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2018年全國統(tǒng)一高考數學試卷（文科）（全國新課標I）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合人={0,2},B={-2,-1,0,1,2},則ACB=（）

A.{0,2}B.{112}

C.{0}D.{-2,-1,0,1.2）

2.（5分）設z=±L+2i,則|z|=（）

1+i

A.0B.1C.1D.JQ

2

3.（5分）某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻

番.為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建

設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：

建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例

則下面結論中不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半

22

4.（5分）已知橢圓C：三_+工=1的一個焦點為（2,0）,則C的離心率為（）

a24

A.1B.1C.返D.2&

3223

5.（5分）已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1,。2,過直線502的平面截

該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）

A.12\^B.12nC.8^2^D.10R

6.(5分)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)

在點(0,0)處的切線方程為()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

7.(5分)在aABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則稀=()

A.27B-lieB.1AB-1ACC.2AB+1ACD.工族+巨菽

44444444

8.(5分)已知函數f(x)=2cos2x-sin2x+2,則()

A.f(x)的最小正周期為A,最大值為3

B.f(x)的最小正周期為7i,最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2兀，最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2n,最大值為4

9.(5分)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M

在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在

此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()

A.2^/17B.2疾C.3D.2

10.(5分)在長方體ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC=2,ACi與平面BBiJC所成的

角為30。，則該長方體的體積為()

A.8B.6&C.8MD.873

11.(5分)已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上

有兩點A(1,a),B(2,b),且cos2a=2,則|a-b=()

3

A.1B.在C.2泥D.1

555

12.(5分)設函數f(x)=f2-X,x4°,則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值

1,x>0

范圍是()

A.(-8,-1]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-8,o)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（5分）已知函數f（x）=log2（x2+a）,若f（3）=1,則a=.

x-2y-240

14.（5分）若x,y滿足約束條件＜x-y+l20，則z=3x+2y的最大值為.

15.（5分）直線y=x+l與圓x?+y2+2y-3=0交于A,B兩點，則|AB=.

16.（5分）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.己知bsinC+csinB=4asinBsinC,

b2+c2-a2=8,則4ABC的面積為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要

求作答。（一）必考題：共60分。

（分）已知數列分）滿足（）設用=區(qū).

17.12ai=l,nan，i=2n+lan?

n

（1）求bi，b2，ba；

（2）判斷數列｛bn｝是否為等比數列，并說明理由；

（3）求｛aj的通項公式.

18.（12分）如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3,ZACM=90°,以AC為折

痕將aACM折起，使點M到達點D的位置，且AB±DA.

（1）證明：平面ACD_L平面ABC；

（2）Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=2DA,求三棱錐Q

3

-ABP的體積.

19.（12分）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數據（單位：r^）

和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數據，得到頻數分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數分布表

日用水量[0,0.1)[0,1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)

頻數13249265

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0,2,0.3)[0.3,0.4)[0,4,0,5)[0,5,0.6)

頻數151310165

（1）作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖;

頻率/組距.

3.4-----------1----------1------------1----------1------------1----------

?????

3.2-----------；-----------L-------------卜-----1-----------

3.0-----------1----------!------------；----------1------------1----------

2.8---------：-----------1---------W----------------------1-----------

2.6----------r----------l----------r----------1-----------T----------

2.4-----------：----------F----------4----------；----------W----------

22----------T----------?----------T----------?-----------T----------

2.0----------W----------；----------W----------!----------W----------

1.8—彳------；—4--[—T--

1.6-----------1----------r----------1----------i------------1----------

1.4----------d----------卜------d----------;-----------d----------

1.0----------:------------}---------1----------;-----------:--------;

0.8-----------'-------------1----------!----------!------------!--------?

0.6-----------{----------------------J-----------u---------J-----------;

0.4-----------1------------?----------1----------1------------1--------1

02----------』--：-』--b----------1--------；

______II______iiI_____I.

00.102030.40.50.6日用水量n?

(2)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；

(3)估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？(一年按365天計算,

同一組中的數據以這組數據所在區(qū)間中點的值作代表)

20.(12分)設拋物線C：y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線I

與C交于M,N兩點.

(1)當I與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：ZABM=ZABN.

21.(12分)已知函數f(x)=aex-Inx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點，求a,并求f(x)的單調區(qū)間;

(2)證明：當a22時，f(x)20.

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數方程］(10分)

22.(10分)在直角坐標系xOy中，曲線J的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為

極點，X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p2+2pcos0-

3=0.

(1)求C2的直角坐標方程；

(2)若Ci與C2有且僅有三個公共點，求J的方程.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知f(x)=|x+11-ax-1.

(1)當a=l時，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x￡(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

2018年全國統(tǒng)一高考數學試卷（文科）（全國新課標I）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.（5分）已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},則APB=（）

A.{0,2}B.{1,2}

C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}

【考點】IE：交集及其運算.

【專題】口：計算題；49：綜合法；5J：集合.

【分析】直接利用集合的交集的運算法則求解即可.

【解答】解：集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},

則AAB={0,2}.

故選：A.

【點評】本題考查集合的基本運算，交集的求法，是基本知識的考查.

2.（5分）設z=上“2i,則z=（）

1+i

A.0B.1C.1D.V2

2

【考點】A8：復數的模.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5N：數系的擴充和復數.

【分析】利用復數的代數形式的混合運算化簡后，然后求解復數的模.

【解答】解：z=l±+2i=（l-i）（1-i）+2i=-i+2i=i,

1+i（l-i）（l+i）

則|z|=l.

故選：C.

【點評】本題考查復數的代數形式的混合運算，復數的模的求法，考查計算能力.

3.（5分）某地區(qū)經過一年的新農村建設，農村的經濟收入增加了一倍，實現翻

番.為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農村建

設前后農村的經濟收入構成比例，得到如下餅圖：

建設前經濟收入構成比例建設后經濟收入構成比例

則下面結論中不正確的是（）

A.新農村建設后，種植收入減少

B.新農村建設后，其他收入增加了一倍以上

C.新農村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半

【考點】2K：命題的真假判斷與應用；CS：概率的應用.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計；5L：簡易

邏輯.

【分析】設建設前經濟收入為a,建設后經濟收入為2a.通過選項逐一分析新農

村建設前后，經濟收入情況，利用數據推出結果.

【解答】解：設建設前經濟收入為a,建設后經濟收入為2a.

A項，種植收入37%X2a-60%a=14%a>0,

故建設后，種植收入增加，故A項錯誤.

B項，建設后，其他收入為5%X2a=10%a,

建設前，其他收入為4%a,

故10%a4-4%a=2.5>2,

故B項正確.

C項，建設后，養(yǎng)殖收入為30%X2a=60%a,

建設前，養(yǎng)殖收入為30%a,

故60%a4-30%a=2,

故C項正確.

D項，建設后，養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入總和為

（30%+28%）X2a=58%X2a,

經濟收入為2a,

故（58%X2a）4-2a=58%>50%,

故D項正確.

因為是選擇不正確的一項，

故選：A.

【點評】本題主要考查事件與概率，概率的應用，命題的真假的判斷，考查發(fā)現

問題解決問題的能力.

22

4.（5分）已知橢圓C：豈-+工_=1的一個焦點為（2,0）,則C的離心率為（）

a24

A.1B.1C.返D.空1

3223

【考點】K4：橢圓的性質.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性

質與方程.

【分析】利用橢圓的焦點坐標，求出a,然后求解橢圓的離心率即可.

22

【解答】解：橢圓C：。二=1的一個焦點為（2,0）,

a24

可得a2-4=4,解得a=2后，

Vc=2,

A

?p-C-2_/2

a2A/22

故選：C.

【點評】本題考查橢圓的簡單性質的應用，考查計算能力.

5.(5分)已知圓柱的上、下底面的中心分別為。1，02,過直線0102的平面截

該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()

A.12A/2RB.12nC.8^2^D.10R

【考點】LE：棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離.

【分析】利用圓柱的截面是面積為8的正方形，求出圓柱的底面直徑與高，然后

求解圓柱的表面積.

【解答】解：設圓柱的底面直徑為2R,則高為2R,

圓柱的上、下底面的中心分別為。1，。2，

過直線。1。2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，

可得：4R2=8,解得R=&,

則該圓柱的表面積為：7T-(V2)2X2+2V271X2V2=12TI-

故選:B.

【點評】本題考查圓柱的表面積的求法，考查圓柱的結構特征，截面的性質，是

基本知識的考查.

6.(5分)設函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數，則曲線y=f(x)

在點(0,0)處的切線方程為()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；53：導數的綜合應用.

【分析】利用函數的奇偶性求出a,求出函數的導數，求出切線的向量然后求解

切線方程.

【解答】解：函數f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數，

可得a=l,所以函數f(x)=x3+x,可得f(x)=3x2+1,

曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線的斜率為：1,

則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為：y=x.

故選：D.

【點評】本題考查函數的奇偶性以及函數的切線方程的求法，考查計算能力.

7.(5分)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則混=()

A.4AB-4ACB.C.^-AB+-ACD.1AB+-AC

44444444

【考點】9H：平面向量的基本定理.

【專題】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及應用.

【分析】運用向量的加減運算和向量中點的表示，計算可得所求向量.

【解答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，

EB=AB-AE=AB--^AD

2

=AB-1x1(AB+AC)

22

故選：A.

【點評】本題考查向量的加減運算和向量中點表示，考查運算能力，屬于基礎題.

8.(5分)已知函數f(x)=2cos2x-sin2x+2,則()

A.f(x)的最小正周期為71,最大值為3

B.f(x)的最小正周期為71,最大值為4

C.f(x)的最小正周期為2兀，最大值為3

D.f(x)的最小正周期為2n,最大值為4

【考點】H1：三角函數的周期性.

【專題】35：轉化思想；56：三角函數的求值；57：三角函數的圖像與性質.

【分析】首先通過三角函數關系式的恒等變換，把函數的關系式變形成余弦型函

數，進一步利用余弦函數的性質求出結果.

【解答】解:函數f(x)=2cos2x-sin2x+2,

=2cos2x-sin2x+2sin2x+2cos2x,

=4cos2x+sin2x,

=3cos2x+l,

=3.洛篝+r

_3cos2x,5

2%

故函數的最小正周期為R,

函數的最大值為1^=4，

故選:B.

【點評】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，余弦型函數的性質

的應用.

9.（5分）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M

在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在

此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

B

A.2-717B.2泥C.3D.2

【考點】L!：由三視圖求面積、體積.

【專題】11：計算題；31：數形結合；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離.

【分析】判斷三視圖對應的幾何體的形狀，利用側面展開圖，轉化求解即可.

【解答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長16,高為：2,

直觀圖以及側面展開圖如圖：

MA

B

圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上，從M到N的

路徑中，最短路徑的長度：正+42=2遙.

故選:B.

【點評】本題考查三視圖與幾何體的直觀圖的關系，側面展開圖的應用，考查計

算能力.

10.（5分）在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB=BC=2,AJ與平面BBiJC所成的

角為30。，則該長方體的體積為（）

A.8B.6&C.8^2D.873

【考點】Ml：直線與平面所成的角.

【專題】11：計算題；31：數形結合；35：轉化思想；49：綜合法；5F：空間位

置關系與距離.

【分析】畫出圖形，利用已知條件求出長方體的高，然后求解長方體的體積即可.

【解答】解：長方體ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC=2,

ACi與平面BBiCiC所成的角為30°,

即NACiB=30°,可得BCi=—巡—=273.

tan300

可得BB1=7（2V3）2-22=2^2-

所以該長方體的體積為：2X2X2亞=8&.

故選：C.

【點評】本題考查長方體的體積的求法，直線與平面所成角的求法，考查計算能

力.

1L(5分)已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上

有兩點A(1,a),B(2,b),且cos2a=2,則,a-b|=()

3

A.1B.立C.D.1

555

【考點】G9：任意角的三角函數的定義；GS：二倍角的三角函數.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；4R：轉化法；56：三角函數的求值.

【分析】推導出cos2a=2cos2a-1=2,從而|cosa|=YH進而Itana=土M|=|a

_362-1

-b|=」￡由此能求出結果.

5

【解答】解：???角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，

終邊上有兩點A(1,a),B(2,b),且cos2a=2,

3

/.cos2a=2cos2a-1=—,解得cos2a=—,

_36

|cosa|sina|=1-30=^^,

返

Itana|=||=|a-b=Jina[=j=立..

2-1IcosaI7305

6

故選：B.

【點評】本題考查兩數差的絕對值的求法，考查二倍角公式、直線的斜率等基礎

知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題.

12.(5分)設函數f(x)=[2-X,x<0,則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值

1,x>0

范圍是()

A.(-8,-1]B.(0,+8)C.(-1,0)D.(-00,0)

【考點】5B：分段函數的應用.

【專題】口：計算題；31：數形結合；49：綜合法；51：函數的性質及應用.

【分析】畫出函數的圖象，利用函數的單調性列出不等式轉化求解即可.

【解答】解：函數f(x)J2_X>x<°,的圖象如圖：

1,x>0

滿足f(x+l)<f(2x),

可得：2xV0Vx+l或2xVx+lW0,

解得xe(-oo,o).

【點評】本題考查分段函數的應用，函數的單調性以及不等式的解法，考查計算

能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(5分)已知函數f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,則a=-7.

【考點】3T：函數的值；53：函數的零點與方程根的關系.

【專題】11：計算題；33：函數思想；49：綜合法；51：函數的性質及應用.

【分析】直接利用函數的解析式，求解函數值即可.

2

【解答】解：函數f(x)=log2(x+a),若f(3)=1,

可得：log2(9+a)=1,可得a=-7.

故答案為：-7.

【點評】本題考查函數的解析式的應用，函數的領導與方程根的關系，是基本知

識的考查.

x-2y-240

14.(5分)若x,y滿足約束條件＜xp+l?O,則z=3x+2v的最大值為6

《0

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃.

【專題】31：數形結合；4R：轉化法；59：不等式的解法及應用.

【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域,利用目標函數的幾何意義進行求解即可.

【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：

由z=3x+2y得y=-±x+Lz,

22

平移直線y=-lx+lz,

22

由圖象知當直線y=-ax+工z經過點A(2,0)時，直線的截距最大，此時z最

22

大，

最大值為z=3X2=6,

故答案為：6

【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數的幾何意義以及數形結合

是解決本題的關鍵.

15.（5分）直線y=x+l與圓x?+y2+2y-3=0交于A,B兩點，則|AB=2行.

【考點】J9：直線與圓的位置關系.

【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；5B：直線與圓.

【分析】求出圓的圓心與半徑，通過點到直線的距離以及半徑、半弦長的關系，

求解即可.

【解答】解：圓x2+y2+2y-3=0的圓心（0,-1）,半徑為：2,

圓心到直線的距離為：螞旦L亞,

V2

所以|AB|=2如2_（如產2版.

故答案為：2班.

【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，弦長的求法，考查計算能力.

16.（5分）ZXABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,

b2+c2-a2=8,則△ABC的面積為空I.

—3—

【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理.

【專題】35：轉化思想；56：三角函數的求值；58：解三角形.

【分析】直接利用正弦定理求出A的值，進一步利用余弦定理求出be的值，最

后求出三角形的面積.

【解答】解：△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

bsinC+csinB=4asinBsinC,

利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

由于OVBVTI,0<C<n,

所以sinBsinCWO,

所以sinA=—,

2

則或罕

bb

由于b2+c2-a2=8,

①當A=2L時，返

62-2bc

解得“=色叵，

3_

所以SAABC冬csinA=^^.

②當人=旦￡時，1娟=8,

62-2bc

解得bc=-生叵（不合題意），舍去.

3

故：“ABC/1

故答案為：2叵.

3

【點評】本體考察的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦定理和余弦定

理的應用及三角形面積公式的應用.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要

求作答。（-）必考題：共60分。

17.（12分）已知數列分n｝滿足ai=l,nan.i=2（n+1）an?設bn=M.

n

（1）求bi，b2>ba；

（2）判斷數列｛bn｝是否為等比數列，并說明理由；

（3）求｛an｝的通項公式.

【考點】87：等比數列的性質；8E：數列的求和；8H：數列遞推式.

【專題】35：轉化思想；54：等差數列與等比數列.

【分析】（1）直接利用已知條件求出數列的各項.

（2）利用定義說明數列為等比數列.

（3）利用（1）（2）的結論，直接求出數列的通項公式.

【解答】解：（1）數列｛an｝滿足ai=l,nan.1=2（n+l）an,

an+1

則：—=2（常數），

an

n

由于b二庭，

nn

故：殳*二2，

bn

數列｛bn｝是以bi為首項，2為公比的等比數列.

整理得：bn=b】?2nT=2nT，

所以：bi=l,b2=2,b3=4.

（2）數列｛bj是為等比數列，

由于%生（常數）；

bn

（3）由（1）得：fc>n=21r1，

根據b二手，

所以：

【點評】本題考查的知識要點：數列的通項公式的求法及應用.

18.（12分）如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3,ZACM=90°,以AC為折

痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB±DA.

（1）證明：平面ACD_L平面ABC；

（2）Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP=DQ=2DA,求三棱錐Q

3

-ABP的體積.

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LY：平面與平面垂直.

【專題】35：轉化思想；49：綜合法；5F：空間位置關系與距離.

【分析】(1)可得ABJ_AC,AB1DA.且ADCAC=A,即可得ABL面ADC,平面

ACD平面ABC；

(2)首先證明DC,面ABC,再根據BP=DQ=2DA,可得三棱錐Q-ABP的高，

3

求出三角形ABP的面積即可求得三棱錐Q-ABP的體積.

【解答】解:(1)證明：,在平行四邊形ABCM中,ZACM=90°,/.AB±AC,

XAB1DA.且ADCAC=A,

/.ABlffiADC,AABC?ABC,

二平面ACD,平面ABC；

(2)VAB=AC=3,ZACM=90°,，AD=AM=3血，

.?.BP=DQ=ZDA=2&,

3

由(1)WDC1AB,又DUCA,.,.DClffiABC,

二三棱錐Q-ABP的體積V=l-SX^-DC

JJ

=XSX

|3AABC|DC=|X|XXX3X3X|X3=I.

【點評】本題考查面面垂直，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的

能力，屬于中檔題.

19.(12分)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數據(單位：m3)

和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數據，得到頻數分布表如下:

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數分布表

日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[050.6)[0.6,0.7)

頻/p>

00.1020.30.40.50.6日用水量'n?

（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率；

（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，

同一組中的數據以這組數據所在區(qū)間中點的值作代表）

【考點】B7：分布和頻率分布表；B8：頻率分布直方圖.

【專題】11：計算題；35：轉化思想；49：綜合法；51：概率與統(tǒng)計.

【分析】（1）根據使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數分布表能作出使用了節(jié)

水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖.

（2）根據頻率分布直方圖能求出該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于035m3

的概率.

(3)由題意得未使用水龍頭50天的日均水量為0.48,使用節(jié)水龍頭50天的日

均用水量為035,能此能估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水.

【解答】解：(1)根據使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數分布表，

作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數據的頻率分布直方圖，如下圖：

(2)根據頻率分布直方圖得：

該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于035m3的概率為：

p=(0.2+1.0+2.6+1)X0.1=0.48.

(3)由題意得未使用水龍頭50天的日均水量為：

-L(1X0.05+3X0.15+2X0.25+4X0.35+9X0.45+26X0.55+5X0,65)=0.48,

50

使用節(jié)水龍頭50天的日均用水量為：

-L(1X0.05+5X0.15+13X0.25+10X0.35+16X0.45+5X0,55)=0.35,

50

估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)?。?65X(0.48-0,35)=47.45m3.

【點評】本題考查頻率分由直方圖的作法，考查概率的求法，考查平均數的求法

及應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題.

20.(12分)設拋物線C：y2=2x,點A(2,0),B(-2,0),過點A的直線I

與C交于M,N兩點.

(1)當I與x軸垂直時，求直線BM的方程；

(2)證明：ZABM=ZABN.

【考點】KN：直線與拋物線的綜合.

【專題】35：轉化思想；4R：轉化法；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程.

【分析】(1)當x=2時，代入求得M點坐標，即可求得直線BM的方程；

(2)設直線I的方程，聯立，利用韋達定理及直線的斜率公式即可求得kBN+kBM=0,

即可證明NABM=NABN.

【解答】解：(1)當I與x軸垂直時，x=2,代入拋物線解得丫=±2,

所以M(2,2)或M(2,-2),

直線BM的方程：y=lx+l,或：y=-lx-1.

22

(2)證明：設直線I的方程為I：x=ty+2,M(xi,yi),N(X2,yz),

廣2

聯立直線I與拋物線方程得y=2x,消x得y2-2ty-4=0,

x=ty+2

即yi+y2=2t,yiy2=-4,

則

y1

Xy^—Xy2)+2(y1+y2)

(xj+2)(

X2+2X2+2)

(丫1+丫2)I：2,+))

---------：-------4---------=0

(x.2)(X2+2)

所以直線BN與BM的傾斜角互補，

/.ZABM=ZABN.

【點評】本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，直

線的斜率公式，考查轉化思想，屬于中檔題.

21.(12分)已知函數f(x)=aex-Inx-1.

(1)設x=2是f(x)的極值點，求a,并求f(x)的單調區(qū)間;

(2)證明：當a22時，f(x)20.

e

【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6D：利用導數研究函數的極值；6E：

利用導數研究函數的最值.

【專題】14：證明題；35：轉化思想；49：綜合法；53：導數的綜合應用.

【分析】(1)推導出x>0,7(x)=aex-L由x=2是f(x)的極值點，解得a=^—,

x2e2

從而f(x)=—^―ex-Inx-1,進而f(x)由此能求出f(x)的

2e22e2x

單調區(qū)間.

(2)當時,f(x)-Inx-1,設g(x)=--Inx-1,貝Ug'-

eeee

由此利用導數性質能證明當a2工時，f(x)20.

xe

【解答】解：(1)???函數f(x)=aex-Inx-1.

Ax>0,F(x)=aex-—,

x

??,x=2是f(x)的極值點，

.*.f(2)=ae2-—=0,解得a二一--，

22e2

exx

..f(x)=―—e-Inx-1,/.f(x)=——e-,

2e22e2x

當0VxV2時，f(x)<0,當x>2時，f(x)>0,

Af(x)在(0,2)單調遞減，在(2,+8)單調遞增.

(2)證明：當時，f(x)\d-lnx-l,

ee

設g(X)=-5_-Inx-1,則g'(x)=--—,

eex

當0Vx<l時，g'(x)<0,

當x>l時，g'(x)>0,

.,.x=l是g(x)的最小值點，

故當x>0時，g(x)2g(1)=0,

.?.當時，f(x)20.

e

【點評】本題考查函數的單調性、導數的運算及其應用，同時考查邏輯思維能力

和綜合應用能力，是中檔題.

（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計分。［選修4-4：坐標系與參數方程］（10分）

22.（10分）在直角坐標系xOy中，曲線J的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為

極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p2+2pcos0-

3=0.

（1）求C2的直角坐標方程；

（2）若Ci與C2有且僅有三個公共點，求Ci的方程.

【考點】Q4：簡單曲線的極坐標方程.

【專題】35：轉化思想；5S：坐標系和參數方程.

【分析】（1）直接利用轉換關系，把參數方程和極坐標方程與直角坐標方程進行

轉化.

（2）利用直線在坐標系中的位置，再利用點到直線的距離公式的應用求出結果.

【解答】解:（1）曲線C2的極坐標方程為p2+2pcose-3=0.

轉換為直角坐標方程為：x2+y2+2x-3=0,

轉換為標準式為：（x+l）2+y2=4.

（2）由于曲線Ci的方程為y=k|x|+2,則：該射線關于y軸對稱，且恒過定點（0,

2）.

由于該射線與曲線C2的極坐標有且僅有三個公共點.

所以：必有一直線相切，一直線相交.

則：圓心到直線y=kx+2的距離等于半徑2.

解得：k=/?或0,（0舍去）或k=&或0

33

經檢驗，直線產&x+2與曲線C2沒有公共點.

3

故C1的方程為：尸《幅|+2?

【點評】本體考察知識要點：參數方程和極坐標方程與直角坐標方程的轉化，直

線和曲線的位置關系的應用，點到直線的距離公式的應用.

［選修4-5：不等式選講］(10分)

23.已知f(x)=.x+11-|ax-11.

(1)當a=l時，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若xG(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍.

【考點】R5：絕對值不等式的解法.

【專題】15：綜合題；38：對應思想；4R：轉化法；5T：不等式.

【分析】(1)去絕對值，化為分段函數，即可求出不等式的解集，

(2)當xG(0,1)時不等式f(x)>x成立，轉化為即|ax-VI,即OVax

<2,轉化為a<2,且a>0,即可求出a的范圍.

X

2x>i

【解答】解：(1)當a=l時，f(x)=|x+11-|x-11=<2x,,

-2,

由f(x)>1,

.f2x>l-J2>1

??《x”或V，

X>1

解得X>L,

2

故不等式f(X)>1的解集為(1,+8),

2

(2)當xd(0,1)時不等式f(x)>x成立，

|x+1-|ax-1-x>0,

即x+1-ax-11-x>0,

即lax-1|<1,

-l<ax-1<1,

.*.0<ax<2,

VxG(0,1),

/.a>0,

.?.OVxvZ,

a

x

V.2>2,

x

...OVaW2,

故a的取值范圍為（0,2].

【點評】本題考查了絕對值不等式的解法和含參數的取值范圍，考查了運算能力

和轉化能力，屬于中檔題.

一.集合與函數

1.進行集合的交、并、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情

況，不要忘記了借助數軸和文氏圖進行求解.

2.在應用條件時，易A忽略是空集的情況

3.你會用補集的思想解決有關問題嗎？

4.簡單命題與復合命題有什么區(qū)別？四種命題之間的相互關系是

什么？如何判斷充分與必要條件？

5.你知道“否命題”與“命題的否定形式”的區(qū)別.

6.求解與函數有關的問題易忽略定義域優(yōu)先的原則.

7.判斷函數奇偶性時，易忽略檢驗函數定義域是否關于原點對稱.

8.求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，易忽略標注該函

數的定義域.

9.原函數在區(qū)間［a,a］上單調遞增，則一定存在反函數，且反函數

也單調遞增;但一個函數存在反函數，此函數不一定單調.例如：.

10.你熟練地掌握了函數單調性的證明方法嗎?定義法（取值，作差,

判正負）和導數法

1L求函數單調性時，易錯誤地在多個單調區(qū)間之間添加符號

“U”和“或”；單調區(qū)間不能用集合或不等式表示.

12.求函數的值域必須先求函數的定義域。

13.如何應用函數的單調性與奇偶性解題?①比較函數值的大小;

②解抽象函數不等式;③求參數的范圍（恒成立問題）.這幾種基本應用

你掌握了嗎？

14.解對數函數問題時，你注意到真數與底數的限制條件了嗎?

（真數大于零，底數大于零且不等于1）字母底數還需討論

15.三個二次（哪三個二次?）的關系及應用掌握了嗎？如何利用二

次函數求最值？

16.用換元法解題時易忽略換元前后的等價性，易忽略參數的范

圍。

17.“實系數一元二次方程有實數解”轉化時，你是否注意到：

當時，“方程有解”不能轉化為。若原題中沒有指出是二次方程，二

次函數或二次不等式，你是否考慮到二次項系數可能為的零的情形？

二.不等式

18.利用均值不等式求最值時，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

19.絕對值不等式的解法及其幾何意義是什么？

20.解分式不等式應注意什么問題?用“根軸法”解整式（分式）不

等式的注意事項是什么？

21.解含參數不等式的通法是“定義域為前提，函數的單調性為

基礎，分類討論是關鍵”，注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的

解集是……”.

22.在求不等式的解集、定義域及值域時，其結果一定要用集合

或區(qū)間表示;不能用不等式表示.

23.兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能相乘，即同向同

正可乘;同時要注意“同號可倒”即a>b>0,a<0.

三.數列

24.解決一些等比數列的前項和問題，你注意到要對公比及兩種

情況進行討論了嗎？

25.在“已知，求”的問題中，你在利用公式時注意到了嗎?（時，

應有）需要驗證，有些題目通項是分段函數。

26.你知道存在的條件嗎?（你理解數列、有窮數列、無窮數列的概

念嗎?你知道無窮數列的前項和與所有項的和的不同嗎?什么樣的無

窮等比數列的所有項的和必定存在？

27.數列單調性問題能否等同于對應函數的單調性問題?（數列是

特殊函數，但其定義域中的值不是連續(xù)的。）

28.應用數學歸納法一要注意步驟齊全，二要注意從到過程中，

先假設時成立，再結合一些數學方法用來證明時也成立。

四.三角函數

29.正角、負角、零角、象限角的概念你清楚嗎？，若角的終邊在

坐標軸上，那它歸哪個象限呢?你知道銳角與第一象限的角;終邊相同

的角和相等的角的區(qū)別嗎？

30.三角函數的定義及單位圓內的三角函數線（正弦線、余弦線、

正切線）的定義你知道嗎？

31.在解三角問題時，你注意到正切函數、余切函數的定義域了

嗎?你注意到正弦函數、余弦函數的有界性了嗎？

32.你還記得三角化簡的通性通法嗎?（切割化弦、降幕公式、用三

角公式轉化出現特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次）

33.反正弦、反余弦、反正切函數的取值范圍分別是

34.你還記得某些特殊角的三角函數值嗎？

35.掌握正弦函數、余弦函數及正切函數的圖象和性質.你會寫三

角函數的單調區(qū)間嗎?會寫簡單的三角不等式的解集嗎?(要注意數形

結合與書寫規(guī)范，可別忘了)，你是否清楚函數的圖象可以由函數經過

怎樣的變換得到嗎？

36.函數的圖象的平移，方程的平移以及點的平移公式易混：

(1)函數的圖象的平移為“左+右上+下-"；如函數的圖象左移2

個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.

⑵方程表示的圖形的平移為“左+右上-下+”；如直線左移2個

個單位且下移3個單位得到的圖象的解析式為，即.

(3)點的平移公式：點按向量平移到點，則.

37.在三角函數中求一個角時，注意考慮兩方面了嗎?(先求出某一

個三角函數值，再判定角的范圍)

38.形如的周期都是，但的周期為。

39.正弦定理時易忘比值還等于2R.

五.平面向量

40.數0有區(qū)別，的模為數0,它不是沒有方向，而是方向不定。

可以看成與任意向量平行，但與任意向量都不垂直。

41.數量積與兩個實數乘積的區(qū)別：

在實數中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數量積中，若，且，

不能推出.

已知實數，且