2020高考數(shù)學(xué)（理）大一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)和題型全歸納：第四章三角函數(shù)

第四章三角函數(shù)、解三角形

第一節(jié)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形.

/米J按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

(2)分類［按終邊位置不同分為象限角和軸線角

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合5={夕|“

—a+lkn,k^Z}.

終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.

(2)公式：

角a的弧度數(shù)公式|a|=-(/表示弧長(zhǎng))

①②

角度與弧度的換算1°-180g1rad-Q)

弧長(zhǎng)公式l=\a\r

扇形面積公式S=^lr=^\a\^

有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn)

(1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是兀=180°,在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，

不可混用.

(2)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么sina=y,cosa

y

—x,tana=~(x^0).

(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在x軸上,

余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段MP,0M,47分別叫做

角a的正弦線、余弦線和正切線.

⑴一個(gè)口訣

三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

(2)三角函數(shù)定義的推廣

設(shè)點(diǎn)P(x,y)是角a終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r=\OP\,則sina=；,cosa=p

tana=；(xW0).

(3)象限角

第?強(qiáng)限角)卜性"VaV2Qr+F*wz}

第二>限角］同2*"+9Va<2癡+n,Aez)

一{第三象限角陽(yáng)2癡+n〈aV2A7T+要*ez］

卜陽(yáng)*VaV2"+2jr,kez[

(4)軸線角

終邊落在工軸上的角］{a［a="n,AEZ|

軸

線

角

的卜終邊落在y軸上的角

集

合

終邊落在坐標(biāo)軸上的角］［a|a*,AEZ}

考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角

［典例］⑴若角a是第二象限角，則多是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角

(2)終邊在直線上，且在［-2兀，2兀)內(nèi)的角a的集合為

［解析］⑴是第二象限角，

兀

.**2+2攵兀＜。＜兀+2^71,攵￡Z,

??1+%兀＜2＜2+kit,kC乙

當(dāng)A為偶數(shù)時(shí)，黑第一象限角；

當(dāng)人為奇數(shù)時(shí)，F(xiàn)n是第三象限角.故選C.

(2)如圖，在坐標(biāo)系中畫(huà)出直線)，=小工，可以發(fā)現(xiàn)它與x軸的夾角是

在［0,2兀)內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個(gè)：鼻，牛：在［—2兀，0)內(nèi)滿足

條件的角有兩個(gè)：一號(hào)，-y,故滿足條件的角a構(gòu)成的集合為

f5n_2兀n4兀]

[~9—予§，Tj-

［答案］⑴c(2){—尊一手?y}

［題組訓(xùn)練］

EWaWE+?kb，中的角所表示的范圍(陰影部分)是(

1.集合a)

多霜字彩

ABCD

….一兀71

解析：選B當(dāng)攵=2〃(〃￡Z)時(shí)，2〃兀兀+w(〃￡Z),此時(shí)a的終邊和的終

邊一樣，當(dāng)攵=2〃+1(〃￡Z)時(shí)，2〃兀+TTWQW2〃兀+兀+；(〃￡Z),此時(shí)。的終邊和兀

+:的終邊一樣.

2.在一720。?0。范圍內(nèi)所有與45。終邊相同的角為

解析：所有與45°終邊相同的角可表示為：

￡=45°+ZX360°OtGZ),

則令一720°W45°+kX360°＜0°(^GZ),

得一765°WkX360°＜一45°(ZGZ),

解得一痂旃(keZ),

從而&=-2或k=-l,

代入得夕=一675°或夕=一315°.

答案：-675°或一315°

考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義

［典例］已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(~x,-6),且cosa=一4，則士+總;=_______.

1。sinui<ina

［解析］:?角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(—x,—6),且cosa=一親，

一九5

'.』+36⑶

得

x=一

一

X5

-6

21-2

13

sina=12^1,113,52

OL=?則十］一三

??tancosa5c1sina?7tana=-i1.21.2=3

2

［答案］一5

［解題技法］

用定義法求三角函數(shù)值的2種類型及解題方法

(1)已知角a終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后用三角函數(shù)的

定義求解.

(2)已知角a的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)

的距離，然后用三角函數(shù)的定義來(lái)求解.

［題組訓(xùn)練］

1.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4),則sina+高｝=()

A、—1Rc-37

d5D15

「37-13

Sr—ouD—15

3

4a=-?a

解析：選D二,角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4),.*.sina=-7,cos5sinSa

451

---

5+-31

2.已知角6的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則

cos20=()

解析：選B設(shè)P(t,2f)(t#0)為角9終邊上任意一點(diǎn)，則cos0=.當(dāng)r>0時(shí)，cos0=

y[5\t\

李；當(dāng)f<0時(shí)，cos。=一乎.因此cos20=2cos2。-1=]—1=一5.

考點(diǎn)三三角函數(shù)值符號(hào)的判定

ccsn

［典例］若且則角是()

sinatana<0,IdllCZ1

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］由sincttana<0可知sina,tana異號(hào)，

則Q為第二象限角或第三象限角.

,COSQcy心已口

由二二一<0可知cosa,tana異萬(wàn)，

［anot

則a為第三象限角或第四象限角.

綜上可知，a為第三象限角.

［答案］C

［解題技法］三角函數(shù)值符號(hào)及角所在象限的判斷

三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)與角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)密切相關(guān).sin8在一、二象限為

正，cos。在一、四象限為正，tan。在一、三象限為正.

學(xué)習(xí)時(shí)首先把取正值的象限記清楚，其余的象限就是負(fù)的，如sin。在一、二象限為正,

那么在三、四象限就是負(fù)的.值得一提的是：三角函數(shù)的正負(fù)有時(shí)還要考慮坐標(biāo)軸上的角,

如sin《=l>0,cos7t=—1<0.

［題組訓(xùn)練］

1.下列各選項(xiàng)中正確的是()

A.sin300°>0B.cos(-305°)<0

C.tan(一^|^>oD.sin10<0

解析：選D300°=360°-60°,則300°是第四象限角，故sin300yh-305°=—360°

+55°,則一305°是第一象限南，故cos(—305°)>0;一竽=-8兀+竽，則一華是第二象限

角，故tan(一瓷<0;37t<10<y,則10是第三象限角，故sin10<0,故選D.

2.已知點(diǎn)P(cosa,tana)在第三象限，則角a的終邊在()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

cosa<0,[cosa<0,

解析：選B由題意得=所以角a的終邊在第二象限.

tan?<0[sina>0,

[課時(shí)跟蹤檢測(cè)]

A級(jí)

1.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長(zhǎng)為()

A.2B.4

C.6D.8

解析：選C設(shè)扇形的半徑為4->0),弧長(zhǎng)為/,則由扇形面積公式可得2=%=g|a|J

=gx4Xj,解得r=],Z=|a|r=4,所以所求扇形的周長(zhǎng)為2r+/=6.

2.(2019?石家莊模擬)已知角a(0°WQ<360°)終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin150°,cos1500),

則a=()

A.150°B.135°

C.300°D.60°

解析：選C由sin150°=p0,cos150。=一竽<0,可知角a終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為

故該點(diǎn)在第四象限，由三角函數(shù)的定義得sina=一坐,

因?yàn)?°Wa<360°,所

以角a為300°.

3.(2018?長(zhǎng)春檢測(cè))若角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線

y=一上，則角a的取值集合是()

A.1a[a=2E-?kWZ|B,|aa=2E+季k^Zj

C.laa—kn—^-,kGZ(D.jaa—kn—^,kWZr

解析：選D當(dāng)a的終邊在射線y=—，5x（xW0）上時(shí)，對(duì)應(yīng)的角為號(hào)+2hr,k&Z,當(dāng)

a的終邊在射線y=一小x（x》O）上時(shí)，對(duì)應(yīng)的角為一1+2E,kGZ,所以角a的取值集合是

|aa=E一1，kGZ）.

4.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3a—9,a+2）,且cosaWO,sina>0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（）

A.(-2)3JB.(-2,3)

C.[-2,3)D.[-2,3]

解析：選A由cosaWO,sina>0可知，角a的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上,

13n-9W0,

所以有U+2>0,

解得一2VaW3.

5.在平面直角坐標(biāo)系x。），中，a為第二象限角，PL事,y）為其終邊上一點(diǎn)，且sina

=率，則y的值為（）

A.小B.一小

C.小D.小或小

解析:選C由題意知|0月|=留3+『,則sin[=耳^^=當(dāng)、解得y=0（舍去）或y=±V^，

因?yàn)閍為第二象限角，所以y>0,則y=小.

6.已知角a=2E—a/eZ）,若角。與角a的終邊相同，則>=磊+磊+需需的

值為（）

A.1B.-1

C.3D.-3

7T

解析：選B由a=2E—5（A￡Z）及終邊相同的概念知，角a的終邊在第四象限，因?yàn)?/p>

角。與角a的終邊相同，所以角。是第四象限角，所以sineVO,cos0>0,tan0<O.

所以y=-1+1—1=—1.

7.已知一個(gè)扇形的圓心角為含面積為差則此扇形的半徑為.

解析：設(shè)此扇形的半徑為r（r>0）,由咨=^X,義/，得r=2.

答案：2

8.(2019?江蘇高郵模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，60°角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,

m),則實(shí)數(shù)"2的值為.

解析：；60°角終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,〃?)，；.tan60°=：,：tan60°=小，；.，"=小.

答案：小

9.若a=1560°,角0與a終邊相同，且一360°<6><360°,則6=.

解析：因?yàn)閍=l560°=4*360°+120°,

所以與a終邊相同的角為360°X%+120°,kGZ,

令&=一1或&=0,可得0=—240°或。=120°.

答案：120?；蛞?40。

10.在直角坐標(biāo)系xOy中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(小，1),將點(diǎn)4繞。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到B

點(diǎn)，則B點(diǎn)坐標(biāo)為.

解析：依題意知04=08=2,NAOx=30°,N8Ox=120°,

設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)為(x,y),

則x=2cos120°=-1,y=2sin120°=小，即3(—1,#).

答案：(一1,S)

“?己知焉=一念'且lg(cosa)有意義?

(1)試判斷角a所在的象限；

(2)若角a的終邊上一點(diǎn)M(|,〃)且|OM|=1(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求機(jī)的值及sina的值.

解：(1)由]~[=-~，得sina<0,

'，|sina\sma9'

由lg(cosa)有意義，可知cosa>0,

所以a是第四象限角.

(2)因?yàn)閨OM=1,所以針+蘇=1,解得m=±1.

又因?yàn)閍是第四象限角，所以m<0,

從而根=一不

_4

,ym54

sina=^=|A.=-j-=-7.

r\ZOM/\fI15

12.已知a為第三象限角.

(1)求角，終邊所在的象限；

(2)試判斷ta得in5cos卷的符號(hào).

解：⑴由2E+7tVaV2E+手，％eZ,

得E+f考Vfat+學(xué)k《Z,

當(dāng)A為偶數(shù)時(shí)，角與終邊在第二象限；

當(dāng)人為奇數(shù)時(shí)，角微終邊在第四象限.

故角I終邊在第二或第四象限.

（2）當(dāng)角彳在第二象限時(shí)，

aaa

tan]<0,sin1>0,cos]<0,

所以tan/sin2cos5取正萬(wàn)；

當(dāng)跑在第四象限時(shí)，

tan^<0,sin^<0,cos^>0,

所以tan/sin]cosz也取正萬(wàn).

cra.a-〒口

因此tan2sin5cos5取正廳.

B級(jí)

37rIT

1.若一7<G<—2，從單位圓中的三角函數(shù)線觀察sina,cosa,lana的大小是（）

A.sina<tana<cosaB.cosa<sina<tana

C.sina<cos?<tanaD.tana<sina<cosa

解析：選C如圖所示，作出角a的正弦線MP,余弦線OM,正切線1

AT,因?yàn)橐徽?lt;a<一與，所以a終邊位置在圖中的陰影部分，觀察可得0，一

\\7W,4（1,0）

AT>0M>MP,故有sina<cosa<tana.

2.已知點(diǎn)尸(sina—cosa,tana)在第一象限,且a￡[0,2E，則角a的取值范圍是（）

Au3TI\(5哈(n

A-GJ-JUL,T)BQ,

兀、（兀哈

<7t353D&n2；\U(U3TI'n\)

C0TJ

sina—cosa>0,[sina>cosa,

解析：選B因?yàn)辄c(diǎn)尸在第一象限,所以即

tana>0,Itana>0.

rjx!

sA/f)

由tana>0可知角a為第一或第三象限南，畫(huà)出單位圓如圖.

又sina>cosa,用正弦線、余弦線得滿足條件的角a的終邊在如圖所示的陰影部分(不

包括邊界)，即角a的取值范圍是俘，凱(兀，苧)

3.已知角3的終邊過(guò)點(diǎn)P(—4a,3“)(aW0).

⑴求sin0+cos0的值；

(2)試判斷cos(sin0)-sin(cos。)的符號(hào).

解：(1)因?yàn)榻窍Φ慕K邊過(guò)點(diǎn)P(—4。,3〃)(。/0),

所以x=-4〃，y=3afr=5\a\f

341

當(dāng)a>0時(shí)，r=5a,sin0+cos。=亍一§=一§；

341

當(dāng)aV0時(shí)，r=—5afsin6+cos6=-5+5=5.

(2)當(dāng)〃>0時(shí)，sin9=|e(0,

cos9=0),

則cos(sinO)sin(cos6)=cos.sin(一gVO；

當(dāng)“VO時(shí)，sin0=—|,G^—0),

貝Ucos(sin0)-sin(cos0)=cosl

綜上，當(dāng)。>0時(shí)，cos(sin6>sin(cos。)的符號(hào)為負(fù):

當(dāng)〃V0時(shí),cos(sin0>sin(cos0)的符號(hào)為正.

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1；

(2)商數(shù)關(guān)系：tan。=熱.

平方關(guān)系對(duì)任意角都成立，而商數(shù)關(guān)系中a￥E+5(MGZ).

2.誘導(dǎo)公式

―?二三四五六

2E+

7171.

n+a—a7i-a2~a］十a(chǎn)

a(fceZ)

sina—sina—sinasinacosacos_a

cosa—cosacosa—cos_asina-sina

tanatana—tana—tan_a

誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)記為：奇變偶不變，符號(hào)看象限.“奇”“偶”指的是“kT+a/WZ)”中

的人是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化，若&是奇數(shù)，則正、余弦

互變；若上為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變符號(hào)看象限”指的是在'〃T+a(kGZ)”中，看

成銳角時(shí)，“/々+a(AeZ)”的終邊所在的象限.

二、常用結(jié)論

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形

(l)sin%=1—cos2a=(l+cosa)(l—cosa)；

cos2a=1—sin%=(l+sina)(l—sina)；

(sina±cosa)2=l±2sinacosa.

(2)sina=tanacos左￡Z).

考點(diǎn)一三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

cos（?+a）sin（a］（

［典例］⑴己知檢尸的"扁4'則"?的值為

(2)已知cose_Q)=,,則sin(Q_第=.

［解析］（1）因?yàn)楣不?

cos（一兀一a）tan（兀一a）

一sina(—cosa)

(sina—cosa,

(—coscosa,

(25兀、(25兀、兀

所以=C0S

A-TJC—J=cos3

尹卜一sin仔71+a.兀

兀一=一叫廠a

(2)sinl-sin3l-.

__2

cos-3-

i2

[答案(1)2(2)-3

［題組訓(xùn)練］

1.已知tana=],

由儀￡（兀，引知為第三象限角,

解析：法一:a

sina1

tana—

聯(lián)立4cosa2f解得5sin2a=1,故sina

sin2a+cos2ot=1,

由］￡（兀，引知a為第三象限角由tana=；,可知點(diǎn)（-2,

—1）為。終邊上一點(diǎn)，由任意角的三角函數(shù)公式可得sina

5,

答案：一專

2.sin(-l200°)-cos1290°+cos(-l020°)-sin(-l050°)+tan945°=.

解析:原式=sin(-3X360°-120°)cos(3X360°+180°+30°)+cos(-3X360°+60°)

sin(-3X360°+30°)+tan(2X360°+180°+45°)=sin120°cos30°+cos60°sin300+tan45°=

灣+1=2.

答案：2

3.已知tan《-a)=乎，則tan管+a)=,

考點(diǎn)二同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及應(yīng)用

sina+cosa

［典例］⑴若tana=2,則cos2?=(

sin?-cosa)

_I6

一5

C.|D._8

-5

3兀兀

⑵已知sinacosa=1，且貝Ucosa—sina的值為()

1

-B1

A.2巧

1

cD

-4-

-2

sina+cosa

［解析］⑴s】na—cos。卜cos%

sina+cosa+cos2a

sina-cosasin%+cos2a

lana+1+1

tana-1tan~(z+l'

將tana=2代入上式，則原式=學(xué).

(2)因?yàn)閟inacos所以(cosa-sina)2=cos2a_2sinacosa+sin2?=1—2sinacosa

31JiTi

=1—2Xg=-,因?yàn)樗詂osavsina,即cosa—sina<0,

所以cosa-sina——

［答案］(1)A(2)D

［題組訓(xùn)練］

4

1.(2018?甘肅診斷)已知tan8=］，且角3的終邊落在第三象限，則cos^=()

44

--

A.5B.-5

3

D.,5

解析：選D因?yàn)榻?的終邊落在第三象限，所以cos”。，因?yàn)閠an3=Q,

sin2^+cos2</)=1,

黑5=4解得cos9=一|.

{cos(p<0,

2.己知tan9=3,貝！Jsin20+sin9cos0=.

222

9sin^+sin^cos0tan^+tan63+36

解析：sinP+sinOcosO=一必+32，=tan7+1=齊7=亍

答案:f

sina+3cosa.

3.已知------:—=5,則sin-c2(—sinacosa=________.

3cosa—sma

解析：由已知可得sina+3cosa=5(3cosa-sina),

即sina=2cosa,所以tana="=2,

'cosa'

2sin%—sinacosatan2a-tana22-22

從而sin-a-sinacosa='^“+2"=tan%+l=渾7=下

答案：f2

4.已知一兀<。<0,sin(n+?)—cosa=—?jiǎng)tcosa—sina的值為.

解析：由已知，得sina+cosa=g,

sin26(+2sinacosa+cos2a=^,

24

整理得2sinacosa=~

i49

因?yàn)?cosa-sina)=1-2sinacos]=石，

且—7C<a<0,所以sin?<0,cosa>0,

所以cosa-sina>0,故cosa-sina=§.

7

答案-

5

［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］

A級(jí)

1.已知無(wú)￡（一^,0）,cosx=p則tanx的值為（）

3二3

AA-4B.

解析：選B因?yàn)椋ァ辏ㄒ?0）,所以sinx=_yj］_cosl=_1\所以lanx：

3

4,

2.（2019?淮南十校聯(lián)考）已知sin（。一：）=（，則cos（a+2）的值為（

）

1

A.B

3-3

「囚1

L.3一半

解析：選A

3.計(jì)算：sin野+cos竽的值為（）

A.-1B.1

C.0D：坐

解析：選A原式=sin（2兀一*）+cos（3兀+胃

1.

Hsin（7t-0）+cos（e—2兀）1

4.右sin8+cos（兀+。）2'則tan0的值為（）

A.1B.~1

C.3D.-3

sin（兀-e）+cos（。-2兀）sine+cos。1

解析：選D因?yàn)?/p>

sin夕+cos（兀+。）sincos02'

所以2（sin0+cos0）=sin0—cos0,

所以sin0=-3cos9,所以tan。=-3.

5.（2018?大慶四地六校調(diào)研）若a是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且sin

則lana的值為（）

43

-

---

A.3B.4

C.一］或一1D.不存在

解析：選A由sin6+a)+cos(竽

p124

得cosa+sina=q,/.2sinacosa=-石<0.

VaG(0,兀),sina>0,cosa<0,

7

-

sina-cosa=yl1-2sin5

cos^-l，

??.tanT

6.在AABC中，小sine—A）=3sin（7c—A）,且cosA=一小COS（LB）,則△48（7為（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

解析：選B將小$皿（尹A）=3sin（?t—4）化為小cosA=3sinA,則tanA=坐，則4=襲,

將cosA=一小cos(n—8)化為cos^=^/3cosB,則cosB=J,則8=:，故△ABC為直角三角

形.

—

小號(hào)1COSZ0

7.化簡(jiǎn)：-^77~

cos2秋an29

1—cos??。______sin22<9.

解析:cos2/an2。一"八sin2。一‘血,

夕…

cos2cos2M”

答案：sin2。

8.化簡(jiǎn):?sin(a-71)-COS(2TC-a)=

解析:原式=，?(—sina)-cosa

sina

?（—sina）-cosa

sinl）

sina,.、.2

=cosa>cosa=-sina.

答案：一sin%

10.（2019?武昌調(diào)研）若tana=cosa,則,:.+cos%=.

布力+u_sina2Mli4sin2a+cos2a

用牛析：故;十....十4

tana=cosa=coso"c=cosa=sina=cosa,sinexcosa=-----~sirn-cosa

=sina+^f+cos4a=sina+需+sin%=sin%+sina+1=sin2?+cos2a+1=1+1=2.

答案：2

11.已知a為第三象限角,

sin+?）-tan（7i—a）

火）

a=tan（—a—兀）?sin（—a—兀）

⑴化簡(jiǎn)式a);

(2)若cos(a一芙)=/求人幻的值.

?tan（?！猘）

解:（1次a）=

tan（—a—兀）?sin（-a—兀）

（—cosa）sina?（一tana）

（—tana）-sina

又?.?a為第三象限角,

:?cosa=-yj1-sin2a=—

-cosa=^.

2\/5《川*

12.已知sina=-y-,求tan(a+7r)+—,的值.

(5兀A

cost-—'aI

解：因?yàn)閟ina=

所以a為第一或第二象限角.

sin軟+a)

tan(a+n)4-

cosasina」cosa

Ta”asina-cosasina

_1

-sinacosa

①當(dāng)a為第一象限角時(shí)，cosa=yjT-sin%=乎,

5

原式=

sinacosa2'

②當(dāng)a為第二象限角時(shí)，cosa=_yj1-sin%=-乎,

5

原式=

sinacosa2,

綜合①②知，原式=|或一/

B級(jí)

.1?,1—tana

1.已矢口sma+cosa=7，a￡(0,兀)，則TT------=()

27l+tan?

A.一市B巾

C巾D.—y/3

解析：選A因?yàn)閟ina+cosa

一2,

21

所以(sina+cosa)=1+2sinacosa=^,

3

所以sinacosa=—"又因?yàn)閍￡(0,兀),

所以sina>0,cosa<0,所以cosa-sina<0,

22

因?yàn)?cosa-sina)=l—2sinacosa=1—2X不

所以cosa-sina

2，

Isina_\7

“1-tanacosacossina2

所以丁;-----=----:---=-----；~：—=-；-=—

1+tana.sinacosa+sina1

t1+-------------------T

cosa2

2

2.已知。是第一象限角，若sin6—2cos。=一于則sinO+cosO=.

2

解析：*/sin0—2cos0=一§,

八八2

/.sin8=2cos。一予

?，.(2cos|^2+cos2^=1,

821

/.5cos2。-5cos。一行=0,

即(cos9-|*)(5cos9+1)=0.

又???。為第一象限角，Acos<9=|,

4,7

sin。=予Asin0+cos。=亍

7

答案：f

3.已知關(guān)于x的方程2?—(小+l)x+m=0的兩根分別是sin。和cosa9仁(0,2兀)，求:

八、sin2^,cos64J,士

(1)~~7I的值；

sinJ-cos01—tan0

(2)m的值;

(3)方程的兩根及此時(shí)。的值.

sir?。cos0

解:(1)原式=

sin。―cos0sin0

cos0

sir?。+cos29

sin8-cos3cos0—sin0

sin26—cos%

=sin0+cos0,

sin9-cos0

由條件知sine+cosji,

sin2狂cos0_5+1

sin0-cos61-tan02"

\[3+1tn

(2)由已知，得sin<9+cos-,sin6cos<9=y,

因?yàn)?+2sindoos6=(sin6+cos0)2,

所以1+2X^=（呼解得m=坐

sin8+cos0—

⑶由

sin0cos0=

sin8=5,

cos0=2-

7TTT

又(0,2兀)，故或9=%.

故當(dāng)sin0=2>cos0=5時(shí),夕=:；

當(dāng)sin6=；,cos8=半時(shí)，0=親

第三節(jié)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、基礎(chǔ)知識(shí)

1.用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖

（1）“五點(diǎn)法”作圖原理：

在正弦函數(shù)y=sinx,x￡［0,2川的圖象上，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,0）,住1）,（兀,0）,（杯，-1）,

（2兀，0）.

在余弦函數(shù)y=cosx,x￡［0,2川的圖象上,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：（0,1）,《，0）,（兀,一1）,（竽，0）,

（2K,1）.

函數(shù)y=sinx,xE［0,2兀］,y=cosx,x^［0,2兀］的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)是零點(diǎn)和極值

點(diǎn)（最值點(diǎn)）.

（2）五點(diǎn)法作圖的三步驟：列表、描點(diǎn)、連線（注意光滑）.

2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

yyyih

圖象'G24、.八./_

一六1r|<M/xnr~~X

定義{“xeR,且x#E+與kRZ)

RR

域

值域[-1,1][-1,1]R

奇偶

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

性

在［一1+2版，，+2fac（k

在［2/m—IT,2依］（左仁

單

￡Z）上是遞增函數(shù)，在Z）上是遞增函數(shù)，在在（—］+”）（*￡Z）上是

調(diào)

冷+2也，T+2E］（左￡［2/m,2/m+iT］（k￡Z）

性遞增函數(shù)

上是遞減函數(shù)

Z）上是遞減函數(shù)

周周期是2E/￡Z且

周期是2kit（k￡Z且周期是E（kWZ且kWO）,最小

期左中0）,最小正周期是

2#0）,最小正周期是27c正周期是兀

性2兀

7T

對(duì)稱軸是x=]+E(kG對(duì)稱軸是x=kn(ke

對(duì)對(duì)稱中心是

Z),對(duì)稱中心是

稱Z),對(duì)稱中心是(E,0)伏售,o)gz)

性(E+去0)(AGZ)

eZ)

三角函數(shù)性質(zhì)的注意點(diǎn)

(1)正、