中考數(shù)學(xué)微專題4-幾何最值問題

第三輪復(fù)習(xí)

壓軸題突破方向二

最值問題微專題4

幾何最值問題

1．了解解決幾何最值問題中的相關(guān)幾何性質(zhì)；2．應(yīng)用軌跡法、構(gòu)圖法、尋找隱圓等方法解決幾何最值問題．

幾何最值問題多出現(xiàn)在中考填空或選擇的最后一題，此類題目涉及知識面廣，對綜合解題能力要求較高，能否抓準(zhǔn)幾何特征，找到點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題關(guān)鍵．

要求熟練掌握幾何最值問題中的相關(guān)幾何性質(zhì)，查找動點(diǎn)題目當(dāng)中不變的量、不變的關(guān)系與不變的性質(zhì)，尋找點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，利用“共線原理”解決問題.1．如圖1，在Rt△ABC中，AC＝4，若直線EF垂直平分BC，點(diǎn)P在EF上，請直接寫出PA＋PB的最小值，回答PA＋PB取最小值時點(diǎn)P的位置并在圖中標(biāo)出來；解：PA＋PB的最小值為________，PA＋PB取最小值時點(diǎn)P的位置是________；解：如圖1所示，∵點(diǎn)P是BC的垂直平分線EF上，∴BP＝PC，∴PA＋PB＝PA＋PC，∴點(diǎn)P在邊AC上時，PA＋PC最小＝AC＝4，故答案為：4，直線EF與AC邊的交點(diǎn)；2．如圖2，拋物線y＝x2－4x＋3與x、y軸交于點(diǎn)B(0，3)、C(1，0)兩點(diǎn)，Q是對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q使得|BQ－CQ|的值最大，若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：∵拋物線對稱軸是線段CD的垂直平分線，∴QC＝QD，由三角形的三邊關(guān)系，|BQ－CQ|＜CB，∴點(diǎn)B、C、Q三點(diǎn)共線時，3．如圖3，點(diǎn)D是直角三角形ACB的邊AC的中點(diǎn)，且AC＝6，BC＝8，點(diǎn)E在線段BC上，將三角形DEC沿著DE對折得三角形DEC′，求點(diǎn)C′到點(diǎn)B的最小距離．解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)E，作點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)F，∵點(diǎn)D，點(diǎn)E關(guān)于直線AC對稱，∴EM＝DM，同理DN＝NF，∵△DMN的周長＝DM＋DN＋MN＝FN＋EM＋MN，∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)M，點(diǎn)N，點(diǎn)F四點(diǎn)共線時，△DMN的周長有最小值，考題變式1．考題變式一：

如圖，∠AOB＝30°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO＝10，Q、R分別是OA、OB上的動點(diǎn)，請直接寫出△PQR周長的最小值________.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠P′OP″＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝2∠2＋2∠3＝2∠BOA＝60°，∴△P′OP″為等邊三角形，∴P′P″＝OP′＝OP＝10，即△PQR周長的最小值為10；解：作點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P′，點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)P″，連接P′P″交OB于R，交OA于Q，連接PR、PQ，如圖3，則OP＝OP′，OP＝OP″，RP＝RP′，QP＝QP″，∴△PQR周長＝PR＋RQ＋PQ＝RP′＋RQ＋QP″＝P′P″，∴此時△PQR周長最小，最小值為P′P″的長，∵OP＝OP′，OP＝OP″，PP′⊥OB，PP″⊥OA，2.考題變式二：如圖，∠AOB＝20°，點(diǎn)M、N分別在邊OA、OB上，且OM＝ON＝2，點(diǎn)P，Q分別在OB、OA上，則MP＋PQ＋QN的最小值是________．解：作點(diǎn)M關(guān)于OB的對稱點(diǎn)M′，點(diǎn)N關(guān)于OA的對稱點(diǎn)N′，連接M′N′交OB于P，交OA于Q，連接PM、NQ，如圖4，則OM＝OM′＝2，ON＝ON′＝2，PM＝PM′，QN＝QN′，∴MP＋PQ＋QN＝PM′＋PQ＋QN′＝M′N′，∴此時MP＋PQ＋QN的值最小，最小值為M′N′，∵OM＝OM′，ON＝ON′，MM′⊥OB，NN′⊥OA，∴∠M′OB＝∠AOB＝20°，∠N′OA＝∠AOB＝20°，∴∠M′ON′＝60°，∴△M′ON′為等邊三角形，∴M′N′＝OM′＝2，即MP＋PQ＋QN的值最小為2.解法總結(jié)：①兩定異側(cè)，共線和最小(模型1)當(dāng)定點(diǎn)A與定點(diǎn)B在直線l的異側(cè)，直線l上有一動點(diǎn)P，畫出點(diǎn)P，使得AP＋PB的值最小.L＝AP＋PB≥AB，當(dāng)A、P、B共線時Lmin

＝AB根據(jù)：①“兩點(diǎn)之間線段最短”；②“三角形兩邊之和大于第三邊”．②兩定同側(cè)，共線差最大(模型2)當(dāng)定點(diǎn)A與定點(diǎn)B在直線l的同側(cè)，直線l上有一動點(diǎn)P，畫出點(diǎn)P，使得|AP－PB|值最大.L＝|AP－PB|≤AB，當(dāng)A、P、B共線時Lmax＝AB.根據(jù)：

“三角形兩邊之差小于第三邊”.2.尋找隱圓解：考題變式：在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝3.點(diǎn)D為平面上一個動點(diǎn)，∠ADB＝45°，則線段CD長度的最小值為________．解法總結(jié)：利用圓的定義確定隱圓，也可利用動點(diǎn)對兩定點(diǎn)的張角為定角確定隱圓。“定點(diǎn)與圓中各點(diǎn)之間的距離”，如果點(diǎn)是圓之外的一點(diǎn)，點(diǎn)與圓心的直線交圓于兩點(diǎn)，最大距離為點(diǎn)與遠(yuǎn)點(diǎn)的長度，而最小距離則是點(diǎn)與近點(diǎn)的長度。變式訓(xùn)練1．如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一動點(diǎn)．求EF＋FB的最小值．2.如圖，圓柱形玻璃杯，高為14cm，底面周長為16cm，在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短路程為__cm.3.如圖2所示，在一張矩形白紙ABCD當(dāng)中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，而點(diǎn)F則是AD上的動點(diǎn)，對△AEF