機(jī)械振動(dòng)理論：無(wú)阻尼二自由度的自由振動(dòng)

1機(jī)械振動(dòng)理論基礎(chǔ)24.4.1固有頻率、主振型。

任意兩自由度系統(tǒng)，其無(wú)阻尼振動(dòng)的微分方程組，寫(xiě)成矩陣形式為:給出初始條件,系統(tǒng)將做自由振動(dòng)，如何求其振動(dòng)規(guī)律呢？

類似于單自由度系統(tǒng)，求微分方程組的解。以下面的例子來(lái)說(shuō)明：一繃緊的鋼絲，其上有兩個(gè)小球，結(jié)構(gòu)如圖示。[設(shè)k已知]4.4無(wú)阻尼二自由度的自由振動(dòng)31）尋找同步特解A式為齊次常系數(shù)線性微分方程，位移和必有形式相同的解，類似于單自由度，可設(shè)：兩個(gè)質(zhì)量按同樣的頻率和相位角作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。[同步解]

代入上式[A式]得：4這是關(guān)于和的線性齊次代數(shù)方程組。顯然是它的解——

是對(duì)應(yīng)系統(tǒng)處于靜平衡的情況，不是我們需要的；由于對(duì)任意瞬時(shí)，上式均應(yīng)滿足，即則有：5根據(jù)線性代數(shù)可知，具有非零解的條件是：上式的系數(shù)行列式必須等于零。即：展開(kāi)后：此式稱之為頻率方程或特征方程。6從下一求根表達(dá)式看：根號(hào)內(nèi)數(shù)值大于零，

——

式有兩個(gè)實(shí)根；[因?yàn)楦綖閷?shí)數(shù)]從上一求根表達(dá)式看：根式值小于–b項(xiàng)

——

所以頻率方程有兩個(gè)正實(shí)根，

2）求頻率

為系統(tǒng)的固有頻率，它們?nèi)Q于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)。一般地稱之為——

一階固有頻率[基頻]，二階固有頻率。[可證：大于零，][據(jù)一元二次方程求根公式：]7該方程組是振幅的齊次微分方程組，故只能求出其比值，這個(gè)比值稱為振幅比,以和表示：[的下標(biāo)、的上標(biāo)、表示對(duì)應(yīng)第階固有頻率。]將特征值和代入前面的式中：3）振型下面分析同步解的振幅。8總結(jié)：雖然振動(dòng)的大小與振動(dòng)的初始條件有關(guān)，但當(dāng)系統(tǒng)按任一固有頻率作同步振動(dòng)時(shí)，振幅比和固有頻率一樣取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)。振幅比決定了系統(tǒng)振動(dòng)形態(tài)——稱之為主振型。9

到此，我們找到了弦——質(zhì)量系統(tǒng)的同步特解：第一主振動(dòng)或：第二主振動(dòng)或：10設(shè)兩球的質(zhì)量相等，即由結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性可知：剛度帶入固有頻率式、振型公式，計(jì)算出振幅比：對(duì)應(yīng)的振幅比稱為第一階主振型；對(duì)應(yīng)的振幅比稱為第二階主振型。11式中的任意常數(shù)和由初始條件決定。4）通解上面講述的兩種主振動(dòng)是微分方程的兩組特解，將它們線性疊加，即得通解：12一般情況下：（1）系統(tǒng)的自由振動(dòng)是兩種不同頻率主振動(dòng)的疊加，其合成結(jié)果不一定是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，若兩頻率可通約[成倍數(shù)關(guān)系]，運(yùn)動(dòng)才是周期的。（2）[在特殊情況下]，若初始條件給的合適，系統(tǒng)可按某一固有頻率和相應(yīng)主振型作主振動(dòng)。（3）強(qiáng)迫振動(dòng)中發(fā)生共振現(xiàn)象時(shí)，振型恰是對(duì)應(yīng)該頻率的主振型。

（4）系統(tǒng)的固有頻率和主振型求解問(wèn)題，稱為特征值問(wèn)題。重要基本概念：13特征值問(wèn)題求解步驟歸納如下：

1、寫(xiě)出系統(tǒng)的慣性矩陣和剛度矩陣，求得振幅的系數(shù)矩陣；

2、由特征值行列式等于零的條件求得

3、將