高考數(shù)學(xué)重點難點題型解析及思路總結(jié)

高考數(shù)學(xué)重點、難點、必考點題型解析及思路總結(jié)

“會而不對，對而不全”一直以來成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績提高的重要因素，成為

學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作

用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗精心挑選學(xué)生在考試中常見的66個易錯、

易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、難，

進行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問

題在高考中確實存在，另一方面通過作針對性練習(xí)幫你識破命題者精心設(shè)計的陷

阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實現(xiàn)自已的理想報負(fù)。

【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。

例1、設(shè)人=1|1-8x+15=0},3={x|℃-1=0},若AB=B,求實數(shù)a組

成的集合的子集有多少個？

【易錯點分析】此題由條件AB=B易知BqA,由于空集是任何非空集合的

子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產(chǎn)生漏解現(xiàn)

象。

解析：集合A化簡得A={3,5},由A8=8知BqA故（I）當(dāng)8時，即方

程5-1=0無解，此時a=0符合已知條件（II）當(dāng)8工。時，即方程以―1=0的

解為3或5,代入得或綜上滿足條件的a組成的集合為故其

JJI口J\

子集共有23=8個。

【知識點歸類點拔】（1）在應(yīng)用條件AUB=BoACB=AoACB時，要樹

立起分類討論的數(shù)學(xué)思想，將集合A是空集中的情況優(yōu)先進行討論.

（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無序性、互異性”特別

是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結(jié)果是滿足集合中元素的

這個性質(zhì)，此外，解題過程中要注意集合語言（數(shù)學(xué)語言）和自然語言之間的轉(zhuǎn)

化如：4={(x,y)|x2+y2=4},8={(x,y)|(x-3『+(y-4)2=/},其中r〉0,

若A8求r的取值范圍。將集合所表達的數(shù)學(xué)語言向自然語言進行轉(zhuǎn)化就

是：集合A表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以(3,4)為圓心，

以r為半徑的圓，當(dāng)兩圓無公共點即兩圓相離或內(nèi)含時，求半徑r的取值范圍。

思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合

語言的應(yīng)用。

【練1】已知美合A={x|%2+4x=。}、B=|x2+2(a+l)x+a2-1=01,

B^A,則實數(shù)a的取值范圍是。答案：。=1或。4一1。

【易錯點2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。

例2、已知(x+2y+?=l,求f+y2的取值范圍

【易錯點分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于X的函數(shù)

最值求解，但極易忽略X、y滿足(x+2)2+?=l這個條件中的兩個變量的約束

關(guān)系而造成定義域范圍的擴大。

2V2V2

解析：由于(龍+2)=1得(x+2)2=l-41,從而

x2+y2=-3x2-l6x-12=

OQQOQ

+?因此當(dāng)x=-l時X?+y2有最小值1,當(dāng)x=?時，x2+F有最大值?。故x2+9

的取值范圍是[1,y]

【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件

(x+2)2+[=l對x、y的限制，顯然方程表示以(-2,0)為中心的橢圓，則易

知-3WxW-l,-2<y<2o此外本題還可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角最值求解。

22

【練2】(05高考重慶卷)若動點知)在曲線亍+方=1e>0)上變化，則》2+2〉

的最大值為()

fA2[A2

(A)T+4(0<Z?<4)(B)丁4(。<"2)?"+4(D)2b

,,4

2。924)[2b(b>2)

答案：A

【易錯點3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。

例3、/(力=\手是R上的奇函數(shù)，(1)求a的值(2)求的反函數(shù)/T(X)

【易錯點分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)

的值域而出錯。

解析：(1)利用/(X)+/(T)=O(或”0)=0)求得a=l.

2^~1

(2)由a=l即_/(x)=5匚1，設(shè)y=/(x),則2*(l-y)=l+y由于ywl故

i+y

2、=總，%=唾2虧，而〃x)=W|=l一品G(T，1)所以

i~y/十1z+1

1+X

【知識點歸類點拔】(1)在求解函數(shù)的反函數(shù)時，一定要通過確定原函數(shù)的值域

即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明(若反函數(shù)的定義域為R可省略)。

(2)應(yīng)用尸S)=aof(a)=b可省略求反函數(shù)的步驟,直接利用原函數(shù)求解但

應(yīng)注意其自變量和函數(shù)值要互換。

【練3】(全國理)函數(shù)/(x)=Gi+l(xNl)的反函數(shù)是()

A、>=%2-2x+2(x<l)B、y-x1-2%+2(x>l)

C、y-x1-2x^x<l)D、y-x2-2x(x>1)

答案：B

【易錯點4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯位

1_9y

例4、已知函數(shù)/(力=二1，函數(shù)y=g(x)的圖像與丁=尸(》一1)的圖象關(guān)于

直線y=x對稱，則y=g(x)的解析式為()

A、g(x)=^^B、g(x)=WC、g(x)=MD、g(x)=S

【易錯點分析】解答本題時易由y=g(x)與y=/T(x—l)互為反函數(shù)，而認(rèn)為

y=/T(x—l)的反函數(shù)是y=/(x—l)則y=g(x)=/(x—l)=

l-2(x-l)f而錯選A。

1+(x-l)X

解析：由〃上w得廣(上看從而尸尸(i)=守再

求丁=尸|(》—1)的反函數(shù)得g(x)=會。正確答案：B

【知識點分類點拔】函數(shù)丁=廣1(%-1)與函數(shù)y=/(x—l)并不互為反函數(shù)，他

只是表示廣1(力中x用x-l替代后的反函數(shù)值。這是因為由求反函數(shù)的過程來看:

設(shè)y=/(x—l)則/-1(y)=x-l,

》=尸(丁)+1再將x、y互換即得y=〃x-l)的反函數(shù)為丁=尸(司+1,故

丁=/(%-1)的反函數(shù)不是丁=/-1(%-1),因此在今后求解此題問題時一定要謹(jǐn)

慎。

【練4】(高考福建卷)已知函數(shù)y=lo&x的反函數(shù)是y=f」(x),則函數(shù)y=f&x)

的圖象是。

【易錯點5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原

點對稱。

例5、判斷函數(shù)/*)=的奇偶性。

|x—2|-2

【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解:

從而得出函數(shù)/(X)為非奇非偶函數(shù)的錯誤結(jié)論。

1—>0

解析：由函數(shù)的解析式知X滿足，即函數(shù)的定義域為(一1,0)(0,1)定義

2|#±2

位(1一爐)

域關(guān)于原點對稱，在定義域下〃力=口——^易證/(r)=-/(x)即函數(shù)為奇函

—X

數(shù)。

【知識點歸類點拔】(1)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要但

不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時一定要先研究函數(shù)的定義域。

(2)函數(shù)/(x)具有奇偶性，則〃力=/(-力或-是對定義域內(nèi)x

的恒等式。常常利用這一點求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。

【練5】引斷下列函數(shù)的奇偶性：

2「/(%)=(%—1+sinx+cosx

l/(x)=+Vx-41)^------/(x)

1+sinx-cosx

答案：①既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)②非奇非偶函數(shù)③非奇非偶函數(shù)

【易錯點6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過程

繁鎖。

(11\

例6、函數(shù)/(x)=log22，+i■或的反函數(shù)為尸(X),證明尸(X)是奇

\22J

函數(shù)且在其定義域上是增函數(shù)。

【思維分析】可求/NX)的表達式，再證明。若注意到廣1(工)與/(X)具有相同

的單調(diào)性和奇偶性，只需研究原函數(shù)/(X)的單調(diào)性和奇偶性即可。

-2x-l2H-1X

解析：/(-x)=log-2A+1=log^'=-log*=-/(x),故/(x)為奇函數(shù)從而

尸（X）為奇函數(shù)。3—在g）和上均為增函數(shù)

—00,—

2

且y=log2'為增函數(shù)，故/（X）在和（g,+8）上分別為增函數(shù)。故尸⑺

分別在（0,”）和（F,0）上分別為增函數(shù)。

【知識點歸類點拔】對于反函數(shù)知識有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)

必有反函數(shù)。（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)

性。（3）定義域為非單元素的偶函數(shù)不存在反函數(shù)。（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)

（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即

『（b）=aof（a）=b°

【練6】（1）（99全國高考題）已知/。）=上千，則如下結(jié)論正確的是。

A、“X）是奇函數(shù)且為增函數(shù)B、/（x）是奇函數(shù)且為減函數(shù)

C、“X）是偶函數(shù)且為增函數(shù)D、“X）是偶函數(shù)且為減函數(shù)

答案：A

⑵（天津卷）設(shè)尸（x）是函數(shù)-Q）（a>1）的反函數(shù)，則使尸（x）>1成

立的x的取值范圍為。A、（限,+8）B、（一8,唳）C、（F，a）

2a2a2a

D、（a,+oo）

答案：A（a>l時，單調(diào)增函數(shù)，所以尸（x）>I=/（/T（X））>/⑴ox>〃1）=嚓?.）

【易錯點7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹立

定義域優(yōu)先的原則。

例7、試判斷函數(shù)/（x）="+g（a>08>0）的單調(diào)性并給出證明。

【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。

特別注意定義玉€。,工26。/（%）>/（動（/（玉）</（工2））中的對工2的任意性。以

及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是函數(shù)定義域的子集，要樹立定義域優(yōu)先的意識。

解析：由于即函數(shù)/（X）為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)“X）在

,%2

（0,+。。）上的單調(diào)性即可。設(shè)玉>%2>0,/（X,）-/（X2）=（X1~%2）^-由于

%1%2

%1~X2>0故當(dāng)司,工2￡+00時/&）一/（%2）>0,此時函數(shù)“X）在

/

、區(qū)］上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為

+8上增函數(shù)，同理可證函數(shù)/（x）在0,

a,

7

剽為減函數(shù)，在，為增函數(shù)。綜上所述：函

奇函數(shù)，故函數(shù)在

、

3和b

數(shù)了（同在-00,-+8上分別為增函數(shù)，在0,./—II—■上分

a

7

別為減函數(shù).

【知識歸類點拔［（1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的

范圍、最值等問題中，應(yīng)引起足夠重視。

（2）單調(diào)性的定義等價于如下形式：/（%）在句上是增函數(shù)

=以止3〉0,/（x）在以上是減函數(shù)=區(qū)上3<0,這表明增

XI—x2玉一馬

減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩點a，/a））,（wj（w））連線的

斜率都大于（小于）零。

（3）〃x）=ax+g（a>0力>0）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。

但注意本題中不能說“X）在|用+8上為增函數(shù)，在。，用

［一后,0上為減函數(shù)，在敘述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時不能在多個單調(diào)區(qū)間之間添加符

號“U”和“或”，

【練7】（1）（濰坊市統(tǒng)考題）/（x）=ax+詈（a>0）（1）用單調(diào)性的定義判

斷函數(shù)“X）在（0,中功上的單調(diào)性。⑵設(shè)/（x）在0<x?l的最小值為g（a）,求

y=g(a)的解析式。

答案：(1)函數(shù)在9，+°°)為增函數(shù)在(0，/)為減函數(shù)。(2)

/\2--(a>l)

y=g(a)=ja

Q(0<QVl)

(天津)設(shè)a>0且+：為R上的偶函數(shù)。⑴求a的值(2)

ae

試判斷函數(shù)在(0,物)上的單調(diào)性并給出證明。

答案：(1)a=\(2)函數(shù)在(O,T8)上為增函數(shù)(證明略)

【易錯點8]在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作

充要條件使用，導(dǎo)致錯誤結(jié)論。

例8、(全國高考卷)已知函數(shù)〃力=渥+3%2—x+1上是減函數(shù)，求a的取值范

圍。

【易錯點分析】r(x)<0(x?aM)是“X)在(〃力)內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條

件，在解題過程中易誤作是充要條件，如/(x)=-Y在R上遞減，但

/,(X)=-3X2<0O

解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),f'(x)=3加+6x—1⑴當(dāng)./(x)<0時，"X)是減函數(shù)，

則/,(x)=3ax2+6X-1<0(XG7?)故<；<，解得°<一3。(2)當(dāng)&=一3時，

/(力=一31+3犬2一%+1=_3(%一；)+￡易知此時函數(shù)也在R上是減函數(shù)。(3)

當(dāng)。>-3時，在R上存在一個區(qū)間在其上有/'(力>0,所以當(dāng)a>-3時，函數(shù)/(x)

不是減函數(shù)，綜上，所求a的取值范圍是(3,-3]°

【知識歸類點拔】若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)

為例來說明：①/(x)>0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:/'(x)>0能推出f(x)為增函

數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)在(-8,+8)上單調(diào)遞增，但八㈤之。，，

/'(X)>0是/(x)為增函數(shù)的充分不必要條件。②/(x)K0時，/(x)>0與f(x)為

增函數(shù)的關(guān)系:若將/(%)=0的根作為分界點，因為規(guī)定/(彳)力0,即摳去了分

界點，此時f(x)為增函數(shù)，就一定有，'(x)>o°.,?當(dāng)/@)工0時，f'(x)>0是f(x)

為增函數(shù)的充分必要條件。③r(x)NO與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系:f(x)為增函數(shù)，

一定可以推出尸320,但反￡-定，因為/(%)20,即為尸(%)>0或

f'(x)=0。當(dāng)函數(shù)在：爭尸(乃=0,則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具彳

調(diào)性。?,./(%)20是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性

條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)

數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題，都一律用開區(qū)

間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到

端點的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。

因此本題在第一步后再對。=-3和。>-3進行了討論，確保其充要性。在解題中

誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致

的錯誤還很多，這需要同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中注意思維的嚴(yán)密性。

【練8】(1)(新課程)函數(shù)卜=/+陵+。(X?0,+8))是是單調(diào)函數(shù)的充要條件

是()

A>/?>0B,b<0C>b>0D,Z?<0

答案：A

7i

.這樣的K值，使函數(shù)〃力=理-耕-小+2%+5在(I?上I

減,在(2,共)上遞增？

答案：&=；。(提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知r(2)=o,但尸⑵=o是函數(shù)

1(1,2)上遞減，在(幺物)上遞增的必要條件，不?

/'(2)=0求出K值后要檢驗。)

【易錯點9】應(yīng)用重要不等式確定最值時，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷

不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。

例9、已知：a>O,b>O,a+b=l,求(a+Ly+(b+L)2的最小值。

ah

錯解：(a+—)2-F(bH了=a?+b，+——+——+4A2ab+—+4>4Jcib^—+4—8(a+

ababab\ah

與+&+；>的最小值是8

ab

【易錯點分析】上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2>2ab,第一次等

號成立的條件是a=b=4,第二次等號成立的條件ab=e，顯然，這兩個條件是不

能同時成立的。因此，8不是最小值。

解析：原式二a2+b2+^-+-^-+4=(a24-b2)+(-^-+-^-)+4=[(a+b)2-2ab]+[(—+y)2-

aba~bab

=]+4=(l-2ab)(l+J?)+4由ab&("：")2=?得：l-2ab>l-4二;，且一^》

abab2422ab~

16,1+。￥)17.,.原式>[><17+4=名(當(dāng)且僅當(dāng)a二b二!時，等號成立).?.(a+

ab"222

ii25

—)2+(b+—)2的最小值是丁o

ab2

【知識歸類點拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一

不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成

立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。

【練9】(97全國卷文22理22)甲、乙兩地相距skm,汽車從甲地勻速行駛到乙

地，速度不得超過ckm/h,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部

分和固定部分組成：可變部分與速度v(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為b;

固定部分為a元。

(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)

的定義域；

(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛?

答案為：⑴y=：（加+a）（o<y?c）⑵使全程運輸成本最小，當(dāng)卷一時，

行駛速度曠=，1；當(dāng)］>c時，行駛速度v=c。

【易錯點10】在涉及指對型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問題時，沒有根據(jù)性質(zhì)進行分類

討論的意識和易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。

例10、是否存在實數(shù)2使函數(shù)/（》）=108廣f在［2,4］上是增函數(shù)？若存在求出a

的值，若不存在，說明理由。

【易錯點分析】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，

在解題過程中易忽略對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個限制條件而導(dǎo)致a的范圍擴大。

解析：函數(shù)/（%）是由。（%）=加7和yulOga*”復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的

單調(diào)性的判斷方法⑴當(dāng)a>l時，若使/（力=1%/7在［2,4］上是增函數(shù)，則

—<2

。（%）=分2一%在［2,4］上是增函數(shù)且大于零。故有,2a解得a>l。⑵

0（2）=4。-2>0

當(dāng)a<l時若使/（x）=log嚴(yán)在［2,4］上是增函數(shù)，則°（6=加7在［2,4］上是減

［±>4

函數(shù)且大于零。2a一不等式組無解。綜上所述存在實數(shù)a>l使得

°（4）=16〃-4>0

函數(shù)/（x）=log嚴(yán)T在［2,4］上是增函數(shù)

【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決

于一次項系數(shù)的符號，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項系數(shù)的符號及對稱軸的位

置，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的范圍（大于1還是小于1）,

特別在解決涉及指、對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題時要樹立分類討論的數(shù)學(xué)思想（對

數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）。

【練10］（1）（黃崗三月分統(tǒng)考變式題）設(shè)。>0,且試求函數(shù)

y=log“4+3x—f的的單調(diào)區(qū)間。

答案：當(dāng)0<。<1,函數(shù)在卜1,|上單調(diào)遞減在I,4)上單調(diào)遞增當(dāng)。>1函數(shù)在

1號上單調(diào)遞增在|,4)上單調(diào)遞減。

(2)(高考天津)若函數(shù)〃x)=log“，一國(。>0,。川在區(qū)間(=,0)內(nèi)單調(diào)遞

A6,1)6)八9

增，則。的取值范圍是()、B、C、(-,+°o)

C9

D、弓)

答案:B.(記g(x)=(-奴,則g(x)=3f_4當(dāng)。>1時，要使得/(x)是增函數(shù),

則需有g(shù)'(x)>0恒成立，所以=(.矛盾.排除c、D當(dāng)0<”1時，要使/(x)

是函數(shù)，則需有g(shù)'(x)<0恒成立，所以“>317=；.排除A)

【易錯點11】用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性.

例11、已知sinx+siny=；求$山了一cos?%的最大值

【易錯點分析】此題學(xué)生都能通過條件sinx+siny=g將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于sinx的

函數(shù)，進而利用換元的思想令，=sinx將問題變?yōu)殛P(guān)于t的二次函數(shù)最值求解。

但極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解，

解析：由已知條件有siny=-sinA-J.siny=-sinxG[-1,1](sinA：G[-1,1])

得<sinx<1,而si^-c2oxs—g-sinx-cos2x—=sin?x-sinx-g令

Z=sinx-j<r<l則原式—.wi根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)

I373\3)

y-；2即5由》=-：2時，原式取得最大值14。

【知識點歸類點拔】“知識”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高

數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識和運用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體

現(xiàn)就是“能力”，解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，

從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,

理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去

研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又

稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，

隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)

雜的計算和推證簡化。

【練11】(1)(高考變式題)設(shè)a>0,000求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a

2的最大值和最小值。

1V2

-(0<a<—)

答案：f(x)的最小值為一2a2-2&a—萬，最大值為<

—2a2+——(a>

(2)不等式五〉ax+3的解集是(4,b),則2=,b=o

2

答案：a=1,b=36(提示令換元?=t原不等式變?yōu)殛P(guān)于t的一元二次不等式

O

的解集為(2,、。))

【易錯點12】已知S,,求為時，易忽略n=l的情況.

例12、(高考北京卷)數(shù)列｛%｝前n項和S,,且％=l,a“+|=；s“。(1)求四，四，%的

值及數(shù)列｛%｝的通項公式。

【易錯點分析】此題在應(yīng)用Sa與4的關(guān)系時誤認(rèn)為a.=sil-sn_t對于任意n值都

成立，忽略了對n=l的情況的驗證。易得出數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列的錯誤結(jié)論。

解析：易求得。2=；，。3=，4。由4=1,4+1=；%得％=；S"-1(〃N2)故

4+1-。"=:。.(〃之2)得4+|=：4(〃22)又4=1,%=［故該數(shù)列

1(〃=1)

從第二項開始為等比數(shù)列故〃”="4丫一2/O

______________________________川2_____________________________

【知識點歸類點拔】對于數(shù)列4與s.之間有如下關(guān)系：4=1"〃=)、利

一s八一?(九~2)

用兩者之間的關(guān)系可以已知s“求為。但注意只有在當(dāng)q適合4=5?-v,（n>2）

時兩者才可以合并否則要寫分段函數(shù)的形式。

【練12］（全國理）已知數(shù)列｛%｝滿足

q=1%,=。+ia+2/+）a“_（〃21）則數(shù)列｛an｝的通項

為。

答案：（將條件右端視為數(shù)列｛啊,｝的前n-1項和利用公式法解答即可）

1（〃=1）

IS

【易錯點13】利用函數(shù)知識求解數(shù)列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定

義域限制是正整數(shù)集或其子集（從1開始）

例13、等差數(shù)列｛%｝的首項a,>0,前n項和s“，當(dāng)/N"時，s,“=S/。問n為

何值時s“最大？

【易錯點分析】等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解

關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域為正整數(shù)集這個限制

條件。

解析：由題意知s,=/（〃）=嗎+"（；Id'"+1〃此函數(shù)是以n為變

量的二次函數(shù)，因為q>0,當(dāng)優(yōu)時，%=s/故d<0即此二次函數(shù)開口向下，

故由/（/）=/（咐得當(dāng)*=甘時/（X）取得最大值，但由于故若/+m為

偶數(shù),當(dāng)〃=等時，%最大。

當(dāng)/+加為奇數(shù)時，當(dāng)〃=f時S"最大。

【知識點歸類點拔】數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數(shù)集

或其子集（從1開始）上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點應(yīng)用

函數(shù)知識解決問題。特別的等差數(shù)列的前n項和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有

常數(shù)項，反之滿足形如S.=劭2+加所對應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項和。

此時由2=知數(shù)列中的點（〃,盤］是同一直線上，這也是一個很重要的結(jié)

論。此外形如前n項和s“=ca"-c所對應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項和。

【練13］（全國高考題）設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，s“是前n項和，且

則下列結(jié)論錯誤的是（）A、d<OB、a.=0C.59>55D、與和$7均為的最

大值。

答案：C（提示利用二次函數(shù)的知識得等差數(shù)列前n項和關(guān)于n的二次函數(shù)的對

稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答）

【易錯點14］解答數(shù)列問題時沒有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維

受阻或解答過程繁瑣。

例14、已知關(guān)于的方程x2-3x+a=0和/—3x+Z?=0的四個根組成首項為一的

4

等差數(shù)列，求。+〃的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)

明確等差數(shù)列中的項是如何排列的。

解析：不妨設(shè)一是方程--3x+a=0的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等

4

差數(shù)列的性質(zhì)知方程Y-3x+a=0的另一根是此等差數(shù)列的第四項，而方程

V-3x+8=0的兩根是等差數(shù)列的中間兩項，根據(jù)等差數(shù)列知識易知此等差數(shù)

列為：3579故“二2土7力二3”5從而31

44,4416168

【知識點歸類點拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識的一個重要方面，有

解題中充分運用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數(shù)列名”）,

若鼠+m=p+q,則+a“,=%,+%；對于等比數(shù)列/“｝,若應(yīng)+/篦="+丫，則

a,,■am=au-av;若數(shù)列｛0“｝是等比數(shù)列，S“是其前n項的和，keN",那么從，

S2k-Sk,SM-S2K成等比數(shù)列；若數(shù)列W是等差數(shù)列，5“是其前n項的和，

f

keN',那么S?,S2,-Sk,S3?—S2*成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。

【練14】（全國理天津理）已知方程f-2%+m=0和f—2x+〃=0的四個根組

1313

成一個首項為的等差數(shù)列，則同一斗=（）A、1B>-C.-D.-

4,1428

答案：C

【易錯點15】用等比數(shù)列求和公式求和時，易忽略公比q=l的情況

例15、數(shù)列｛%｝中，q=l,私=2,數(shù)列｛4"向｝是公比為4（4>0）的等比

數(shù)列。

（I）求使/?！?1+/+1。,+2>%+2?！?3成立的4的取值范圍；（口）求數(shù)列｛4｝的前2〃

項的和§2“.

【易錯點分析】對于等比數(shù)列的前n項和易忽略公比q=l的特殊情況，造成概

念性錯誤。再者學(xué)生沒有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列｛%"向｝是公比為q（q>（））

的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項成等比數(shù)列而找不到解題突破口。使思維受

阻。

解：（D：數(shù)列｛4?%｝是公比為4的等比數(shù)列，，4+4+2=的“+闖，

aa

n+2n+3~“,""+1/，由+。"+1°"+2>”"+20"+3得

44+1+44+14>44+1/=1+4>/，即/一4一1<°（4>0）,解得

八1+V5

0<q<-------.

2

（11）由數(shù)列｛a」a”+J是公比為4的等比數(shù)列，得色處處=qn吐=q,這表

明數(shù)列｛4｝的所有奇數(shù)項成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項成等比數(shù)列，且公比都是4,

haa

又6=1,%=2,?二當(dāng)夕工1時，S2n=a｝+/+。3+4-----2n-\+2n

=(q++々3+??,+)+(〃2+〃4++??,+)

=空匕g+址?=也g，當(dāng)q=|時，尢

\-q1-(7"q

二,+(1〉+%+%+???+。2〃-1+出門

=(q+a[+々3+???+a〃)+(〃2+%+4+,??+。)〃)

=(1+1+1+-,+1)+(2+2+2+,一+2)=3〃.

【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數(shù)列都是等比數(shù)列，其中吐=夕是解題

an

的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項、偶數(shù)項都成等

比數(shù)列，且公比相等，就是整個數(shù)列成等比數(shù)列，解題時要慎重，寫出數(shù)列的前

幾項進行觀察就得出正確結(jié)論.對等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為1這種特

殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計陷阱使考生產(chǎn)生對現(xiàn)而不全的錯誤。

【練15](高考全國卷一第一問)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,前n項和％>0(1)

求q的取值范圍。

答案：(-1,0)(O,4w)

【易錯點16】在數(shù)列求和中對求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n

項和不會采用錯項相減法或解答結(jié)果不到位。

例16、.(北京理)已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且=2,4+4+4=12

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式(2)令2=a/"(xeR)求數(shù)列出｝前項和的公式。

【思維分析】本題根據(jù)條件確定數(shù)列｛4｝的通項公式再由數(shù)列他,｝的通項公式分

析可知數(shù)列也｝是一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列構(gòu)成的“差比數(shù)列”，可用錯項

相減的方法求和。

解析：(1)易求得q=2a

(2)由(1)得勿=2nx"令s“=2x+4x?+6丁++2nx"(I)則

科=2/+4/++2(〃一1封+2依向(11)用(I)減去(口)(注意錯過一

位再相減）得（1一元=2x+2x?+2d++2x”-2加田當(dāng)xwl

2x1-y

當(dāng)x=l時=2+4+6++2〃=〃(〃+l)

1-x\-X

綜上可得:

2x(l-z)

當(dāng)XN1s“=-----------nxn+]當(dāng)x=l時％=2+4+6++2/i=n(n+l)

1-X\—x

【知識點歸類點拔】一般情況下對于數(shù)列｛cn｝有c?=。，也其中數(shù)列｛an｝和他,｝分

別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項和可通過在原數(shù)列的每一項的基礎(chǔ)上都乘

上等比數(shù)列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數(shù)列的求和

公式就是這種情況的特例。

【練16］（全國卷一理）已知/=優(yōu)+廢一方+/一2。2++abn-x+k）n

〃eN+,。>01>0）當(dāng)a=匕時，求數(shù)列｛4｝的前n項和

(〃+1)Q〃+2(〃+2)a一。2+2〃〃(〃+3)

答案：aw1時s“=-----------當(dāng)Q=]時

(I32

【易錯點17】不能根據(jù)數(shù)列的通項的特點尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項求

和方法時對裂項后抵消項的規(guī)律不清，導(dǎo)致多項或少項。

例、求」+—!—+―--1

17s“+■??+

"11+21+2+31+2+3+…+〃

【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解

題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規(guī)律不清

而導(dǎo)致解題失誤。

解：由等差數(shù)列的前般項和公式得1+2+3+…+"=也乎

121

-2(--）,〃取1,2,3,…，就分別得到

1+2+3+,—十九幾(幾+1)n〃+1

111?c“1、?11、J1、J1、

I,TZ2,TT273,=2(I-i)+2(I-i)+2(3-4)+-"+2(；-7n)

=2(1--—.

n+1n+1

【知識歸類點拔】“裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項

的分母都是兩個數(shù)(也可三個或更多)相乘，且這兩個數(shù)的第一個數(shù)是前一項的

第二個數(shù)，如果不具備這些特點，就要進行轉(zhuǎn)化。同是要明確消項的規(guī)律一般情

況下剩余項是前后對稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求

1111

-----1-------1--；----(-…H-------方法還是抓通項，即

I2+222+432+6標(biāo)+2”

17二；-一二)，問題會很容易解決。另外還有一些類似“裂

“2+2nn\n+2)2n〃+2

項法”的題目，如：%=廠;求其前幾項和，可通過分母有理化的方

法解決。數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法

等。

,2,八/士土辦業(yè)、工工022+1,42+1,62+1,,(2n)2+1

【練17](濟南統(tǒng)考)求和S“=尹=+…+而口.

112n

答案：s=l+---+l+---+l+---+?■■+1+-----------------=n-\---------

,1335572n-\2幾+12〃+1

【易錯點18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當(dāng)做充分條件或充要條件使

用，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S。

例18、(年高考數(shù)學(xué)江蘇卷，20)設(shè)無窮等差數(shù)列｛4｝的前n項和為S..

3

(I)若首項為=彳，公差"=1,求滿足S,2=(S?)2的正整數(shù)k；

Z￡

(n)求所有的無窮等差數(shù)列｛a,、｝,使得對于一切正整數(shù)k都有S.2=(s?)2成立.

【易錯點分析】本小題主要考查數(shù)列的基本知識，以及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決

問題的能力.學(xué)生在解第(D時極易根據(jù)條件“對于一切正整數(shù)k都有j=(s?)2成

立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數(shù)列的首項和公差，但沒有認(rèn)識到求解

出的等差數(shù)列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還

應(yīng)進一步的由特殊到一般。

解：(I)當(dāng)％=>,d=]時S“=叫+"5"'Dd+=I/+“

由%=(臬產(chǎn),得Lk4+k2=(-k2+k)2,即A(；k_])=o又

%w0,所=4.

(II)設(shè)數(shù)列｛多｝的公差為d,則在"=(S“)2中分別取k=l,2,得

(_2

吊=0)2即％(1)

<,即<4x3?x12

上⑸尸4?,+--J=(2?l+--J)(2)

由⑴得q=0或4=1.當(dāng)％=時,代入(2)得d=0或/=6,

若6=0,d=0,則=（）,S“=0,從而=（S*）2成立，

若q=（）,d=6,則q=6（〃-1）,由53=1&（邑）2=3245,=21破口”。（S?）?,故所得數(shù)

列不符合題意.當(dāng)/=1時，代入⑵得4+6d=（2+d）2,解得J=0或rf=2

若q=l,d=0,貝必”=i,s"=〃，從而S*2=（S*尸成立：

2

若4=1,d=2,則=2?—1,Sn=1+3H---1-（2n—l）=n,從而S=（S”產(chǎn)成立.

綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列：

①―=0,即0,0,0,②｛4｝:%=1,即1,1,I,③｛當(dāng)｝:

2a=2n—1,即1,3,5,?1?,

【知識點歸類點拔】事實上，“條件中使得對于一切正整數(shù)k都有與2=（S?）2成立

就等價于關(guān)于k的方程的解是一切正整數(shù)又轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程的各項系數(shù)同時

為零，于是本題也可采用這程等價轉(zhuǎn)化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分

性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關(guān)系。

【練18］（1）（全國）已知數(shù)列匕｝淇中%=2"+3",且數(shù)列｛c,用一pc,J為等比數(shù)

列.求常數(shù)P

答案：p=2或p=3（提示可令n=l,2,3根據(jù)等比中項的性質(zhì)建立關(guān)于p的方程，

再說明p值對任意自然數(shù)n都成立）

【易錯點19】用判別式判定方程解的個數(shù)（或交點的個數(shù)）時，易忽略討論二

次項的系數(shù)是否為0.尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.

例19、已知雙曲線d一丁=4,直線y=%（x—1）,討論直線與雙曲線公共點的

個數(shù)

【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關(guān)系，一般將直線與曲線的方程聯(lián)立，組

成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個交點，但在消元后轉(zhuǎn)化為關(guān)于

x或y的方程后，易忽視對方程的種類進行討論而主觀的誤認(rèn)為方程就是二次方

程只利用判別式解答。

解析：聯(lián)立方程組卜［="：一1）消去丫得到（1一女2.2+2左2萬一人2一4=0（1）當(dāng)

x-y=4

1-二=0時，即左=±1,方程為關(guān)于X的一次方程，此時方程組只有解，即直線

與雙曲線只有一個交點。（2）當(dāng)、時即％=±竺，方程組只有一

A=4（4-3F）=03

I-k1±0

解，故直線與雙曲線有一個交點（3）當(dāng)時，方程組有兩個交點

△二4（4-3/）＞0

q2,3.2,3口.[/、,\\-k2wO,2,3is

此時-----<k<----且左w±l。(4)當(dāng)，時即人>----或

33伯=4(4-3巧<03

女〈一手時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。

綜上知當(dāng)％=±1或％=±空時直線與雙曲線只有一個交點，當(dāng)一漢1<女〈漢1

333

且Zw±l。時直線與雙曲線有兩個交點，當(dāng)上〉子或女〈-竽時方程組無解

此時直線與雙曲線無交點。

【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系有兩種方法：一種代數(shù)方法即

判斷方程組解的個數(shù)對應(yīng)于直線與雙曲線的交點個數(shù)另一種方法借助于漸進線

的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合的方法解答，并且這兩種方法的對應(yīng)關(guān)系如下上題中的第一

種情況對應(yīng)于直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一

個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切

的必要但不充分條件。第二種情況對應(yīng)于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深

體會這種數(shù)與形的統(tǒng)一。

2

【練19](1)(重慶卷)已知橢圓G的方程為