線性代數(shù)1全集課件

課程簡介線性代數(shù)是代數(shù)學(xué)的一個分支，主要處理線性關(guān)系問題.線性關(guān)系是指數(shù)學(xué)對象之間的關(guān)系是以一次形式來表達(dá)的.最簡單的線性問題就是解線性方程組.行列式和矩陣為處理線性問題提供了有力的工具，也推動了線性代數(shù)的發(fā)展.向量概念的引入，形成了向量空間的概念，而線性問題都可以用向量空間的觀點加以討論.因此向量空間及其線性變換，以及與此相聯(lián)系的矩陣?yán)碚?，?gòu)成了線性代數(shù)的中心內(nèi)容.1可編輯課件PPT它的特點是研究的變量數(shù)量較多，關(guān)系復(fù)雜，方法上既有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、又有巧妙的歸納綜合，也有繁瑣和技巧性很強的數(shù)字計算，在學(xué)習(xí)中，需要特別加強這些方面的訓(xùn)練。2可編輯課件PPT第一章行列式第二章矩陣及其運算第三章矩陣的初等變換及線性方程組第四章向量組的線性相關(guān)性基礎(chǔ)基本內(nèi)容用向量的觀點討論基本問題并介紹向量空間的有關(guān)內(nèi)容第五章相似矩陣及二次型矩陣?yán)碚?可編輯課件PPT一、二元線性方程組與二階行列式用消元法解二元(一次)線性方程組:第一章行列式(1)(2)(1)

a22:a11a22x1+a12a22x2=b1a22,(2)

a12:a12a21x1+a12a22x2=b2a12,兩式相減消去x2,得(a11a22–a12a21)x1=b1a22–b2a12;§1.1二階與三階行列式4可編輯課件PPT方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.5可編輯課件PPT由四個數(shù)排成二行二列（橫為行、豎為列）的數(shù)表定義即6可編輯課件PPT主對角線副對角線對角線法則二階行列式的計算若記對于二元線性方程組系數(shù)行列式7可編輯課件PPT8可編輯課件PPT9可編輯課件PPT10可編輯課件PPT則二元線性方程組的解為11可編輯課件PPT例1解12可編輯課件PPT二、三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.13可編輯課件PPT(1)沙路法三階行列式的計算.列標(biāo)行標(biāo)14可編輯課件PPT(2)對角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號．說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．15可編輯課件PPT如果三元線性方程組的系數(shù)行列式利用三階行列式求解三元線性方程組

2.

三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負(fù).16可編輯課件PPT若記或17可編輯課件PPT記即18可編輯課件PPT19可編輯課件PPT得20可編輯課件PPT得21可編輯課件PPT則三元線性方程組的解為:22可編輯課件PPT例２解按對角線法則，有23可編輯課件PPT例3解方程左端24可編輯課件PPT例4

解線性方程組解由于方程組的系數(shù)行列式25可編輯課件PPT同理可得故方程組的解為:26可編輯課件PPT

二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.對角線法則二階與三階行列式的計算三、小結(jié)27可編輯課件PPT思考題28可編輯課件PPT思考題解答解設(shè)所求的二次多項式為由題意得得一個關(guān)于未知數(shù)的線性方程組,又得29可編輯課件PPT故所求多項式為30可編輯課件PPT§1.2全排列及其逆序數(shù)引例:用1,2,3三個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？這是一個大家熟知的問題,答案是:3!=6.將此問題推廣:把n個不同的元素按先后次序排成一列,共有多少種不同的排法.

定義:

把n個不同的元素排成一列,叫做這n個元素的全排列(或排列).n個不同的元素的所有排列的種數(shù),通常用Pn表示,稱為排列數(shù).

Pn=n

(n–1)(n–2)···21=n!一、全排列31可編輯課件PPT二、排列的逆序數(shù)

定義:

在一個排列i1

i2···

is

···it

···in中,若數(shù)is>it,則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.例如:排列32514中,我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序.以n個不同的自然數(shù)為例,規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.32514逆序逆序逆序

定義:

一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).前面的數(shù)比后面的數(shù)大32可編輯課件PPT32514逆序數(shù)為31故此排列的逆序數(shù)為:3+1+0+1+0

=

0+1+0+3+1

=

5.例如:排列32514中,計算排列逆序數(shù)的方法逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.方法1:分別計算出排在1,2,···,

n前面比它大的數(shù)碼的個數(shù)并求和,即先分別算出1,2,···,

n這n個元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).33可編輯課件PPT方法2:依次計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼的個數(shù)并求和,即算出排列中每個元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).方法3:依次計算出排列中每個元素后面比它小的數(shù)碼的個數(shù)并求和,即算出排列中每個元素的逆序數(shù),則所有元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).34可編輯課件PPT例1:求排列32514的逆序數(shù).解:在排列32514中,3排在首位,則3的逆序為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故2的逆序為1;32514沒有比5大的數(shù),故其逆序為0;個,故其逆序為3;4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序為1.5的前面1的前面比1大的數(shù)有3即于是排列32514的逆序數(shù)為t=0+1+0+3+1=5.35可編輯課件PPT解:此排列為偶排列.例2:計算下列排列的逆序數(shù),并討論其奇偶性.(1)217986354.217986354010013445于是排列217986354的逆序數(shù)為:t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.(2)n(n–1)(n–2)···21解:n(n–1)(n–2)···21012(n–1)(n–2)t=0+1+2+···+(n–2)+(n–1)于是排列n(n–1)(n–2)···21的逆序數(shù)為:36可編輯課件PPT此排列當(dāng)n=4k,4k+1時為偶排列;當(dāng)n=4k+2,4k+3時為奇排列.(3)(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k.(2k)1(2k–1)2(2k–2)3(2k–3)···(k–1)(k+1)k解:0121233(k–1)(k–1)kt=0+1+1+2+2+···+(k–1)+(k–1)+k于是排列(2k)1(2k–1)2(2k–2)···(k–1)(k+1)k的逆序數(shù)為:此排列當(dāng)k為偶數(shù)時為偶排列,當(dāng)k為奇數(shù)時為奇排列.37可編輯課件PPT1.n個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!個;2.排列具有奇偶性;3.計算排列逆序數(shù)常用的方法.三、小結(jié)38可編輯課件PPT§1.3n階行列式的定義一、概念的引入三階行列式說明(1)三階行列式共有6項,即3!項.說明(2)每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積.說明(3)每項的正負(fù)號都取決于位于不同行不同列的三個元素的列標(biāo)排列的逆序數(shù)(行標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)排列).39可編輯課件PPT例如a13a21a32,將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列,列下標(biāo)排列312的逆序數(shù)為t(312)=1+1=2,偶排列.a13a21a32的前面取+號.例如a11a23a32,將行下標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)排列,列下標(biāo)排列132的逆序數(shù)為t(132)=0+1=1,奇排列.a11a23a32的前面取–號.其中Σ是對列下標(biāo)的所有排列求和(3!項),t是列下標(biāo)排列p1p2p3的逆序數(shù).40可編輯課件PPT二、n階行列式的定義定義:

設(shè)由n2個數(shù)排成一個n行n列的數(shù)表作出表中位于不同行不同列的n個數(shù)的乘積,并冠以符號(–1)t,得到形如其中p1p2···

pn

為自然數(shù)1,2,···,n的一個排列,t為排列p1p2···

pn的逆序數(shù).的項,41可編輯課件PPT所有這n!項的代數(shù)和稱為(由上述數(shù)表構(gòu)成的)n階行列式.記作簡記作det(aij).數(shù)aij稱為行列式det(aij)(第i行第j列)的元素.即42可編輯課件PPT

說明1.行列式是一種特定的算式,它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的線性方程組的需要而定義的;說明2.n階行列式是n!項的代數(shù)和;說明3.n階行列式的每項都是位于不同行,不同列n個元素的乘積,的符號為(–1)t;說明4.一階行列式的符號|a|=a,不要與絕對值符號相混淆,一般不使用此符號.43可編輯課件PPT例1:計算對角行列式解:分析.展開式中項的一般形式是從而這個項為零,同理可得:p2=3,p3=2,p4=1.所以只能p1=4;若p1

4,則即行列式中非零的項為:(–1)t(4321)

a14a23a32a41即44可編輯課件PPT例2:計算上三角行列式解:分析展開式中項的一般形式是所以非零的項只可能是:a11a22···

ann

.從最后一行開始討論非零項.顯然pn=n,pn–1=n–1,pn–2=n–2,···,p2=2,p1=1,即45可編輯課件PPT顯然=1

4

5

8同理可得下三角行列式46可編輯課件PPT對角行列式47可編輯課件PPT例5:設(shè)證明:D1=D2.中b的指數(shù)正好是a的行標(biāo)與列標(biāo)的差48可編輯課件PPT證:由行列式定義有49可編輯課件PPT50可編輯課件PPT由于p1+p2+···+pn=1+2+···+n,所以故51可編輯課件PPT行列式是一種根據(jù)特殊需要而定義的特定算式.n階行列式共有n!項,每項都是位于不同行,不同列的n個元素的乘積,正負(fù)號由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.三、小結(jié)52可編輯課件PPT思考題已知多項式求x3的系數(shù).思考題解答含x3的項有僅兩項,即對應(yīng)于=x3+(–2x3)故x3的系數(shù)為(–1).(–1)t(1234)a11a22a33a44+(–1)t(1243)a11a22a34a4353可編輯課件PPT一、對換的定義§1.4對換定義:

在排列中,將任意兩個元素對調(diào),其余元素不動,這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個元素對調(diào),叫做相鄰對換.a1a2···ala

b

b1···

bma1a2···alb

a

b1···

bma1

a2···ala

b1···

bmb

c1···cna1

a2···alb

b1···

bm

ac1···cn例如54可編輯課件PPT二、對換與排列奇偶性的關(guān)系

定理1:

一個排列中的任意兩個元素對換,排列改變奇偶性.對換a與b即除a,b外,其它元素的逆序數(shù)不改變.證明:先考慮相鄰對換的情形.a1a2···ala

b

b1···

bma1a2···alb

a

b1···

bm例如因此,相鄰對換排列改變奇偶性.當(dāng)

a<b時,對換后a

的逆序數(shù)增加1,b的逆序數(shù)不變;當(dāng)

a>b時,對換后a

的逆序數(shù)不變,b的逆序數(shù)增加1;55可編輯課件PPTa1a2···alab1···bmbc1···cna1a2···albb1···bmac1···cn對一般對換的情形,例如對換a與b經(jīng)過m次相鄰對換,排列a1a2···alab1···bmbc1···cn對換為a1a2···alabb1···bmc1···cn,再經(jīng)過m+1次相鄰對換,對換為a1a2···albb1···bmac1···cn,共經(jīng)過了2m+1次相鄰對換.所以,由相鄰對換的結(jié)果知:一個排列中的任意兩個元素對換,排列改變奇偶性.56可編輯課件PPT次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.對一般對換的情形,例如a1a2···alab1···bmbc1···cna1a2···albb1···bmac1···cn對換a與b57可編輯課件PPT推論:奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù),偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明:由定理1知,對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列(逆序數(shù)為0),論成立.因此,推58可編輯課件PPT下面討論行列式的另一種定義形式.對于行列式的任一項其中12···i···j···n為自然排列,其逆序數(shù)0,t為列標(biāo)排列p1p2···pi···pj···pn的逆序數(shù),對換元素59可編輯課件PPT此時,行標(biāo)排列12···j··i···n的逆序為奇數(shù),而列標(biāo)排列p1p2···pj···pi···pn的逆序也改變了一次奇偶性.換后行標(biāo)排列逆序與列標(biāo)排列逆序之和的奇偶性不變,即t(1···j··i···n)+t(p1···pj···pi···pn)與t(p1···pi···pj···pn)具有相同的奇偶性.因此,對故60可編輯課件PPT一般地,經(jīng)過若干次對換行列式的任一項乘積元素的位置后得到的符號仍為(–1)t.因此,總可以經(jīng)過若干次對換行列式的任一項,得其中s為行下標(biāo)排列q1q2···

qn的逆序數(shù).61可編輯課件PPT定理2:

n

階行列式也可定義為其中s為行標(biāo)排列q1q2···qn的逆序數(shù),并按行標(biāo)排列求和.定理3:

n階行列式也可定義為其中t為行標(biāo)排列p1p2···pn與列標(biāo)排列q1q2···qn的逆序數(shù)之和.并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列)求和.因此,我們可以得到行列式的另一種定義形式:根據(jù)以上討論,還可以如下定義62可編輯課件PPT

例1:試判斷a14a23a31a42a56a65

和–a32a43a14a51a25a66是否六階行列式中的項.

解:

a14a23a31a42a56a65的行標(biāo)為順序排列,列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶數(shù))所以a14a23a31a42a56a65是六階行列式中的項.將–a32a43a14a51a25a66的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列,則其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t(452316)=0+0+2+2+4+0=8(偶數(shù))所以–a32a43a14a51a25a66不是六階行列式中的項.63可編輯課件PPT

解:將a23a31a42a56a14a65的行標(biāo)按標(biāo)準(zhǔn)次序排列,則其列標(biāo)排列的逆序數(shù)為:t(431265)=0+1+2+2+0+1=6(偶數(shù))所以a23a31a42a56a14a65的前邊應(yīng)帶正號.例2:在六階行列式中,下列兩項各應(yīng)帶什么符號.(1)a23a31a42a56a14a65;(2)a32a43a14a51a66a25.64可編輯課件PPT項a32a43a14a51a66a25的行下標(biāo)與列下標(biāo)的逆序數(shù)之和為

t(341562)+t(234165)

=(0+0+2+0+0+4)+(0+0+0+3+0+1)=6+4=10(偶數(shù))所以a32a43a14a51a66a25的前邊應(yīng)帶正號.65可編輯課件PPT例3:用行列式的定義計算解:由于行列式Dn每行每列中僅有一個非零元素,所以Dn=(–1)ta1n-1a2n-2···an-11annDn=(–1)t1·2···(n–1)·n=(–1)t

n!即而t=t[(n–1)(n–2)···21n]=0+1+2+···+(n–3)+(n–2)+0=(n–1)(n–2)/2所以66可編輯課件PPT三、小結(jié)1.對換排列中的任意兩個元素,排列改變奇偶性.2.行列式的三種定義方法:其中r為行標(biāo)排列p1p2···pn與列標(biāo)排列q1q2···qn的逆序數(shù)之和.并按行標(biāo)排列(或列標(biāo)排列)求和.67可編輯課件PPT思考題證明在全部n階排列中(n2),奇偶排列各占一半.思考題解答

證:設(shè)在全部n階排列中有s個奇排列,t個偶排列,則s+t=n！現(xiàn)來證s=t.若將所有s個奇排列的前兩個數(shù)作對換,則這s個奇排列全變成偶排列,故必有s=t=

若將所有t個偶排列的前兩個數(shù)作對換,則這t個偶排列全變成奇排列,如此產(chǎn)生的s個偶排列不會超過所有的s個奇排列,所以t

s.過所有的t個偶排列,所以s

t.如此產(chǎn)生的t個奇排列不會超68可編輯課件PPT§1.5行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.記將D的行列互換就得到69可編輯課件PPT證明:

記行列式D=det(aij)的轉(zhuǎn)置行列式為:性質(zhì)1:行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即DT=D.按定義即bij=aji(i,j=1,2,···,n),70可編輯課件PPT又由行列式的另一種表示得,所以,DT=D,結(jié)論成立說明:性質(zhì)1行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的結(jié)論,對列也同樣成立.71可編輯課件PPT性質(zhì)2:

互換行列式的兩行(列),行列式變號.證明:設(shè)行列式72可編輯課件PPT是由行列式互換i,j(i<j)兩列得到.即,當(dāng)k

i,j時,bpk=apk;當(dāng)k=i,j時,bpi=apj,bpj=api;73可編輯課件PPT于是其中t為排列p1···pi···pj···pn的逆序數(shù),設(shè)s為排列p1···pj···pi···pn的逆序數(shù).顯然t與s的奇偶性不同,即(–1)t=–(–1)s,所以,74可編輯課件PPT例如75可編輯課件PPT

推論:如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.證明:互換相同的兩行,則有D=–D,所以D=0.性質(zhì)3:行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式.即76可編輯課件PPT推論:行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面.性質(zhì)4:行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零．證明:77可編輯課件PPT性質(zhì)5:若行列式的某一列(行)的元素都是兩數(shù)之和,例如則D等于下列兩個行列式之和:78可編輯課件PPT證明:故結(jié)論成立.79可編輯課件PPT性質(zhì)6:把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去,行列式不變.例如80可編輯課件PPT

引入記號:用ri表示第i行,ci表示第i列.在計算行列式時,我們經(jīng)常利用性質(zhì)2,3,6對行列式進(jìn)行變換.利用性質(zhì)2交換行列式的第i,j兩行(列),記作ri

rj(ci

cj);利用性質(zhì)6把行列式的第j行(列)的各元素乘以同一數(shù)k然后加到第i行(列)對應(yīng)的元素上去,記作ri+rj

k(ci+cj

k);利用性質(zhì)3行列式的第i行(列)乘以數(shù)k,記作ri

k(ci

k);81可編輯課件PPT二、行列式計算計算行列式常用方法:利用性質(zhì)2,3,6,特別是性質(zhì)6把行列式化為上(下)三角形行列式,從而,得到行列式的值．結(jié)論：上（下）三角行列式、主對角線行列式的值等于其主對角元的乘積.82可編輯課件PPT例1:計算5階行列式解:Dr2+3r183可編輯課件PPTr3–2r1r4–3r184可編輯課件PPTr5–4r1r2

r385可編輯課件PPTr4+r2r4+r386可編輯課件PPTr5+2r3r5+2r487可編輯課件PPT例2計算解：88可編輯課件PPT89可編輯課件PPT解:將第2,3,···,n列都加到第一列得:例3:計算n階行列式90可編輯課件PPT第2,3,···,n行都減去第一行得:91可編輯課件PPT例4:設(shè)證明:D=D1D2.證明:對D1作行運算ri+trj,把D1化為下三角形行列式:92可編輯課件PPT對D2作列運算ci+kcj,把D2化為下三角形行列式:先對D的前k行作行運算ri+trj,然后對D的后n列作列運算ci+kcj,把D化為下三角形行列式:故,D=p11···pkk

q11···qnn=D1D2.93可編輯課件PPT例5計算2n階行列式其中未寫出的元素為0.解：將D2n中的第2n行依次與前面的行對換，換至第二行；再將D2n中的第2n列依次與前面的列對換，換至第二列，共做2(2n-2)次對換，得94可編輯課件PPT95可編輯課件PPT例6在n階行列式中，若則稱D為對稱行列式；若則稱D為反對稱行列式；證明：奇數(shù)階反對稱行列式的值為0.反對稱行列式的主對角元全為096可編輯課件PPT證明：設(shè)n階反對稱行列式為：由行列式的性質(zhì)1可知：97可編輯課件PPT每行提?。ǎ?）n為奇數(shù)所以D＝0.98可編輯課件PPT行列式的6個性質(zhì).行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.計算行列式常用方法:(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上(下)三角形行列式,從而算得行列式的值.三、小結(jié)思考題其中已知abcd=1.計算行列式,99可編輯課件PPT思考題解答100可編輯課件PPT101可編輯課件PPT§1.6行列式按行(列)展開一、余子式與代數(shù)余子式引例,考察三階行列式102可編輯課件PPT在n階行列式D中,把元素aij所在的第i行和第j列元素劃去后,留下來的n–1階行列式叫做(行列式D的關(guān)于)元素aij的余子式,記作Mij.即103可編輯課件PPT記Aij=(–1)i+jMij,稱Aij為元素aij的代數(shù)余子式.104可編輯課件PPT例如105可編輯課件PPT行列式的每一個元素都分別對應(yīng)著唯一的一個余子式和唯一的一個代數(shù)余子式.106可編輯課件PPT引理:如果一個n階行列式D的第i行元素除aij外都為零,那么,行列式D等于aij與它的代數(shù)余子式Aij的乘積,即D=aijAij.=aijAij

.107可編輯課件PPT證:當(dāng)aij位于第一行第一列時,又由于A11=(–1)1+1M11=M11,由上節(jié)例4,即教材中的例10得:D=a11M11

.從而D=a11A11,

即結(jié)論成立.108可編輯課件PPT再證一般情形,此時把D的第i行依次與第i–1行,第i–2行,···,第1行交換,得109可編輯課件PPT再把D的第j列依次與第j–1列,第j–2列,···,第1列交換,得110可編輯課件PPT=(–1)i+jaij

M

11,顯然,M

11恰好是aij在D中的余子式Mij,,即M

11=Mij,因此,D=(–1)i+j

aijMij=aijAij,故引理結(jié)論成立.111可編輯課件PPT定理3:行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和,即D=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n);D=a1iA1i

+a2iA2i+···+aniAni(i=1,2,···,n).二、行列式按行(列)展開法則112可編輯課件PPT證:113可編輯課件PPTD=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin(i=1,2,···,n).由引理得:引理的結(jié)論常用如下表達(dá)式:(i=1,2,···,n)114可編輯課件PPT推論:行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,i

j;a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j.證:把行列式D=det(aij)按第j行展開,得把ajk換成aik(k=1,2,···,n),當(dāng)i

j時,可得115可編輯課件PPT第j行第i行相同同理a1iA1j

+a2iA2j+···+aniAnj=0,i

j所以,ai1Aj1+ai2Aj2+···+ainAjn=0,i

j116可編輯課件PPT關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)其中117可編輯課件PPT說明：由證明過程可知118可編輯課件PPT119可編輯課件PPT例1:計算行列式解:120可編輯課件PPT解:按第一行展開,得例1:計算行列式如果按第二行展開,得121可編輯課件PPT例2:計算行列式解:

D122可編輯課件PPT例3:證明范德蒙德(Vandermonde)行列式說明：（1）范德蒙德(Vandermonde)行列式的特點是：每列（行）元素都是分別是同一個數(shù)的不同方冪，方冪的次數(shù)從上到下（自左至右）按遞升次序排列,從0到n–1次.123可編輯課件PPT（2）范德蒙德(Vandermonde)行列式的結(jié)果是滿足條件的所有因子的連乘積，共有個因子.124可編輯課件PPT證:

用數(shù)學(xué)歸納法所以,當(dāng)n=2時,(1)式成立.假設(shè)對n-1階范德蒙德行列式,(1)式成立.對n階范德蒙德行列式,作如下變換,ri–x1ri-1

(i=n,n–1,···,2,1).得125可編輯課件PPT按第一列展開,并把每列的公因子(xi–x1)提出,就有:n–1階范德蒙德行列式則根據(jù)歸納假設(shè)得證:126可編輯課件PPT例4:計算

解:

Dn中各行元素分別是同一個數(shù)的不同方冪,方冪的次數(shù)自左至右按遞升次序排列,但不是從0到n–1,而是從1遞升至n.若提出各行的公因子,則方冪的次數(shù)便是從0升到n–1,于是得:127可編輯課件PPT上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式的轉(zhuǎn)置,由范德蒙行列式知

評注:本題所給行列式各行(列)都是某元素的不同方冪,而其方冪次數(shù)或其排列與范德蒙行列式不完全相同,需要利用行列式的性質(zhì)(如提取公因子,調(diào)換各行(列)的次序等)將此行列式化成范德蒙行列式.128可編輯課件PPT例5:計算129可編輯課件PPT解：考慮行列式是中元素的余子式.130可編輯課件PPT一方面，這是一個關(guān)于y的n次多項式，其中的系數(shù)是131可編輯課件PPT另一方面，將按最后一列展開：其中是的系數(shù).132可編輯課件PPT比較可得：這種方法稱為：加邊法（升階法）.133可編輯課件PPT例6.計算行列式分析：元素的特點是除主對角元外，第i列的元素為134可編輯課件PPT解：135可編輯課件PPT136可編輯課件PPT例4.已知求137可編輯課件PPT解：138可編輯課件PPT139可編輯課件PPT140可編輯課件PPT1.行列式按行(列)展開法則是把高階行列式的計算化為低階行列式計算的重要工具.三、小結(jié)2.141可編輯課件PPT思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和:A11+A12+···+A1n.

設(shè)n階行列式思考題解答解:第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示成A11+A12+···+A1n142可編輯課件PPT§1.7克拉默(Cramer)法則設(shè)線性方程組若常數(shù)項b1,b2,···,bn不全為零,則稱此方程組為非齊次線性方程組;若常數(shù)項b1,b2,···,bn全為零,則稱此方程組為齊次線性方程組;(1)143可編輯課件PPT齊次線性方程組易知，一定是(2)的解，稱為零解。若有一組不全為零的數(shù)是(2)的解，稱為非零解。144可編輯課件PPT定理1:(克拉默(Cramer)法則)如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式不等于零,即那么,線性方程組(1)有解,且解是唯一的,解可以表為145可編輯課件PPT其中Dj是把系數(shù)行列式D中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的n階行列式,即146可編輯課件PPT證明:

用系數(shù)行列式D的第j列元素的代數(shù)余子式A1j,A2j,···,Anj依次乘方程組(1)的n個方程,得再把n個方程相加,得D147可編輯課件PPT由行列式代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,上式中xj的系數(shù)等于D,而xi(i

j)的系數(shù)均等于0,等式右端為Dj.于是因此,當(dāng)D0時,方程組(2)有唯一解:Dxj=Dj(j=1,2,···,n)(2)由于方程組(2)與方程組(1)等價,故也是方程組(1)的唯一解.148可編輯課件PPT

定理2:

如果線性方程組(1)無解或有解但不唯一,則它的系數(shù)行列式必為零.定理3:如果齊次線性方程組(3)的系數(shù)行列式D

0,則齊次線性方程組(3)沒有非零解.(3)定理4:

如果齊次線性方程組(3)有非零解,則它的系數(shù)行列式D必為零.在后面我們將證明:齊次線性方程組(3)有非零解的充分必要條件為(3)的系數(shù)行列式D必為零.149可編輯課件PPT例1:用克拉默法則解方程組解:150可編輯課件PPT所以151可編輯課件PPT解:例2:用克拉默法則解方程組152可編輯課件PPT所以153可編輯課件PPT例2:問

取何值時,齊次方程組有非零解?由于齊次方程組有非零解的充分必要條件為D=0,解:則

=0,

=2或

=3時,齊次方程組有非零解.154可編輯課件PPT例3.求使得3點共線的充分必要條件.解：假設(shè)這3點位于直線上，其中a,b,c不同時為0,即有3點共線等價于上述關(guān)于a,b,c的齊次線性方程組有非零解，其充要條件是155可編輯課件PPT例4.證明n次多項式至多有n個互異的根.證明：用反證法,假設(shè)n次多項式有n個互異的根：即有156可編輯課件PPT上述關(guān)于的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為：因為互不相等，所以從而齊次方程組只有零解，這與矛盾，故結(jié)論成立！157可編輯課件PPT用克拉默法則解方程組的兩個條件:(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù);(2)系數(shù)行列式不等于零.2.克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關(guān)系.它主要適用于理論推導(dǎo),并不適用于實際計算.小結(jié)158可編輯課件PPT思考題當(dāng)線性方程組的系數(shù)行列式為零時,能否用克拉默法則解方程組?此時方程組的解為何?思考題解答不能.此時方程組可能為無解,或有無窮多解.159可編輯課件PPTwangzhaoyanfen@160可編輯課件PPT§2.1矩陣一、矩陣概念的引入1.線性方程組的解取決于系數(shù)aij和常數(shù)項bj(i

=1,

2,

···,

n,j

=1,

2,

···,

m

).對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張數(shù)表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為161可編輯課件PPT2.某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接A與B.四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站到站其中表示有航班.162可編輯課件PPT為了便于計算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一個數(shù)表:這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.163可編輯課件PPT二、矩陣的定義定義:

由m

n個數(shù)aij(i

=1,2,···,m;j

=1,2,···,n)排成的m行n列的數(shù)表:稱為m行n列的矩陣.簡稱

m

n矩陣.記作簡記為:A

=

Am

n=(aij)m

n=(aij).這m

n個數(shù)aij稱為矩陣A的(第i行第j列)元素.164可編輯課件PPT矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別,行列式是一個算式,其行數(shù)和列數(shù)相同，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算可求得其值,而矩陣僅僅是一個數(shù)表,它的行數(shù)和列數(shù)可以不同.165可編輯課件PPT元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,

元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.例如:是一個24實矩陣;是一個33復(fù)矩陣;166可編輯課件PPT是一個14(實)矩陣;是一個31(實)矩陣;是一個11(實)矩陣.167可編輯課件PPT例如:是一個3階方陣.幾種特殊矩陣

(1)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A,稱為n階方陣.也可記作An,

對于方陣，可以計算其行列式，但要注意：方陣和方陣的行列式是不同的含義.168可編輯課件PPT記作

稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（2）形如的方陣,不全為0169可編輯課件PPT(3)如果En=

diag(

1,

2,···,

n)

=

diag(1,

1,

···,

1),則稱En為(n階)單位矩陣,或簡稱單位陣.簡記為E.

(4)只有一行(列)的矩陣稱為行(列)矩陣(或行(列)向量).170可編輯課件PPT

(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣,m

n階零矩陣記作Om

n或O.A＝O|A|=0|A|=0A＝O若|A|=0,稱A為奇異矩陣；若|A|=0,稱A為非奇異矩陣；對于n階方陣A171可編輯課件PPT(6)設(shè)A

=

(

aij)為n階方陣,對任意i,j,如果aij=

aji都成立,則稱A為對稱矩陣;如果aij=

–aji都成立,則稱A為反對稱矩陣;例如:A為對稱矩陣,B為反對稱矩陣.172可編輯課件PPT例1:設(shè)解:由于矩陣A=B,則由矩陣相等的定義,已知A=B,求x,y,z.x=2,y=3,z=2.得:2.兩個矩陣A

=

(

aij)與B

=

(

bij)為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即aij=bij(i

=1,2,···,m;j=1,2,···,n)則稱矩陣A與B相等,記作A=B.同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個行列數(shù)對應(yīng)相等的矩陣稱為同型矩陣.例如:為同型矩陣.173可編輯課件PPT三、矩陣的應(yīng)用例1間的關(guān)系式線性變換.174可編輯課件PPT系數(shù)矩陣175可編輯課件PPT線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.若線性變換為稱之為恒等變換.對應(yīng)單位陣.176可編輯課件PPT線性變換對應(yīng)這是一個以原點為中心旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換.177可編輯課件PPT(1)矩陣的概念:

m行n列的數(shù)表三、小結(jié)(2)特殊矩陣方陣行矩陣與列矩陣;單位矩陣;對角矩陣;零矩陣.178可編輯課件PPT一、矩陣的加法

定義:

設(shè)兩個同型的m

n矩陣A

=

(

aij)與B

=

(

bij),那末矩陣A與B的和定義為(aij+bij),記作A+B,即對應(yīng)元素相加§2.2矩陣的運算179可編輯課件PPT例如:說明:只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時,才能進(jìn)行加法運算.180可編輯課件PPT矩陣加法的運算規(guī)律交換律:A+B

=

B+A.(2)結(jié)合律:(A+B)+C

=

A+(B+C).(4)稱為矩陣A的負(fù)矩陣.(5)A+(–A)

=

O,A–B

=

A+(–B).(3)A+O=A181可編輯課件PPT二、數(shù)與矩陣相乘

定義:

數(shù)

與矩陣A=(aij)的乘積定義為(

aij),記作

A或A

,簡稱為數(shù)乘.即注意：

與不同！182可編輯課件PPT設(shè)A,B為同型的m

n矩陣,

,

為數(shù):1A=A.(2)(

)A=

(A).(3)(

+

)A=A+A.(4)

(A+B)=A+B.矩陣的數(shù)乘的運算規(guī)律矩陣的加法與數(shù)乘運算,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.183可編輯課件PPT三、矩陣與矩陣相乘引例：設(shè)有兩個線性變換要求從到的線性變換，將（2）代入（1）：184可編輯課件PPT這個線性變換稱為線性變換（1）和（2）的乘積.185可編輯課件PPT線性變換（1）對應(yīng)的矩陣為：線性變換（2）對應(yīng)的矩陣為：（1）和（2）的乘積對應(yīng)的矩陣為由此引出矩陣乘法的定義：186可編輯課件PPT

定義:

設(shè)A

=

(

aij)是一個m

s矩陣,B

=

(

bij)是一個s

n矩陣,定義矩陣A與矩陣B的乘積C

=

(

cij)是一個m

n矩陣,其中(i=1,2,···,m;j=1,2,···,n).并把此乘積記作C=AB.是A中的第i行元素與B中第j列的對應(yīng)元素相乘再相加.187可編輯課件PPT例1:例2:當(dāng)運算可行或作為運算結(jié)果時，一階矩陣可以與數(shù)等同看待！188可編輯課件PPT例3:求AB,其中189可編輯課件PPT

注意:只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時,兩個矩陣才能相乘.例如:不存在.190可編輯課件PPT利用矩陣的乘法：若記則線性變換可記作191可編輯課件PPT對于線性方程組則方程組可以表示為：線性方程組的矩陣表示形式192可編輯課件PPT若記則上述方程組可以表示為線性方程組的向量表示形式193可編輯課件PPT矩陣乘法的運算規(guī)律結(jié)合律:(AB)C

=

A(BC);分配律:A(B+C)

=

AB+AC,(B+C)A

=BA+CA;(3)

(AB)

=

(

A)B

=

A(

B),其中

為數(shù);194可編輯課件PPT當(dāng)AB有意義時，BA可能無意義！例如:不存在.有意義，但是注意:（1）矩陣乘法一般不滿足交換律,即:

AB

BA，因此要注意矩陣相乘的次序.一般，AB稱為A左乘B，或者B右乘A.195可編輯課件PPTAB和BA都有意義時，它們可能不是同型矩陣.例如：是一階方陣，但是是三階方陣.196可編輯課件PPT即使AB和BA都有意義，也是同型矩陣，它們也可能不相等.例如:設(shè)AB

BA.197可編輯課件PPT當(dāng)AB

BA時，稱A與B不可交換；當(dāng)AB=BA

時，稱A與B可交換，(2)矩陣的乘法一般不滿足消去律，即或從上述例子還可以看到：此時A與B必為同階方陣。若但AB=O,則稱B是A的右零因子，A是B的左零因子.198可編輯課件PPT后面會證明：若，則類比：當(dāng)a=0時199可編輯課件PPT特殊矩陣與矩陣相乘的有關(guān)結(jié)論：單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當(dāng)于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用.若A為方陣，則有200可編輯課件PPT左乘A等于用乘以A中第i

行的元素.右乘A等于用乘以A中第i

列的元素.201可編輯課件PPT若則202可編輯課件PPT例4:計算下列矩陣乘積:解:=(）a11x1+a21x2+a31x3a12x1+a22x2+a32x3a13x1+a23x2+a33x3=(a11x1+a21x2+a31x3)x1+(a12x1+a22x2+a32x3)x2+(a13x1+a23x2+a33x3)x3203可編輯課件PPT當(dāng)矩陣為對稱矩陣時,結(jié)果為204可編輯課件PPTn階方陣若當(dāng)i>j時，則稱A為上三角矩陣.若當(dāng)i<j時，則稱A為下三角矩陣.結(jié)論：兩個上（下）三角矩陣的積仍然是上（下）三角矩陣.證明：設(shè)A,B是兩個上三角矩陣，且C=AB,當(dāng)i>j時205可編輯課件PPT即C為上三角矩陣.206可編輯課件PPT方陣的冪和方陣的多項式定義設(shè)A是n階方陣，k個A的連乘積稱為A的k次冪，記作即當(dāng)m，k為正整數(shù)時，有只有方陣能定義冪當(dāng)AB不可交換時，一般當(dāng)AB可交換時，207可編輯課件PPT定義設(shè)是x的k次多項式，A是n階方陣，則稱為方陣A的n次多項式.208可編輯課件PPT若f(x)，g(x)為多項式，A、B為n階方陣，則f(A)g(A)=g(A)f(A)當(dāng)AB不可交換時，一般f(A)g(B)=g(B)f(A)209可編輯課件PPT特別當(dāng)矩陣為對角陣

=diag(

1,

2,···,

n)時,則f(

)=a0E+a1

+···+ak

k,210可編輯課件PPT211可編輯課件PPT方陣A的多項式可以類似一般多項式一樣相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)

=

2E+A–A2,(E–A)3=

E–3A+3A2–A3.因為單位矩陣E與任意同階方陣可交換，所以有212可編輯課件PPT解:例4:213可編輯課件PPT由此歸納出214可編輯課件PPT用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)k=2時,顯然成立.假設(shè),當(dāng)k=n時結(jié)論成立,對k=n+1時,215可編輯課件PPT所以對于任意的k都有:也可利用二項式定理展開計算.216可編輯課件PPT記于是注意到：217可編輯課件PPT即當(dāng)時，所以218可編輯課件PPT219可編輯課件PPT四、矩陣的轉(zhuǎn)置

定義:把矩陣A的行列互換,所得到的新矩陣,叫做矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT.例如:220可編輯課件PPT(1)(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(

A)T=

AT;(4)(AB)T=BTAT;轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)一般地221可編輯課件PPT證明（4）設(shè)首先容易看到與為同型矩陣.因為所以的第i行第j列的元素為222可編輯課件PPT又因為中第i行的元素為B中第i列的元素中第j列的元素為A中第j行的元素于是的第i行第j列元素為故223可編輯課件PPT解法1:因為例5:已知求(AB)T.所以解法2:(AB)T=BTAT224可編輯課件PPT例6：設(shè)（1）的第i行第j列的元素為（2）的第i行第j列的元素為（3）的第i行第j列的元素為225可編輯課件PPT設(shè)A

=

(

aij)為n階方陣,對任意i,j,如果aij=

aji都成立,則稱A為對稱矩陣;如果aij=

–aji都成立,則稱A為反對稱矩陣;顯然，若A是反對稱矩陣，那么對任意i，有226可編輯課件PPT由矩陣轉(zhuǎn)置和對稱矩陣、反對稱矩陣的定義可得:方陣A為對稱矩陣的充分必要條件是:A=AT.方陣A為反對稱矩陣的充分必要條件是:–A=AT.227可編輯課件PPT證明:因為

例7:設(shè)列矩陣X

=

(x1

x2···xn)T,滿足XTX=1,E為n階單位矩陣,H

=

E

–

2XXT,證明:H為對稱矩陣,且HHT=

E.HT

=

(E

–

2XXT)T=

ET–

2(XXT)T=

E

–

2XXT=

H.所以,H為對稱矩陣.=E2–

E(2XXT)

–

(2XXT)E

+

(2XXT)(2XXT)=E

–

4XXT

+

4(XXT)(XXT)=E

–

4XXT

+

4X(XTX)XT=E

–

4XXT

+

4XXT=E

HHT=

H2=(E

–

2XXT)2228可編輯課件PPT例8:證明任一n階方陣A都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.證明:設(shè)C

=

A

+

AT,所以,C為對稱矩陣.從而,命題得證.則CT

=

(

A

+

AT)T=

AT+

A

=

C,設(shè)B

=

A

–

AT,則BT

=

(

A

–

AT)T=

AT–

A

=

–B,所以,B為反對稱矩陣.229可編輯課件PPT五、方陣的行列式定義:由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式叫做方陣A的行列式,記作|A|或detA.例如:則方陣行列式的運算性質(zhì)|AT|=|A

|;|kA|=kn|A

|;(3)|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|.230可編輯課件PPT定理：設(shè)A、B是兩個n階方陣，則思路：利用分塊行列式的結(jié)論，行列式的性質(zhì)6及矩陣乘法的定義.對于同階方陣A和B，一般AB

BA，但是|AB|=|BA|231可編輯課件PPT232可編輯課件PPT繼續(xù)做233可編輯課件PPT重要例子例9.設(shè)其中是行列式|A|中元素的代數(shù)余子式.矩陣A的伴隨矩陣注意其元素的下標(biāo)證明：（2）當(dāng)|A|不等于0時，稱為矩陣A的伴隨矩陣。234可編輯課件PPT證：設(shè)其中于是235可編輯課件PPT兩邊取行列式得:因為所以類似可證：236可編輯課件PPT六、共軛矩陣定義:

當(dāng)A

=

(aij)為復(fù)矩陣時,用表示aij的共軛復(fù)數(shù),記,稱為A的共軛矩陣.運算性質(zhì)設(shè)A,B為復(fù)矩陣,

為復(fù)數(shù),且運算都是可行的,則:237可編輯課件PPT矩陣運算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式共軛矩陣五、小結(jié)(1)只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時,才能進(jìn)行加法運算.(2)只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時,兩矩陣才能相乘,且矩陣相乘不滿足交換律.(3)矩陣的數(shù)乘運算與行列式的性質(zhì)3不同.注意238可編輯課件PPT思考題思考題解答設(shè)A與B為n階方陣,等式A2–B2

=

(A+B)(A–B)成立的充要條件是什么?答:因為(A

+

B)

(A

–

B)

=

A2+

BA

–

AB

–

B2,故等式A2–B2=

(A

+

B)(A

–

B)成立的充要條件是:AB

=

BA.239可編輯課件PPT作業(yè)：P53－543，4，7，9，10240可編輯課件PPT在數(shù)的運算中,當(dāng)數(shù)a

0時,有aa-1=a-1a=1.在矩陣的運算中,

單位陣E相當(dāng)于數(shù)的乘法運算中的1,那么,對于矩陣A,如果存在一個矩陣A-1,使得為a的倒數(shù),或稱a的逆(元).其中AA-1=A-1A=E,則矩陣A稱為可逆矩陣,稱A-1為A逆陣.一、逆矩陣的概念和性質(zhì)§2.3逆矩陣241可編輯課件PPT或者從線性變換的觀點來看：給定線性變換若記其系數(shù)矩陣則線性變換可記為：242可編輯課件PPT若記則上式可以寫作：這是一個從Y到X的線性變換，它是線性變換的逆變換.243可編輯課件PPT為恒等變換則有：244可編輯課件PPT定義:對于n階方陣A,如果存在一個n階方陣B,使得

AB=BA=E則稱矩陣A是可逆的,并稱矩陣B為A的逆矩陣.A的逆矩陣記作A-1,即（1）A與為同階方陣；（2）若B是A的逆矩陣，那么A也是B的逆矩陣;(3)245可編輯課件PPT例如:設(shè)由于AB=BA=E,所以B為A的逆矩陣.246可編輯課件PPT說明:若A是可逆矩陣,則A的逆矩陣是唯一的.事實上:若設(shè)B和C是A的逆矩陣,則有所以,A的逆矩陣是唯一的,即AB=BA=E,AC=CA=E,可得:B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.B=C=A-1.247可編輯課件PPT解:

利用待定系數(shù)法.例1:設(shè)求A的逆矩陣.是A的逆矩陣,設(shè)即則248可編輯課件PPT又因為則解得,所以即AB

=BA

=E,如上求逆矩陣的方法對于方陣的階較高時顯然是不可行的,必須尋求可行而有效的方法.249可編輯課件PPT證明:若A可逆,則有A-1,使得AA-1=E.定理1:矩陣A可逆的充要條件是|

A

|

0,且其中A*為矩陣A的伴隨矩陣.故|

A

||

A-1|

=

|

E

|

=

1,所以,|A

|0.250可編輯課件PPT由伴隨矩陣的性質(zhì):AA*=

A*A

=

|

A

|

E,知當(dāng)|

A

|

0時,按逆矩陣的定義得,251可編輯課件PPT說明：（1）該定理揭示了矩陣可逆的充要條件，并給出了逆矩陣的一種求法——公式法.(2)上（下）三角矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)主對角元全不為0，且當(dāng)時這里逆矩陣由定義得到！252可編輯課件PPT若當(dāng)

1

2···

n

0時，A可逆，且253可編輯課件PPT例2、當(dāng)a，b滿足什么條件時，矩陣A不可逆，其中254可編輯課件PPT解：255可編輯課件PPT由矩陣可逆的充要條件可知：當(dāng)a=1或b=2時，A不可逆.256可編輯課件PPT當(dāng)|

A

|

=

0

時,稱A為奇異矩陣,