB.

兩個數(shù)均為負(fù)數(shù)時，a/b>l則a<b；a/b〈l則a>bC.一正一負(fù)

時，正數(shù),負(fù)數(shù)

4）平方法：a、b均為正數(shù)時，若a2>b2,則有a>b；均為負(fù)數(shù)時相

反

5）倒數(shù)法：兩個實數(shù)，倒數(shù)大的反而?。ú徽撜?fù)）

代數(shù)知識點梳理

第一章數(shù)與式

一、數(shù)的分類

正整數(shù)

整數(shù)零正有理數(shù)

r正實數(shù)

有理數(shù)負(fù)整數(shù)正無理數(shù)

實數(shù)'正分?jǐn)?shù)或?qū)崝?shù)《零

分?jǐn)?shù)《負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)實數(shù)

正無理數(shù)負(fù)無理數(shù)

無理數(shù)

負(fù)無理數(shù)

其中：有理數(shù)(即可比數(shù))即有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)。

二、數(shù)軸

(1)三要素：原點、正方向、單位長度。

(2)實數(shù)<數(shù)軸上的點。

(3)利用數(shù)軸可比較數(shù)的大小，理解實數(shù)及其相反數(shù)、絕對值等概念。

三、絕對值

(1)幾何定義：數(shù)軸上，表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記做同。

a(。〉0)

(2)代數(shù)定義：何=<0伍=0)

-CI(a<0)

四、相反數(shù)、倒數(shù)

(1)a、b互為相反數(shù)<=>a+b—0(或a=-b)

(2)a、b互為倒數(shù)oa,b—1(或a=—)。

b

五、幾個非負(fù)數(shù)

(1)時20；

(2)a2>0；

(3)Va>0(心0)o

(4)若幾個非負(fù)數(shù)之和為0,則這幾個非負(fù)數(shù)也分別為0.

六、

(1)an叫做a的n次幕，其中，。叫底數(shù)，n叫指數(shù)。

(2)若x2=a(a20),則x叫做a的平方根，記做土瓦；算術(shù)平方根記做

(3)若x3=a,則x叫做a的立方根，記做〃\因此(后了=。

(4)算術(shù)平方根性質(zhì)：

①(\[a)2—a(a20)；

②7^=14；

③=(心0,匕/0)；

[a_4a

④匕=不(心0，b>0)o

七、

關(guān)系互逆互逆互逆互逆互逆

運算加減乘除乘方開方平方開平方立方開立方

結(jié)果和差積商方根二次嘉平方根三次塞立方根

八、運算順序：

1.同級：左一右

2.不同級：高一低(先乘方和開方，再乘除，最后加減)

3.有括號：里一外(先去小括號、再去中括號、最后去大括號)

九、運算律：

運算律加法乘法

交換律a+b=b+aab=ba

結(jié)合律(a+b)+c=Q+(b+c)(ab)c=Q(bc)

分配律[a+b]c=ac+bc

十、運算法則

①加法法則：

結(jié)果符號絕對值

兩數(shù)就卜、

同號取原號相加

異號取“大”號相減

②減法法則：a—匕=。+(—h)

③乘法法則：

結(jié)果符號絕對值

兩數(shù)疝嬴、

同號得正相乘

異號得負(fù)

④除法法則：a+b=aX-或

b

結(jié)果符號絕對值

兩數(shù)溫、

同號得正相除

異號得負(fù)

H—\a>0

①(?Q)2n+1=-Q2n+1

②(?Q)2n=Q2n

十二、有理式

'赦弋J單項式，次數(shù)、系數(shù))

(1)有理式E［多項式(次數(shù)、項數(shù))

分式

(2)乘法公式

平方差：(a+b)(a-b)=a2—b2

2

完全平方：(a±b)2=02±2ab+/7

(3)分式的基本性質(zhì)：

aaxm/ET、工八、a+m八八、，，八

—=----(用于通分)=-----(用于約分)(mWO)

bhxmh-i-m

十三、整數(shù)指數(shù)籍

(1)零指數(shù)基Q"=1(aWO)；負(fù)指數(shù)第a-n=5QWO,“為正整數(shù))；

(2)累的乘方：@aman=am+n(a>0,m、〃為整數(shù))；

②(Qm)n=amn(Q>0,m、n為整數(shù))；

③(ab)n=anbn(a>0,b>0,〃為整數(shù))。

第二章方程與不等式

一、一元一次方程

(1)一元一次方程：變形后可化為ax=b(QWO)的形式，它的解為x=-。

a

(2)解一次方程的一般步驟：①去分母;②去括號;③移項;④合并同類項;⑤系數(shù)化為1。

二、一元二次方程

(1)一元二次方程：變形后可化為ax2+bx+c=0(aWO)的形式，

它的根為x—4ac(b2-4ac20),(即求根公

2a

式)。

(2)解二次方程的常用解法：①求根公式法；②因式分解法；③配方法。

(3)根的判別式：/=匕2—4QC

當(dāng)。2—4ac>0時，方程有兩個不等實數(shù)根；

當(dāng)人一4ac=0時，方程有兩個相等實數(shù)根;

當(dāng)62-4ac<0時，方程沒有實數(shù)根。

(4)韋達(dá)定理：形如x2+px+q=0,當(dāng)p2一4qe0時，設(shè)這個方程的兩實數(shù)

根為Xi、X2,則有Xi+X2=-p,x>x?=qo

三、分式方程

(1)分式方程：分母中含未知數(shù)的有理方程。

(2)解分式方程的實質(zhì)：去分母(兩邊乘方程中各分式的最簡公分母)，轉(zhuǎn)化為整式方程

來解。

(3)注意：有時會產(chǎn)生增根，必須驗根。

四、二元一次方程組

(1)基本思路：通過“消元”，轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解。

(2)常用解法：①代入消元法；②加減消元法。

(3)以二元一次方程組的解為坐標(biāo)的點組成的圖象是一條直線。

五、(1)不等式：用不等號(>,<,2,W,W)表示不等關(guān)系的式子。

(2)不等式基本性質(zhì)：

①如果a>b,那么a+c>b+c,a一c>b一c；

Hh

②如果Q>b,并且。>0,那么QC>bc,->-;

cc

Hh

③如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,—<—。

cc

(3)解一元一次不等式的?般步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；

⑤系數(shù)化為1(此步驟要注意不等號可能變方向)。

六、一元一次不等式組的解集：(設(shè)a<b)

①不等式組『,"'的解集是x>b；

[x>b

②不等式組的解集是x<a；

\x<h

③不等式組的解集是。<X<b-,

[x<b

④不等式組無解。

\x>h

平面直角坐標(biāo)系知識點梳理

1.定義：平面上互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡稱為直角

坐標(biāo)系。

要求：畫平面直角坐標(biāo)系時，軸、y軸上的單位長度通常應(yīng)相同，但在實際應(yīng)用中，有

時會遇到取相同的單位長度有困難的情況，這時可靈活規(guī)定單位長度，但必須注意的是,

同一坐標(biāo)軸上相同長度的線段表示的單位數(shù)量相同。

2.各個象限內(nèi)點的特征:

第一象限：（+,+）點P（X,y）貝IIx>0,y>0；

第二象限：（一，+）點P（x,y）,則x<0,y>0；

第三象限：（一，一）點P（x,y）,則x<0,y<0；

第四象限：（+,一）點P（x,y）則x>0,y<0；

四個象限的特點：第一象限（正，正）第二象限（負(fù)，正），第三象限（負(fù)，負(fù)），

第四象限（正，負(fù)）

在x軸上：（x,0）點P（X,y）,則y=0：

在x軸的正半軸：（+,0）點P（x,y）,貝Ux>0,y=0；

在x軸的負(fù)半軸：(一，0)點P(x,y),貝Ijx<o,y=0；

在y軸匕(0,y)點P(x,y),則x=0；

在y軸的正半軸：(0,+)點P(x,y),則x=0,y>0；

在y軸的負(fù)半軸：(0,-)點P(x,y),則x=0,y<0；

坐標(biāo)原點：(0,0)點P(x,y),則x=0,y=0；

3.點到坐標(biāo)軸的距離：

點P(x,y)到x軸的距離為|y|,

到y(tǒng)軸的距離為|x|。

到坐標(biāo)原點的距離為“+/(由勾股定理可得)

例2：已知：A(4,3),,C(3,0),求三角形ABC的面積.

例3：已知：A(l+2a,4a-5),且點A到兩坐標(biāo)軸的距離相等，求A點坐標(biāo).

4.中點與兩點間的距離：

已知點A(x”y1),B(x2,y2)

兩點AB距圖為：AB=-元2)'+(Ni-乃廠

中點P的坐標(biāo)為：(4產(chǎn)，咤區(qū))

例4：已知：A(4,3).8(U)，C(3,0),求三角形ABC的面積.

例題5：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標(biāo)分別是。(0,0),

A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線1經(jīng)過點M(2,

3),且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線1的函數(shù)表達(dá)式是

5.點的對稱：

點P(m,n),關(guān)于x軸的對稱點坐標(biāo)是(m,—n),

關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)是(一m,n)

關(guān)于原點的對稱點坐標(biāo)是(一m,-n)

例題6：點A(-l,2)關(guān)于y軸的對稱點坐標(biāo)是；點A關(guān)于原點的對稱

點的坐標(biāo)是。點A關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為

例7：在平面直角坐標(biāo)系中，已知：A(l,2),8(4,4),在x軸上確定點C,使得

AC+BC最小.

6.平行線：

平行于x軸的直線上的點的特征：縱坐標(biāo)相等；如直線PQ,P(m,〃)Q(p,〃)

平行于y軸的直線上的點的特征：橫坐標(biāo)相等；如直線PQ,P(〃?,〃)Q(〃?,p)

例8：已知點A(加一5,1),點B(4,m+1),且直線AB〃y軸，則機(jī)的值為多少？

7.象限角的平分線：

第一、三象限角平分線上的點橫、縱坐標(biāo)相等，可記作：

點P(a,b)關(guān)于第一、三象限坐標(biāo)軸夾角平分線的對稱點坐標(biāo)是(b,a)

第二、四象限角平分線上的點橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可記作：

點P(a,b)關(guān)于第二、四象限坐標(biāo)軸夾角平分線的對稱點坐標(biāo)是(一b,-a)

例9：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點尸(x,y)橫、縱坐標(biāo)相等，在平面直角坐標(biāo)系中表示

出點P的位置.

y

A

例10：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P(x,y)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，在平面直角坐標(biāo)

系中表示出點尸的位置.

y

A

例11：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點P(x,y)橫、縱坐標(biāo)滿足y=|x-l|,在平面直角坐

標(biāo)系中表示出點P的位置.

8.點的平移:

在平面直角坐標(biāo)系中，將點（x,y）向右平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x+a,

V）；

將點（x,y）向左平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x-a,y）；

將點（x,y）向上平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x,y+b）；

將點（x,y）向下平移b個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x,y—b）?

注意：對一個圖形進(jìn)行平移，這個圖形上所有點的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過來，

從圖形上點的坐標(biāo)的加減變化，我們也可以看出對這個圖形進(jìn)行了怎樣的平移。

平移口訣："左+右一、上+下一"

例題12：將點P（-3,2）向下平移3個單位，向左平移2個單位后得到點Q（x,y）,

貝Uxy=________

答案（-5,-1）

第三章函數(shù)

一、函數(shù)

（1）定義：設(shè)在某變化過程中有兩個變量x、y,對于x的每一個值，y都有唯一的值

與之對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是因變量，此時，也稱y是x的函數(shù)。

（2）本質(zhì)：----對應(yīng)關(guān)系或多一對應(yīng)關(guān)系。

有序?qū)崝?shù)對<..砥>平面直角坐標(biāo)系上的點

（3）表示方法：解析法、列表法、圖象法。

（4）自變量取值范圍：

對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義；

對于純數(shù)學(xué)問題，自變量取值必須保證函數(shù)關(guān)系式有意義:

①分式中，分母w0；

②二次根式中，被開方數(shù)，0；

③整式中，自變量取全體實數(shù)；

④混合運算式中，自變量取各解集的公共部份。

二、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)

兩函數(shù)的異同點

正比例函數(shù)反比例函數(shù)

定義y=kx（k為常數(shù)，kWO）y=±（k為常數(shù)，k#O）

X

自變量取值范圍全體實數(shù)x羊0

圖象?直線雙曲線

k<04

71^

k>0

k>0

關(guān)于原點對稱

性質(zhì)①過原點不過原點

性質(zhì)②k>0,過第一、三象限（如上圖）

k<0,過第二、四象限（如左上圖）

增減性k>0y隨x的增大而增在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小

大

k<0y隨X的增大而減在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大

小

二、一次函數(shù)（圖象為直線）

（1）定義式：y=kx+b（k、b為常數(shù)，kWO）；自變量取全體實數(shù)。

k>0k<0

①k>0,過第一、三象限，y隨x的增大而增大;

k<0,過第二、四象限，y隨x的增大而減小。

②b=0,圖象過（0,0）；

b>0,圖象與軸的交點（0,b）在x軸上方；

b<0,圖象與y軸的交點（0,b）在x軸下方。

三、二次函數(shù)（圖象為拋物線）

（1）自變量取全體實數(shù)

一般式：y=ax2+bx+c[a,b、c為常數(shù)，aWO）,其中（0,c）為拋物線與y軸的交點;

頂點式：y=a（x—h）2+k（a、h、k為常數(shù)，aWO）,其中（h,k）為拋物線頂點;

零點式：y—a（x~xi）（x~（a、Xi、X2為常數(shù)，aWO）其中（xi，0）、（X2，0）

為拋物線與x軸的交點。xi、X2=一"±"2一4竺-4ac20）

2a

（2）性質(zhì)：

h

①對稱軸：x=——或x=6；

2a

de上zb4ac-h2、一八，、

②頂點：（———，-------）或（h,k）；

2a4a

③最值：當(dāng)X=-2時，y有最大（?。┲?，為小

2a4a

或當(dāng)x=6時，y有最大（?。┲?，為k；

④

拋物線a>0a<0

開口方向向上向下

y

圖象

rr

k

\.

1

h1V

增減性當(dāng)xv-2時，y隨x的增大而減小當(dāng)XV一二b時，y隨X的增大而增大

2a2a

當(dāng)x>一2時，y隨X的增大而增大當(dāng)x>—2時，y隨x的增大而減小

2a2a

第四章統(tǒng)計

一、基本概念

（1）普查與抽樣調(diào)查、總體與個體

（2）樣本與樣本容量（無單位）

注明：當(dāng)樣本在總體中合適或具有典型性時，才可從局部結(jié)論推廣到整體；

不同抽樣數(shù)據(jù)有差異。

（3）頻數(shù)與頻率

頻數(shù)

頻率注：頻數(shù)之和=總次數(shù)；頻率之和=1。

總次數(shù)

二、基本計算公式

（1）刻畫一組數(shù)據(jù)的集中程度

①平均數(shù)；

算術(shù)平均數(shù)：X=—（X1+X2+…+X/7）

n

加權(quán)平均數(shù)：［=.%+?=+???+/%,（其中Wj為權(quán)重，W1+W2+…+WA可以

w1+w2+…+%

為1）

*力+/'+...+項上,（其中力為頻數(shù)，fl+f2+...+fk=n）

fl+fz++fk

②中位數(shù)；

③眾數(shù)（可以不是數(shù)字）。

（2）刻畫一組數(shù)據(jù)的離散或波動程度

①極差；

極差=最大值一最小值

②方差；

S2=—［（X1—x）+（X2—X）H-------F（xn-X）'）］

n

③標(biāo)準(zhǔn)差。

s=JF（標(biāo)準(zhǔn)差比方差常用）

三、統(tǒng)計圖表

（1）統(tǒng)計表格（其中頻數(shù)分布表格較常用）

（2）統(tǒng)計圖形

①條形統(tǒng)計圖；②折線統(tǒng)計圖；③扇形統(tǒng)計圖；④頻數(shù)分布直方圖：⑤頻數(shù)折線圖…

第五章概率

一、必然事件、不可能事件、不確定事件

P（必然事件）=1;P（不可能事件）=0;0<P（不確定事件）<1。

二、求概率

（1）用模擬實驗的方法估計算概率

（2）用樹狀圖和列表法計算概率

注意：等可能性與游戲規(guī)則的公平性；不放回與有放回情形。

不等式知識點大全一

考試內(nèi)容：

不等式.不等式的基本性質(zhì).不等式的證明.不等式的解法.含絕對值的不等式.

考試要求：

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明.

（2）掌握兩個（不擴(kuò)展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,

并會簡單的應(yīng)用.

（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式.

（4）掌握簡單不等式的解法.

（5）理解不等式|a|-|b|W|a+b|W|a|+|b|

§06.不等式知識要點

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）號的定義：a-b>0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a<b.

（2）不等式的分類：絕對不等式；條件不等式；矛盾不等式.

（3）同向不等式與異向不等式.

（4）同解不等式與不等式的同解變形.

2.不等式的基本性質(zhì)

（1）a>bob<a（對稱性）

（2）a>h,h>c=>a>c（傳遞性）

（3）a>b=a+c〉b+c（力口法單調(diào)性）

（4）a>b,c>da+c>b+d（同向不等式相加）

（5）a>b,c<da-c>b-d（異向不等式相減）

(6)a.>h,c>0ac>he

（7）a>byc<0ac<be（乘法單調(diào)性）

（8）a>b>0,c>d>0=>ac>bd（同向不等式相乘）

（9）a>b>0,0<c<T>2（異向不等式相除）

cd

（10）a>b,ab>0=>—<—（倒數(shù)關(guān)系）

ab

（IDa>b>0=a">b"（"eZ,且（平方法則）

（12）a>/>>0n爪>^（“eZ,且">1）（開方法則）

3.兒個重要不等式

（1）若aeR,則|。色0,0220

（2）若a、beR+,則”2+62±2"（或<?+￡>2221a昨2"）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

（3）如果a力都是正數(shù)，那么疝4土土（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

2

極值定理：若x,y€R+,x+y=S,xy=P,則：

①如果P是定值那么當(dāng)x可時，S的值最??；

②如果S是定值，那么當(dāng)x=y時，P的值最大.

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

⑷若a、慶ceR，,則”如2膩（當(dāng)僅當(dāng)a=b=C時取等號）

3

⑸若帥>0,則（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）

ah

22

(6)。>0時/ox<-〃或X>Q;\x\<a<=>x<a<^>-a<x<a

(7)若a、bwR,則||a|-16|兇a±b國a|+1b|

4.幾個著名不等式

(1)平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么2，嬴，a+叱比^(當(dāng)僅當(dāng)a=b

-1-

ab

時取等號)即：平方平均2算術(shù)平均2兒何平均2調(diào)和平均(Q、b為正數(shù))：

特別地，ab<(-)2<^^-(當(dāng)a=b時?，(色3)2=色*=")

2222

“2+[+Y>("+；+[(a,b,cwR,a=b=c時取等)

平均不等式：a；+詼+...+《：2—(/+牝+..?+a4)~

n

注:例如：(ac+W)2<(6i2+Z?2)(c2+J2).

常用不等式的放縮法：①_1一二_=_^Y3Y—^=—L_L(〃22)

nn+\n(n+1)n'n(n—1)M—1n

②Jn+l--Jn--r="―IY—Y—r=_]i--------=4n--1(">1)

J〃+Jn+1y/n+y/n-\

(2)柯西不等式：若生,<?2，。3,…，冊eR,々也也…，2eR;則,,,,,,

(6Z|/?|+a2b2+為與+…+a"b”)2V(a；+a：+a；+…+a：)(bj++b；+…b：)

當(dāng)且僅當(dāng)"""…=4■時取等號

仇%打踵

(3)琴生不等式(特例)與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對于定義域中任意兩點X”X2(X尸匕),有

Xi+Xj/(x,)+/(x,).f(Xt+X2s/(x,)+/(x2)

J22J22

則稱f(x)為凸(或凹)函數(shù).

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.

特例①一元一次不等式ax〉b解的討論；

②一元二次不等式aV+bx+cXKaWO）解的討論.

（2）分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

gW八年」g（r）[g（x）=O

（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

/(.v)ao

=＞定義域

J(x)>g(x)

77Cr)>S(x)?|g(x)20或素;fM>o

②g(6zo

fM<[g(x)]2

（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

afM>asM(a>1)<=>f(x)>g(x);a,M>如《>(0<a<1)of(x)<g(x)

afw>h(a>0,/?>0)<?f(x)\ga>\gh

(5)對數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

7?>0[/(%)>0

log?f{x}>log?g(x)(a>1)=<g(x)>0;log(,/(x)>log”g(x)(0<a<1)<=>-g(x)>0

,f(x)>g(x)[/(x)<g(x)

(6)含絕對值不等式

①應(yīng)用分類討論思想去絕對值；②應(yīng)用數(shù)形思想；

③應(yīng)用化歸思想等價轉(zhuǎn)化

I/(X)|<g(x)o{§(/)<y(x)<g(x)

"(x)|>g(x)og(x)<0(〃x),g(x)不同時為。)或{盟Ug(x)騎(x)>g(x)

注：常用不等式的解法舉例（X為正數(shù)）：

①X（1—X）2=；.2X（1-幻（1-X）4；（$3=（

類彳以于〉=5畝%?052%=411犬（1-5泊2幻，③|x+4=|x|+|1|（x與1同號，故取等）42

XXX

分式方程知識點復(fù)習(xí)總結(jié)大全

17.1分式及其基本性質(zhì)

1.分式的概念

A

形如3①、8是整式，且B中含有字母，BWO）的式子，叫做分式,其中4叫做分

式的分子,B叫做分式的分母

整式和分式統(tǒng)稱有理式，即有有理式|整式，分式.

2.分式的基本性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變.

與分?jǐn)?shù)類似，根據(jù)分式的基本性，可以對分式進(jìn)行約分和通分.

分析分式的約分，即要求把分子與分母的公因式約去.為此，首先要找出

分子與分母的公因式.

分式的通分，即要求把幾個異分母的分式分別化為原來的分式相等的

同分母的分式.通分的關(guān)鍵是確定兒個分式的公分母，通常取各分母所有因式的

最高次累的積作為公分母（叫做最簡公分母）.

§17.2分式的運算

1.分式的乘除法

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.如果得到的不是最簡分

式，應(yīng)該通過約分進(jìn)行化簡.

分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.

2.分式的加減法

同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減.

§17.3可化為一元一次方程的分式方程

概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知數(shù)，像這樣的方程叫做分式方程.

在將分式方程變形為整式方程時，方程兩邊同乘以一個含未知數(shù)的整式，并約去了

分母，有時可能產(chǎn)生不適合原分式方程的解(或根)，這種根通常稱為增根.因此，在解

分式方程時必須進(jìn)行檢驗

10030

例2解方程：xx-7.

解方程兩邊同乘以x(x-7),約去分母，得

100(x-7)=30x.

解這個整式方程，得

x=10.

檢驗：把x=10代入x(x-7),得

10X(10-7)W0

所以，x=10是原方程的解.

§17.4零指數(shù)幕與負(fù)整指數(shù)幕

任何不等于零的數(shù)的零次第都等于1

任何不等于零的數(shù)的一n（n為正整數(shù)）次幕，等于這個數(shù)的n次幕的倒數(shù).

知識要點總結(jié)注意問題題型

分式的概念及有意義的A分母分式已知%2—4

3的形式且B中有字母

條件

B4x+2

-才有意義

B

當(dāng)X為何值時，分式有意義？

兀不是分式

當(dāng)X為何值時，分式無意義？

分式值為0的條件分子等于0,分母不等于0二者必須同時滿當(dāng)X為何值時，分式的值為零？

足，缺一不可

（4）當(dāng)x=-3時，分式的值是

多少？

分式的基本性質(zhì)不改變分式的值，使下列各式的

AA?MA^MMwO/wO,且

B一B?M一B+M分子或分母中最高次項的系數(shù)都

均表示的是正微ac/八、

——=——（c。0）

是整式2b2bc'）

分式的符號法則AA分式約分

A-A-AA,B或勺二者同

萬一金-"

B確定公因式

—A-A-AA

或—---------=—時改變其中兩個

B-BB-B

的符號，分式的值

不變

約分把分式中的分子、分母的公因約分是一個恒等確定最簡公分母

式約去的變形過程叫約分變形。找最大公因

通分

式是關(guān)鍵

通分把幾個異分母分式分別化為通分前后分式的

與原分式相等的同分母分式值不變；找最簡公

的變形過程叫通分。分母是通分的關(guān)

鍵

知識要點方法題型

公因式找公因式的方法：確定公因式并約分：

（1）分子分母是單項式時，先找分子分母系

數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母的最低次第，i-3a354c

它們的積就是公因式(1)---------

12ab3

（2）分子分母是多項式時，先把多項式因式

分解，再按（1）中的方法找公因式-4ab+4b2

⑵22

最簡公分母找最簡公分母到方法（分母均為單項式）確定最簡公分母并通分：

1、各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)。

15

2、各分母所含所有因式或字母的最高次豪。（1）--，

3、所得的系數(shù)與各字母（或因式）的最高次3x12盯

幕的積（其中系數(shù)都取正數(shù)）

找最簡公分母到方法（分母均為多項式）1X

1、先把分母因式分解。

(2—x)2Y-4

2、各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)。

3、各分母所含所有因式的最高次幕。

4、所得的系數(shù)與各字母（或因式）的最高次

事的積（其中系數(shù)都取正數(shù)）(2)

小結(jié)

一、知識結(jié)構(gòu)

二、注意事項

1.分式的基本性質(zhì)及分式的運算與分?jǐn)?shù)的情形類似，因而在學(xué)習(xí)過程中，

要注意不斷地與分?jǐn)?shù)情形進(jìn)行類比，以加深對新知識的理解.

2.解分式方程的思想是把含有未知數(shù)的分母去掉，從而將分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程來解，這時可能會出現(xiàn)增根，必須進(jìn)行檢驗.學(xué)習(xí)時，要理解增根產(chǎn)生

的原因，認(rèn)識到檢驗的必要性，并會進(jìn)行檢驗.

3.由于引進(jìn)了零指數(shù)基與負(fù)整指數(shù)基，絕對值較小的數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)

法來表示.

一次函數(shù)知識點梳理三

1、變量：在一個變化過程中可以取不同數(shù)值的量。

常量：在一個變化過程中只能取同一數(shù)值的量。

2、函數(shù)：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y,并且對于x的每一個

確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為

因變量，y是x的函數(shù)。

*判斷Y是否為X的函數(shù)，只要看X取值確定的時候，Y是否有唯一確定的值與之對

應(yīng)

3,定義域：一般的，一個函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個函數(shù)的定義域。

4、確定函數(shù)定義域的方法:

（1）關(guān)系式為整式時，函數(shù)定義域為全體實數(shù)；

（2）關(guān)系式含有分式時，分式的分母不等于零；

（3）關(guān)系式含有二次根式時，被開放方數(shù)大于等于零；

（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時，底數(shù)不等于零；

（5）實際問題中，函數(shù)定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。

5、函數(shù)的解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做函數(shù)的解

析式

6、函數(shù)的圖像

一般來說，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應(yīng)值分別作為點的

橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象.

7、描點法畫函數(shù)圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應(yīng)的函數(shù)值）；

第二步：指點（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為

縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對應(yīng)的各點）：第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的

順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。

8、函數(shù)的表示方法

列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與

函數(shù)之間的對應(yīng)規(guī)律。

解析式法：簡單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)

系，但有些實際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。

A.一次函數(shù)

1、一次函數(shù)的定義

一般地，形如）'=履+，（k,。是常數(shù)，且的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x

是自變量。當(dāng)匕=°時，一次函數(shù)）'=履，又叫做正比例函數(shù)。

⑴-次函數(shù)的解析式的形式是丫=履+',要判斷一個函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判

斷是否能化成以上形式.

⑵當(dāng)6=0,%#0時，）'=履仍是一次函數(shù).

⑶當(dāng)6=0,%=。時?，它不是一次函數(shù).

⑷正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù).

2、正比例函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k*0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).

注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx（k不為零）①k不為零②x指數(shù)為1③b取零

當(dāng)k〉0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；

當(dāng)k<0時，直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.

（1）解析式：y=kx（k是常數(shù)，kWO）

⑵必過點：（0,0）、（1,k）

⑶走向：k>0時，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時，圖像經(jīng)過二、四象限

（4）增減性：k〉0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小

（5）傾斜度：k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

3、一次函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，kwO）,那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時，y=kx

+1）即丫=1?,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=k