山東省德州市2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

高一數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷13頁，第Ⅱ卷34頁，共150分，測(cè)試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測(cè)試卷上．第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．）1.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，直接計(jì)算可得答案.【詳解】由已知得，，解得，故.故選：B2.若，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由充分性和必要性的定義判斷即可.【詳解】由可推出，但推不出，如，所以p是q的充分不必要條件故選：A.3.已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，且，則的值為（）A.2 B. C.或2 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，且，所以，解得或.故選：D4.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，求出的值域，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的值域.【詳解】令，由，則，所以，所以，又，所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：B5.華羅庚是享譽(yù)世界的數(shù)學(xué)大師，其斐然成績(jī)?cè)鐬槭廊怂瞥纾f：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑．若函數(shù)（且）的大致圖象如圖，則函數(shù)的大致圖象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及圖象變換，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動(dòng)個(gè)單位，可得函數(shù)的圖象只有選項(xiàng)C符合.故選：C.6.已知角的值點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸．若角的終邊落在直線上，則的值等于（）A.3或3 B.或 C.3或 D.3或【答案】B【解析】【分析】討論角在第二象限或第四象限，化簡(jiǎn)代入即可得出答案.【詳解】角的終邊落在直線上，所以角在第二象限或第四象限，所以，所以，當(dāng)角在第二象限時(shí)，，所以，當(dāng)角在第四象限時(shí)，，所以，故選：B.7.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，設(shè)，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性以及定義，可得其函數(shù)解析式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較大小，結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得答案.【詳解】由題意，可得，解得，則，顯然該函數(shù)為偶函數(shù)，由函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，則，由函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，則，故，即，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.故選：C.8.設(shè)，用表示不小于的最小整數(shù)，如．已知函數(shù)，下列敘述不正確的是（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)的值域是C.函數(shù)是奇函數(shù) D.函數(shù)的值域是【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義，函數(shù)的奇偶性及函數(shù)值域的求解方法對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可.【詳解】由題意得函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋?，且，所以，所以為奇函?shù)，故A正確；令，解得：，由，所以，所以函數(shù)的值域是，故B正確；因?yàn)椋瘮?shù)的值域是，所以的值域?yàn)椋蔇正確；由，，所以，所以不奇函數(shù)，故C不正確；故選：C.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有兩項(xiàng)或以上符合題意，部分選對(duì)得2分，錯(cuò)選不得分．）9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】由題意得，可得，根據(jù)的范圍，可得的正負(fù)，求得的值，即可判斷A的正誤，聯(lián)立可求得的值，即可判斷B的正誤，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可判斷C的正誤，平方差計(jì)算的值可判斷D的正誤，從而得到答案.【詳解】因?yàn)棰伲?，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以②，故A錯(cuò)誤；①②聯(lián)立可得，，故B正確；所以，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：BD10.下列正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，且，則【答案】ABD【解析】【分析】應(yīng)用指、對(duì)、冪函數(shù)的運(yùn)算公式逐一計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】解：A選項(xiàng)：，故A正確；B選項(xiàng)：，故B正確；C選項(xiàng)：，，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：，則，，同理，，則，解得，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，若（互不相等），則的值可以是（）A.2 B. C. D.1【答案】BC【解析】【分析】作出圖象，由數(shù)形結(jié)合可得的范圍，由對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，即可判斷結(jié)果.【詳解】圖象如圖所示，令，則有，則有.又，∴，故.故選：BC12.牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是（單位：℃），環(huán)境溫度是（單位：℃），其中、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度將滿足（且）．現(xiàn)有一杯的熱紅茶置于的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（）（參考數(shù)值）A.若，則B.若，則紅茶下降到所需時(shí)間大約為6分鐘C.5分鐘后物體的溫度是，k約為0.22D.紅茶溫度從下降到所需的時(shí)間比從下降到所需的時(shí)間多【答案】AC【解析】【分析】由題知，根據(jù)指對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)求解．【詳解】解：由題知，A選項(xiàng)：若，即，所以，則，A正確；B選項(xiàng)：若，則，則，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，所以，所以紅茶下降到所需時(shí)間大約為7分鐘，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：5分鐘后物體的溫度是，即，則，得，所以，故C正確；D選項(xiàng)：為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從下降到所需的時(shí)間（）比從下降到所需的時(shí)間（）少，故D錯(cuò)誤．故選：AC．第Ⅱ卷（共90分）三，填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.計(jì)算：_________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合特殊角三角函數(shù)，可得答案.【詳解】，故答案為：.14.如圖，直角中，，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于點(diǎn)A．其中面積與扇形OAB的面積之比為3：2，記，則____________．【答案】##1.5【解析】【分析】設(shè)出扇形的半徑，分別計(jì)算扇形面積與三角形面積代入可得結(jié)果.【詳解】設(shè)扇形OAB的半徑為r，則扇形OAB的面積為，直角三角形POB中，，則△POB的面積為，由題意知，，所以故答案為：.15.在數(shù)學(xué)中連乘符號(hào)是“”，這個(gè)符號(hào)就是連續(xù)求積的意思，把滿足“”這個(gè)符號(hào)下面條件的所有項(xiàng)都乘起來，例如：．函數(shù)，定義使為整數(shù)的數(shù)叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間內(nèi)，這樣的企盼數(shù)共有_______個(gè)．【答案】9【解析】【分析】由對(duì)數(shù)換底化簡(jiǎn)后，根據(jù)新定義累乘后可得，再由企盼數(shù)定義可得，轉(zhuǎn)化為求滿足的n的個(gè)數(shù).【詳解】令，，要使成為企盼數(shù)，則，，即，，可取.所以在區(qū)間內(nèi)，這樣的企盼數(shù)共有9個(gè).故答案為：916.設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意的，均有，則實(shí)數(shù)b的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)易得時(shí)，進(jìn)而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)在上的單調(diào)性，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化對(duì)任意的恒成立，再分類討論求解，【詳解】當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，均有即為，由于,當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，又∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴等價(jià)于，即（∵）,由區(qū)間的定義可知,若，于是,即，由于的最大值為，故顯然不可能恒成立；，則，即，∴，即，故的最大值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，涉及指數(shù)函數(shù)，函數(shù)的奇偶性，分類討論思想，關(guān)鍵是時(shí)，化歸為，再利用偶函數(shù)和單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，注意對(duì)的符號(hào)的分類討論.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．）17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，單位圓與x軸的正半軸及負(fù)半軸分別交于點(diǎn)A、B，角的始邊為OA，終邊與單位圓交于x軸下方一點(diǎn)P．（1）如圖，若，求點(diǎn)Р的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可知的旋轉(zhuǎn)角為，利用三角函數(shù)定義求，的值即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，可知，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可知，，代入計(jì)算即可求出結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，所以，，所以的坐標(biāo)為.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，所以，且，所以，，則18.已知函數(shù)．（1）化簡(jiǎn)；（2）若銳角滿足，求值：（3）若，且，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可；（2）由第（1）問化簡(jiǎn)結(jié)果可知的值，結(jié)合為銳角，求出的值代入所求即可求出結(jié)果；（3）由條件可知，求的值再根據(jù)角的范圍判斷正負(fù)可得出結(jié)果.【小問1詳解】解：【小問2詳解】因?yàn)椋?，且為銳角，所以，則【小問3詳解】，即，，因?yàn)椋?，則19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，其中是自然對(duì)數(shù)的底，…．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合時(shí)，的解析式求出當(dāng)時(shí)的解析式即可；（2）利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性等價(jià)出不等式組解出不等式組即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，當(dāng)時(shí)，則，由時(shí)，函數(shù)，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為：成立，當(dāng)時(shí)，由，所以時(shí)，由在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，由函數(shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故有：，綜上所述：不等式的解集為：.20.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若（且）在區(qū)間上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，求出，即可求函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，然后再利用分類討論，即可求出結(jié)果．【小問1詳解】由條件冪函數(shù)，在上為增函數(shù)，得到，解得，又因?yàn)?，所以或又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，滿足為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，不滿足為奇函數(shù)；所以【小問2詳解】由（1）知：且在區(qū)間上為增函數(shù)．令，；①當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，只需在區(qū)間上為增函數(shù)．即：，解得：，所以；②當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，只需在區(qū)間上為減函數(shù)．即：，解得：，此時(shí)無解；綜上可知：的取值范圍為：．21.某醫(yī)藥研究所研發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果成人按規(guī)定的劑量服用該藥，服藥1小時(shí)后血液中含藥量達(dá)到峰值，7小時(shí)后血液中含藥量為，服藥后每毫升血液中的含藥量與服藥后的時(shí)間之間，近似滿足如圖所示的連續(xù)曲線，其中曲線段OA是函數(shù)的圖象，曲線段AB是函數(shù)（，k為吸收常數(shù)，為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底）的圖象．（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量C關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于時(shí)治療有效，假若某病人第一次服藥為早上8點(diǎn)，為保持療效，第二次服藥最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？（3）若按（2）中的最遲時(shí)間服用第二次藥，則第二次服藥后再過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少？（精確到）【答案】（1）（2）第二次服藥最遲是當(dāng)天下午13：00服藥（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象求解函數(shù)解析式；（2）根據(jù)題意列出不等式，求解出答案；（3）分別求解出第每毫升血液中含第一次和第二次服藥后的剩余量，相加即為結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，把代入可得，解得：，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，把代入（k，a是常數(shù)），得，解得，所以故，【小問2詳解】設(shè)第一次服藥后最遲過t小時(shí)服第二次藥，則，解得：，即第一次服藥后后服第二次藥，也即下午13：00服藥；【小問3詳解】第二次服藥后，每毫升血液中含第一次服藥后剩余量為：每毫升血液中含第二次服藥后剩余量為：所以此時(shí)兩次服藥剩余的量為故該病人每毫升血液中的含藥量為22.已知函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)（且）的圖像都恒過同一個(gè)定點(diǎn)．（1）求和的值；（2）設(shè)函數(shù)，若方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先找出恒過的點(diǎn)，代入當(dāng)時(shí)中，求出，然后，利用函數(shù)奇偶性建立方程求解；（2）由題意方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解等價(jià)出關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，令，則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于方程只有一個(gè)正實(shí)數(shù)解，對(duì)最高次系數(shù)進(jìn)行討論分析