定積分的應(yīng)用一

定積分的應(yīng)用

一、定積分在幾何上的應(yīng)用二、定積分在物理上的應(yīng)用1微元法定積分求面積鞏固練習(xí)復(fù)習(xí)定積分的概念理解什么是微元法了解用微元法解決問(wèn)題的步驟微元法公式法本次課主要內(nèi)容2一.微元法用定積分求曲邊梯形面積的步驟(復(fù)習(xí))(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取極限其中第(2)步是關(guān)鍵，用小矩形的面積近似代替其所在小曲邊梯形的面積?！?若在“(2)近似代替”中，小區(qū)間左端點(diǎn)記為，右端點(diǎn)記為，取則代表小區(qū)間上面積A

的近似值稱為面積微元，記為對(duì)面積微元在積分區(qū)間上積分，則得總面積上述方法稱為微元法。下面，我們給出微元法的準(zhǔn)確定義。42.在上任取一個(gè)區(qū)間綜上所述在解決具體問(wèn)題時(shí)，用定積分計(jì)算所求量（總量）的步驟是：，并確定積分區(qū)間；選取一個(gè)積分變量求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量的近似值（微元）用上述步驟解決問(wèn)題的方法叫做定積分的微元法。將微元在積分區(qū)間上取積分，則得總量5二.求平面圖形的面積1.設(shè)平面圖形如右圖[1],則取，積分區(qū)間為，則平面圖形的面積為.[1][2]為積分變量,其積分區(qū)間為[a,b]微元面積2.設(shè)平面圖形如右圖[2],則取y為積分變量,其積分區(qū)間為[c,d]微元面積X型區(qū)域Y型區(qū)域6例1求由拋物線及直線所圍成的圖形的面積。解:如右圖所示,解方程組得交點(diǎn)M(2,-2)及N(8,4)D此時(shí),應(yīng)選取為積分變量,積分區(qū)間為[-2，4]，面積元素（面積單位）練習(xí)P114,21,22-24在積分區(qū)間上任取小區(qū)間[y,y+dy]yy+dy7練習(xí)

計(jì)算由兩條拋物線:所圍成圖形的面積。解ox(1,1)xx+dx1y為了求出面積,一般先劃出兩條曲線所圍成的圖形。為了定出圖形的所在范圍,應(yīng)先求出這兩條拋物線的交點(diǎn)，為此,

解方程組

即這兩條拋物線的交點(diǎn)為(0,0)及(1,1)。從而知道這圖形在直線

x=0及

x=1之間。取

x

為積分變量,且

x∈[0,1],微元為則8都可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角邊、直角梯形繞它的直角腰、半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,所以它們都是旋轉(zhuǎn)體。2.旋轉(zhuǎn)體的體積圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體oxyy=?(x)ab

旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.上述旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線y=?(x)、直線x=a、直線x=b及x軸所圍成的曲邊梯形繞x

軸9x旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.

的體積微元(近似在[a,b]上作定積分得下面用微元法來(lái)求它的體積.oxy=?(x)abx

x+dxy在[a,b]上任取一個(gè)小區(qū)間[x,x+dx],窄曲邊梯形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片則此小區(qū)間上的近似值)為oyy=?(x)abx

x+dx1011ox=φ(y)c

y+dyyxy

類似地,由曲線x=φ(y)、直線y=c、=d(c<d)與y

軸所圍成的曲邊梯形,繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為d12解直線方程為1314例4

求曲線和y=0所圍成的圖形分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積.oy(1,1)(2,0)x解為了確定積分區(qū)間,應(yīng)先求兩曲線之交點(diǎn).則繞

x

軸旋轉(zhuǎn)的體積微元為x解方程組