2023年甘肅省隴南市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案)

2023年甘肅省隴南市統(tǒng)招專升本數(shù)學(xué)自考

真題（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

、單選題（30題）

1.

卜列無窮級(jí)數(shù)中，發(fā)散的是）

A.XZ/1（一1）”

B.SC.Z夕懸吊

OD,E

N-11\/n11J

2.

袋中有5個(gè)白球,2個(gè)紅球，第一次取出一球,不放回，第二次再取出一球，則兩次取出

的都是白球的倭率是

10

A?瑞RBc—D

-21-84

3.

設(shè)L=口ln（l+Y=jj（x24■爐）匕?則以卜結(jié)論成立的是（）

A.I,<hB.L>It

C.I,=/,D.L與&的大小不能磷定

4.

曲線）=甘^的漸近線

A.僅有水平漸近線B.既有水平又有垂直漸近線

C.僅有垂直漸近線D.既無水平也無垂直漸近線

5.

曲線八外=三三三的水平漸近線為（）

3.廠

22

A.y=wB.?=——

?5O

11

c.J-=D.y=—

T3

6.

函數(shù)/(z)=ig(jN+1—h)在(-8,+oo)是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

c.非奇非偶函數(shù)D.既奇又偶函數(shù)

7.

設(shè)lim'+：”=3,則a,b分別為()

xfix-1

A.1,1B.-1,—2C.—2,1D.1,—2

8.

極限lim五三的值是

()

J7-1

A.B?5C.3D.不存在

0o

9.

lim/(x)=oo/img(x)=8,則必有(

XT。X->O

A.lim[/(x)+g(x)]=ooB.lim[/(x)-g(x)]=0

JCT0XT。

C.lim----------------=0D.Iim4f(x)=oo,(人00)

…/(x)+g(x)XT。

10.

微分方程,-8/+16y=xe4x的特解形式可設(shè)為y*=()

A.[Ax+B)t'xB.Axe4xC.加可D.(Ax3+Bx2)eAx

11.

-JJ

.已知d[e/(J)J=edj*,/(0)=。?貝lj/(j)=()

A.e2j+eJB.e2x-exC.e2j+e;D.e2j-e：

12.

.由方程,ry=C確定的隱函數(shù)z(y)的導(dǎo)數(shù)半=

)

“dy

A-1)oy(w-1)

v(l-.r)v)

(、1y(*+1)D+1)

?小一1)'一(1一1)

13.

.下列級(jí)數(shù)發(fā)散的是

OO

A』B.斗一D"!

”=1〃

cylD七（T），

M，產(chǎn)?=1〃

下列結(jié)論不正確的是（）

A.單調(diào)有界數(shù)列必有極限

B.極限存在的數(shù)列必為有界數(shù)列

C.lim/（x）存在的充分必要條件是左、右極限都存在

14.D.0是無窮小量

15.

下列哪個(gè)式子是不正確的

A.limc""=0B.lime^=1

n?48n-oo

C.lim-；----=1D.Iim（1+"）:=e

J-1J"-1?-0

16.

現(xiàn)考察某教室多媒體使用情況?事件A=｛多媒體正常工作2年）,事件B=｛多媒體正

常工作3年，，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.ACBB.AZ）B

C.A與E互不相關(guān)D.Af]B=0

17.

設(shè)X的分布為

X0123

P0.10.30.40.2

F(T)為其分布函數(shù).則F(2)=

A.0.2B.0.4

C.0.8D.1

18.

已知ai,a2服業(yè)(r都是三維列向量，且行列式的,優(yōu)I=Iai，4I=Ia2，氏，y

a?,住，yI=3,則|—3y,ai—a??仇+2住|=(

A.18B.-36

C.-54D.-96

19.

.若，(工)連續(xù)*則下列等式正確的是

A.Jd/(vf)=f(jr)B.d]/(.r)d.r=/(.r)

C.J/7(J)dJ-=/(.r)D.dj/(j'2)dz=f(jc2)d.r

20.

函數(shù)/(m)=3|z[-在點(diǎn)？=0處是

A.解析的B.可導(dǎo)的

C.不可導(dǎo)的D.既不解析也不可導(dǎo)

21.

下列說法正確的是(

03

A.若發(fā)散.則w;上收斂

N=1W=1%

OOCX?TO

B.若X"”，2a都發(fā)散，則?%+七”)發(fā)散

w—1n—ln-1

SM

c.若Xu“收斂，則X“用收斂

??=1?=1

V,OOCC

D.若￡u?,Xp”都發(fā)散，則￡(unv?)發(fā)散

n-1?—Ln-I

22.

,設(shè)y=COS],則y2016)=

A.一cosiB.cos.r

C.一siniD.sin文

23.

設(shè)/(r)=sin/—co",則FI/(r)1為)

A.7ticTTTi[<J(w4-1)—<J(w—1)]

B.-y沁*”[合(zr-1)—8(w—1)J

C.而[6(w—1)—5(u1-1)_

D,怎iu亭1)-^(w-1>]

下列積分中，其值為零的是()

2_fiex-e"x,

A.|^V4-xdxB.dx

L2

C.f*(x2-3)dxD.j’sin2xdx

24.—

25.

戶工一1

才=0是函數(shù)/(了)=-~~—的()

A.可去間斷點(diǎn)B.跳躍間斷點(diǎn)C.無窮間斷點(diǎn)D.振蕩間斷點(diǎn)

26.

設(shè)曲線y=/+彳-2在點(diǎn)M處的切線斜率為3,則點(diǎn)M的坐標(biāo)是

A.(—2.0)B.(1,0)

C.(0,-2)D.(2,4)

27.

下列結(jié)論不正確的是()

r1

A.------rdx=arctanx+C

Jl-x2

r1

C.3dx=arcsinx+C

28.

曲線,v=e^arcian<的漸近線的條數(shù)為()

Q—1)(.r+Z)

A.0B.1C.3D.2

29.

微分方程/-4>=0的通解為()

2x-2x

A.y=Ge+C2eB.y=Gc"+C2?f

C.y=Cix±Cx22

2D.y=G^T+C2X-

30.

rJT+1?1)0,

曲線/(z)=1在點(diǎn)(0,1)處的切線斜率是()

|1+sinjt*,jt*V0,

A.0B.1C.2D.3

二、填空題（20題）

31.

已知a={-1,1,2}"={3,0,4}.則a在b上的投影為.

設(shè)f(0)=1,//(0)=1+i,則lim，(~)—

r>1>Z

已知當(dāng)If0時(shí)J產(chǎn)出與丁。是同階無窮小，則常數(shù)。=

33.

34微分方程（）''）'+2.Ny'），-ry=0的階數(shù)是

35.微分方程sec—tanycLr+secZytaudy=0的通解為

36.

，sin.r+e'u—1

1r0,

設(shè)f(x)=J"

在才=0處連續(xù)，則a=

x=0

37設(shè)函數(shù)/'(ln.r)=2z+l,則/”。⑻G)=

若P>1,則Lp-d.r=

38.

39微分方程2dV+ylnjdr=0的通解為

40設(shè)V—ln_y2Mnz=。確定了函數(shù)y=y(_r),則y=

函數(shù)y=[ln(1—J?)]2的微分dy=

41.

n___.

J.x3Vl-x2dx=.

42,《_

"2+cosz,

不定積分

43..2z+sin.r

已知/(x)=e7,則

不定積分/J~~r-dr=

JJC(X—1)----------

45.

力n

幕級(jí)數(shù)Z=(0<P<1)的收斂域?yàn)橐?/p>

46,"=1M

474為3階矩陣，且|A|=2,貝I」|-3A|=

向半圓0VyVy2ar-x2(a>0)內(nèi)任擲一點(diǎn).點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率均與該

區(qū)域的面積成正比.則該點(diǎn)與原點(diǎn)連線與，軸的夾角小玲的概率為

0'

47、

設(shè)矩陣方程XA=B，其中4=2，則X

59,

0)

設(shè)a=(1?］，J)=(1J.1)「，則4=

50.--

三、計(jì)算題(15題)

計(jì)算二重積分「七工學(xué)dy.

51.

52

算

、I

丁T丁dj-dv，其中。是由彳=0,V=1和》==/所圍成的區(qū)域.

|(l-cosr)d/

求極限lim

XTOx-tanx

53.

求(JT+1)sinjrdx.

54.

求曲線)=arciamr才的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).

55.

計(jì)算定積分「COSy/xdx.

56.Jo

57.

求函數(shù)之)=ary2+z3—之在點(diǎn)(—1.1,2)處沿方向/=(-1,1,—1｝的

方向?qū)?shù).

58.

設(shè)y=/(lnz)e",其中/(X)可微，且〃0)=1,并在x=1處取得極小值0.

求求

J-t

設(shè)函數(shù)/(.r)=lim.r(14-3z)~,求

59."一

yn+2y'+^=0,

求微分方程，歹|*=4,的特解.

求微分方程q"—2/=/3+才的通解.

61.

函數(shù)y=八］）由方程歹=工+arccosCxjr）確定?求y.

62.

求解微分方程xyf—y=

63.

64.

IQr

設(shè)A=（）20?/=

.1°1,

（1）求出AI,問A?I是否可逆,若可逆說明理由，并求出（A-IL；

（2）問是否存在主階矩陣X,使得AX+I=A。十X,若存在，求出矩陣X.

65.

sinz-rcosr確定，求卓

設(shè)函數(shù).y=y（Jr）由參數(shù)方程1=cost,y=

dj-31

四、證明題（10題）

66.證明：當(dāng)式時(shí)，zsinal2cosx<2.

67.

設(shè)函數(shù)/（z）在閉區(qū)間［0,4上連續(xù)，在開區(qū)間（0，n）內(nèi)可導(dǎo).證明在開區(qū)間（0,兀）內(nèi)至

少存在一點(diǎn)8使得/（^）sin^=—/（^）cos$.

68.

證明：方程3?一1一「丁/=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)有唯一實(shí)數(shù)根.

Jo1+產(chǎn)

69.

設(shè)函數(shù)F（?=—（］>。），其中""在區(qū)間［八十8）上連續(xù)/（外在

（a.+8）內(nèi)存在且大于零.求證：FQ）在（a.+8）內(nèi)單調(diào)遞增.

70.

設(shè)平面圖形D由曲線z=24~=/=與直線y=1圍成，試求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

71.

設(shè)函數(shù)/（x）在口，3］上連續(xù)，在（1,3）內(nèi)可導(dǎo).且八3）=（）,證明：至少存在一點(diǎn)

SG（1，3）.使占?）In￡+/（。=0.

、-cfab-a.bb-a

當(dāng)方>a>0,證明----<ln—<------.

72.baa

設(shè)eVaVbVe?,證明ln26—In2a>冬（。一a）.

73.e,

74.

凝如⑴幽1］上醺儕且肝［。』］上的豌飾搦楓麴/⑴相

0</（《w1,證明:在［0,1］上至少有一點(diǎn)&使得/（f）=&

設(shè)eVaV6Ve2,證明In2/?—In2a>&（b-a）.

75.e

五、應(yīng)用題（10題）

76.

某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每多生產(chǎn)一噸該產(chǎn)品，成本增加5萬

元，該產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為必（。）=10-0.02。，其中Q（單位：噸）為產(chǎn)量.

試求：（1）該產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)；

（2）該產(chǎn)品的總收入函數(shù)；

（3）。為多少時(shí)，該廠總利潤乙最大？最大利潤是多少？

平面圖形。由曲線3,=G?直線1y=N-2及X軸所圍成.

（1）求此平面圖形的面積；

77（2）求此平面圖形繞才軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

78.

某工廠生產(chǎn)x件商品的總成本C（x）=1000+10x,當(dāng)銷售價(jià)格為10（百元/件）時(shí)，

銷售量為600件，銷售價(jià)格每提升1C百元/件），則銷售量將會(huì)減少60件，

問：當(dāng)每件的銷售價(jià)格定為多少時(shí)，利潤最大？最大利潤是多少？

79.

曲線y=與直線y=心（0vav1）及、［'=1圍成兩個(gè)平面圖形,求當(dāng)a為何值時(shí)，

兩個(gè)平面圖形繞.r軸旋轉(zhuǎn)一周所得的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之和最小.

80.

某公司主營業(yè)務(wù)是生產(chǎn)自行車,而且產(chǎn)銷平衡，公司的成本函數(shù)<Xr）=40000+200.7--

0.002/.收入函數(shù)RQ）=350.r-0.004/*則生產(chǎn)多少輛自行車時(shí)，公司的利潤最大？

81.

過點(diǎn)（1,0）作拋物線3>=，:口■的切線，求這條切線、拋物線及軸所圍成的平面圖

形繞r軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積V.

平面圖形。由曲線3=,直線》=N—2及X軸所圍成.

（1）求此平面圖形的面積；

”（2）求此平面圖形繞7軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

o2.

83.

求曲線丁=\nx在區(qū)間（2,6）內(nèi)的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與直線x=2,0：=6以及

y=Imr所圍成的平面圖形面積最小.

以改D地加曲線j=y=2和”軸理偃咸的平向區(qū)域.

o4.

求：：1）平面區(qū)減D的面積S：

<2）D燒>，拍旋話一周而成的旋話體忖體積V.

85.

設(shè)平面圖形D是由曲線y=e，，直線y=e及y軸所圍成的?求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

六、綜合題（2題）

86.

設(shè)函數(shù)人才)滿足微分方程zf'CH-2/(力=-(a+l)jr(其中a為正常數(shù))，且f(l)

1,由曲線￥=/(工)(741)與直線工=l.y=O所圍成的平面圖形記為D,已知D的面積

求：(1)函數(shù)八上)的表達(dá)式;

(2)求平面圖形D繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積匕.

87.

設(shè)/(X)在(-8,4-00)卜.連續(xù)，令P(JC)=⑴dt(a>0)>G(x)=f/(r)dt,

J0

(1)試用GQ)表示尸《力;

(2)求limF(z).

參考答案

1.D

I

【精析】則管至=㈣石法=1,因?yàn)镻級(jí)數(shù)各高發(fā)散.則￡標(biāo)品

發(fā)散,故應(yīng)選D.

-答案]B

【解析】P(A)表示兩次取出的都足自己求的概率.

p(A)=G=12

CJ-Cl7X62V

Z.￡)

3A【解析】當(dāng)工2十丁=1時(shí)，ln(l+/+y2)V，卜/.故選A.

4.B

【精析】lim蕓-十)=0.lim]=8,

才-8、廠—3—七代、廠—3

所以V=0是水平漸近線一=±乃是垂直漸近線,故應(yīng)選B.

5.C

【精析】lim/Q)==[.則■為曲線八《)的一條水平漸近線.故應(yīng)

x-?oox-*ooo3

選c.

6.A

[精析]/(-.r)=lg(/r2+1+JT)=1g(+1'+'

(Zr2+1-J-)

=Ig1i---=-lg(+]—a、)=—/(,r)，

\/xz~r1—a

故/(i)為奇函數(shù)?故應(yīng)選A.

7DD【評(píng)注】將D的結(jié)果代入極限式左端得

(D&+2)=Hm(x+2)=3,故選D.

【精析】lim八十8一3送上=.立守=9故應(yīng)選B.

LlX—1LI16

9.D

D【評(píng)注】顯然有1,1+xs=oo,lini|—+x=oo；

)x>

A不對(duì).如仕+x]+-—=limx=0*oo;

XJI。*

B不對(duì).如limf-+JC^—]~\(2、

-+x=800；

/（X）JtJJ

C不對(duì).如Hm----L——-=lim-=oo^OJD正確.可由無窮大定義證明.

z。，11一XT。X

+X+

x-c

10.D

［答案］B

【精析】由d［e-r/(j>］=e"dr得e~Tf(x)=eJ+C,

即/(JC)=e2x+CeL把/(O)=0代入得C=-1.

ll.B，(1)=e2z—e*.故應(yīng)選B.

12.A

方程兩邊對(duì)y求導(dǎo).其中工看作y的函數(shù),+z=+所以

，d.rJC-c'+，JC-.ryx(y-1)田、生、

7=廠=------=-------=-ri----------;，故選A.

dVc?-vxy-yy(1-x)

乜A【精析】選項(xiàng)A為調(diào)和級(jí)數(shù).可知其發(fā)散.

14.C

C

【評(píng)注】C不正確，因?yàn)閘im/(x)存在的充分必要條件是左、右極限都存在且相等.

X->X0

15.C

limA_7=lim--工彳葭！~~~=lim-^―r=?，故應(yīng)選C.

x-1x—1"t(①+1)(.r-1),ta”+12

16.B

【精析】多媒體正常工作3年，則一定也工作了2年，即B發(fā)生了，A也一定發(fā)生;反過

來，正常工作2年不一定就能正常工作3年，即A發(fā)生，B不一定發(fā)生，則BUA,故

應(yīng)選B.

17.C

［答案］c

，0,T<C0?

0.1,o《xV1?

【精析】分布函數(shù)FQ)0.4.1w*v2?則F(2)=0.8?故應(yīng)選

0.8,2W.rV3,

1,i23?

18.C

I—3y??!H-'P',—2—|=|-3yffii+2flz+1—3月，5.4+2生=—3

I丫,小4\一3y.tti.2生|—3Iy.a?遇J—3y.a?,2從！=—31al“，yI—6|%,

Pi'YI-'3a2./J,,y—6|a?-P：,yI==~3X3—6X3—3X3—6X3=-54.

19.D

[d/(.r)=/(a)+C,A錯(cuò)，dj/(_r)clr=/(H)CU,B錯(cuò).|/(.r)dr=,/(,r)+C,C錯(cuò)，

D正確.

20.B

[答案]B

【精析】函數(shù)解析必可導(dǎo)而可導(dǎo)未必解析,—=3|zI在z=0處可導(dǎo)但不解析.

21.C

【精析】增加或減少數(shù)列的前有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性，故C項(xiàng)正確.

22.B

[答案1B

【精析】因?yàn)?cos"">=COS卜'+手).

則(cos])""，'=cos(r+里學(xué)工)=cos(.r+1008K)=cosw.故應(yīng)選B.

[答案]D

【精析】/(，)=sin/+cos'=y2sin〃+：]?

23.D?&J

F[/(Q]=F[岳in,+于)]

=V^c("F[sin⑺]

=-\/2^7tic~lu?[》(w+1)—d(it'—1)].

24.B

B

【評(píng)注】A.定積分J：7fdr的被積函數(shù)為在積分區(qū)間(-2,2)恒大于零，

所以J：67dx必定大于0;B.的被積函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)“奇函數(shù)在

對(duì)稱區(qū)間上的定積分為零”這個(gè)性質(zhì)，可知出等于°；C.￡(寸-3粒的被

積函數(shù)為(/一3),在積分區(qū)間上上恒小于0,所以「1一3粒必定小于0；

D.fxsin2;ak的被積函數(shù)為偶函數(shù)，所以「xsin24=2「xsinZrdr,因?yàn)楸环e函數(shù)

xsin2x在積分區(qū)間(0,1)上恒大于0,所以fxsin如ix必定大于0,即J，sin2；aix必

定大于0.

25.C

［答案1C

【精析】因?yàn)椤耙?時(shí)@-1與7為等價(jià)無窮小量，故--1為/的低階無窮小量.

因此可判斷才=0為f(x)=匚」的無窮間斷點(diǎn)，本題選C.

26.B

匚答案］B

【精析】y'=2.r+1,令，=2x+1=3,得I=1.所以y=0.故M(1,0).

27.A

28.D

［答案1D

【精析】limevarctan/大七二=$故>=牛是曲線的水平漸近線；

limc^arctan，，二.=8,故父=0是曲線的垂直漸近線；

才，、+［

吁1-c±'arctanG—D1Q++12?=亍n?1呼-e±,arc.tan+.21=一故r=1不T

是曲線的漸近線；

limarctan大:甘:=%5?limarctan"二八=—寺e”，故

.r=-2不是曲線的漸近線，故曲線只有兩條漸近線.

29.A

【精析】該方程是二階常系數(shù)齊次微分方程，對(duì)應(yīng)的特征根為為=2,左=—2.故其通

解為>=Ge?，十Ge",故應(yīng)選A.

30.B

【精析】1=0為函數(shù)的分段點(diǎn)，故在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)需要分別求左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)(0)=

Jr

lim1+si*_I=［jm魚U—1,f+(0)=lim'+1八1=1,故/(0)=1,則函數(shù)在

點(diǎn)(0,1)處的切線斜率為1.

31.

【精析】a在8上投影為|a|cos<a.ft>=，人

Ib|

而|b|=-32+02+42=5,

a?b=(-1)?3+1?0+2?4=5.

1因此IaIcos<a.Z>>=1.

32.

［答案］1+i

［精析］lim/(Z)-1=Mi"z)—((0)

LUZLUZ-0

1+i—//(O)=1H-i.

33.3

【精析】lim=lim(sinx)二cosz=［沁三，由已知條件得2=a—1.

T*QJCX-Oaxax

故Q=3.

34.2

［答案12

【精析】由于微分方程的階數(shù)即未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù),故階數(shù)為2.

35.

tarkrtany=('

2F

【精析】由secJtanjd^+se^vtan.rd^=0,得tan.ycKtan.r)+tanzd(tany)=0.

即d(tanjtan,y)=0.所以tanxtanjr=C(C為任意常數(shù)).

36.

-1

[答案1-1

【精析】八])在1=0處連續(xù),則lim也匚士二二1=八0),即lim迎士二二J

x-*VuT/

lim'"+lim------=1+2a=a,a=-1.

?r-*0.1"J?-*0JT

37.

2/

因?yàn)閞(Imr)=2.r+l=2c出+L所以/(.r)=2c'+1削*>&)=2c'.

38.

1

P-1

【精析】當(dāng)戶>1時(shí).j[d.r=]1=]1〃-^7=Ji

J)JCP1—P]1—/>X1^I/>—1

39.

才lny=C(C為任意常數(shù))

[答案1±lny=C(C為任意常數(shù))

【精析】由.rd.y+.ylnydz=0,得—j^-,d.y=^clr,而In|In.y|+InI工|=In||,即.rln.y

=c,c為任意常數(shù).

40.

2)(1+Inz)

1十3

【精析】因.y+Iny—2/lnjr=。，令F(?y)=y4-Iny—2.rln.r,

in||J=_巳(工0》_21nz+2_2.y(l-rlar)

iy~F,Cr，y)—]+JLl+.y*

y

41.

21n(1—x)

dr

JC—1

【精析】因y'=21n(1—i)?4?(-D=犯一，故"=幽

1—T1—11一1

42.0

0

【評(píng)注】定積分上下限關(guān)于0對(duì)稱，且被積函數(shù)為奇函數(shù)，可知結(jié)果為0.

43.

ln(2.r+sin.r)+C

2+COSE.］

o~~-did(21+sina)=ln(2JC+sin.z)+C.

Zx+sinJ;2①+sina-

44.

【評(píng)注】本題考查換元法求積分

J；w=J；f(x'')d(-x-,)=￡/［一)d(-尸)=e"［；=e』-e".

2222

45.

yin|j'2-1|—In|x|+C

［答案1|/一1|一］n|z|+C

［精析］］~r-dj-=［/---+y?—V-j-+y*1iWJ，

JJC(JT-1)JIi2w十1ZJ-—1/

=—In|x|+-yin|Jt'+1|+-1"ln|-1|+C

乙乙

=-^-ln|.r2—1|—In|J-|+C.

46.

［-U)

[-U)

【評(píng)注】因?yàn)镽=li1,又當(dāng)x=l時(shí)，級(jí)數(shù)為

("+1)P

冬，（0<0《1）發(fā)散，當(dāng)x=-l時(shí)，級(jí)數(shù)為（0<p<l）,這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),

其通項(xiàng)〃”單調(diào)減少且lim/=0,級(jí)數(shù)收斂，綜上，相級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?］」）.

rt-xn

47,-54

答案」—5」

【精析】I—3A1=（一3尸|A|=-27?2=—54.

48.

1±

2丁+n

1：答案］4+-

N7t

【精析】此問題為幾何概型問題，半圓面積為Si=￡■1?

點(diǎn)與原點(diǎn)連線與1軸夾角小于手的面積為Sz=午/+梟2.

442

所以p=3=4?十L

49.

:9-7、

-108

-97

7

50.

［答案］（V）

fl〕

【精析】磔1=（1+1+1）

51.

【精析】由被積函數(shù)形式可知原二重積分計(jì)算比較復(fù)雜，故先交換積分次序,再計(jì)

算，即

CO

fdjrfcos^dy=[dj^f--d.r=f51txIdy=fcosydy=sinj*=sinl.

JoJxyJoJoyJoyIoJoo

52.

【精析】本題看成Y—型區(qū)域（先積①后積y）.

?_Cyp_

e'2dvdr=yev2dv

D0J0J0

1「1

=——e~y2d(-y1)

2Jo

1,-1e-1

F(e—e°)

2e,

【精析】原式=-（7+Ddcosi-=—（?+DCOSJ-+cos^djr

=—（J:+DCOSJ?+sinj-+C.

55.

【精析】函數(shù)定義域?yàn)椤兑?,+8）,J=-1，/=-77377.

令』=。，得a-=0,且函數(shù)無二階不可導(dǎo)點(diǎn)，

則當(dāng)HVO時(shí),/>0.曲線在（一8,0）上是凹的：

當(dāng)z>。時(shí)，y"V0.曲線在（0,十8）上是凸的.

且拐點(diǎn)為（0.0）.

56.

解：設(shè)：=4,則「cos?dx=21fcoszdt=2r/dsinf

JoJoJo

=2tsind-2csintdt=2cos《=-4.

57.

【精析】?=—3，之,?=2.0，一?孕=3——23，

OXdydz

grad/(-1,1,2)=(-1,0,13),

一11-]\

0=聲療VT卜

立=(-1),-z-+0?+13，-J'=-4>/3.

川I/⑵V3>/373

58.

【精析】y=f(ln.r)?—?e/tr)+/(lnz)e/lr>?f(x),

故d_y='"n：)e-----F/<ln,r)e/G'/^(x)JcLr,

d.y=Z/COc70)+/(O)c/<,>/(l)]d.r=/(O)d.r.

x-1

59.

T1I

【精析】/(.r)=lim.r(lI3/)7=.rlim(lI3?)第"=.r(lim(lI3濟(jì)嚴(yán)=則

1-?0/-*0/-*0

f\.r)=e3-1+3je3r.

60.

解：特征方程丫2+2r+I=0,特征根(=々=-1,通解

xx

y=C1e'+C2xe~.

4=G，即.G=4

由初始條件咒9=4j[z=-2,得.

=-Ct+C2,C=2,

所求特解為丁=4€-'+2"-=

61.

.【精析】微分方程.r/-2./=爐口屬/=/(x,y)型.

令/>=/,方程可整理為“-22=/+1,利用公式法解此一階線性微分方程,

X

￡=A=，(*+De；'"dr+G=/一工十GE"，

23

則》=-yx+C2x+G.

62.

【精析】方程兩邊對(duì)工求導(dǎo)得3丁丁=1一，13十孫，'),

—工2?

解得J=VL7一—

3,y2/1X2J-4-J-

63.

原微分方程可變形為y--y=箝，

,??：，；？：?：?,?-?;*-***,**、?'.V"，,

所以方程的通解為v=』為(pC)=+c\

—;….....

-.r■"-1、1—：：?

二"v#o+C)=。

其中。為任意常數(shù).

64.

90r102]

(DA-/=010,A2—Z=030

100201

因?yàn)?/p>

|A—J1=—1^0,A2—I\=—90,

故

A-I與A，—I均可逆，

又A—f為初等矩陣，易知

001

(A-I)-1=010.

100

(2)由

AX+7=A2+X

得

(A-I)X=(A-/)(A+Z),

又A-E可逆，上式兩邊同時(shí)左乘(A-1)T得

201-

X=A+I=030.

102

65.

【精析】由于~7~~—sinf=cost—cost卜fsint=tsinf.

dzdz

因此

djv

=/sinr=一

=石

dv石

-sinr

d7

66.

【證明】令，(I)=zsirtr+2cosz—2■

貝ljff(x)=sinz+JTCOSX—2sinT=HCOSJT—simr,

f'(%)=COSJT—xsinr—COSJC=—zsinz.

當(dāng)0V/V兀時(shí)?/(x)<0,于是/(JT)單調(diào)遞減，

且/(工)在［0,0上連續(xù)?所以7(x)</(0)=0,于是/(公單調(diào)遞減.

所以/(j;)V/(0)=0?即jrsinjr+2cosJT—2<0,結(jié)論成立.

67.

【證明】令F(x)=/(xJsin^t

則F(0)=/(0)sin0=0=/(Qsinjc=F(穴八

且F(①)在［0,兀］上連續(xù)，在(0,芯)內(nèi)可導(dǎo),

由羅爾定理知.在(Of)內(nèi)至少存在一點(diǎn)久使得尸'(6=0,

即/(^)sin^=—/(^)cos^.

68.

I

【證明】令f（1）=3.r—1——~rd/,

Jo1+1

則Z（T）=3—丁Jr在［0,1］上有意義.

即有/（1）在［0.1］上連續(xù),而/（。）=-1<0,

/(l)=2-arctanl=2-f>0.

所以至少存在一個(gè)we（o,i）使/（￡）=。，

即方程/（工）=0在（0,1）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根,

2+3/、c

又