考點(diǎn)23+不等式的性質(zhì)及一元二次不等式-2019年浙江新高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過+含解析

考點(diǎn)23不等式的性質(zhì)及一元二次不等式

竽誘擁原攵

「解不等關(guān)系，掌握不等式的基本性質(zhì).

了解一元二次不等式、一元二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系.

會解一元二次不等式.

i.不等式的概念

(1)現(xiàn)實(shí)世界與日常生活中，與等量關(guān)系一樣，不等量關(guān)系也是自然界中存在著的基本數(shù)量關(guān)系.

(2)用數(shù)學(xué)符號“>”“<”“2”“工”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的

式子，叫做不等式.

2.兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較

(1)作差法：設(shè)〃，beR,則。a<b<^>a-b<0.

(2)作商法：設(shè)〃>0,。>0,則〃a<b<^>—<1.

hh

3.不等式的性質(zhì)

(1)實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系

①a-b>0；

②a=bQa-b=0.

③a-b<0.

(2)不等式的性質(zhì)

①對稱性：a>6=><a；(雙向性)

②傳遞性：a>b,Z?>c=Q>C；(單向性)

③可加性：a>b<^a+c>b+c；(雙向性)

@a>b,c>d=a+c>6+d；(單向性)

⑤可乘性：°>°=>ac>be；(單向性)”>，，c<O=ac<bc；(單向性)

?a>b>0,c>J>0=>ac>bdx(單向性)

⑦乘方法則：°=，；(單向性)

⑧開方法則：a>Z?O=>V?>V^(neN,n>2).(單向性)

注意：(1)應(yīng)用傳遞性時(shí)，若兩個(gè)不等式中有一個(gè)帶等號而另一個(gè)不帶等號，則等號無法傳遞.

(2)可乘性中，要特別注意“乘數(shù)c”的符號.

4.必記結(jié)論

(1)a>b,ab>0=>—<―.

ab

(2)a<O<h=>—<—.

ab

,、cib

(3)a>b>O,O<c<d=^—>—.

cd

(4)Q<a<x<b或a<x<b<0=^.

bxa

~、井，八八bb+mbb-m

(5)右a>b>0,m>0,n貝lij—<-------；—>---------

aa+maa-m

aa-vmaa-m,

—>--------；—<--------s—〃?>o)?

bb+mhb-m

二、一元二次不等式及其解法

1.一元二次不等式的概念

我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式稱為一元二次不等式，有下列三種

形式：

2

(1)一般式：y=ax+dx+c(a^0)；

/b4ac-b2/八、

v=a(x+—)+------------(a工0)

(2)頂點(diǎn)式："2a4a；

(3)兩根式：J'=a(x_wXx_W)(aH0)

2.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系

判別式/>04=0J<0

k上

J'=a/+bx+c(a>0)的圖象

有兩相等實(shí)根

一元二次方程有兩相異實(shí)根

沒有實(shí)數(shù)根

（）的根b

ax?+6x+c=0a>0演，嗎（再<七）內(nèi)7二一工

一元二次不等式

（一4天）11（電收）{X|XH-R

a^+bx+o0（a>0）的解集2a

一元二次不等式

（%,當(dāng)）00

ox:+ix+c<0（a>0）的解集

3.一元二次不等式的解法

由一元二次不等式與相應(yīng)的方程、函數(shù)之間的關(guān)系可知，求一元二次不等式的解集的步驟如下：

（1）變形：將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式，即?+以+00（。>0）或

ax2+6x+c<0（a>0）.

⑵計(jì)算：求出相應(yīng)的一元二次方程（女'+取+'=09>°））的根，有三種情況：

（3）畫圖：畫出對應(yīng)二次函數(shù)的圖象的草圖；

（4）求解：利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.

可用程序框圖表示一元二次不等式的求解過程，如圖.

將原不等式化成一般形式

ax2+6x+c>O(a>0)

求方程a:?2+6N+c=O方程ax?+6x+c=0

的兩個(gè)根軟沒有實(shí)數(shù)根，

原不等式解集為R

原不等式解集為原不等式解集為

(結(jié)束)

4.一元二次不等式恒成立問題

(1)欠'+以+c>0(aH。)恒成立的充耍條件是：。〉0且/_4ac<0(xeR).

(2)+""+<:之()(￡7=°)恒成立的充要條件是：。>0且”--4acW0(xeR).

(3)恒成立的充要條件是：。<0且/-48<0(》€(wěn)1<).

(4)/+權(quán)+"0叱0)恒成立的充要條件是：”0且%4acV0(xeR).

(5)以'+改+00恒成立的充要條件是：。=。=0且c〉0或a>0且匕-4ac<0(xeR)

(6)g'+bx+cvO恒成立的充要條件是：a=b=O且c<0或。<0且6，-4ac<0(xeR).

眩了點(diǎn)考向,

考向一比較大小

比較大小的常用方法：

(1)作差法的一般步驟是：作差，變形，定號，得出結(jié)論.

注意：只需要判斷差的符號，至于差的值究竟是什么無關(guān)緊要，通常將差化為完全平方式的形式或者多個(gè)

因式的積的形式.

(2)作商法的一般步驟是：作商，變形，判斷商與1的大小，得出結(jié)論.

注意：作商時(shí)各式的符號為正，若都為負(fù)，則結(jié)果相反.

(3)介值比較法：

①介值比較法的理論根據(jù)是：若。泌力",則。>，，其中6是a與c的中介值.

②介值比較法的關(guān)鍵是通過不等式的恰當(dāng)放縮，找出一個(gè)比較合適的中介值.

(4)利用單調(diào)性比較大小.

(5)函數(shù)法，即把要比較的數(shù)值通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為該函數(shù)的函數(shù)值，然后利用函數(shù)的單調(diào)性將其進(jìn)一步

轉(zhuǎn)化為自變量的大小問題來解決.

典例引領(lǐng)

典例1若a=2/+1,b=x2+2x,c=-x-3,試比較a,b,c的大小.

【解析】=2x2+l,b=x2+2x,c=-x-3,

/.a-b=(2x2+1)—(x2+2x)=x2—2x+1=(x-I)2>0,即a>b)

b-c=(x2+2x)—(—x-3)=x2+3x+3=(x+T)2+j>0,即b>c>

綜上可得：a之b>c.

典例2已知0<〃<為<1,則a”,logw，log】人的大小關(guān)系是

/?

A.logiz?<(7<log//zB.log]〃<logw

bh

C.log/?tz<logjZ?<aD.a<\og}h<\ogha

aa

【答案】A

【解析】因?yàn)樗設(shè)</</=i,i°gw>1°g3=i,

又工>1,所以logi/?<logJ=0.

0aa

綜上,得log]b<a"vlogw.

故選A.

【名師點(diǎn)睛】在用介值法比較時(shí)，中介值一般是通過放縮變形，得到一個(gè)中間的參照式(或數(shù))，其放縮的

手段可能是基本不等式、三角函數(shù)的有界性等.

變式拓展

M=a+-^—(2<a<3)、=1叫；x2+白;(xeR)

1.設(shè)a-2,10-,則M,N的大小關(guān)系是

A.M>NB.M=N

C.M<ND.不能確定

考向二求范圍的問題

求范圍的問題需用到不等式的性質(zhì)，熟記不等式性質(zhì)中的條件與結(jié)論是基礎(chǔ)，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.

在使用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要注意不等式成立的前提條件，特別是不等式兩端同時(shí)乘以或同時(shí)除以一個(gè)

數(shù)、兩個(gè)不等式相乘、一個(gè)不等式兩端同時(shí)求〃次方時(shí)，一定要注意其成立的前提條件，如果忽視前提條

件就可能出現(xiàn)錯(cuò)誤.

求范圍的一般思路是：

(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；

(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；

(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解；

(4)要注意不等式同向可乘性的適用條件及整體思想的運(yùn)用.

典例引領(lǐng)

,4

r2v.4

典例3設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足1W肛242,2<—<3,則二的取值范圍是.

y

【答案】[2,27]

2

8<<27,l<(xv'：r<4

所以沁衿間

典例4若二次函數(shù))，=//)的圖象過原點(diǎn)，且lWf(-l)?2,3</(1)<4,求人一2)的取值范圍.

【解析】方法一：二?二次函數(shù))="丫)的圖象過原點(diǎn)，，可設(shè)F(x)=a/+6x(aH0).

f1

f/(l)=a+i.產(chǎn)獷⑴+“T]

易知6，1、又'-1,

,

fI—、'J

則/(-2)=4a-2b=3/(-1)+/(I).

-/l</(-l)<2,3</(l)<4,.-.6</(-2)<10.

方法二：由題意設(shè)門^=小^+加:缶=。)，則式l)=a+b,大-1)二。一”

令m(a+bi)+n(a-d)=X-2)=4a-2b,

；m+n=4m=l

Iw—n=-2,"n=3

.?次-2)=(a+b)+3(a-b)=Al)+3^-1).

Vl</(-l)<2,3</(l)<4,,-.6</(-2)<10.

【名師點(diǎn)睛】同向不等式只能相加，不能相減.

變式拓展

2x-v<0TF

2.已知正數(shù)％y滿足<X_3J；5>0，則的最小值為

考向三一元二次不等式的解法

1.解不含參數(shù)的一元二次不等式的方法：

(1)若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個(gè)代數(shù)式的乘積形式，則可以直接由一元

二次方程的根及不等號方向得到不等式的解集.

(2)若不等式對應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式,不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，不等

式的解集易得.

（3）若上述兩種方法均不能解決，則應(yīng)采用求一元二次不等式的解集的通法,即判別式法.

2.在解答含有參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，往往要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，一般從如

下三個(gè)方面進(jìn)行考慮：

（I）關(guān)于不等式類型的討論：若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，以確定不等式是一

次不等式還是二次不等式，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；

（2）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程的根的討論：兩根（/根（/=0）,無根（/<0）；

（3）關(guān)于不等式對應(yīng)的方程根的大小的討論：再〉電，再=電，再<七.學(xué)……&科網(wǎng)

典例引領(lǐng)

典例5解下列不等式：

（1）-x:-2x+3>0.

⑵4x:+4x+l<0-

【解析】（1）不等式兩邊同乘以一1,原不等式可化為/+2X-3S0,

gp（x-l）（x+3）<0,RIJ-3<X<1.

故不等式一爐一2x+3工的解集是｛x\-3<x<l].

<2）4^+4x+l<0,gp（2x+l）:<0,則工=一”.

故不等式4x:+4x+l<0的解集為｛x|x=-：｝-

典例6已知函數(shù)/（*）=。/-（2。+1）*+2.

（1）當(dāng)。=2時(shí)，解關(guān)于%的不等式/（為W0；

（2）若。>0,解關(guān)于久的不等式/（x）W0.

【解析】（1）當(dāng)。=2時(shí)，/（MS0=川-5x+240,

可得（2x-l）（x-2）0O,

1

<x<2

???/1⑶代的解集為卜]

(2)不等式f(x)<0可化為a/一(2a+l)x+2￡0,a>0,

即a(x-；)(x-2)<0,a>0,

①當(dāng)0<a(封,:>2,

解得24xJ；

a

②當(dāng)a=田寸=2,

解得x=2;

③當(dāng)a>司寸，；<2,

解得

a

.1

綜上，當(dāng)0<a<%寸，不等式的解集為{R2WxW2};

a

當(dāng)。一5時(shí)，不等式的解集為{“設(shè)=2}；

a>-{X\-<X<2}

當(dāng)2時(shí)，不等式的解集為a

變式拓展

3.已知集合“={*|--》-2<。},N={y\y=-x2+l,xeR),則MnN=

A.{x|-20x<l}B,{x|l<x<2}

C.W-1<JTS1)D.{x|l<x<2}

2

4.已知/(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，ja/(x)+5(x)=x+x-2.

(1)求f(x)和9(工)的解析式；

(2)設(shè)A(x)=mx2+3mx-3(其中me/?),解不等式h(x)<g(x).

考向四一元二次不等式與二次函數(shù)'一元二次方程之間關(guān)系的應(yīng)用

一元二次不等式與其對應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系,在解決具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意三者之間

的相互聯(lián)系,并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換.

(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的

形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系.

(2)若一元二次不等式的解集為R或。，則問題可轉(zhuǎn)化為恒成立問題，此時(shí)可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x

軸的交點(diǎn)情況確定對應(yīng)一元二次方程的判別式的符號，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.

典例引領(lǐng)

典例7已知函數(shù)/'(*)=-3/+a(6-a)x+c.

(1)當(dāng)c=19時(shí),解關(guān)于a的不等式f(l)>0；

(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>0的解集是(-1,4),求實(shí)數(shù)a,c的值.

【解析】⑴當(dāng)c=19時(shí)j。)=-3.r*+a(6-a)x+19,

所以/'(1)=-3+a(6—a)+19=—a:+6a+16,

/(I)>0,即M-6a-16<0,

解得-2<a<8.

(2痛題意:-l,4是方程+a(6-a)x+c=0的解，

a(6-a)

由根與系數(shù)的關(guān)系可得3.解得“_R.

c.(a-5

一<=71c=12

IJ

典例8已知關(guān)于的不等式h2-2x+3左

(1)若不等式的解集為Wx<-3或*>-1},求k的值；

(2)若不等式的解集為0,求實(shí)數(shù)卜的取值范圍.

【解析】（1）由不等式版2-2x+3左<0的解集為國*?<-3或欠>-1},可知“<0,-3和-1是一元二次方

程8-2x+3k=0的兩根,

.(-3)x(T=31

所以2)解得k=—

-3)+(-1)=±2

（2）由題意知不等式h左<0的解集為0,

若％=0,則不等式為-2*<0,此時(shí)x>0,不合題意;

A=4-4kx3k<0,解得k邛

若kM0,則

綜上，實(shí)數(shù)上的取值范圍為[4,+%）.

變式拓展

5.如果關(guān)于X的不等式，<a*+b的解集是{x[l<x<3},那么/等于

A.-81B.81

C.-64D.64

6.已知關(guān)于x的不等式。妙-仙》+1<0的解集為集合4其中Q6R.

（1）若力={x|x<-2,或x>b},求°,的值;

（2）若力=0,求實(shí)數(shù)“的取值范圍.

考向五一元二次不等式的應(yīng)用

對于分式不等式和高次不等式，它們都可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或利用一元二次不等式的思想求解.

1.分式不等式的解法

若/（X）與g（x）是關(guān)于％的多項(xiàng)式，則不等式"D>0（或<0,或20,或40）稱為分式不等式?解分式不

g（x）

等式的原則是利用不等式的同解原理將其轉(zhuǎn)化為有理整式不等式（組）求解.即

/(x)>0=p(x)>0或P(x)<0

=>/(x)-g(x)>0

g(x)g(x)>0[g(x)<0

f/(x)>0f/(x)<0

Q)〈產(chǎn),、n=/(x>g(x)<0

巖3[g(x)>o

f(x)g(x)>0-

：=>/(x)-g(x)>O^f(x)=O

篇2[g(X)HO

7(x)-g(x)<0

=>/(x)-g(x)<0或/'(x)=0

巖2&(X)HO

對于形如/但>〃（或<a）的分式不等式，其中“H0,求解的方法是先把不等式的右邊化為0,再通過商的

g（x）

符號法則，把它轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

2.高次不等式的解法

不等式的最高次項(xiàng)的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式.解高次不等式常用的方法有兩種：

（1）將高次不等式/（x）>°（<°）中的多項(xiàng)式/（x）分解成若干個(gè)不可約因式的乘積，根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號

法則，把它等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)或多個(gè)不等式（組）.于是原不等式的解集就是各不等式（組）解集的并集.

（2）穿針引線法：

①將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，一端為0,另一端為一次因式（因式中x的系數(shù)為正）或二次不可約因式的乘積；

②求出各因式的實(shí)數(shù)根，并在數(shù)軸上標(biāo)出；

③自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過數(shù)軸，遇奇次重根穿過，遇偶次重根穿而不過（奇過偶

不過）；

④記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號寫出解集.

典例引領(lǐng)

典例9不等式7x（x-3113x+1J>0的解集為.

Ull（0.3）

【答案】I

【解析】不等式-2X（*-3）（3X+1）>°可轉(zhuǎn)化為x（*?3）（3x+DV0,

日卞護(hù)x（x—3）（3x+l）=0的粗小巧=°，9=3,電=一§

且方程'八，的根為I,

"物（。,3）

則由穿針引線法可得原不等式的解集為I

X—(1

典例10解關(guān)于x的不等式:—<0(.GR).

x-a'7

2

【解析】原不等式等價(jià)于：(*一4)。一3)<0,其對應(yīng)方程的兩根為xi=a,x2=o.

x,-xi=az-a=a(a-Y),分情況討論如下：

①若avO或o>l,即￡>%則所求不等式的解集為

②若a=0或a=l,原不等式可化為爐<0或(X-1)七0一

此時(shí)，所求不等式的解集為xe0.

③若0<a<l,即a^<a,則所求不等式的解集為卜|/<x<.

綜上所述：當(dāng)*0或o>l時(shí)，原不等式的解集為｛x|avxv/｝；

當(dāng)a=0或a=l時(shí)，原不等式的解集為0;

當(dāng)031時(shí),原不等式的解集為.

變式拓展

7.求下列不等式的解集：

/-5>1

(1)X-2x-3.

3

(2)(l-2x)(x-l)(x+l)*<0

8.若。<1,解關(guān)于x的不等式n「x\<L

x—2

考向六含參不等式恒成立問題的求解策略

解決含參不等式恒成立問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用，從解題策略的角度看，一般而言，針對不等

式的表現(xiàn)形式，有如下四種策略：

(1)變換主元，轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題.解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數(shù).參數(shù)和未知數(shù)是相

互牽制、相互依賴的關(guān)系，有時(shí)候變換主元，可以起到事半功倍的效果.

(2)聯(lián)系不等式、函數(shù)、方程，轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題.

(3)對于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上

方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或

用分離參數(shù)法求最值.即

①若/(x)在定義域內(nèi)存在最大值"2,則/(x)<a(或/0)4。)恒成立0。>機(jī)(或心〃7)；

②若f(x)在定義域內(nèi)存在最小值m,則/(x)>。(或/(x)>a)恒成立=a<機(jī)(或a4);

③若/(x)在其定義域內(nèi)不存在最值，只需找到/(x)在定義域內(nèi)的最大上界(或最小下界)相，即/(幻在定

義域內(nèi)增大(或減小)時(shí)無限接近但永遠(yuǎn)取不到的那個(gè)值，來代替上述兩種情況下的m,只是等號均可以取到.

(4)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合求參數(shù).在不等式恒成立問題的處理中，若能畫出不等式

兩邊相應(yīng)的函數(shù)圖象，恒成立的代數(shù)問題立即變得直觀化，等價(jià)的數(shù)量關(guān)系式隨之獲得，數(shù)形結(jié)合可使求

解過程簡單、快捷.

典例引領(lǐng)

典例11已知二次函數(shù)f(x)=ax2+必+c,且不等式f(x)<2x的解集為(1,3),對任意的xGR都有f(x)>2恒

成立.

(1)求/(“)的解析式;

(2)若不等式kf(2")-2*+140在xe[l,2]上有解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【解析】(1)-//(x)=ax2+bx+c<2*的解集為(L3),

方程"z-(2-b)x+c=。的兩個(gè)根是1和3.

—=4

則。，解得

-=3

.a

又>2在xeR上恒成立，+(2-4a)x+3a-2?噥xeR上恒成立，

則』=(2-4a)2-4a(3a-2)<0,即(a-1)二M0,

又?「(a-1)220,二.(a-1尸=0,

得a=l,

故/'(了)=--〃+3.

(2)由題意知町(2*)-2、+lWO,即取25-2?2*+3)E2*-1,

■.?22%-2-2*+3=(2-1>+2>0―~--,

">**_).2工+3

設(shè)t=2*-lc[L3],則,

r+2

-.11_—

又；=—y<—1=,當(dāng)且僅當(dāng)t=='口時(shí)取得最大值多

廠+2,+22點(diǎn)

.,.*<7,即實(shí)數(shù)的取值范圍為

典例12已知函數(shù)/'(X)=WX，-7MX-1.

(1)若對于XGR,/)<0恒成立，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍；

(2)若對于XG于,3],段)<5加恒成立，求實(shí)數(shù)0的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)椤?冽/一次工-1<0對虻!1恒成立廁

①》7=0時(shí),〃x)=—1<0恒成立；

w<0

<、

②〔療+4w<0，解得一4<加<0.

故實(shí)數(shù)，”的取值范圍為(T,O].

(2)火x)<5-，w,即m(x*—x+1)<6.

因?yàn)閤、x+l>0，所以m<—l—對于XG[1,3]恒成立.

尸一X+1

6

6(x-^):+18(切-=8(3)=。6

記g(x)=F------=24,元w[],3],易知‘，所以加<一.

x—x+17

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-8,3.

7

變式拓展

9.若函數(shù)月")=,1-mx-mx?的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)血的取值范圍為

A.[-4,0]B,[-4,0)

C.(-4,0)D.(-oo,4]U{0}

x2-2x+5.

—*~—n------------<0

10.若不等式爾-1W+1.)A+9W+4對于任意的XGR都成立，求血的取值范圍.

、.亨點(diǎn)沖關(guān)

1.下列說法正確的是

A.若a>b,c>d,則B.若ac>bc,則a>b

11

a+—>6L+—.i

c.若a>b>o,則baD.若a/eR,則幺心■Nab

2

2.設(shè)0=°6七=7嗎c=1叫一,則a,b,c的大小關(guān)系是

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.a<b<c

3.不等式2*-3)(/+2)<0的解集是

A.W-l<x<3}B.{巾<-1蟻>3}

C.{x|0<x<3}D.W-l<x<0}

4.設(shè)a=木,人=、底-木,-邪,那么a,b,c的大小關(guān)系是

A.a>b>cB.a>c>b

C.h>a>cD.h>c>a

3r-2

5.不等式一二22的解集為

x+3

A(f-3U&+X)

B(-x:-3)U[8：+x)

C.(-3,8]D(Y「3)U(&+8)

6.實(shí)數(shù)見b,c^a2=2a+c-b-l^a+b2+l=0,則下列關(guān)系式成立的是

A.c>b>aB.c>a>b

C.a>c>bD.c>a>b

7.已知】<a<b,m=J*,n=ba的大小關(guān)系為

A.m<〃B.m=n

C.m>nD.小，。的大小關(guān)系不確定，與a』的取值有關(guān)

8.設(shè)集合4={x\x2+x-2S0},B={x|00x￡4},則力nB=

A.[-2,4]B.[0,1]

C.[-1,4]D.[0,2]

9.已知lSa+6=3,則3a一2。的取值范圍是

A.[-6,14]B.[-2,14]

C.[-2,10]D.[-6,10]

10.若不等式欠,+2g-4〈Zi+qx對任意實(shí)數(shù)》均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

B.(-x-2)U(2+x)

A.(-2,2)：

C.(-2,2JD.(-00,-2]

11.已知下列四個(gè)條件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0,能推出-<y成立的有

ah

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

12.若關(guān)于x的不等式ax-aM-3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

A.[2,+oo)B.(—co,—6]

C.[-6,2]D.(-00,-6]U[2,+a>)

13.已知函數(shù)/'(*)=/《/+2》+1的定義域是一切實(shí)數(shù)，則小的取值范圍是

A.0</n<4B.0</n<l

C.m>\D.Q<m<A

14.設(shè)a口是不相等的正數(shù)，,則的大小關(guān)系是.(用“〈”連接)

15.不等式321的解集是.

X

16.已知實(shí)數(shù)ae(-3J)乃e則*的取值范圍是.

17.函數(shù)f（x）=池（/一21網(wǎng)>0#H1）的定義域?yàn)?/p>

18.不等式Y(jié)+1>2/的解集為.

19.已知關(guān)于x的一元二次不等式a，+bx+c>0的解集為（-2,3）,則關(guān)于x的不等式ex+人&+a<°的解

集為.

20.已知實(shí)數(shù)*，y滿足：-i4*+y4i,-i4*-ywi,貝必*+、的最小值是.

（k-l）x2+（/c-l）x+2

21.若關(guān)于x的不等式x：+x+l>0的解集為R,則4的取值范圍為.

22.若M>N>0,a>0,試比較a”+廠“與的大小.

--<2x+y<-]]

23.已知22,_QW3X+乃,,求9x+y的取值范圍.

24.解下列不等式:

(1)x2-x-2<4.

x+2

------>2

(2)3-x.

25.已知二次函數(shù)/'(x)=a/-4x+3.

(1)若。=1,求滿足＞。的*的解的集合;

(2)若存在唯一的萬滿足/10)40,求。的值.

26.己知不等式a—+x+c>°的解集為｛x[l<x<3｝.

(1)求實(shí)數(shù)a，c的值；

(2)若不等式a—+2x+4c>0的解集為4,不等式3ax+cm<0的解集為紇且“￡B,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

27.已知不等式歷取("2-3*+6)>2的解集是｛x|x<1或x>%.

(1)求生b的值；

(2)解不等式￡^>0(c為常數(shù)).

ax+b

28.⑴解關(guān)于x的不等式5-x>°（aHO）；

已知不等式（巾2_2?1_3）/_（巾_3*_1<0對一切實(shí)數(shù)財(cái)亙成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?

(2)

.kx

29.己知函數(shù)'x，+3k（k>0）.

⑴若〃x）>加的解集為3x7或。一2},求也上的值;

(2)若存在不＞3,使不等式成立，求人的取值范圍.

30.已矢口函數(shù)/'(x)=，+ax-b(a/6/?).

(1)若6=-1,且函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)當(dāng)b=1-a時(shí),解關(guān)于x的不等式/Xx)＜0：

4

(3)若正數(shù)a,b滿足"b一，且對于任意的xe[1,+co),/(x)＞。恒成立，求實(shí)數(shù)a力的值.

直通高考

1.(2017新課標(biāo)全國I理科)設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2、=3v=5z,則

A.2x<3y<5zB.5z<2x<3y

C.3y<5z<2xD.3y<2x<5z

2.(2017天津理科)已知奇函數(shù)/(x)在R上是增函數(shù)，g(x)=4(x).若4=g(-log：5.1),b=g(^)9

c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為

A.a<b<cB.c<b<a

C.h<a<cD.b<c<a

3.(2018新課標(biāo)全國I理科)已知集合4=卜丫一》一2>0},則\A=

A.{x|-l<x<2}B.[x|-l<x<2|

C.|x<-1}U(x|x>2}D.x<-1}U(x|x>2)

4.（2018新課標(biāo)全國III理科）?a=log020.3,*=log,0.3,則

A.a-b<ab<0B.ab<a-b<Q

C.a-b<Q<abDab<0<a-b

5.（2015浙江文科）設(shè)a,力是實(shí)數(shù),則“a+b>0”是“ab>0”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2015浙江文科）有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不

相同.已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位：m2）分別為x,y,Z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉

刷費(fèi)用（單位：元/m?）分別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：

元）是

A.ax+by+czB.az+by-vcx

C.ay+bz+cxD.ay+bx-vcz

7.（2015廣東文科）不等式一小一3工+4>0的解集為.（用區(qū)間表示）

8.（2016江蘇）函數(shù)產(chǎn)J3-2x-x?的定義域是.

嶷賽考答案.

變式拓展

1.【答案】A

【解析］<2<。<3,a—2>0,

M=a+-^—=a-2+-^—+2>4

：.a-2a-2(無法取到等號),

N=logi；；Slogi2=4

八IoyT16,

M>N.故選A.

2.【答案】C

<1Y門產(chǎn)

【解析】因?yàn)閦=4T.；：|=；1；,所以設(shè)2x+y=a(2x-)，)+b(x-3y),即

<27

j2a+6=2I"-M74

2犬+y=(2Q+8)X-(Q+3b況則二，解得?一,即2x+y=：(2%->)一二(x-3y),

、0———

2x-v<01,.4.4、門”q,即

因?yàn)椋?2x+v=-l2x-vI-IX-JXI<-1-5)=4,m；l|

［x-3j+5N0,所以"5"5

’1Y1

的最小值為正故選C

3.【答案】C

［解析］集合M={x|/-x_2<0}={x|-l<x<2},

N={y|y=-/+R}={y|y41},

則McN={x［-l<x$l}.故選c.

4.【解析】⑴由題意得〃—x)+g(-x)=x2—x_2,

RP/(x)-g(x)-j?-x-2,

聯(lián)立得/(x)=/-2,g(x)=x.

(2)由題意得c”，gpwx:+l3w-l|x-3<0,

當(dāng)m=0時(shí)，_x_3<0,解得K>-3；

當(dāng);MHO時(shí)，(?MX-1)(X+3)<0,

對應(yīng)方程的兩個(gè)根為xi=—x：=-3,

m

故當(dāng)w>0時(shí)，易知一>一3,

w

不等式的解為-3VX<L；

w

當(dāng)加<0時(shí),若，>一3,則我〈一二，

mj

不等式的解為x<-3或x>」；

m

若工=_3,則加=一:,

m3

不等式的解為XH-3；

若，<一3,則"〉一‘，

m3

不等式的解為x<°?或x〉-3.

m

綜上所述，當(dāng)m<-]-時(shí)，不等式的解集為｛x|x<-3或x>-｝；

3m

當(dāng)加=—；R寸，不等式的解集為｛XIXW-3｝；

當(dāng)—：<加<0時(shí)，不等式的解集為｛x|x<L或》>一3｝；

3m

當(dāng)機(jī)=()時(shí)，不等式的解集為｛x|x>—3｝；

當(dāng)%>0時(shí)，不等式的解集為｛X|-3<X<L｝.

m

5.【答案】B

(解析]不等式尤2<ax+b可化為--ax-b<0,

其解集是｛x|l<x<3｝,

fl+3=a

由根與系數(shù)的關(guān)系得Hx3=-b,

解得a=4,b=-3,

二b"=(-3)"=81,故選B.

6.【解析】(1)?.?4={X|X<-2,或無〉用，.?.不等式+對應(yīng)方程的解為-2和6,

且a<0,A4a+8a+1=0,解得a=――,

壞等式為戶-4X-12>0,解得x<-2或t>6,

二b二6；

...a>0a>0

(2)若A=%則L/c，即，，

X.U16才-4a<0

a>0

解得

0<a<—'

4

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是0<aWL

4

(x+l)(x-l)(x-2)(x-3)<0

7,解析】⑴原不等式等價(jià)于本'I即(X-2XX-1)￡0

(x-3)(x+l),則.(x-3)(x+l)#0

由穿針引線法可知原不等式的解集為(-UMZ3)

⑵(1-2X)(X-1)3(X+1)：<0即>0

的解集為(5惘4/)

利用穿針引線法可知不等式(1-2X)(XT)(x+1)

8.【解析】當(dāng)。=0時(shí)，XGR且xw2；

(a-l)x+2

當(dāng)"0時(shí)，~^<1等價(jià)于一口一即(*一2)[(。一1/+2]<0,

x—2

因?yàn)椤?lt;1,所以。一1<(),

(x-2)；x--^-Ko

所以不等式可化簡為、l-a',

22

當(dāng)0v〃<1時(shí)，---->2,則x>----或x<2：

1-a1一。

27

當(dāng)〃<0時(shí)，——<2,則冗<——或x〉2.

\-a1一。

綜上所述，當(dāng)。=0時(shí)，解集為｛%|%cR目/。2｝；

｛x|x>/

當(dāng)0<。<1時(shí)，解集為1-4或x<2｝；

當(dāng)。<0時(shí)，解集為或x>2｝.

9.【答案】A

【解析】對任意的xeR,有1-巾*-^?/20恒成立，

(-m>0

所以m=0或1m2+4m0O,得-4?mW0,故選A.

10.【解析】?產(chǎn)一2