專題8.6-空間向量及其運(yùn)算(教學(xué)案)-2014年高考數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)資料(原卷版)

【2014考綱解讀】1.了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示．2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示．【重點(diǎn)知識(shí)梳理】一、空間向量及其有關(guān)概念語言描述共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合．共面向量平行于同一平面的向量．共線向量定理對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使a＝λb.共面向量定理若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面?存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.空間向量基本定理(1)定理：如果三個(gè)向量a、b、c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc．(2)推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間一點(diǎn)P都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.二、數(shù)量積及坐標(biāo)運(yùn)算1．兩個(gè)向量的數(shù)量積(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)；(3)|a|2＝a2，|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).2．向量的坐標(biāo)運(yùn)算a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)向量和a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)向量差a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)量積a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3共線a∥b?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)垂直a⊥b?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0夾角公式cos〈a，b〉＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))三、平面的法向量(1)所謂平面的法向量，就是指所在的直線與平面垂直的向量，顯然一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，它們是共線向量．(2)在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么以向量a為法向量且經(jīng)過點(diǎn)A的平面是唯一的．【規(guī)律總結(jié)】1.用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．2．直線的方向向量與平面的法向量的確定：(1)直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·a＝0，,n·b＝0.))【隨堂訓(xùn)練】1．若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，能使l∥α的是()A．a(chǎn)＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a(chǎn)＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a(chǎn)＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a(chǎn)＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于()A.eq\f(62,7) B.eq\f(63,7)C.eq\f(60,7) D.eq\f(65,7)3.如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與相等的向量是()A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈，〉的值為()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(2),2)5．平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，向量、、兩兩的夾角均為60°，且||＝1，||＝2，||＝3，則||等于()A．5 B．6C．4 D．86．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn)，O為底面正方形ABCD的中心，M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，線段D1Q與OP互相平分，則滿足＝λ的實(shí)數(shù)λ的值有()A．0個(gè) B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)【高頻考點(diǎn)突破】考點(diǎn)一、空間向量的線性運(yùn)算例1、(1)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)．化簡eq\o(A1O,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝__________，用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AA1,\s\up6(→))表示eq\o(OC1,\s\up6(→))，則eq\o(OC1,\s\up6(→))＝__________；(2)向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)，則2a＋3b＝__________，3a－2【反思感悟】(1)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，關(guān)鍵是要注意向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系，并熟練掌握運(yùn)算公式．(2)用不共面的向量表示某一向量時(shí)，關(guān)鍵是結(jié)合圖形將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，然后根據(jù)三角形法則或平行四邊形法則，把未知向量用已知向量表示出來．【變式探究】如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示下列各向量．(1)eq\o(AP,\s\up6(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up6(→))；(3)eq\o(MP,\s\up6(→))＋eq\o(NC1,\s\up6(→)).考點(diǎn)二共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用例2、已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD∥平面EFGH.【題后感悟】應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面的方法比較：三點(diǎn)(P，A，B)共線空間四點(diǎn)(M，P，A，B)共面eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))(t為參數(shù))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(t為參數(shù))對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－x－y)eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))【變式探究】已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))．(1)判斷eq\o(MA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))，eq\o(MC,\s\up6(→))三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)．考點(diǎn)三、空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用例3、如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，CD的中點(diǎn)，計(jì)算：(1)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))；(2)EG的長；(3)異面直線EG與AC所成角的大小．【題后感悟】(1)當(dāng)題目條件有垂直關(guān)系時(shí)，常轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為零進(jìn)行應(yīng)用；(2)當(dāng)異面直線所成的角為α?xí)r，常利用它們所在的向量轉(zhuǎn)化為向量的夾角θ來進(jìn)行計(jì)算．應(yīng)該注意的是α∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，θ∈[0，π]，所以cosα＝|cosθ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)；(3)立體幾何中求線段的長度可以通過解三角形，也可依據(jù)|a|＝eq\r(a2)轉(zhuǎn)化為向量求解．【變式探究】已知空間四邊形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，試用向量法證明AD⊥BC.考點(diǎn)四空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例4、已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，點(diǎn)A(－3，－1，4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b(2)在直線AB上是否存在一點(diǎn)E，使得eq\o(OE,\s\up6(→))⊥b(O為原點(diǎn))?【題后感悟】(1)求向量的數(shù)量積的方法：①設(shè)向量a，b的夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ；②若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.根據(jù)已知條件，準(zhǔn)確選擇上述兩種方法，可簡化計(jì)算．(2)求向量模的方法：①|(zhì)a|＝eq\r(a2)；②若a＝(x，y，z)，則|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2).【變式探究】已知空間中三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(1)若|c|＝3，且c∥eq\o(BC,\s\up6(→))，求向量c的坐標(biāo)；(2)若m(a＋b)＋n(a－b)與2a－b垂直，求m，n【方法技巧】1．用空間向量解決立體幾何中的平行或共線問題一般用向量共線定理；求兩點(diǎn)間距離或某一線段的長度，一般用向量的模來解決；解決垂直問題一般可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為零；求異面直線所成的角，一般可以轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，但要注意兩種角的范圍不同，最后應(yīng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．2．利用坐標(biāo)運(yùn)算解決立體幾何問題，降低了推理難度，可以避開一些較復(fù)雜的線面關(guān)系，但復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算也容易導(dǎo)致出錯(cuò)．因此，在解決問題時(shí)，可以靈活的選用解題方法，不要生搬硬套．【經(jīng)典考題精析】（2013·天津卷）如圖1－3所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E為棱AA(1)證明：B1C1(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值；(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為eq\f(\r(2),6).求線段AM的長．圖1－1【當(dāng)堂鞏固】1．已知O，A，B，C為空間四個(gè)點(diǎn)，又eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))為空間的一個(gè)基底，則 ()A．O，A，B，C四點(diǎn)不共線B．O，A，B，C四點(diǎn)共面，但不共線C．O，A，B，C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線D．O，A，B，C四點(diǎn)不共面2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，則λ與μ的值可以是 ()A．2，eq\f(1,2) B．－eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．－3,2 D．2,2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2).))3.如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E為PB的中點(diǎn)，cos〈eq\o(DP,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))〉＝eq\f(\r(3),3)，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ()A．(1,1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，1，\f(3,2))) D．(1,1,2)4．如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．1445．有下列命題：①若p＝xa＋yb，則p與a，b共面；②若p與a，b共面，則p＝xa＋yb；③若eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))，則P，M，A、B共面；④若P，M，A，B共面，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→)).其中真命題的個(gè)數(shù)是 ()A．1 B．2 C．3 D．46．正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)M在AC1上且eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC1,\s\up6(→))，N為B1B的中點(diǎn)，則|eq\o(MN,\s\up6(→))|為 ()A.eq\f(\r(21),6)a B.eq\f(\r(6),6)a C.eq\f(\r(15),6)a D.eq\f(\r(15),3)a7.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則cos〈eq