北京二道河中學高三數(shù)學文下學期期末試卷含解析

北京二道河中學高三數(shù)學文下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知為單位向量，當?shù)膴A角為時，在上的投影為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略2.設函數(shù)，若則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.設集合，分別從集合和中隨機取一個數(shù)和，確定平面上的一個點，記“點落在直線上”為事件，若事件的概率最大，則的所有可能值為（

）

A．3

B．4

C．2和5 D．3和4參考答案：答案：D解析：事件的總事件數(shù)為6。只要求出當n=2,3,4,5時的基本事件個數(shù)即可。當n=2時，落在直線上的點為（1，1）；當n=3時，落在直線上的點為（1,2）、（2,1）；當n=4時，落在直線上的點為（1,3）、（2,2）；當n=5時，落在直線上的點為（2,3）；顯然當n=3,4時，事件的概率最大為。

4.已知定義在（-1，1）上的函數(shù)f(x)，其導函數(shù)為=l+cosx，且f（0）=0，如果+f(l－x2）<0，則實數(shù)x的取值范圍為

A．（0，1）

B．（1，）

C．

D．（1，）（－，－1）參考答案：B5.已知集合A={y︱y=3},B={x︱x2＞1},，則A∩CRB=

（

）A.[-1,1]

B.(0,1)

C.[0,1]

D.參考答案：D因為集合A={y︱y=3},B={x︱x2＞1}，所以CRB，所以A∩CRB=。6.若復數(shù)的實部與虛部相等，則實數(shù)b等于(

)

A．3

B.1

C.

D.參考答案：A，因為此復數(shù)的實部與虛部相等，所以。7.執(zhí)行如下的程序框圖，若輸出的值為，則“？”處可填（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為參考答案：D9.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=1。若二面角C—AB—C1的大小為60°，則點C到平面C1AB的距離為（

）

A．

B．

C．

D．1參考答案：A略10.已知命題，則 A． B．C． D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.二項式展開式中的常數(shù)項為

.

參考答案：1512.過圓外一點作圓的切線（為切點），再作割線PBC依次交圓于B，C.若，AC=8，BC=9，則AB=________.參考答案：413.在的展開式中，常數(shù)項為．參考答案：60略14.定義運算a※b為.如1※2=1，則函數(shù)※的值域為

▲

.參考答案：略15.已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是

.參考答案：略16.命題“?x≥2，x2≥4”的否定是

．參考答案：?x0≥2，x02＜4【考點】命題的否定．【分析】直接利用全稱命題是否定是特稱命題寫出結果即可．【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題“?x≥2，x2≥4”的否定是：?x0≥2，x02＜4．故答案為：?x0≥2，x02＜4．【點評】本題考查命題的否定特稱命題與全稱命題的否定關系，基本知識的考查．17.對一個作直線運動的質點的運動過程觀測了8次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)：觀測次數(shù)12345678觀測數(shù)據(jù)4041434344464748在上述統(tǒng)計數(shù)據(jù)的分析中，一部分計算見如圖所示的程序框圖（其中是這8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)），則輸出的的值是__________________．

參考答案：7該程序框圖的功能是輸出這8個數(shù)據(jù)的方差，

因為這8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

故其方差．故輸出的的值為7．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分，⑴小問5分，⑵小問7分）（原創(chuàng)）在中，內角、、的對邊分別是、、，且。⑴求角的大??；⑵設，求的面積。

參考答案：⑴由正弦定理可得，即，故由余弦定理得，因此；

⑵因，故，得，且。故，得，故。19.（本題滿分12分）如圖，在半徑為，圓心角為的扇形的弧上任取一點，作扇形的內接矩形，使點在上，點在上，設矩形的面積為,，（Ⅰ）將表示成的函數(shù)關系式,并寫出定義域；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若取最大值時，且，，為中點，求的值.參考答案：【知識點】函數(shù)模型的選擇與應用．B10【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）因為，，，所以

故………3分即，………5分（Ⅱ）=時……7分由可得.所以

………9分

由正弦定理得

所以,故在中，由余弦定理得故

………12分【思路點撥】（I）在Rt△PON中，PN=OPsinθ=，ON=cosθ．在Rt△OQM中，=sinθ．可得MN=0N﹣0M=．可得矩形PNMQ的面積y=PN?NM=，再利用倍角公式、兩角和差的正弦公式即可得出．（II）當=時，y取得最大值，θ=．可得A=．由cosB=，可得．由正弦定理可得：．利用兩角和差的正弦公式可得sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB．由正弦定理可得：．在△ABD中，由余弦定理可得：BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA．20.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且（1）求{an}的通項公式（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】計算題；轉化思想；數(shù)學模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出；（2）利用“裂項求和”即可得出．【解答】解：（1）由于為等差數(shù)列，若設其公差為d，則，∴，，解得，于是=2+3（n﹣1），整理得an=．（2）由（1）得bn=anan+1==，∴．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”，考查了變形能力與計算能力，屬于中檔題．21.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點P在底面ABCD上的射影為AD的中點G，點E在線段BC上，且.（1）求證：DE⊥平面PAD.（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）證明見解析（2）【分析】（1）由等腰梯形的性質可證得,由射影可得平面,進而求證；（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數(shù)量積求解即可.【詳解】（1）在等腰梯形中,點E在線段上,且,點E為上靠近C點的四等分點,,,,,點P在底面上的射影為的中點G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,由（1）易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設平面的法向量為,則，即,令,則,,,設平面的法向量為,則,即,令,則,,,設平面與平面的夾角為θ,則二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運算能力與空間想象能力.22.（12分）已知f（x）=ex﹣ax2，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=bx+1．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；（3）證明：當x＞0時，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出f（x）的導數(shù)，計算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的導數(shù)，得到導函數(shù)的單調性，得到f（x）在[0，1]遞增，從而求出f（x）的最大值；（3）只需證明x＞0時，f（x）≥（e﹣2）x+1，設g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，從而證出結論即可．【解答】解：（1）f'（x）=ex﹣2ax，由題設得f'（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，解得a=1，b=e﹣2．（2）由（1）知f（x）=ex﹣x2，∴f'（x）=ex﹣2x，f''（x）=ex﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上單調遞增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1．（3）因為f'（x），又由（2）知，f（x）過點（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1處的切線方程為y=（e﹣2）x+1，故可猜測：當x＞0，x≠1時，f（x）的圖象恒在切線y=（e﹣2）x+1的上方．下證：當x＞0時，f（x）≥（e﹣2）x+1，設g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x+1，x＞0，則g'（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=ex﹣2，由（2）知，g'（x）在（0，ln2）上單調遞減，在（ln2，+∞）上單調遞增，又g'（x）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1），使得g'（x）=0，所以，當x∈（0，x0）∪（1，+∞）時，g'（x）＞0；當x∈（x0，