2019年高考數(shù)學（理）考點一遍過考點29空間幾何體的表面積與體積含解析

考點29空間幾何體的表面積與體積

考傭展攵

了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.

弟知識整句

一、柱體、錐體、臺體的表面積

1.旋轉體的表面積

圓柱（底面半徑為r,圓錐（底面半徑為r,圓臺（上、下底面半徑分別為

母線長為7）母線長為1）r',r,母線長為/）

0

a：\2TT//-R

側面展開圖

1A/

逃2irr

0底=戈戶

底面面積s底=兀/S±js=兀下底=nr

，側r

側面面積=271/75側=n”SM=7r/(r+r)

$表=”(〃+/)S表=兀(/2+嚴+//+〃)

表面積S表=2兀r(廠+/)

2.多面體的表面積

多面體的表面積就是各個面的面積之和，也就是展開圖的面積.

棱錐、棱臺、棱柱的側面積公式間的聯(lián)系：

二、柱體、錐體、臺體的體積

1.柱體、錐體、臺體的體積公式

幾何體體積

柱體%體=SZ?（S為底面面積，/?為高），/柱=兀（r為底面半徑，力為高）

腺體=（S為底面面積，力為高），%雎=’兀/力（「為底面半徑，方為高）

錐體

%體=g（S'+J^+S）〃（S'、S分別為上、下底面面積，方為高），

臺體

=1^（/2+/r+r2）「分別為上、下底面半徑，方為高）

2.柱體、錐體、臺體體積公式間的關系

%本=匆+回+即

3.必記結論

（1）一個組合體的體積等于它的各部分體積之和或差;

（2）等底面面積且等高的兩個同類幾何體的體積相等.

三、球的表面積和體積

1.球的表面積和體積公式

設球的半徑為匕它的體積與表面積都由半徑不唯一確定，是以A為自變量的函數(shù)，其表面積公式為4兀代，即

4

球的表面積等于它的大圓面積的4倍；其體積公式為一兀內.

3

2.球的切、接問題（常見結論）

1/?

(1)若正方體的棱長為。，則正方體的內切球半徑是正方體的外接球半徑是與正方體所有棱相切

22

的球的半徑是注Q.

2

(2)若長方體的長、寬、高分別為。，b,h,則長方體的外接球半徑是,。標+從+點.

2

[7r

(3)若正四面體的棱長為。，則正四面體的內切球半徑是X—。；正四面體的外接球半徑是、一“；與正四面體

124

所有棱相切的球的半徑是"a.

4

(4)球與圓柱的底面和側面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑.

(5)球與圓臺的底面與側面均相切，則球的直徑等于圓臺的高.

考向一柱體、錐體、臺體的表面積

1.已知幾何體的三視圖求其表面積，一般是先根據三視圖判斷空間幾何體的形狀，再根據題目所給數(shù)據與幾何體

的表面積公式，求其表面積.

2.多面體的表面積是各個面的面積之和，組合體的表面積應注意重合部分的處理，以確保不重復、不遺漏.

3.求多面體的側面積時，應對每一個側面分別求解后再相加；求旋轉體的側面積時，一般要將旋轉體展開為平面

圖形后再求面積.

典例引領

典例1如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為

A.20兀B.24兀

C.32兀D.28兀

【答案】D

【解析】由三視圖知，該幾何體是一個組合體，上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4,圓錐的高是24，

..?在軸截面中圓錐的母線長是42+4=4...圓錐的側面積是KX2X4=8IC,

下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4,圓柱的高是4,.?.圓柱的側面積是2nx2x4=16K,一個底面的面

積是nx22=4兀..?.空間組合體的表面積是28兀，故選D.

【名師點睛】本題考查由三視圖求表面積，本題的圖形結構比較簡單，易錯點可能是兩個幾何體重疊的部分忘記去

掉，求表面積時常會設計此種陷阱.

典例2若正四棱柱45?！辏┮?與￡。的底邊長為2,AG與底面A8CO成45。角，則三棱錐8-AC&的表面積

為

A.6+2夜+2&B.4+3拒+3百

C.8+&+26D.10+V2+V3

【答案】A

【解析】由AG與底面ABC。成45°角，且正四棱柱ABC?！狝4Gq的底邊長為2,可知棱柱的高為2及，故

三棱錐8—ACG的表面積為|x2V2x2V2+1x2>/2x2+1x2V3x2+1x2x2=6+272+2A/3.

故答案為A.

變式拓展

1.某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖均為直角梯形，俯視圖為兩個正方形，則該幾何體的表面積

為

正視留他視圖

俯視圖

99

A.—B.61

2

C.62D.73

2.樺卯是在兩個木構件上所采用的一種凹凸結合的連接方式，凸出部分叫樺，凹進部分叫卯，梯和卯咬合，起到

連接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天壇祈年殿、山西懸空寺等，如圖所示是一種樣卯的三視圖，其表面積

為

A.192B.186

C.180D.198

考向二柱體、錐體、臺體的體積

空間幾何體的體積是每年高考的熱點之一，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度較小，屬容易題.求柱體、

錐體、臺體體積的一般方法有：

(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解.

(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等體積法、割補法等方法進行求解.

①等體積法：一個幾何體無論怎樣轉化，其體積總是不變的.如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可

以采用等體積法進行求解.等體積法也稱等積轉化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方

法，多用來解決有關錐體的體積，特別是三棱錐的體積.

②割補法：運用割補法處理不規(guī)則的空間幾何體或不易求解的空間幾何體的體積計算問題，關健是能根據幾何體中

的線面關系合理選擇截面進行切割或者補成規(guī)則的幾何體.要弄清切割后或補形后的幾何體的體積是否與原幾何體

的體積之間有明顯的確定關系，如果是由幾個規(guī)則的幾何體堆積而成的，其體積就等于這幾個規(guī)則的幾何體的體積

之和;如果是由一個規(guī)則的幾何體挖去幾個規(guī)則的幾何體而形成的，其體積就等于這個規(guī)則的幾何體的體積減去被

挖去的幾個幾何體的體積.因此，從一定意義上說，用割補法求兒何體的體積，就是求體積的“加、減”法.

(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.

典例引領

典例3如圖是一個正三棱柱挖去一個圓柱得到的一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積與挖去的圓柱的體積比

為

俯視圖

A3百.3上1

A.-----1B.-----

n兀3

3gc3百,

cr.---D.—^―+1

71兀

【答案】A

—（2V3r）\q伺

【解析】正三棱柱與圓柱的體積比為/一一-=早（，力分別為圓柱的底面半徑和高，因此該幾何體

TIThU

的體積與挖去的圓柱的體積比為逑二m，選A.

氧

典例4如圖，幾何體EF-4BCC中，DEL^ABCD,CCEF是正方形，4BCD為直角梯形，AB//CD,ADS.DC,/\ACB

是腰長為2點的等腰直角三角形.

（1）求證：BCLAF.

（2）求幾何體EF-4BCD的體積.

【解析】（1）因為A4C8是腰長為2#的等腰直角三角形,

所以4C1BC.

因為DE，平面力BCD,所以。EJLBC.

又DE//CF,所以CFJ.BC.

又4CnCF=C,所以BC1平面4CF.

所以BC±4F.

（2）因為八45。是腰長為2#的等腰直角三角形，

所以4c=BC=2y[2,AB-^AC2+BC2=4,

所以4D=BCsin^ABC=2#xsin450=2,CD=AB-BCcosUBC=4-2/xcos450=2

所以DE=EF=CF=2,

由勾股定理得"E=yjAD2+DE2=2也,

因為DE_L平面力BCD,

所以DEJ.AZ）.

又AD±DC,DEnDC=D,

所以4D_L平面CDEF.

所以V幾何體EF-ABCD="幾何體+V幾何體尸“a=§S四邊形。加尸.A。+~,CF=—CD-DE?AD+

-x-ACBC-CF=-x2x2x2+-x-x2y/2x2j2x2=—.

323323

變式拓展

3.甲、乙兩個幾何體的三視圖如圖所示（單位相同），記甲、乙兩個幾何體的體積分別為匕，匕，則

A.V,>21/2%

C.-163匕=173

4.如圖，在斜三棱柱NBC-AgG中，底面A8C是邊長為2的正三角形，M為棱8c的中點，BBt=3,

做=而，ZC5B,=60°.

（1）求證：AM，平面BCC.fi,；

（2）求斜三棱柱ABC—AgG的體積.

考向三球的表面積和體積

1.確定一個球的條件是球心和球的半徑，已知球的半徑可以利用公式求球的表面積和體積；反之，已知球的體積

或表面積也可以求其半徑.

2.球與幾種特殊幾何體的關系：（1）長方體內接于球，則球的直徑是長方體的體對角線長；（2）正四面體的外接球

與內切球的球心重合，且半徑之比為3：1：（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圓柱，圓柱的外接球就是所求

直棱柱的外接球.特別地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點；（4）球與圓柱的底面和側

面均相切，則球的直徑等于圓柱的高，也等于圓柱底面圓的直徑；（5）球與圓臺的底面和側面均相切，則球的直徑

等于圓臺的高.

3.與球有關的實際應用題一般涉及水的容積問題，解題的關鍵是明確球的體積與水的容積之間的關系，正確建立

等量關系.

4.有關球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將空間幾何問題轉化為平面中圓的有關問題解決.球心到截面的距

離d與球的半徑R及截面圓的半徑r之間滿足關系式：d=NRf.

典例引領

典例5《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉席.若三棱錐P-A3C為鱉牖，24，平

面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱錐P—4BC的四個頂點都在球。的球面上，則球。的表面積為

A.8兀B.12兀

C.20TID.2471

【答案】C

【解析】如圖，由題可知，底面ZVIBC為直角三角形，且NA8C=m,則3。=,4。2一6=26,則球。

2

的直徑2R=yjPA2+AB2+BC2=而=2石,二R=亞,則球0的表面積S=4K/?2=20兀.故選C.

典例6如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm,將一個球放在容器口，再向容器內注水,

當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度，則球的體積為

,500K866兀3

A.----cm3B.-c-m----

33

13727r2048兀

C.-----cmD.-----cm

33

【答案】A

【解析】設球的半徑為R,由題意知K,R-2,正方體棱長的一半可構成直角三角形，即△03d為直角

三角形，如圖所示.

則Bg,BA=A,OB=R-2,OA=R,由R2=(R-2)a+42,得R=5,

所以球的體積為3'53=學乂皿3),故選A.

變式拓展

5.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左視圖均為半徑是2的圓，則這個幾何體的表面積是

俯視圖

A.1671

C.12兀

6.三棱錐斤顏的所有頂點都在球O的表面上，平面8CO，BC=BD=2,AB=2CD=4^，則球。

的體積為

A.64n

考向四空間幾何體表面積和體積的最值

求解空間幾何體表面積和體積的最值問題有兩個思路：

一是根據幾何體的結構特征和體積、表面積的計算公式，將體積或表面積的最值轉化為平面圖形中的有關最值，根

據平面圖形的有關結論直接進行判斷；

二是利用基本不等式或是建立關于表面積和體積的函數(shù)關系式，然后利用函數(shù)的方法或者利用導數(shù)方法解決.

典例引領

典例7如圖,AA是圓柱的母線,是圓柱底面圓的直徑，。是底面圓周上異于A,8的任意一點,AJ=AS=2.

(1)求證：比LL平面4力。;

(2)求三棱錐4T6C的體積的最大值.

【解析】(1)因為C是底面圓周上異于48的任意一點，且48是圓柱底面圓的直徑，

所以BCLAC.

因為平面ABC,BCu平面ABC,

所以加」6c

又/4門4e4

所以比上平面加C

(2)方法一:設/氏x(0〈水2),

在RtAABC中,BC=^AB2-AC2'=)4-3,

故U三極錐劣_ABC=AAi=-x-XACXBCXAAi=-x$4-x?=-^/%2(4-%2)=*/-(/-2)+4.

因為0CK2,0</<4,

2

所以當f=2,即產姆時,三棱錐4-4%的體積取得最大值

方法二：在RtAASC中,AC+初=初=4,

11111.02IR「2?

從而V三梭錐A-ABC=x—XACXBC^AA\--ACXBC^z—x---------=—>當且僅當4Gza上^時等號成

-133323

立.

2

所以三棱錐4T%的體積的最大值為；.

3

變式拓展

高分別為2,a,h,且2a+8=|(a>0,/?>0),

7.已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、

則此三棱錐外接球表面積的最小值為

3

倒視圖

17

A.一71

4

C.4兀D.5兀

京點沖關夕t

1.一個長方體共一頂點的三條棱長分別是6,百,、為,這個長方體的八個頂點都在同一個球面上，則這個球的表

面積是

A.12nB.18n

C.36JiD.6n

2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

A.1

C.3D.6

3.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,則該多面體的表面積為

A.60

C.81D.114

4.一個與球心距離為2的平面截球所得圓面面積為兀，則球的表面積為

A.207rB.20或n

C.167rD.16或加

5.我國古代數(shù)學名著《孫子算經》中有如下問題：“今有筑城，上廣二丈，下廣五丈四尺，高三丈八尺，長五千

五百五十尺，秋程人功三百尺.問：須工幾何？”意思是：“現(xiàn)要筑造底面為等腰梯形的直棱柱的城墻，其中

底面等腰梯形的上底為2丈、下底為5.4丈、高為3.8丈，直棱柱的側棱長為555()尺.如果一個秋天工期的單個

人可以筑出300立方尺，問：一個秋天工期需要多少個人才能筑起這個城墻？"(注：一丈等于十尺)

A.24642B.26()11

C.52022D.78033

6.某幾何體由圓柱挖掉半個球和一個圓錐所得，其三視圖中的正視圖和側視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為

6-i

iEMm

A.60兀B.75兀

C.90兀D.93兀

7.一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是10+2石，則該幾何體的體積為

詩視至

A4GR4A/5

33

C.逑D.§

33

8.如圖，直角梯形ABC。中，AD1DC,AD//BC,BC=2CD=2AD=2,若將直角梯形繞邊旋轉一

周，則所得幾何體的表面積為

9.將若干毫升水倒入底面半徑為4cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為8cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒

圓錐形器皿中，則水面的高度是cm.

10.正三棱錐的高為1，底面邊長為2"，正三棱錐內有一個球與其四個面相切，則此球的表面積是.

11.如圖所示的幾何體QPA8CO為一簡單組合體，在底面ABCO中，ZZMB=60°,AD1DC,ABLBC,

QO_L平面ABC。，PA//QD,PA=\,AZ)=AB=Q￡>=2.

(1)求證：平面平面Q8C；

(2)求該組合體QPABCD的體積.

直通高考

1.（2018年浙江卷）某兒何體的三視圖如圖所示（單位:cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是

俯視圖

A.2B.4

C.6D.8

2.（2018年高考新課標HI理科）設A，B,C,。是同一個半徑為4的球的球面上四點，△/$（7為等邊三角形且其

面積為96，則三棱錐。-他C體積的最大值為

A.12>/3B.18A/3

C.246D.54G

3.（2017新課標全國II理科）如圖，網格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某兒何體的三視圖，該兒何

體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為

A.90K

C.42兀I).36K

4.（2017新課標全國HI理科）已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱

的體積為

3無

A.無B.

4

c71兀

C.一I).

24

5.（2017浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位:cm）,則該幾何體的體積（單位：cm'）是

俯視圖

A.-+1B.-4-3

22

c3兀,c3兀.

C.——+1D.-----F3

22

6.（2016新課標全國I理科）如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該

幾何體的體積是一叱，則它的表面積是

3

A.17”

C.20JtI).28Jt

7.（2016山東理科）一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示.則該幾何體的體積為

■

B.旦

12L

A.一+一兀

3333

J也兀1+也兀

D.

366

8.（2016四川理科）已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示，則該三棱錐

的體積是.

正視圖

9.（2016浙江理科）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的表面積是cm\體積是cm：

側視圖

俯視圖

10.（2017山東理科）由一個長方體和兩個［圓柱體構成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為

正短麗（主寰同）做||甲（左程凰）

11.（2017天津理科）已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積

為.

12.（2017江蘇）如圖，在圓柱內有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱的體積為

匕，球O的體積為匕，則J的值是.

“2

13.（2018江蘇卷）如圖所示，正方體的棱長為2,以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為

14.（2018天津卷理）已知正方體的棱長為1,除面43CO外，該正方體其余各面的中心分別為

點反F,G,〃，欣如圖），則四棱錐M—EEG”的體積為

7

15.（2018新課標II理科）已知圓錐的頂點為S,母線S4,S3所成角的余弦值為了，S4與圓錐底面所成角為

O

45°,若△SAB的面積為5后，則該圓錐的側面積為一

嶷參考答案,

變式拓展

-------

1.【答案】C

【解析】由三視圖畫出幾何體如圖所示，上、下底面分別為邊長是1、4的正方形；左、后兩個側面是上

底為1,下底為4,高為4的直角梯形；前、右兩個側面是上底為1,下底為4,高為5的梯形.

其表面積為.y=lxl+4x4+-x(l+4)x4x2+-x(l+4)x5x2=62.故選C.

22

2.【答案】A

【解析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為組合體，上部分是長方體，棱長分別為2,6,3,下部分為長方

體，棱長分別為6,6,3,

其表面積為S=4x6x3+2x6x6+（2+6）x2x3=192.

故選A.

【名師點睛】本題考查了求組合體的表面積問題，關鍵是由三視圖還原幾何體圖形，注意題目中的計算.

3.【答案】D

【解析】由甲的三視圖可知，該幾何體為一個正方體中間挖掉一個長方體，正方體的棱長為8,長方體

的長為4,定為4,高為6,則該幾何體的體積為匕=爐—4x4x6=416；

由乙的三視圖可知，該幾何體是一個底面邊長為9的正方形，高為9的四棱錐，則該幾何體的體積為

^=1x9x9x9=243..-.^-^=416-243=173,

故選D.

【名師點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問

題是考查學生空間想象能力的最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，

不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對

幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體的三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據正視圖和側視圖，確定組

合體的形狀.

4.【解析】（1）如圖，連接用M,

因為底面ABC是邊長為2的正三角形,

所以且AM=0,

因為8A=3,NCBB[=60,BM=1,

所以4十=P+3?■2xI，3xcos60'=7,

所以即/=",

又因為仙.=回,

所以AA/2+5A/2=]0=.J,

所以AA/,

又因為f

所以/MJ?平面30c

（2）設斜三棱柱ABC-4AG的體枳為V,

g

八則，，=也及/=3x3±S,yg趾公，=±,x2x3x?in6(rx▼6=12

,9

所以斜三樓柱ABC-4HG的體枳為予

【名師點睛】本題考查了立體幾何中線面垂直的證明，幾何體體積的求法，熟練掌握線面關系的證明原理非常重

要，屬于基礎題.（1）根據底面為正三角形，易得AML3C；由各邊長度，結合余弦定理，可求得gM的值,

再根據勾股定理逆定理可得AM_LB|M,從而可證AM_L平面BCCf;（2）將斜棱柱的體積，轉化為棱錐的

體積，結合三角形面積公式可求解.

5.【答案】A

【解析】由三視圖知：幾何體是球體切去,后余下的部分，球的半徑為2,...幾何體的表面積（1--）

44

X4JTX22+JtX2-16Jt.故答案為A.

【名師點睛】（1）本題主要考查由三視圖找到幾何體原圖，考查幾何體的表面積的計算，意在考查學生對這些知

識的掌握水平和空間想象推理能力.（2）通過三視圖找?guī)缀误w原圖的方法有兩種：直接法和模型法.

6.【答案】D

22+22-（2^）2

【解析】因為BC=8D=2,CD=26所以cos/CB。

2x2x2

1CD

因此三角形版的外接圓半徑為一?二一--=2,

2smZCBD

設外接球。的半徑為此則R2=22+（空）2=4+12=16,;.5=4兀店=空兀故選口.

233

【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點（一般為接、切點）或線作截

面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關系，或只畫內切、外接的幾何體

的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與該幾何體已知量的關系，列方程（組）求解.先確定三角形微

外接圓的半徑，再解方程得外接球半徑，最后根據球的體積公式得結果.

7.【答案】B

【解析】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個頂點位于長方體的四個頂點，即為三棱錐

A-CB.D,,且長方體ABC?！拈L、寬、高分別為2,a,b,

???此三棱錐的外接球即為長方體ABCD-4為CD1的外接球，

且球半徑為R=-----二------=------------>

22

二?三棱錐外接球的表面積為4n=瓦（4+於+/）=54”—爐+牛,

\/

171

???當且僅當“=1,》==時，三棱錐外接球的表面積取得最小值?瓦.

24

故選B.

【名師點睛】根據三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構造長方體，于是得到三棱錐的外接球即為長方

體的外接球，進而得到外接球的半徑，求得外接球的表面積后可求出最小值.

（1）解決關于外接球的問題的關鍵是抓住外接球的特點，即球心到多面體的頂點的距離都等于球的半徑，同時

要作一圓面起襯托作用.

（2）長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，對于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時可

考慮通過構造長方體，通過長方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.

考點沖關

-------------

1.【答案】A

【解析】長方體的體對角線的長是,陰\+（可+（府=273，所以球的半徑是V3，

所以該球的表面積是5=4兀（6丫=12兀，故選兒

【名師點睛】該題考查的是有關長方體的外接球的表面積問題，在解題的過程中，首先要明確長方體的外接球的

球心應在長方體的中心處，即長方體的體對角線是其外接球的直徑，從而求得結果.

2.【答案】B

【解析】由題意可知該幾何體的形狀如圖：

AC=1,CD=2,BC=3,ACLCD,四邊形8的是矩形，AC1BC,

所以該幾何體的體積為：gx2x3xl=2.故選B.

【名師點睛】本題考查幾何體的體積的求法，畫出幾何體的圖形，利用三視圖的數(shù)據求解幾何體的體積即可.三

視圖與幾何體的對應關系的判斷是解題的關鍵.

3.【答案】B

【解析】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個以主視圖為底面的四棱柱，底面面積為12,底面周長為16,棱

柱的高為3,故柱體的表面積登2X12+16X3=72.

4.KSK）A

［幅折］用一平面去所樗餐國航@再為K,呢/0B的*tz為I已如呼（到i”R!B的距值為Xffik

II的字梗力an.75?附dm助人AN■的3A.

5.m)B

__204M——

【U析】根據咬檢的體積公式，可傅5W陶?土方向絲產，"TM0=7叩3加0（立方尺），f

叱5g大協(xié)'等"附1.叱B

6.【答案】B

【解析】該圖形的表面積為圓柱的側面積、圓錐的側面積、球的表面積一半，其面積分別為：

圓柱側面積：E=6兀x7=42兀，圓錐側面積：S2=；x6兀x律彳=15兀，

半個球面的面積：53=（x471x32=18-所以表面積為75兀.故選B.

【名師點睛】本題主要考查表面積的計算，通過三視圖確定表面積，注意熟練掌握面積公式，還原時注意部分面

已經不存在，不要多求面積.根據題意可知該圖形的表面積應包含圓柱的側面積、圓錐的側面積、球的表面積一

半，共三部分，分別根據相應的面積公式即可求出結果.

7.【答案】B

【解析】如圖所示，該幾何體為四棱錐P—ABCD,其中R4,底面A8CD,底面A6C。是正方形，

所以該幾何體的體積1=!><22乂逐=短，故選B.

33

【名師點睛】該題考查的是有關應用幾何體的三視圖求其體積的問題，解題的思路就是根據三視圖還原幾何體,

利用其表面積公式求得對應的高，之后借助于椎體的體積公式求得結果.

8.【答案】（3+及）幾

【解析】由題意知所得幾何體為一個圓錐與圓柱的組合體,

則表面積為兀力+2兀泌+兀/=KX1XA/2+2兀xlxl+7txl=&兀+3兀-

9.【答案】4V18

【解析】設倒圓錐形器皿中水面的高為方cm,則水面圓的半徑為方tan30°=走人，則由n\42\84><（―/i）2X

333

￡h,解得加4匏豆

10.【答案】8（5-2指）兀

【解析】如圖，球。是正三棱錐尸的內切球，。到正三棱錐四個面的距離都是球的半徑夫.

產以是正三棱錐的高，即/W=l.占是方C邊中點，H在KE上，△加C的邊長為2面，

所以HE=——x）所以PE=出>可以得到=&；>/；="^AJSSC=~BC-PE=3-^2,

62

S/V加=￡~X（2&）,由等體積法得：%皿=^O-PAB+^O-PJLC+^O-PBC

所以LX6/X1=4X3應xKx3+lx6&xK,解得：R=*廠=網一2,

3332b+3也

所以此球的表面積是S=4nx（遍一2『=8（5-2指）n.

【名師點評】球心是決定球的位置關鍵點，本題利用球心到正三棱錐四個面的距離相等且為球半徑R來求出R，

以球心的位置特點來抓球的基本量，這是解決球有關問題常用的方法.

11.【解析】（1）：。。1■平面ABC。，PA//QD,

：.PA_L平面ABC。,

又；BCu平面ABCD,

:.PA1BC,

又BC_LAB,PAu平面PAB,ABu平面PAB,PAAB=A,

/.BC±平面PAB,

又,:BCu平面QBC,

平面PABJ?平面Q8C.

（2）連接5D，過6作30_LA￡）于0,

：P4,平面ABC。，8。匚平面48。。，

二PA1BO,

又B0J.AD,AOu平面PAOQ,PAu平面尸4。。，PAAD=A,

BOJ.平面PADQ,

,.?A￡）=AB=2,ZZMB=60°,

；?△ABD是等邊三角形，

:.BO=S.

=qBO=§xQ+2)*2*O=A.

??4DC=/H8C=90。，

；.ZCBD^ZCDBf

又S0=X5=2,

:,BC=CD=曲,

3

?'?Ss-ix2x^2xsinS00?^.

3233

QD1平面4BCD,

?p1ccnl后，2君

?*^Q-KD二5&fcrrfl^.1X-j-x2

???該組合體的體積V=/_但+yq-KD=

9

直通高考

1.【答案】c

【解析】根據三視圖可得幾何體為一個直四棱柱，高為2,底面為直角梯形，上、下底分別為1,2,梯形的高

為2,因此幾何體的體積為3*(1+2)*2、2=6,選。

【名師點睛】先由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀,再在具體幾何體中求體積或表面積等.

2.【答案】B

【3折】如圖牛親.*力“力三育事/"的?0.?向加中0.

fr<\1

|，，，I

I/???\;

、-—

當6Z)在平面心(：上的射/為MIL三椿帔。收?大.<11*OD=8=JT=4.

?:$3T史"S：.ABW"力三角'AK的■心，:AV-1.

43

IUAZM中，有<W，J3.??2,.AV=QD^ai/=4+2=6,

.-.<%yJ=：<9力<6=IB/，第送B

【名師點睛】本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷

出當點。在平面ABC上的射影為三角形4%'的重心時，三棱錐。-ABC體積最大很關鍵，由〃為三角形4%

的重心，計算得到6M=2BE=2JL再由勾股定理得到泌進而得到結果，屬于較難題型.

3

3.【答案】B

【解析】由題意，該幾何體是一個組合體，下半部分是一個底面半徑為3,高為4的圓柱，其體積

X=nx32x4=36兀，上半部分是一個底面半徑為3,高為6的圓柱的一半，其體積匕=-x(nx32x6)=27K,

2

故該組合體的體積V=乂+%=36兀+27兀=63兀.故選B.

【名師點睛】在由三視圖還原為空間兒何體的實際形狀時，要從三個