2024屆云南省瀾滄縣第一中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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2024屆云南省瀾滄縣第一中學(xué)高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:函數(shù)的最小值為4.給出下列命題:①;②;③;④,其中真命題的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.42.已知,,那么是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象.給出下列四個(gè)命題①的值域?yàn)棰诘囊粋€(gè)對(duì)稱軸是③的一個(gè)對(duì)稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.44.已知銳角滿足則()A. B. C. D.5.下列說(shuō)法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.在中,“”是“”成立的必要不充分條件C.“若,則”是真命題D.存在,使得成立6.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直,直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn),,若,則該雙曲線的離心率為().A. B. C. D.7.設(shè)x、y、z是空間中不同的直線或平面,對(duì)下列四種情形:①x、y、z均為直線;②x、y是直線,z是平面;③z是直線,x、y是平面;④x、y、z均為平面.其中使“且”為真命題的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②8.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知函數(shù),則()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱11.設(shè),則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則數(shù)列的公差為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若點(diǎn)在直線上,則的值等于______________.14.已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則的最小值等于__________,此時(shí)a=____________.15.設(shè)f(x)=etx(t>0),過(guò)點(diǎn)P(t,0)且平行于y軸的直線與曲線C:y=f(x)的交點(diǎn)為Q,曲線C過(guò)點(diǎn)Q的切線交x軸于點(diǎn)R,若S(1,f(1)),則△PRS的面積的最小值是_____.16.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,,.若,,,則_____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)我國(guó)在貴州省平塘縣境內(nèi)修建的500米口徑球面射電望遠(yuǎn)鏡(FAST)是目前世界上最大單口徑射電望遠(yuǎn)鏡.使用三年來(lái),已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質(zhì)的脈沖星候選體,其中有93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星,脈沖星是上世紀(jì)60年代天文學(xué)的四大發(fā)現(xiàn)之一,脈沖星就是正在快速自轉(zhuǎn)的中子星,每一顆脈沖星每?jī)擅}沖間隔時(shí)間(脈沖星的自轉(zhuǎn)周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最長(zhǎng)的也不過(guò)11.765735秒.某-天文研究機(jī)構(gòu)觀測(cè)并統(tǒng)計(jì)了93顆已被確認(rèn)為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉(zhuǎn)周期,繪制了如圖的頻率分布直方圖.(1)在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有多少顆?(2)根據(jù)頻率分布直方圖,求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉(zhuǎn)周期的平均值.18.(12分)已知函數(shù),.(1)若不等式對(duì)恒成立,求的最小值;(2)證明:.(3)設(shè)方程的實(shí)根為.令若存在,,,使得,證明:.19.(12分)在如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為矩形,平面ABEF⊥平面ABCD,EF∥AB,∠BAF=90°,AD=2,AB=AF=2EF=2,點(diǎn)P在棱DF上.(1)若P是DF的中點(diǎn),求異面直線BE與CP所成角的余弦值;(2)若二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,求PF的長(zhǎng)度.20.(12分)數(shù)列滿足,且.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)證明:22.(10分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復(fù)合命題的真假,可得出選項(xiàng).【詳解】已知對(duì)于命題,由得,所以命題為假命題;關(guān)于命題,函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng)即時(shí),取等號(hào),當(dāng)時(shí),函數(shù)沒(méi)有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用,以及復(fù)合命題的真假的判斷,注意運(yùn)用基本不等式時(shí),滿足所需的條件,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由,可得,解出即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)?,且.,解得.是的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域;利用代入檢驗(yàn)法判斷②③;對(duì)求導(dǎo),并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個(gè)單位可得,,的值域?yàn)?①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸,②正確;當(dāng)時(shí),,所以的一個(gè)對(duì)稱中心是,③正確;,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個(gè).故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像變換,考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心,考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.4、C【解析】

利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知,,因?yàn)殇J角,所以,,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.5、C【解析】

A:否命題既否條件又否結(jié)論,故A錯(cuò).B:由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯(cuò).C:可判斷其逆否命題的真假,C正確.D:根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯(cuò).【詳解】解:A:“若,則”的否命題是“若,則”,故A錯(cuò).B:在中,,故“”是“”成立的必要充分條件,故B錯(cuò).C:“若,則”“若,則”,故C正確.D:由冪函數(shù)在遞減,故D錯(cuò).故選:C【點(diǎn)睛】考查判斷命題的真假,是基礎(chǔ)題.6、A【解析】

直線的方程為,令和雙曲線方程聯(lián)立,再由得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則,且將代入雙曲線方程中,得到設(shè)則由,可得,故則,解得則所以雙曲線離心率故選:A【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線和直線相交問(wèn)題,聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解,屬于一般性題目.7、C【解析】

①舉反例,如直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的兩平面平行判斷.④舉例,如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).【詳解】①當(dāng)直線x、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí),不正確;②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確;③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確;④如x、y、z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí),不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中線面關(guān)系,選擇題一般可通過(guò)特殊值法進(jìn)行排除,屬于簡(jiǎn)單題目.8、A【解析】

先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱的等價(jià)條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則,解得,故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為的形式,然后判斷復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限,即可求得答案.【詳解】對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為在第二象限故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

依題意可得,即函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即可判斷函數(shù)的單調(diào)性;【詳解】解:由,,所以函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱,又,在上不單調(diào).故正確的只有C,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性的判定,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可.【詳解】∵a,b∈(1,+∞),∴a>b?logab<1,logab<1?a>b,∴a>b是logab<1的充分必要條件,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.12、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【詳解】依題意,,故,故,故,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)題意可得,再由,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,得,又,解得,當(dāng)時(shí),則,此時(shí);當(dāng)時(shí),則,此時(shí),綜上,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、3【解析】

根據(jù)題意,分析可得,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值,進(jìn)而分析基本不等式成立的條件可得a的值,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,正數(shù)a、b滿足,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,故的最小值為3,此時(shí).故答案為:3;.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式及其應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

計(jì)算R(t,0),PR=t﹣(t),△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸,P(t,0),∴Q(t,f(t))即Q(t,),又f(x)=etx(t>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=tetx,∴過(guò)Q的切線斜率k=t,設(shè)R(r,0),則k,∴r=t,即R(t,0),PR=t﹣(t),又S(1,f(1))即S(1,et),∴△PRS的面積為S,導(dǎo)數(shù)S′,由S′=0得t=1,當(dāng)t>1時(shí),S′>0,當(dāng)0<t<1時(shí),S′<0,∴t=1為極小值點(diǎn),也為最小值點(diǎn),∴△PRS的面積的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.16、或【解析】試題分析:由,則可運(yùn)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系:,已知兩邊及其對(duì)角,求角.用正弦定理;,則;可得.考點(diǎn):運(yùn)用正弦定理解三角形.(注意多解的情況判斷)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)79顆;(2)5.5秒.【解析】

(1)利用各小矩形的面積和為1可得,進(jìn)而得到脈沖星自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的頻率,從而得到頻數(shù);(2)平均值的估計(jì)值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】(1)第一到第六組的頻率依次為0.1,0.2,0.3,0.2,,0.05,其和為1所以,,所以,自轉(zhuǎn)周期在2至10秒的大約有(顆).(2)新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為(秒).故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉(zhuǎn)周期平均值為5.5秒.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用,涉及到平均數(shù)的估計(jì)值等知識(shí),是一道容易題.18、(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)由題意可得,,令,利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減,進(jìn)而可得結(jié)論;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,令,,利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性即可得到答案;(3)由題意可得,進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為,再利用單調(diào)性可得,記,,再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增,即,即,即可得到結(jié)論.【詳解】(1),即,化簡(jiǎn)可得.令,,因?yàn)?,所以?所以,在上單調(diào)遞減,.所以的最小值為.(2)要證,即.兩邊同除以可得.設(shè),則.在上,,所以在上單調(diào)遞減.在上,,所以在上單調(diào)遞增,所以.設(shè),因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù),所以.所以,即.(3)證明:方程在區(qū)間上的實(shí)根為,即,要證,由可知,即要證.當(dāng)時(shí),,,因而在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),,,因而在上單調(diào)遞減.因?yàn)?,所以,要證.即要證.記,.因?yàn)椋?,則..設(shè),,當(dāng)時(shí),.時(shí),,故.且,故,因?yàn)椋?因此,即在上單調(diào)遞增.所以,即.故得證.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性,屬于難題.19、(1).(2).【解析】

(1)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),計(jì)算夾角得到答案.(2)設(shè),0≤λ≤1,計(jì)算P(0,2λ,2﹣2λ),計(jì)算平面APC的法向量(1,﹣1,),平面ADF的法向量(1,0,0),根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD,又四邊形ABCD為矩形,∴以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AF為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,∵AD=2,AB=AF=2EF=2,P是DF的中點(diǎn),∴B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),(﹣1,0,2),(﹣2,﹣1,1),設(shè)異面直線BE與CP所成角的平面角為θ,則cosθ,∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為.(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(xiàn)(0,0,2),D(0,2,0),設(shè)P(a,b,c),,0≤λ≤1,即(a,b,c﹣2)=λ(0,2,﹣2),解得a=0,b=2λ,c=2﹣2λ,∴P(0,2λ,2﹣2λ),(0,2λ,2﹣2λ),(2,2,0),設(shè)平面APC的法向量(x,y,z),則,取x=1,得(1,﹣1,),平面ADP的法向量(1,0,0),∵二面角D﹣AP﹣C的正弦值為,∴|cos|,解得,∴P(0,,),∴PF的長(zhǎng)度|PF|.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角,根據(jù)二面角求長(zhǎng)度,意在考查

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