上海培佳雙語學(xué)校2024屆高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷含解析

上海培佳雙語學(xué)校2024屆高考沖刺押題（最后一卷）數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，且，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．63．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，存在實(shí)數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．54．已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，拋物線上任意一點(diǎn)P，且PQ⊥y軸交y軸于點(diǎn)Q，則的最小值為（）A． B． C．l D．15．已知盒中有3個(gè)紅球，3個(gè)黃球，3個(gè)白球，且每種顏色的三個(gè)球均按，，編號(hào)，現(xiàn)從中摸出3個(gè)球（除顏色與編號(hào)外球沒有區(qū)別），則恰好不同時(shí)包含字母，，的概率為（）A． B． C． D．6．已知直線和平面，若，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．不充分不必要7．將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．49．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A． B． C．1 D．10．設(shè)，點(diǎn)，，，，設(shè)對(duì)一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．11．設(shè)全集U=R，集合，則（）A．{x|-1<x<4} B．{x|-4<x<1} C．{x|-1≤x≤4} D．{x|-4≤x≤1}12．已知數(shù)列滿足：，則()A．16 B．25 C．28 D．33二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若，則的值是______．14．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，圓．直線與圓相切，且與圓相交于，兩點(diǎn)，則弦的長(zhǎng)為_________15．在直角三角形中，為直角，，點(diǎn)在線段上，且，若，則的正切值為_____.16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的一條準(zhǔn)線與兩條漸近線所圍成的三角形的面積為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對(duì)某種產(chǎn)品的研發(fā)投入.為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)如表所示:試銷價(jià)格(元)產(chǎn)品銷量(件)已知變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過計(jì)算求得回歸直線方程分別為:甲；乙；丙，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的.（1）試判斷誰的計(jì)算結(jié)果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過，則稱該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)為的概率.18．（12分）數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為.（1）求和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和，并證明：對(duì)任意的正整數(shù)m、k，均有.19．（12分）如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線交于.（1）求證:平面平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．21．（12分）在直角坐標(biāo)系x0y中，把曲線α為參數(shù))上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到曲線以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程（1）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)M在上，點(diǎn)N在上，求|MN|的最小值以及此時(shí)M的直角坐標(biāo).22．（10分）年，山東省高考將全面實(shí)行“選”的模式（即：語文、數(shù)學(xué)、外語為必考科目，剩下的物理、化學(xué)、歷史、地理、生物、政治六科任選三科進(jìn)行考試）.為了了解學(xué)生對(duì)物理學(xué)科的喜好程度，某高中從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取人做調(diào)查.統(tǒng)計(jì)顯示，男生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人；女生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人.（1）據(jù)此資料判斷是否有的把握認(rèn)為“喜歡物理與性別有關(guān)”；（2）為了了解學(xué)生對(duì)選科的認(rèn)識(shí)，年級(jí)決定召開學(xué)生座談會(huì).現(xiàn)從名男同學(xué)和名女同學(xué)（其中男女喜歡物理）中，選取名男同學(xué)和名女同學(xué)參加座談會(huì)，記參加座談會(huì)的人中喜歡物理的人數(shù)為，求的分布列及期望.，其中.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】因?yàn)?，且，，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解析】

先求出，再由，利用向量數(shù)量積等于0，從而求得.【詳解】由題可知，因?yàn)?，所以有，得，故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算公式，向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題目.3、A【解析】

根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】，，對(duì)任意的，存在實(shí)數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對(duì)于恒成立,設(shè)，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.4、A【解析】

設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得最值.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線背景下的向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.5、B【解析】

首先求出基本事件總數(shù)，則事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母，，”，記事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”為，利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：從9個(gè)球中摸出3個(gè)球，則基本事件總數(shù)為（個(gè)），則事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母，，”記事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”為，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了排列組合的知識(shí)，解答的關(guān)鍵在于正確理解題意，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

由線面關(guān)系可知，不能確定與平面的關(guān)系，若一定可得，即可求出答案.【詳解】,不能確定還是，，當(dāng)時(shí)，存在，，由又可得，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.7、B【解析】

由余弦的二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)為，要想在括號(hào)內(nèi)構(gòu)造變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即為答案.【詳解】由題可知，對(duì)其向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，，其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱故的最小值為故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運(yùn)用，屬于簡(jiǎn)單題.8、A【解析】

由傾斜角的余弦值，求出正切值，即的關(guān)系，求出雙曲線的離心率.【詳解】解：設(shè)雙曲線的半個(gè)焦距為，由題意又，則，，，所以離心率，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)z滿足，利用復(fù)數(shù)的除法求得，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，所以，所以z的虛部為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.11、C【解析】

解一元二次不等式求得集合，由此求得【詳解】由，解得或.因?yàn)榛?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

依次遞推求出得解.【詳解】n=1時(shí)，，n=2時(shí)，，n=3時(shí)，，n=4時(shí)，，n=5時(shí)，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由題得，解不等式得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以c=1.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.14、【解析】

利用直線與圓相切求出斜率，得到直線的方程，幾何法求出【詳解】解：直線與圓相切，圓心為由，得或，當(dāng)時(shí)，到直線的距離，不成立，當(dāng)時(shí)，與圓相交于，兩點(diǎn)，到直線的距離，故答案為．【點(diǎn)睛】考查直線與圓的位置關(guān)系，相切和相交問題，屬于中檔題．15、3【解析】

在直角三角形中設(shè)，，，利用兩角差的正切公式求解.【詳解】設(shè)，，則，故.故答案為：3【點(diǎn)睛】此題考查在直角三角形中求角的正切值，關(guān)鍵在于合理構(gòu)造角的和差關(guān)系，其本質(zhì)是利用兩角差的正切公式求解.16、【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，求出準(zhǔn)線方程，求出三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求解面積．【詳解】解：雙曲線：雙曲線中，，，則雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，雙曲線的漸近線方程為：，可得準(zhǔn)線方程與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)，，，，則三角形的面積為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線方程的應(yīng)用，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）乙同學(xué)正確；（2）.【解析】

（1）根據(jù)變量且有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系判斷甲不正確.根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)，判斷出乙正確.（2）由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算出誤差，求得“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)，由此利用古典概型概率計(jì)算公式，求得所求概率.【詳解】（1）已知變量具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不正確，，代入兩個(gè)回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計(jì)算估計(jì)數(shù)據(jù)如下表：021212由上表可知，“理想數(shù)據(jù)”的個(gè)數(shù)為.用列舉法可知，從個(gè)不同數(shù)據(jù)里抽出個(gè)不同數(shù)據(jù)的方法有種.從符合條件的個(gè)不同數(shù)據(jù)中抽出個(gè)，還要在不符合條件的個(gè)不同數(shù)據(jù)中抽出個(gè)的方法有種.故所求概率為【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程的判斷，考查古典概型概率計(jì)算，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.18、（1），；（2），證明見解析【解析】

（1）利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論．【詳解】（1），，得是公比為的等比數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，兩式相除得，得，又得，；（2），故.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）過點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，由角平分線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形的全等，證得，，由線面垂直的判斷定理證得平面，再由面面垂直的判斷得證.（2）平面幾何知識(shí)和線面的關(guān)系可證得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)二面角的向量計(jì)算公式可求得其值.【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作交于，連接，設(shè)，連接，，，又為的角平分線，四邊形為正方形，，又，，，，，又為的中點(diǎn)，又平面，，平面，又平面，平面平面，（2）在中，，，，在中，，，又，，，，又，，平面，平面，故建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，得,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，得，由圖示可知二面角是銳角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間的面面垂直關(guān)系的證明，二面角的計(jì)算，在證明垂直關(guān)系時(shí)，注意運(yùn)用平面幾何中的等腰三角形的“三線合一”，勾股定理、菱形的對(duì)角線互相垂直，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)證明見解析；(2)【解析】

（1）連接交于點(diǎn)，連接，通過證，并說明平面，來證明平面（2）采用建系法以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別表示出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，結(jié)合直線對(duì)應(yīng)的和法向量，利用向量夾角的余弦公式進(jìn)行求解即可【詳解】證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，則，，，又平面，平面，平面；，，，，，，可得，又，則以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得．設(shè)直線與平面所成角為，則．直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理的使用，利用建系法來求解線面夾角問題，整體難度不大，本題中的線面夾角的正弦值公式使用廣泛，需要識(shí)記21、（1）的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.（2）最小值