福建省福州市湖南中學高一數(shù)學理期末試題含解析

福建省福州市湖南中學高一數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，,,∠A＝30°，則△ABC面積為（

）A．

B．

C．或

D．或參考答案：B2.設偶函數(shù)滿足，則（

）

A

BCD參考答案：B3.設集合A={－1,0,1,2}，B={0,1}，則(CAB)∩A=（

）A．{－1,2}

B．[0,1]

C．{－1,0,1,2}

D．[－1,2]參考答案：A∵，，∴={﹣1，2}∵，∴故選：A．

4.已知在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，則sinB等于()A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題意變形，運用余弦定理，可得cosB，再由同角的平方關系，可得所求值．【詳解】2b2﹣2a2＝ac+2c2，可得a2+c2﹣b2ac，則cosB，可得B＜π，即有sinB．故選：A．【點睛】本題考查余弦定理的運用，考查同角的平方關系，以及運算能力，屬于中檔題．5.設實數(shù)x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（

）A．

B．[0,4]

C．

D．[0,1]參考答案：A作出實數(shù)x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，得到△ABC及其內(nèi)部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，），O（0，0）．設z=F（x，y）=|x|﹣y，將直線l：z=|x|﹣y進行平移，觀察直線在y軸上的截距變化，當x≥0時，直線為圖形中的紅色線，可得當l經(jīng)過B與O點時，取得最值z∈[0，]，當x＜0時，直線是圖形中的藍色直線，經(jīng)過A或B時取得最值，z∈[﹣，3]綜上所述，z+1∈[﹣，4]．故選：A．

6.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，，，則A=（

）A.30° B.30°或150° C.60°或120° D.60°參考答案：C∵∴根據(jù)正弦定理，即∵∴∴或故選C7.在一個錐體中，作平行于底面的截面，若這個截面面積與底面面積之比為1∶3，則錐體被截面所分成的兩部分的體積之比為（）A．1∶B．1∶9C．1∶D．1∶

參考答案：D略8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,,=(

).

A．4

B．6 C．8 D．8–參考答案：C略9.把函數(shù)的圖象向右平移θ(θ>0)個單位，所得的圖象關于y軸對稱，則θ的最小值為(

)A. B. C. D.參考答案：B根據(jù)圖象平移的“左加右減”原則，函數(shù)的圖象向右平移(>0)個單位得到，因為圖象關于原點對稱，所以，所以的最小值為.選B．10.（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x＜2}，則A∩B等于（） A． {1} B． {﹣1，1} C． {1，0} D． {﹣1，0，1}參考答案：C考點： 交集及其運算．專題： 集合．分析： 根據(jù)集合的交集運算進行求解．解答： ∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={0，1}，故選：C點評： 本題主要考查集合的基本運算，比較基礎．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出下列五個命題：①函數(shù)的一條對稱軸是x=；②函數(shù)y=tanx的圖象關于點（，0）對稱；③正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù)；④若，則x1﹣x2=kπ，其中k∈Z；⑤函數(shù)f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍為（1，3）．以上五個命題中正確的有（填寫所有正確命題的序號）參考答案：①②【考點】正弦函數(shù)的圖象；余弦函數(shù)的圖象；正切函數(shù)的圖象．【分析】①計算2sin（2×﹣）是否為最值±2進行判斷；②根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；③根據(jù)正弦函數(shù)的圖象判斷；④由得2x1﹣和2x2﹣關于對稱軸對稱或相差周期的整數(shù)倍；⑤作出函數(shù)圖象，借助圖象判斷．【解答】解：當x=時，sin（2x﹣）=sin=1，∴①正確；當x=時，tanx無意義，∴②正確；當x＞0時，y=sinx的圖象為“波浪形“曲線，故③錯誤；若，則2x1﹣=2x2﹣+2kπ或2x1﹣+（2x2﹣）=2（）=π+2kπ，∴x1﹣x2=kπ或x1+x2=+kπ，k∈Z．故④錯誤．作出f（x）=sinx+2|sinx|在[0，2π]上的函數(shù)圖象，如圖所示：則f（x）在[0，π]上過原點得切線為y=3x，設f（x）在[π，2π]上過原點得切線為y=k1x，有圖象可知當k1＜k＜3時，直線y=kx與f（x）有2個不同交點，∵y=sinx在[0，π]上過原點得切線為y=x，∴k1＜1，故⑤不正確．故答案為：①②．12.下列命題中：①若，則的最大值為2；②當時，；③的最小值為5；④當且僅當a，b均為正數(shù)時，恒成立.其中是真命題的是__________．(填上所有真命題的序號)參考答案：①②【分析】根據(jù)均值不等式依次判斷每個選項的正誤，得到答案.【詳解】①若，則的最大值為，正確②當時，，時等號成立，正確③最小值為，取錯誤④當且僅當均為正數(shù)時，恒成立均為負數(shù)時也成立.故答案為①②【點睛】本題考查了均值不等式，掌握一正二定三相等的具體含義是解題的關鍵.13.要使函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是

.參考答案：函數(shù)的圖像是將的圖像向右平移個單位而得，要使圖像不經(jīng)過第二象限，則至多向左平移一個單位（即向右平移個單位），所以.14.若關于x的不等式的解集不是空集，則實數(shù)k的取值范圍是．參考答案：k＞2【考點】絕對值三角不等式．【分析】求出f（x）min=2，利用關于x的不等式的解集不是空集，從而可得實數(shù)k的取值區(qū)間．【解答】解：∵f（x）=|x﹣|+|x+|≥|（x﹣）﹣（x+）|=2，∴f（x）min=2，∵關于x的不等式的解集不是空集，∴k＞2．故答案為k＞2．15.（5分）已知圓C：x2+y2+4y﹣21=0，直線l：2x﹣y+3=0，則直線被圓截的弦長為

．參考答案：4考點： 直線與圓相交的性質(zhì)．專題： 計算題；直線與圓．分析： 把圓的方程化為標準方程，可得圓心坐標與圓的半徑，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理計算直線l：2x﹣y+3=0被圓C所截得的弦長．解答： 圓的標準方程為：x2+（y+2）2=25，∴圓的圓心為（0，﹣2），半徑為R=5；∴圓心到直線的距離d==，∴直線l：2x﹣y+3=0被圓C所截得的弦長為2=4．故答案為：4．點評： 本題考查了直線與圓的相交弦長問題及點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，比較基礎．16.對于任給的實數(shù)m，直線（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5都通過一定點，則該定點坐標為．參考答案：（9，﹣4）【考點】恒過定點的直線．【專題】計算題．【分析】利用直線m（x+2y﹣1）+（﹣x﹣y+5）=0過直線x+2y﹣1=0和﹣x﹣y+5=0的交點．【解答】解：直線（m﹣1）x+（2m﹣1）y=m﹣5即m（x+2y﹣1）+（﹣x﹣y+5）=0，故過直線x+2y﹣1=0和﹣x﹣y+5=0的交點，由得定點坐標為（9，﹣4），故答案為：（9，﹣4）．【點評】本題考查直線過定點問題，利用直線m（x+2y﹣1）+（﹣x﹣y+5）=0過直線x+2y﹣1=0和﹣x﹣y+5=0的交點求出定點的坐標．17.若函數(shù)的定義域為[－1，2]，則函數(shù)的定義域是___________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知=（，cos2x），=（sin2x，2），f（x）=?﹣1．（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）求y=f（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值和最小值．參考答案：見解析【考點】平面向量數(shù)量積的運算；正弦函數(shù)的圖象；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】計算題；函數(shù)思想；向量法；平面向量及應用．【分析】（Ⅰ）根據(jù)向量的坐標的運算法則和二倍角公式以及角的和差公式化簡得到f（x）=2sin（2x+），再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出單調(diào)減區(qū)間．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函數(shù)y=f（x）在[，]單調(diào)遞減，在[﹣，）上單調(diào)遞增，即可求出最值．【解答】解：（Ⅰ）=（，cos2x），=（sin2x，2），∴f（x）=?﹣1=sin2x+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，故函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[+kπ，+kπ]，k∈Z．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當k=0時，∵f（）=2，f（﹣）=2sin（﹣）=﹣1，f（）=2sin（π+）=﹣2，∴y=f（x）在區(qū)間[﹣，]上的最大值為2，最小值為﹣2．【點評】本題考查了向量的數(shù)量積運算以及三角函數(shù)的化簡，以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題．19.已知函數(shù)（1）判斷f（x）的單調(diào)性，說明理由．（2）解方程f（2x）=f﹣1（x）．參考答案：考點：復合函數(shù)的單調(diào)性；反函數(shù)；函數(shù)的零點．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，或復合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，可得結(jié)論；（2）求出f﹣1（x），可得方程，解方程，即可得到結(jié)論．解答：解：（1）4x﹣1＞0，所以x＞0，所以定義域是（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增．證法一：設0＜x1＜x2，則=又∵0＜x1＜x2，∴，∴，即∴f（x1）＜f（x2），f（x）在（0，+∞）上單調(diào)增．…5分證法二：∵y=log4x在（0，+∞）上都是增函數(shù)，…2分y=4x﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)且y=4x﹣1＞0…4分∴在（0，+∞）上也是增函數(shù)．…5分（2），∴f（2x）=f﹣1（x），即0＜42x﹣1=4x+142x﹣4x﹣2=0，解得4x=﹣1（舍去）或4x=2，∴…9分經(jīng)檢驗，是方程的根．…10分．點評：本題考查復合函數(shù)的單調(diào)性，考查反函數(shù)，考查學生的計算能力，屬于中檔題．20.已知函數(shù)f（x）=asinx?cosx﹣a（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設x∈[0，]，f（x）的最小值是﹣2，最大值是，求實數(shù)a，b的值．參考答案：解：（1）f（x）=asinx?cosx﹣a=﹣+=﹣+b=asin（2x﹣）+b．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈z．（2）∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1．∴f（x）min==﹣2，f（x）max=a+b=，解得

a=2，b=﹣2+．略21.已知的頂點、、，邊上的中線所在直線為.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）求點關于直線的對稱點的坐標.參考答案：解：（Ⅰ）線段的中點為，于是中線方程為；

（Ⅱ）設對稱點為，則，解得，即.22.已知函數(shù)（其中A>0,ω