8 微專題：平面向量基本定理的應用 講義-2021-2022學年高一下學期數(shù)學滬教版（2020）必修第二冊

【學生版】微專題：平面向量基本定理的應用平面向量基本定理:如果是一平面內的兩個不共線向量，那么對于這個平面內任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．平面向量基本定理的實質及解題思路：（1）應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算；（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決；【典例】例1、下面幾種說法中，正確的是（填序號）①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；②零向量不可以作為基底中的向量；③()可以表示平面內的所有向量；④若是平面內不共線的兩個向量，則與可作為表示平面內所有向量的一組基底；⑤是平面內不共線的兩個向量，若，則；⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；⑦若是平面α內不共線的兩個向量，則對于平面內的任意向量，使成立的實數(shù)對有無窮多個；【提示】；【答案】；【解析】【說明】例2、向量，，在正方形網格中的位置如圖所示；若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.【說明】本題考查了依據(jù)平面向量基本定理利用已知基底表示平面向量；平面向量基本定理的實質及應用思路：1、應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決；例3、已知在中，點滿足，點在線段(不含端點，)上移動，（1）若，則__________；（2）若，則的取值范圍為__________；（3）若，則的最小值為__________；【說明】本題考查了平面向量的線性運算、平面向量基本定理的應用和代數(shù)求值、求最值的交匯；依次為：利用平面向量基本定理找關系，依據(jù)比例求值；等價為一元二次函數(shù)，在給定區(qū)間上求最值；利用基本不等式的求最值；【歸納】應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用．當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的；應用平面向量基本定理的關鍵點（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量；（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這一組基底表示出來；（3）強調幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平行、相似等；用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算；（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式；【即時練習】1、在下列向量組中，可以把向量＝(3，2)表示出來的是（）A．＝(0，0)，＝(1，2)B．＝(－1,，2)，＝(5，－2)C．＝(3，5)，＝(6，10)D．＝(2，－3)，＝(－2，3)2、在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)＋eq\f(5,12)B．eq\f(1,3)－eq\f(13,12)C．－eq\f(1,3)－eq\f(5,12) D．－eq\f(1,3)＋eq\f(13,12)3、如圖所示，在中，點D是邊上任意一點，M是線段的中點，若存在實數(shù)和，使得，則4、已知，若點滿足，且，則________．5、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D；設eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝6、如圖，已知在△OCB中，A是CB的中點，D是將eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一個內分點，DC和OA交于點E，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝；（1）用和表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；（2）若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實數(shù)λ的值．【學生版】微專題：平面向量基本定理的應用平面向量基本定理:如果是一平面內的兩個不共線向量，那么對于這個平面內任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.其中，不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．平面向量基本定理的實質及解題思路：（1）應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算；（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決；【典例】例1、下面幾種說法中，正確的是（填序號）①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基底；②零向量不可以作為基底中的向量；③()可以表示平面內的所有向量；④若是平面內不共線的兩個向量，則與可作為表示平面內所有向量的一組基底；⑤是平面內不共線的兩個向量，若，則；⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；⑦若是平面α內不共線的兩個向量，則對于平面內的任意向量，使成立的實數(shù)對有無窮多個；【提示】注意：理解平面向量基本定理；【答案】②⑤；【解析】①錯誤：只要是不共線的一對向量就可以作為表示該平面內所有向量的基底，基底的選取并不是唯一的；②正確：零向量和任何向量都共線，與基底的定義不符；③錯誤：根據(jù)平面向量基本定理可知，必須是不共線向量；④錯誤：因為，所以向量與是共線向量，不能作為表示平面α內所有向量的一組基底；⑤正確：因為為一組不共線向量，若，即，只有當時，才能成立；⑥錯誤：基底不同，向量的表示也不同，當基底確定后，向量的表示才是唯一的；⑦錯誤：根據(jù)平面向量基本定理可知，實數(shù)對應該只有唯一一對．【說明】本題考查了平面向量基本定理在基底的判斷方面的應用；注意：理解基底的“唯一”與“不唯一”；“不唯一”：只要同一平面內兩個向量不共線，就可以作為表示平面內所有向量的一組基底，對基底的選取不唯一；“唯一”：平面內任意向量都可被這個平面內的一組基底線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的．例2、向量，，在正方形網格中的位置如圖所示；若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.【提示】注意：由題意確定基向量；【答案】4；【解析】設，分別為水平方向和豎直方向上的正向單位向量，則＝－＋，＝6＋2，＝－－3，所以－－3＝λ(－＋)＋μ(6＋2)，根據(jù)平面向量基本定理，得λ＝－2，μ＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(λ,μ)＝4【說明】本題考查了依據(jù)平面向量基本定理利用已知基底表示平面向量；平面向量基本定理的實質及應用思路：1、應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決；【例2】在中，點滿足，當點在射線（不含點）上移動時，若，則的取值范圍為__________．例3、已知在中，點滿足，點在線段(不含端點，)上移動，（1）若，則__________；（2）若，則的取值范圍為__________；（3）若，則的最小值為__________；【提示】注意：用平面向量基本定理正確表示，然后，利用代數(shù)求值、最值；【答案】（1）3；（2）；（3）；【解析】（1）如圖，由題意得存在實數(shù)，使得，又，所以，又因為，，且不共線，故由平面向量的分解的唯一性得，所以，故答案為：3；（2）因為點在線段(不含端點，)上移動，設，又，所以，所以，，故的取值范圍；（3）由，得，即，因為點在線段(不含端點，)上移動，所以，又因為，所以，，則（當且僅當，即時取等號）；故填；【說明】本題考查了平面向量的線性運算、平面向量基本定理的應用和代數(shù)求值、求最值的交匯；依次為：利用平面向量基本定理找關系，依據(jù)比例求值；等價為一元二次函數(shù)，在給定區(qū)間上求最值；利用基本不等式的求最值；【歸納】應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算，共線向量定理的應用起著至關重要的作用．當基底確定后，任一向量的表示都是唯一的；應用平面向量基本定理的關鍵點（1）平面向量基本定理中的基底必須是兩個不共線的向量；（2）選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這一組基底表示出來；（3）強調幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平行、相似等；用平面向量基本定理解決問題的一般思路（1）先選擇一組基底，并運用平面向量基本定理將條件和結論表示成該基底的線性組合，再進行向量的運算；（2）在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便，另外，要熟練運用線段中點的向量表達式；【即時練習】1、在下列向量組中，可以把向量＝(3，2)表示出來的是（）A．＝(0，0)，＝(1，2)B．＝(－1,，2)，＝(5，－2)C．＝(3，5)，＝(6，10)D．＝(2，－3)，＝(－2，3)【答案】B；【解析】設＝k1＋k2，A項，∵(3,2)＝(k2,2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＝3，,2k2＝2，))無解；B項，∵(3,2)＝(－k1＋5k2,2k1－2k2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－k1＋5k2＝3，,2k1－2k2＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k2＝1.))故B中的，可把表示出來．同理，C，D項同A項，無解．2、在△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝3eq\o(EA,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，則eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,3)＋eq\f(5,12)B．eq\f(1,3)－eq\f(13,12)C．－eq\f(1,3)－eq\f(5,12) D．－eq\f(1,3)＋eq\f(13,12)【答案】C；3、如圖所示，在中，點D是邊上任意一點，M是線段的中點，若存在實數(shù)和，使得，則【提示】由題意結合中點的性質和平面向量基本定理首先表示出向量，，然后結合平面向量的運算法則即可求得最終結果；【答案】【解析】如圖所示，因為點D在線段上，所以存在，使得，因為M是線段的中點，所以：，又，所以，，所以.4、已知，若點滿足，且，則________．【答案】【解析】由，可得，所以，，即，所以，，故．5、如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D；設eq\o(AB,\s\up6(→))＝，eq\o(AC,\s\up6(→))＝，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))＝【答案】；【解析】連接BD，DC(圖略)，設圓的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6).根據(jù)圓的性質得BD＝CD＝AB，又因為在Rt△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝；6、如圖，已知在△OCB中，A是CB的中點，D是將eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一個內分點，DC和OA交于點E，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝，eq\o(OB,\s\up6(→))＝；（1）用和表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；（2）若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實數(shù)λ的值．【解析】（1）由題意知，A是BC的中點，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，由平行四邊形法則，得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2－，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝(2