專題3-空間圖形的基本關(guān)系與公理(解析版)-2021年高考數(shù)學(xué)立體幾何中必考知識專練

中學(xué)教育中學(xué)教育專題3：空間圖形的基本關(guān)系與公理（解析版）一.平面基本性質(zhì)即三條公理公理1公理2公理3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.符號語言作用判斷線在面內(nèi)確定一個(gè)平面證明多點(diǎn)共線公理2的三條推論：推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.二．直線與直線的位置關(guān)系共面直線：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（既不平行，也不相交）三．直線與平面的位置關(guān)系有三種情況：在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)．符號aα相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)符號a∩α=A平行——沒有公共點(diǎn)符號a∥α說明：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示對應(yīng)練習(xí)一、單選題1．如圖所示的是平行四邊形所在的平面，有下列表示方法：①平面；②平面；③平面；④平面；⑤；⑥平面.其中不正確的是（）A．④⑤ B．③④⑤ C．②③④⑤ D．③⑤【答案】D【分析】根據(jù)平面的表示方法判斷．【詳解】③中不為對角線，故錯(cuò)誤；⑤中漏掉“平面”兩字，故錯(cuò)誤.故選：D.2．下列敘述錯(cuò)誤的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，則p∈l.B．若直線a∩b=A，則直線a與b能確定一個(gè)平面.C．三點(diǎn)A，B，C確定一個(gè)平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α則lα.【答案】C【分析】由空間線面位置關(guān)系，結(jié)合公理即推論，逐個(gè)驗(yàn)證即可．【詳解】選項(xiàng)，點(diǎn)在是兩平面的公共點(diǎn)，當(dāng)然在交線上，故正確；選項(xiàng)，由公理的推論可知，兩相交直線確定一個(gè)平面，故正確；選項(xiàng)，只有不共線的三點(diǎn)才能確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)，由公理1，直線上有兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則整條直線都在平面內(nèi)．故選：C3．在空間中，下列結(jié)論正確的是（）A．三角形確定一個(gè)平面 B．四邊形確定一個(gè)平面C．一個(gè)點(diǎn)和一條直線確定一個(gè)平面 D．兩條直線確定一個(gè)平面【答案】A【分析】根據(jù)確定平面的公理及其推論對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可得出結(jié)果.【詳解】三角形有且僅有3個(gè)不在同一條直線上的頂點(diǎn)，故其可以確定一個(gè)平面，即A正確；當(dāng)四邊形為空間四邊形時(shí)不能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，一個(gè)點(diǎn)和一條直線不能確定一個(gè)平面，故C錯(cuò)誤；當(dāng)兩條直線異面時(shí)，不能確定一個(gè)平面，即D錯(cuò)誤；故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本定理及其推論，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，屬于基礎(chǔ)題.4．下列命題中正確的是（）A．若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則B．如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行C．若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行D．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行【答案】D【分析】利用空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】解:選項(xiàng)A:若直線l上有無數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則或相交,故A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B:如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條可能與這個(gè)平面平行,也可包含于這個(gè)平面,故B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線相交、平行或異面,故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行,故D正確,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).5．已知直線l和不重合的兩個(gè)平面，，且，有下面四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則其中真命題的序號是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①④【答案】B【分析】對于①，由可得與可平行，可相交；對于②，若，則由面面平行的性質(zhì)定理可判斷；對于③，由線面垂直的判定定理可判斷；對于④，當(dāng)時(shí)，l可能在內(nèi)，可能與平行，可能相交【詳解】解：對于①，由可得與可平行，可相交，故錯(cuò)誤；對于②，若，則由面面平行的性質(zhì)定理可得，故正確；對于③，若，則由線面垂直的判定定理可得，故正確；對于④，當(dāng)時(shí)，l可能在內(nèi)，可能與平行，可能相交，所以不一定有，故錯(cuò)誤，故選：B【點(diǎn)睛】此題考查線線、線面、面面關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題6．四個(gè)頂點(diǎn)不在同一平面上的四邊形中，，，，分別是邊，，，上的點(diǎn)，如果直線，交于點(diǎn)，那么（）A．點(diǎn)一定在直線上B．點(diǎn)一定在直線上C．點(diǎn)一定在平面外D．點(diǎn)一定在平面內(nèi)【答案】A【分析】由兩個(gè)面的交點(diǎn)在兩個(gè)面的交線上，知P在兩面的交線上，由AC是兩平面的交線，知點(diǎn)P必在直線AC上．【詳解】解：∵EF在面ABC內(nèi)，而GH在面ADC內(nèi)，

且EF和GH能相交于點(diǎn)P，

∴P在面ABC和面ADC的交線上，

∵AC是兩平面的交線，

所以點(diǎn)P必在直線AC上．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平面的基本性質(zhì)及其推論，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．7．平面平面，點(diǎn)，點(diǎn)，且，點(diǎn)，又，過、、三點(diǎn)確定的平面為，則是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】B【分析】確定平面、的公共點(diǎn)，利用公理可得出平面與的交線.【詳解】如下圖所示：由題意可知，，，則，又平面平面，則，，，，，，因此，直線.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查兩平面交線的確定，關(guān)鍵是確定兩平面的公共點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.8．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則【答案】C【分析】由線面垂直的判定定理可判斷A，由線面平行的性質(zhì)定理可判斷B，由面面平行的性質(zhì)定理可判斷C，由線面平行的性質(zhì)定理可判斷D.【詳解】解：對于A，由線面垂直的判定定理可知當(dāng)直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線時(shí)，才成立，所以A不正確；對于B，若，，則或，異面，所以B不正確；對于C，由面面平行的性質(zhì)定理可知是正確的，對于D，若，，則，有可能相交、平行或異面，所以D不正確，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了線線、線面和面面的位置關(guān)系，考查平行和垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9．下列命題中，正確的是()A．經(jīng)過正方體任意兩條面對角線，有且只有一個(gè)平面B．經(jīng)過正方體任意兩條體對角線，有且只有一個(gè)平面C．經(jīng)過正方體任意兩條棱，有且只有一個(gè)平面D．經(jīng)過正方體任意一條體對角線與任意一條面對角線，有且只有一個(gè)平面【答案】B【解析】因?yàn)檎襟w的四條體對角線相交于同一點(diǎn)(正方體的中心)，因此經(jīng)過正方體任意兩條體對角線，有且只有一個(gè)平面，故選B．點(diǎn)睛：確定平面方法:過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面;經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個(gè)平面；經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個(gè)平面．10．設(shè)，表示平面，l表示直線，A，B，C表示三個(gè)不同的點(diǎn)，給出下列命題：①若，，，，則；②若，，，，則；③若，，則；④若，，則與重合.其中，正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及推論進(jìn)行判斷.【詳解】若，，，，根據(jù)公里1，得，①正確；若，，，，則直線既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，所以，②正確；若，則直線可能與平面相交于點(diǎn)A，所以時(shí)，，③不正確；若，，當(dāng)共線時(shí)，與可能不重合，④不正確；故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的性質(zhì)，明確平面的基本性質(zhì)及推論是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象的核心素養(yǎng).11．平面的一條斜線交平面于點(diǎn)，過定點(diǎn)的直線與垂直，且交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是（）.A．一條直線 B．一個(gè)圓 C．兩條平行直線 D．兩個(gè)同心圓【答案】A【分析】由過定點(diǎn)的直線與垂直可知，直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)平面，由此可知兩平面的交線即為所求．【詳解】解：如圖，設(shè)直線與是其中兩條任意的直線，則這兩條相交直線確定一個(gè)平面，且斜線，由過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直可知，過定點(diǎn)定點(diǎn)且與垂直的直線都在平面內(nèi)，∴點(diǎn)都在平面與平面的交線上，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．12．和直線都平行的直線的位置關(guān)系是（）A．相交 B．異面C．平行 D．平行、相交或異面【答案】C【分析】直接利用平行公理，即可得到答案．【詳解】由平行公理，可知平行與同一直線的兩直線是平行的，所以和直線都平行的直線的位置關(guān)系是平行，故選．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．二、填空題13．如圖，已知正方體的棱長為a，則異面直線與所成的角為_____．【答案】【解析】異面直線與所成的角為14．已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)論斷：①，②，③，④.以其中的兩個(gè)論斷作為命題的條件，作為命題的結(jié)論，寫出一個(gè)真命題：______.【答案】若，，則【分析】若，，則，運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)和判定定理，即可得到結(jié)論.【詳解】解：l，m是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，可得若，，則，理由：在內(nèi)取兩條相交直線a，b，由可得.，又，可得.，而a，b為內(nèi)的兩條相交直線，可得.故答案為：若，，則【點(diǎn)睛】此題考查線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題15．如圖，在正方體中，，依次是和的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為__．【答案】【分析】連、、，利用平行四邊形可得，可得是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），然后用余弦定理可得結(jié)果.【詳解】在正方體中，連、、，，依次是和的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，，是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長為2，則，．異面直線與所成角的余弦值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求異面直線所成的角，考查了余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.16．在長方體中，，，則直線與所成的角的大小等于__________.【答案】【分析】連接，可得直線與所成的角為，利用余弦定理求即可.【詳解】解：如圖，連接，由長方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，則直線與所成的角為（或其補(bǔ)角），因?yàn)椋谥?，?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，關(guān)鍵是要通過平移找到異面直線所成的角的平面角，是基礎(chǔ)題.三、解答題17．如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，，分別為棱AD，AB，，的中點(diǎn).求證：.【答案】見解析【分析】根據(jù)空間中兩個(gè)角的兩邊平行時(shí),角的關(guān)系可知兩個(gè)角相等或互補(bǔ).結(jié)合空間中平行線的傳遞性及當(dāng)兩個(gè)角的方向相同時(shí),即可證明兩個(gè)角相等.【詳解】證明：如圖,在正方體中,取的中點(diǎn)M,連接名BM,由題意得又∴四邊形為平行四邊形∴又,M分別為,的中點(diǎn),則而∴∴四邊形為平行四邊形∴又∴同理可得∴與的兩邊分別平行,且方向都相反∴.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與直線平行的證明,空間中角的兩邊分別平行時(shí)兩個(gè)角的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.18．（不寫做法）（1）如圖，直角梯形中，，，是直角梯形所在平面外一點(diǎn)，畫出平面和平面的交線．（2）如圖所示，在正方體中，試畫出平面與平面的交線．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）延長和交于點(diǎn)，再連接，即得到交線；（2）先記與的交點(diǎn)為，連接，即可得出交線.【詳解】（1）（延長和交于點(diǎn)，連接，即為平面和平面的交線），如圖：（2）（記與的交點(diǎn)為，連接，則即為平面與平面的交線），如圖:【點(diǎn)睛】本題主要考查畫出平面與平面的交線，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題型.19．如圖，已知正方體ABCDA′B′C′D.（1）哪些棱所在直線與直線BA′是異面直線？（2）直線BA′和CC′的夾角是多少？（3）哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？【答案】（1）棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′（2）45°（3）AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′【分析】（1）根據(jù)異面直線的定義判斷即可；（2）∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角，進(jìn)而可得直線BA′和CC′的夾角；（3）根據(jù)正方體的性質(zhì)即可判斷．【詳解】（1）由異面直線的定義可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直線分別與直線BA′是異面直線；（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′為異面直線BA′與CC′的夾角，∠B′BA′＝45°，所以直線BA′和CC′的夾角為45°；（3）直線AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分別與直線AA′垂直.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的定義，考查線線角的求解，考查線線垂直的判斷，是基礎(chǔ)題．20．如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求異面直線與所成的角.【答案】【分析】根據(jù)題意，直徑所對圓周角是直角，，又知點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，則等腰直角三角形，再根據(jù)中位線平行，找到異面直線所成角的平面角，即可求解.【詳解】是圓的直徑，.∵點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，.在中，分別為的中點(diǎn)，，與所成的角為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.21．如圖1所示，在梯形中，，，分別為，的中點(diǎn)，將平面沿翻折起來，使到達(dá)的位置（如圖2），，分別為，的中點(diǎn)，求證:四邊形為平行四邊形.圖1圖2【答案】證明見詳解.【分析】通過證明EF//GH，且EF=GF，即可證明.【詳解】在題圖1中，∵四邊形為梯形，，分別為的中點(diǎn)，∴且.