山西省忻州市原平白石中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析

山西省忻州市原平白石中學(xué)高二數(shù)學(xué)文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.為等差數(shù)列，公差為，為其前項(xiàng)和，,則下列結(jié)論中不正確的是

(

)（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C2.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖都是一個(gè)兩底長(zhǎng)分別為2和4，腰長(zhǎng)為4的等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積是(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略3.本周日有5所不同的高校來(lái)我校作招生宣傳，學(xué)校要求每位同學(xué)可以從中任選1所或2所去咨詢了解，甲、乙、丙三位同學(xué)的選擇沒有一所是相同的，則不同的選法共有（

）A.330種 B.420種 C.510種 D.600種參考答案：A種類有（1）甲1，乙1，丙1，方法數(shù)有；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法數(shù)有；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法數(shù)有.故總的方法數(shù)有種.【點(diǎn)睛】解答排列、組合問(wèn)題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有、無(wú)限制等；(3)“分類”就是將較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問(wèn)題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)單的排列、組合問(wèn)題，然后逐步解決．4.設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A.(－1,0) B.(－1,+∞)C.(0,+∞) D.(－∞,－1)∪(0,+∞)參考答案：B試題分析：,,,由得，,?若,由,得,當(dāng)時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞增；時(shí),,此時(shí)單調(diào)遞減；所以是的極大值點(diǎn)．?若,則由,得或．時(shí)的極大值點(diǎn),,解得．綜合??得,的取值范圍時(shí)．故選B．考點(diǎn)：函數(shù)的極值．【方法點(diǎn)晴】本題是一道關(guān)于函數(shù)極值題目,考慮運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．對(duì)求導(dǎo),得,由得,將代入到導(dǎo)函數(shù)中,可得,接下來(lái)分和兩種情況,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分別求出的極大值點(diǎn),從而建立的不等式求解即可．5.若對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．或

參考答案：C6.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況的某項(xiàng)指標(biāo)，需從他們中間抽取一個(gè)容量為36樣本，則老年人、中年人、青年人分別各抽取的人數(shù)是

(

)

A．6，12，18

B．7，11，19

C．6，13，17

D．7，12，17參考答案：A略7.在△ABC中，若，則角A等于（

）A.30° B.60° C.120° D.150°參考答案：A【分析】利用正弦定理可求的大小.注意用“大邊對(duì)大角”來(lái)判斷角的大小關(guān)系.【詳解】由正弦定理可得，所以，所以，因，所以，故為銳角，所以，故選A.【點(diǎn)睛】三角形中共有七個(gè)幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個(gè)量（除三個(gè)角外），可以求得其余的四個(gè)量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對(duì)的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.8.某班共有52人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號(hào)，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知3號(hào)、29號(hào)、42號(hào)同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)是（）A．10 B．11 C．12 D．16參考答案：D【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法和特點(diǎn)，樣本的編號(hào)成等差數(shù)列，由條件可得此等差數(shù)列的公差為13，從而求得另一個(gè)同學(xué)的編號(hào)【解答】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的方法和特點(diǎn)，樣本的編號(hào)成等差數(shù)列，一個(gè)容量為4的樣本，已知3號(hào)、29號(hào)、42號(hào)同學(xué)在樣本中，故此等差數(shù)列的公差為13，故還有一個(gè)同學(xué)的學(xué)號(hào)是16，故選D．9.與橢圓共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 A． B． C． D．參考答案：D略10.已知﹣1，a1，a2，8成等差數(shù)列，﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比數(shù)列，那么的值為(

)A．﹣5 B．5 C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】由﹣1，a1，a2，8成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)于a1與a2的兩個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立組成方程組，求出方程組的解得到a1與a2的值，再由﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出b12=4，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到b12=﹣b2＞0，可得出b2小于0，開方求出b2的值，把a(bǔ)1，a2及b2的值代入所求式子中，化簡(jiǎn)即可求出值．【解答】解：∵﹣1，a1，a2，8成等差數(shù)列，∴2a1=﹣1+a2①，2a2=a1+8②，由②得：a1=2a2﹣8，代入①得：2（2a2﹣8）=﹣1+a2，解得：a2=5，∴a1=2a2﹣8=10﹣8=2，又﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比數(shù)列，∴b12=﹣b2＞0，即b2＜0，∴b22=（﹣1）×（﹣4）=4，開方得：b2=﹣2，則==﹣5．故選A【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等比數(shù)列的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)在求b2值時(shí)，應(yīng)先判斷得出b2的值小于0，進(jìn)而開方求出．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線：與曲線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_________。

參考答案：312.已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)P，使F1PF2=120°，則橢圓離心率的范圍是

▲

．參考答案：略13.從裝有n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（0＜m≤n，m，）共有種取法．在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的m個(gè)球全部為白球，共有種取法；另一類是取出的m個(gè)球有個(gè)白球和1個(gè)黑球，共有種取法．顯然立，即有等式：．試根據(jù)上述思想，類比化簡(jiǎn)下列式子：

．參考答案：略14.橢圓的焦點(diǎn)、，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知，則△的面積為

。參考答案：9

15.已知函數(shù)f（x）=x2?f′（2）+3x，則f′（2）=．參考答案：﹣1【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后求解函數(shù)值即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=x2?f′（2）+3x，則f′（x）=2x?f′（2）+3，f′（2）=4?f′（2）+3，解得f′（2）=﹣1，故答案為：﹣1．16.若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是________．參考答案：17.已知四邊形ABCD中，AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，P為線段AC上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是______________．參考答案：.【分析】以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量的坐標(biāo)形式，將表示為的函數(shù)，求函數(shù)的值域可得.【詳解】以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，由AB＝2，AC＝4，∠BAC＝60°，則,，又P為線段AC上任意一點(diǎn)，設(shè),所以，由，所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積，利用向量的坐標(biāo)形式將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算是處理向量問(wèn)題的常用方法，引入變量，建立函數(shù)是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù) （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)x的取值集合； （3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間． 參考答案：【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性；兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的定義域和值域． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）先運(yùn)用三角函數(shù)的兩角和與差的正弦公式及二倍角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，根據(jù)T=可求出最小正周期； （2）因?yàn)閒（x）取最大值時(shí)應(yīng)該有sin（2x﹣）=1成立，即2x﹣=2kπ+，k∈Z，可得答案． （3）將2x﹣看做一個(gè)整體，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出x的范圍，得到答案． 【解答】解：（1）∵ ∴f（x）= = =． ∵，即函數(shù)f（x）的最小正周期為π． （2）當(dāng)（5分） 即時(shí)，f（x）取最大值1（7分） 因此f（x）取最大值時(shí)x的集合是（8分） （3）f（x）=． 再由， 解得． 所以y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為．（12分） 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法、正弦函數(shù)的定義域和值域和單調(diào)區(qū)間的求法，一般都是將函數(shù)化簡(jiǎn)為y=Asin（wx+ρ）的形式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題．19.已知圓C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直線l1過(guò)定點(diǎn)A（1，0）．（1）若l1與圓C相切，求l1的方程；（2）若l1的傾斜角為，l1與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若l1與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時(shí)l1的直線方程．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；中點(diǎn)坐標(biāo)公式；點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】（1）通過(guò)直線l1的斜率存在與不存在兩種情況，利用直線的方程與圓C相切，圓心到直線的距離等于半徑，判斷直線是否存在，求出k，即可求l1的方程；（2）l1的傾斜角為，直接求出l1的方程，利用直線l1與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，直接轉(zhuǎn)化為過(guò)圓心與直線l1垂直的中垂線方程，解兩條直線方程的交點(diǎn)即可；（3）l1與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx﹣y﹣k=0，求出圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)，得到三角形CPQ的面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)求出面積的最大值時(shí)的距離，然后求出直線的斜率，得到l1的直線方程．【解答】解：（1）解：①若直線l1的斜率不存在，則直線x=1，圓的圓心坐標(biāo)（3，4），半徑為2，符合題意．②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1為y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即：，解之得

．所求直線方程是：x=1，或3x﹣4y﹣3=0．（2）直線l1方程為y=x﹣1．∵PQ⊥CM，∴CM方程為y﹣4=﹣（x﹣3），即x+y﹣7=0．∵∴∴M點(diǎn)坐標(biāo)（4，3）．（3）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx﹣y﹣k=0，則圓．又∵三角形CPQ面積∴當(dāng)d=時(shí)，S取得最大值2．∴．∴直線方程為y=x﹣1，或y=7x﹣7．20.(本小題滿分12分)已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（II）已知過(guò)點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)度。參考答案：⑵設(shè),由⑴可知橢圓方程為①,∵直線AB的方程為②7分把②代入①得化簡(jiǎn)并整理得∴10分又12分21.已知數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，，且.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Rn；(2)求{bn}的通項(xiàng)公式.參考答案：（1）（2）【分析】（1）先將表示為，然后利用裂項(xiàng)求和法可求出；（2）先求出數(shù)列的前項(xiàng)和