2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 （解析版）

2020-2021學(xué)年北京市西城區(qū)九年級第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共8小題）.

1.在拋物線y=N-4x-5上的一個點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（0,-4）B.（2,0）C.（1,0）D.（-1,0）

2.在半徑為6c機(jī)的圓中，60°的圓心角所對弧的弧長是（）

A.TicmB.2ircmC.3ncmD.6ucm

3.將拋物線＞=/先向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度，所得拋物線的解

析式為（）

A.y=（x+3）2+5B.y=（尤-3）2+5C.y=（x+5）2+3D.y=（x-5）2+3

4.2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個國家曾發(fā)行過

紫禁城元素的郵品.圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和

大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出

相關(guān)的幾何圖形（圖2）,我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2

中的四邊形ABCD與四邊形ABC。是位似圖形，點(diǎn)0是位似中心，點(diǎn)A是線段OA的

中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是（）

圖1圖2

A.四邊形A8CO與四邊形A8C。的相似比為1：1

B.四邊形ABC。與四邊形ABC。的相似比為1：2

C.四邊形ABC。與四邊形ABC。的周長比為3：1

D.四邊形ABCD與四邊形AbCO的面積比為4：1

5.如圖，43是。。的直徑，C。是弦，若/C￡）B=32°,則/ABC等于（）

A.68°B.64°C.58°D.32°

6.若拋物線y=〃N+"+c（〃#0）經(jīng)過A（1,0）,B（3,0）兩點(diǎn)，則拋物線的對稱軸為

（）

A.x=lB.x=2C.x=3D.x=4

7.近年來我國無人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，無人機(jī)駕駛員已正式成為國家認(rèn)可的新職業(yè)，中國民

用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從2017年底至2019年底，全國擁有民航局頒發(fā)的民用

無人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬人增加到約6.72萬人.若設(shè)2017年底至2019年底,

全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長率為心則可列出關(guān)于x的方程為（）

A.2.44（1+x）=6.72B.2.44（1+2無）=6.72

C.2.44（1+x）2=6.72D.2.44（1-尤）2=6.72

x+4（x<a）

8.現(xiàn)有函數(shù)9如果對于任意的實(shí)數(shù)”，都存在實(shí)數(shù)相，使得當(dāng)x=初時，

Lx"-2x（x》a）

y=〃，那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.-5WaW4B.-1W“W4C.-4&W1D.-44W5

二、填空題（共8小題）.

9.若正六邊形的邊長為2,則它的半徑是.

10.若拋物線y=a\2經(jīng)過4（1,3）,則該拋物線的解析式為.

11.如圖，在RtZvlBC中，ZC=90°,AC=6,AB=9,貝！|sinB=.

12.若拋物線y=ox2+bx+c（a+。）的示意圖如圖所示，則。0,b0,c0

（填,“="或.

13.如圖,AB為。。的直徑,AB=10,CD是弦,AB，。于點(diǎn)E,若C￡)=6,則EB=.

14.如圖,尸4尸2是。。的兩條切線,42為切點(diǎn)，若。1=2,/”8=60°,則PB=

15.放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮小.

制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點(diǎn)4B,C,。處連接起來，使得

直尺可以繞著這些點(diǎn)轉(zhuǎn)動，。為固定點(diǎn)，OD=DA=CB,DC=AB=BE,在點(diǎn)4,E處分

別裝上畫筆.

畫圖：現(xiàn)有一圖形〃，畫圖時固定點(diǎn)O,控制點(diǎn)A處的筆尖沿圖形M的輪廓線移動，此

時點(diǎn)￡處的畫筆便畫出了將圖形M放大后的圖形N.

原理：

若連接。4,0E,可證得以下結(jié)論：

①△OZM和△OCE為等腰三角形，則/。04=3(180°-/ODA),ZCOE=-^-(180°

-N);

②四邊形ABC。為平行四邊形(理由是)；

@ZDOA=ZCOE,于是可得。，A,E三點(diǎn)在一條直線上；

④當(dāng)路洛時，圖形N是以點(diǎn)。為位似中心，把圖形M放大為原來的______倍得到的.

CD5

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P(4,3),OO經(jīng)過點(diǎn)尸.點(diǎn)A,點(diǎn)8在y軸上，

PA=PB,延長PA,PB分別交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)。，設(shè)直線C。與無軸正方向所夾的銳角

為a.

(1)O。的半徑為;

(2)tana=.

三、解答題(共52分，第17、18、20~22題每小題5分，第19題6分，第23?25題每

小題5分)

17.計算：2sin60°-tan45°+cos230°.

18.已知關(guān)于x的方程x^+2x+k-4=0.

(1)如果方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求左的取值范圍；

(2)若％=1,求該方程的根.

19.借助網(wǎng)格畫圖并說理：

如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△A8C的三個頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，點(diǎn)A在8C邊的上

方，于點(diǎn)。，BD=4,CD=2,AD=3.以8C為直徑作。0,射線D4交O。于

點(diǎn)E,連接CE.

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)填空：/BEC=0,理由是；

(3)判斷點(diǎn)A與OO的位置關(guān)系并說明理由;

(4)ABAC/BEC(填“>"或).

20.二次函數(shù)丫="2+%+(?(°W0)的圖象經(jīng)過(3,0)點(diǎn)，當(dāng)無=1時，函數(shù)的最小值為-

(1)求該二次函數(shù)的解析式并畫出它的圖象；

(2)直線x—m與拋物線y—ax2+bx+c(aWO)和直線>=尤-3的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C,點(diǎn)D,

點(diǎn)C位于點(diǎn)D的上方，結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫出m的取值范圍.

21.如圖，為。。的直徑，AC為弦,點(diǎn)D在。。外，NBCD=NA,交。。于點(diǎn)E.

(1)求證：是。。的切線；

Q

(2)若。=4,AC=2.7,cos/BCD=言，求。E的長.

ED

22.如圖，正方形A8CD的邊長為4,點(diǎn)E在邊上，BE=1,尸為BC邊的中點(diǎn).將正

方形截去一個角后得到一個五邊形4所。，點(diǎn)P在線段所上運(yùn)動(點(diǎn)尸可與點(diǎn)E,點(diǎn)

廠重合)，作矩形其中M,N兩點(diǎn)分別在C，AD邊上.

設(shè)CM=x,矩形PMDN的面積為S.

(1)DM=(用含x的式子表示)，x的取值范圍是；

(2)求S與尤的函數(shù)關(guān)系式；

(3)要使矩形PMDN的面積最大，點(diǎn)P應(yīng)在何處？并求最大面積.

N

aiD

￡L

XI”

BF。

23.已知拋物線y=[x2+x.

(1)直接寫出該拋物線的對稱軸，以及拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)已知該拋物線經(jīng)過A(3w+4,ji),B(2a-1,以)兩點(diǎn).

①若n<-5,判斷yi與"的大小關(guān)系并說明理由；

②若A,8兩點(diǎn)在拋物線的對稱軸兩側(cè)，且”>券，直接寫出w的取值范圍.

24.在RtZXABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,2C=?.將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋

轉(zhuǎn)a(0°<aW120。)得到△ABC,點(diǎn)A,點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A,點(diǎn)C.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。恰好為線段A4,的中點(diǎn)時，a=°,44』；

(2)當(dāng)線段A4與線段CC有交點(diǎn)時，記交點(diǎn)為點(diǎn)D

①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段與A。的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

②連接8。，請直接寫出BD的長的取值范圍.

圖1圖2

25.對于平面內(nèi)的圖形Gi和圖形G2,記平面內(nèi)一點(diǎn)P到圖形G上各點(diǎn)的最短距離為d,

點(diǎn)尸到圖形&上各點(diǎn)的最短距離為本，若di=d2,就稱點(diǎn)尸是圖形Gi和圖形&的一個

“等距點(diǎn)”.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(6,0),B(0,2、/與).

(1)在R(3,0),S(2,0),T(1,收)三點(diǎn)中，點(diǎn)A和點(diǎn)B的等距點(diǎn)是；

(2)已知直線y=-2.

①若點(diǎn)A和直線>=-2的等距點(diǎn)在x軸上，則該等距點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②若直線y=a上存在點(diǎn)A和直線y=-2的等距點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)記直線A8為直線/i,直線自y=-噂x,以原點(diǎn)。為圓心作半徑為7■的O。.若

O

Q0上有m個直線Zi和直線h的等距點(diǎn)，以及n個直線Zi和y軸的等距點(diǎn)(加WO,九WO),

當(dāng)機(jī)#九時，求廠的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（共24分，每小題3分）

1.在拋物線y=N-4%-5上的一個點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（0,-4）B.（2,0）C.（1,0）D.（-1,0）

解：當(dāng)x=0時，y=-5,因此（0,-4）不在拋物線y=N-4%-5,

當(dāng)％=2時，y=4-8-5=-9,因止匕（2,0）不在拋物線y=N-4%-5上，

當(dāng)％=1時，^=1-4-5=-8,因此（1,0）不在拋物線y=N-4x-5上，

當(dāng)x=-1時，y=l+4-5=0,因止匕（-1,0）在拋物線y=x2-4%-5上，

故選：D.

2.在半徑為6c機(jī)的圓中，60°的圓心角所對弧的弧長是（）

A.ucmB.2ircmC.3itemD.6ncm

解：弧長為：叱j6=2TT（cm）.

loU

故選：B.

3.將拋物線y=N先向右平移3個單位長度，再向上平移5個單位長度，所得拋物線的解

析式為（）

A.y=（尤+3）2+5B.y=（尤-3）2+5C.y=（x+5）2+3D.y—（x-5）2+3

解：將拋物線先向右平移3個單位長度，得：y=（尤-3）2；

再向上平移5個單位長度，得：y=（x-3）2+5,

故選：B.

4.2020年是紫禁城建成600年暨故宮博物院成立95周年，在此之前有多個國家曾發(fā)行過

紫禁城元素的郵品.圖1所示的摩納哥發(fā)行的小型張中的圖案，以敞開的紫禁城大門和

大門內(nèi)的石獅和太和殿作為郵票和小型張的邊飾，如果標(biāo)記出圖1中大門的門框并畫出

相關(guān)的幾何圖形（圖2）,我們發(fā)現(xiàn)設(shè)計師巧妙地使用了數(shù)學(xué)元素（忽略誤差），圖2

中的四邊形ABCD與四邊形A8CD是位似圖形，點(diǎn)。是位似中心，點(diǎn)A是線段OA的

中點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的是（）

圖1圖2

A.四邊形A8CO與四邊形ABC。，的相似比為1：1

B.四邊形A8CZ)與四邊形ABCO的相似比為1：2

C.四邊形A8C。與四邊形AB'CO的周長比為3：1

D.四邊形ABC。與四邊形AECO的面積比為4：1

解：：四邊形ABCD與四邊形A8CO是位似圖形，點(diǎn)0是位似中心，點(diǎn)A'是線段OA

的中點(diǎn)，

：.OA'：OA=1：2,

：.A'B'：AB=1：2,

四邊形ABC。與四邊形A8CD的相似比為2：1,周長的比為2：1,面積比為4：1.

故選：D.

5.如圖，A8是。。的直徑，CD是弦,若NC￡)8=32°,貝U/4BC等于()

解：?.?AB是。。的直徑,

NADB=90°,

：.ZADC+ZCDB^9Q°,

ZADC=90°-ZCZ)B=90°-32°=58°,

,：ZABC=ZADC,

：.ZABC=58°,

故選：C.

6.若拋物線>=辦2+匕尤+。(qWO)經(jīng)過A(1,0),B(3,0)兩點(diǎn)，則拋物線的對稱軸為

()

A.x=lB.x=2C.x=3D.x=4

解：??,拋物線y=N+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，

,拋物線對稱軸為直線犬=號=2,

故選：B.

7.近年來我國無人機(jī)產(chǎn)業(yè)迅猛發(fā)展，無人機(jī)駕駛員已正式成為國家認(rèn)可的新職業(yè)，中國民

用航空局的現(xiàn)有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，從2017年底至2019年底，全國擁有民航局頒發(fā)的民用

無人機(jī)駕駛執(zhí)照的人數(shù)已由約2.44萬人增加到約6.72萬人.若設(shè)2017年底至2019年底,

全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長率為x,則可列出關(guān)于x的方程為()

A.2.44(1+x)=6.72B.2.44(l+2x)=6.72

C.2.44(1+x)2=6.72D.2.44(1-x)2=6.72

解：設(shè)2017年底至2019年底，全國擁有民用無人機(jī)駕駛執(zhí)照人數(shù)的年平均增長率為羽

則可列出關(guān)于1的方程為2.44(1+x)占6.72,

故選：C.

x+4(x<a)

8.現(xiàn)有函數(shù)9如果對于任意的實(shí)數(shù)力都存在實(shí)數(shù)如使得當(dāng)％=根時，

Lx，-2x(x)a)

y=n9那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.B.C.D.-

解：令X+4=N-2X,

整理得，x2-3x-4=0,

解得的=-L%2=4,

由圖象可知，當(dāng)-lWaW4時，對于任意的實(shí)數(shù)小都存在實(shí)數(shù)相，使得當(dāng)％=機(jī)時，函

數(shù)>=九，

故選：B.

VA

二、填空題(本題共24分，每小題3分)

9.若正六邊形的邊長為2,則它的半徑是2

解：如圖所示，連接OC；

:此六邊形是正六邊形,

360°

NBOC=~T=60°,

"：OB=OC,

.,.△BOC是等邊三角形,

：.OB=OC=BC=2.

10.若拋物線y=ax2QW0)經(jīng)過A(1,3),則該拋物線的解析式為y=3N

解：把A(1,3)代入丫=°尤2(aWO)中,

得3=。*I2,

解得。=3,

所以該拋物線的解析式為y=3N.

故答案為：y=3N.

2

11.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°，AC=6,AB=9,則sin8=

一3一

解：在RtZ\A8C中，ZC=90°,AC=6,AB=9,

mil.RAC62

故答案為：

O

12.若拋物線y—ax2+bx+c(a+0)的示意圖如圖所示，則a>0,b<0,c<0

（填“>”，“=”或.

解：：拋物線開口方向向上,

:對稱軸在y軸的右側(cè)，

：.b<0,

,/拋物線與J軸交于負(fù)半軸,

.?.c<0.

故答案為〉，<,<.

13.如圖，為。。的直徑，AB=10,CD是弦，于點(diǎn)E,若CD=6,則EB=1

C

解：連接0C,如圖所示：

:弦CD_L4B于點(diǎn)E,C￡>=6,

：.CE=ED=—CD=3,

2

:在RtZXOEC中，ZO￡C=90°,CE=3,OC=/AB=5,

.1.OE=^52-32=4,

：.BE=OB-OE=—AB-OE=5-4=1,

2

故答案為：1.

14.如圖，PA,PB是O。的兩條切線，A,B為切點(diǎn),若04=2,ZAPB=60°,貝。尸8=

解：-：PA,是。。的兩條切線，ZAPS=60°,。4=。8=2,

/.ZBPO=-^ZAPB=30°,BOLPB.

；.PO=2AO=4,

^=VP02-0B2=V42-22=2V3-

故答案是：2M.

15.放縮尺是一種繪圖工具，它能把圖形放大或縮小.

制作：把鉆有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分別在點(diǎn)A,B,C,。處連接起來，使得

直尺可以繞著這些點(diǎn)轉(zhuǎn)動，。為固定點(diǎn)，OD=DA=CB,DC=AB=BE,在點(diǎn)A,E處分

別裝上畫筆.

畫圖：現(xiàn)有一圖形畫圖時固定點(diǎn)。，控制點(diǎn)A處的筆尖沿圖形加的輪廓線移動，此

時點(diǎn)E處的畫筆便畫出了將圖形M放大后的圖形N.

原理：

若連接OA,OE,可證得以下結(jié)論：

①△OD4和△OCE為等腰三角形，則/。OA制(180°-/ODA),ZCO￡=-^(180°

-ZOCE)；

②四邊形ABCD為平行四邊形(理由是兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)；

@ZDOA=ZCOE,于是可得。，A,E三點(diǎn)在一條直線上；

④當(dāng)塢?時，圖形N是以點(diǎn)。為位似中心，把圖形M放大為原來的—皂倍得到的.

解：①和△OCE為等腰三角形，

：.ZDOA=^-(180°-ZODA),ZCOE=-^(180°-/OCE)；

@'：AD^BC,DC=AB,

四邊形ABC。為平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)；

③連接04,AE,

9

：ZDOA=ZCOEf

???0,A,E三點(diǎn)在一條直線上;

???設(shè)C0=A3=BE=3x,0D=AD=BC=5xf

???四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.AAOD^AEOC,

.OC=3x+5x=8

,?瓦—5x一丁

???圖形N是以點(diǎn)。為位似中心，把圖形M放大為原來的■!，

D

故答案為：OCE；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

D

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，P（4,3）,OO經(jīng)過點(diǎn)尸.點(diǎn)A,點(diǎn)8在y軸上，

PA=PB,延長PA,PB分別交。。于點(diǎn)C,點(diǎn)。，設(shè)直線8與無軸正方向所夾的銳角

為a.

（1）G。的半徑為5；

解：（1）連接OP.

VP(4,3),

22

JOP=^3+4=5,

故答案為：5.

(2)設(shè)CD交無軸于/過點(diǎn)尸作P7UA3交。。于T,交0C于E,連接CT,DT,0T.

VP(4,3),

：.PE=4,0E=3,

PFA

在Rt^OPE中，tanNPOE=^=m，

VOE±PTfOP=OT,

：.ZPOE=ZTOE,

：.ZPDT=—ZPOT=/POE,

2

'：PA=PB.PELAB,

：.ZAPT=/DPT,

???TC=D「

：.ZTDC=ZTCD,

〈PT〃無軸，

；?/CJO=NCKP,

■:NCKP=NTCK+/CTK,NCTP=NCDP,ZPDT=ZTOC+ZCDP,

：.ZTDP=ZCJO,

；?/CJO=NPOE,

4

tanNG/O=tanNPOE=—

故答案為：—.

三、解答題(本題共52分，第17、18、20-22題每小題5分，第19題6分，第23?25

題每小題5分)

17.計算：2sin60°-tan45°+cos230°.

解：原式=2X冷-1+(乎)2

18.已知關(guān)于x的方程N(yùn)+2x+k-4=0.

(1)如果方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求左的取值范圍；

(2)若左=1,求該方程的根.

解：(1)△=22-4XlX(k-4)=20-4k.

:方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

.,.△>0.

/.20-4k>0,

解得上<5；

(2)當(dāng)％=1時，原方程化為爐+2%-3=0,

(x-1)(尤+3)=0,

x-1=0或無+3=0,

解得無1=1,尤2=-3.

19.借助網(wǎng)格畫圖并說理：

如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，△A8C的三個頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)，點(diǎn)4在BC邊的上

方，AOL8C于點(diǎn)。，BD=4,CD=2,AD=3.以8C為直徑作。。，射線D4交于

點(diǎn)E,連接BE,CE.

(1)補(bǔ)全圖形；

(2)填空：ZBEC=900,理由是直徑所對的圓周角是直角；

(3)判斷點(diǎn)A與O。的位置關(guān)系并說明理由；

(4)ABAC<ZBEC(填“>”，“=”或.

(2)是直徑，

.1.ZBEC=90°(直徑所對的圓周角是直角).

故答案為：90,直徑所對的圓周角是直角.

(3)點(diǎn)A在。。外.

理由如下：連接。A.

,：BD=4,CD=2,

:.BC=BD+CD=6,r=—=3.

2

-：AD±BC,

：.ZODA=9Q°,

在RtZXAO。中，AD=3,0D=BD-OB=1,

OA=VOD2+AD2=Vl2+32=V10-

1?,710>3,

OA>rf

，點(diǎn)A在O。外.

(4)觀察圖像可知：ZBAC＜ZBEC.

故答案為：＜.

20.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a=0)的圖象經(jīng)過(3,0)點(diǎn)，當(dāng)x=l時，函數(shù)的最小值為-

4.

(1)求該二次函數(shù)的解析式并畫出它的圖象；

(2)直線x=m與拋物線y=ax2+bx+c(aWO)和直線y=x-3的交點(diǎn)分別為點(diǎn)C,點(diǎn)D,

點(diǎn)C位于點(diǎn)D的上方，結(jié)合函數(shù)的圖象直接寫出m的取值范圍.

解：(1),當(dāng)尤=1時，二次函數(shù)y=ox2+bx+c(qWO)的最小值為-4,

二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為(1,-4),

二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y=a(x-1)2-4(aWO),

:二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(3,0)點(diǎn)，

：.a(3-1)2-4=0.

解得a=1.

.,.該二次函數(shù)的解析式為y=(x-1)2-4；

如圖，

(2)由圖象可得加＜?；驒C(jī)＞3.

21.如圖，為的直徑，AC為弦，點(diǎn)。在。。外，ZBCD=ZA,OO交。。于點(diǎn)E.

(1)求證：8是。。的切線；

Q

(2)若。=4,AC=2.7,cosZBCD=-^y,求。E的長.

〈AB為。。的直徑，AC為弦，

AZACB=90°,ZOCB+ZACO=90°.

9

：0A=0Cf

：.ZACO=ZA.

'：ZBCD=ZAf

：.ZACO=ZBCD.

：.ZOCB+ZBCD=90°.

：.ZOCD=90°.

：.CD_LOC.

???0C為。。的半徑,

???8是。0的切線;

q

(2)解：9：ZBCD=ZA,cosNBCZ)=云,

9

cosA=cosZBCD=--

20

9

在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=2.7,cosA

20

27

.anAC年久

..AB=----=9=6.

cosh元

AR

???OC=OE=-^-=3

2

在RtZkOCQ中，ZOCD=90°,OC=3,CD=4,

OD=VOC2-<D2=VS2+42=5-

：.DE=OD-OE=5-3=2.

22.如圖，正方形ABC。的邊長為4,點(diǎn)E在AB邊上，BE=1,尸為BC邊的中點(diǎn).將正

方形截去一個角后得到一個五邊形AEFCZ）,點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動（點(diǎn)尸可與點(diǎn)E,點(diǎn)

廠重合），作矩形PMDN,其中M,N兩點(diǎn)分別在CD,邊上.

設(shè)CM=x,矩形PMON的面積為S.

（1）DM=4-x（用含x的式子表示）,尤的取值范圍是OWxWl；

（2）求S與無的函數(shù)關(guān)系式；

（3）要使矩形PATON的面積最大，點(diǎn)尸應(yīng)在何處？并求最大面積.

解：（1）?正方形ABC。的邊長為4,CM^x,BE=1,

：.DM^DC-CM^4-x,其中OWxWl.

故答案是：4-x,OWxWl；

(2)如圖，延長MP交45于G,

:正方形ABC。的邊長為4,尸為8C邊的中點(diǎn)，四邊形PMDN是矩形，CM=x,BE=1,

：.PM//BC,BF=FC=/BC=2,BG=MC=X,GM=BC=4,

：.小EGPsAEBF,EG=1-尤，

.EGPGBn1-xPG

EBBF12

：.PG=2-2x,

：.DN=PM=GM-PG=4-(2-2x)=2+2x,

:.S=DM?DN=(4-x)(2x+2)=-2x2+6x+8,其中OWxWl.

(3)由(2)知，S=-2x2+6x+8,

?.?〃=-2<0,

此拋物線開口向下，對稱軸為無=-2=■，即X-I，

3

.?.當(dāng)?時，y隨尤的增大而增大.

:尤的取值范圍為OWxWl,

當(dāng)尤=1時，矩形PATON的面積最大，此時點(diǎn)P與點(diǎn)E重合，此時最大面積為12.

(1)直接寫出該拋物線的對稱軸，以及拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)已知該拋物線經(jīng)過A(3"+4,ji),B(2n-1,”)兩點(diǎn).

①若〃<-5,判斷州與"的大小關(guān)系并說明理由；

②若A,B兩點(diǎn)在拋物線的對稱軸兩側(cè)，且州〉以，直接寫出”的取值范圍.

解：(1),.,>=志2+無，

1

對稱軸為直線彳=-「、支=-1，

2~2

令尤=0,則y=0,

...拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),

(2)XA-XB=(3〃+4)-(2n-1)=〃+5,XA-1=(3〃+4)-1=3〃+3=3(n+1),XB

-1=(2n-1)-l=2n-2=2(n-1).

①當(dāng)〃V-5時，XA-l<0,XB-l<0,XA-Xfi<0.

???A,3兩點(diǎn)都在拋物線的對稱軸x=l的左側(cè)，且用<加，

拋物線y-x2+x開口向下，

在拋物線的對稱軸尤=1的左側(cè)，y隨尤的增大而增大.

.'.yi<y2；

②若點(diǎn)A在對稱軸直線x=l的左側(cè)，點(diǎn)B在對稱軸直線x=l的右側(cè)時，

‘3n+4<l

由題意可得2n-l>l,

l-(3n+4)>(2n-l)-l

...不等式組無解，

若點(diǎn)B在對稱軸直線尤=1的左側(cè)，點(diǎn)A在對稱軸直線x=l的右側(cè)時，

'3n+4>l

由題意可得：J2n-l<l,

l-(2n-l)<3n+4-l

——1,

5

綜上所述：-春<“<1.

b

24.在RtZsABC中，ZACB=90°,ZABC=3Q°,8C=?.將△ABC繞點(diǎn)8順時針旋

轉(zhuǎn)a(0°<aW120°)得到△A'BC,點(diǎn)A,點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A,點(diǎn)C.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。恰好為線段A4,的中點(diǎn)時，a=60°,AA'=2；

(2)當(dāng)線段AA與線段CC有交點(diǎn)時，記交點(diǎn)為點(diǎn)D

①在圖2中補(bǔ)全圖形，猜想線段AD與AD的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

②連接2D請直接寫出的長的取值范圍.

圖1圖2

解：（1）VZC=90°,BC=a，ZABC=30°,

.*.AC=BC*tan30°=1,

：.AB=2AC=2,

u：BA=BAr,AC=A'C',

：.ZABCr=ZArBC=30°,

：.AABA'是等邊三角形，

.,.a=60°,AA'=AB=2.

故答案為：60,2.

(2)①補(bǔ)全圖形如圖所示：結(jié)論：AD^AD.

圖2

理由：如圖2,過點(diǎn)A作4C的平行線，交CC于點(diǎn)E,記/1=仇

:將RtAABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)a得到RtAA'BC,

/.ZA'CB=ZACB=90°,A'C